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江苏省南通市2011届高三第二次模拟考试数学试题


江苏省南通市 2011 届高三第二次模拟考试数学试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 曲线 y ? x 3 ? 2 x 在点(1,-1)处的切线方程是 2. 若
1 ? 5i 3?i ? a ? bi



. ▲ ▲ . 命题(填“真”“假”之一) 、 .

( a, b ? R,i 为虚数单位) ,则 ab=

3.命题“若实数 a 满足 a≤ 2 ,则 a 2 ? 4 ”的否命题是

4. 把一个体积为 27cm3 的正方体木块表面 涂上红漆,然后锯成体积为 1 cm3 的 27 个小正方 体,现 从中任取一块,则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 ▲ .

5. 某教师出了一份三道题的测试卷,每道题 1 分,全班得 3 分、2 分、1 分和 0 分的学生所 占比例 分别为 30%、50%、10%和 10%,则全班学生的平均分为 ▲ 分.

6.设 M ? ? a a ? (2,0) ? m (0,1),m ? R ? 和 N ? ? b b ? (1,1) ? n (1,? 1),n ? R ? 都是元素为向量 的集 合,则 M∩N= ▲ .

7. 在如图所示的算法流程图中,若输入 m = 4,n = 3,则输出的 a= ▲ .
? a 2 ? a 3 ? 15, a1 a 2 a 3 ? 80,

8.设等差数列 ? a n ? 的公差为正数,若 a1 则 a11
? a12 ? a13 ?





9.设 ? ,? 是空间两个不同的平面,m,n 是平面 ? 及 ? 外的两条不 同直线.从“①m⊥n;② ? ⊥ ? ;③n⊥ ? ;④m⊥ ? ”中选 取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题: 表示) . 10 .定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f ( x ) = f ( x + 2 ) ,当 x ? ? 3,5 ? 时, f ( x ) = 2 - x - 4 .下列 四个 不 等 关 系 :
f (cos 2) > f (sin 2)
f sin



(用代号

(

π π < f co s 6 6

)

(

)

; f (sin 1) > f (cos1) ;

f co s

(

2π 2π < f sin 3 3

)

(

)



. ▲ .
y
2

其中正确的个数是

11.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A、B 分别是双曲线 x 2 ? 顶点

? 1 的左、右焦点,△ABC



3

C 在双曲线的右支上 ,则

sin A ? sin B sin C

的值是




P ( x1, y 1 )

12 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 设 点
d ( P, Q ) = x1 - x 2 + y1 - y 2



Q ( x 2, y 2 )

, 定 义 :

. 已

知点 B (1,0 ) ,点 M 为直线 x - 2 y + 2 = 0 上的动点,则使 d ( B, M ) 取最小值时点 M 的坐 标是 ▲ . 13.若实数 x,y,z,t 满足 1≤ x≤ y ≤ z ≤ t ≤10 000 ,则 x ? z 的最小值为
y t





14.在平面直角坐标系 xOy 中,设 A、B、C 是圆 x2+y2=1 上相异三点,若存在正实数 ? , ? , 使得
???? OC

= ? O A ? ? O B ,则 ? 2

??? ?

??? ?

? ? ? ? 3?

2

的取值范围是





【填空题答案】 1. x-y-2=0 5. 2 2.
? 8 25

3. 真 7. 12 10. 1 14. ? 2,? ? ?

4.

26 27

6. ? ? 2,0 ??

8. 105 11.
? 1 2

9. ①③④ ? ②(或②③④ ? ①) 12. 1, 3
2

?

?

13.

1 50

二、解答题:本大题共 6 小题 ,共计 90 分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 如图,平面 P A C CO 的中点, A B
? BC ? AC ? 4 ?

平面 A B C ,点 E、F、O 分别为线段 PA、PB、AC 的中点,点 G 是线段

, PA ?

PC ? 2 2

.求证:

P E F G O

(1) P A ? 平面 E B O ; (2) F G ∥平面 E B O . 【证明】由题意可知, ? PAC 为等腰直角三角形,
? ABC

为等边三角形.

???????2 分
? AC
?

A

C

(1)因为 O 为边 A C 的中点,所以 B O 因为平面 P A C
BO ?
?


? AC

平面 A B C ,平面 P A C
?

平面 A B C



B
(第 15 题)

平面 A B C ,所以 B O

面 P A C . ???????5 分
? PA

因为 P A ? 平面 P A C ,所以 BO

, P E Q F

在等腰三角形 P A C 内, O , E 为所在边的中点,所以 O E 又 BO
? OE ? O

? PA



,所以 P A ? 平面 E B O ;???????8 分

(2)连 AF 交 BE 于 Q,连 QO. 因为 E、F、O 分别为边 PA、PB、PC 的中点, 所以 于是
AO ? 2 OG

,且 Q 是△PAB 的重心,???????10 分
AO OG

AQ QF

? 2?
?

,所以 FG//QO.

???????12 分 ???????

因为 F G 14 分

平面 EB O, Q O ? 平面 EBO,所以 F G ∥平面 E B O .

【注】第(2)小题亦可通过取 PE 中点 H,利用平面 FGH//平面 EBO 证得. 16. (本小题满 分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 co s x
2

?

3 co s

x x ? sin 2 2

?.

(1)设 ? ? ? ? π , π ? ,且 f (? ) ? 3 ? 1 ,求 ? 的值; ? 2 2? ? ? (2)在△ABC 中,AB=1, f ( C ) ? 3 ? 1 ,且△ABC 的面积为 3 ,求 sinA+sinB 的值.
2

【解】 (1) f ( x ) ? 分 由
c

2 3 co s

2

x 2

? 2 sin

x 2

co s

x 2

= 3 (1 ? co s x ) ? sin x = 2 co s

?x ? π ? ? 6

3

.??3

2 co s x ?

?

π ? 6 s

?

3 ?

3 ?1





?x ? π ? ? 1 , 6 2
于是 x ? 分
π 6

o
π

??????5 分 , 所以 x
? ? π 2 或 π 6

? 2 kπ ?

(k ? Z ) , 因为 x ? ? ? π , π ? ? 2 2? ? ? 3



??????7

(2) 因为 C ? (0, π ) , (1) C 由 知 分 因为△ABC 的面积为 3 ,所以
2

?

π 6



??????9

3 1 π ? a b sin 2 2 6

,于是 ab

?2 3

.



在△ABC 中,设内角 A、B 的对边分别是 a,b. 由余弦定理得 1 ?
a ? b ? 2 a b co s
2 2

π 6

? a ?b ?6
2 2

,所以 a 2 ? b 2 ? 7 .
? a ? 3, ? ? ?b ? 2. ?













? a ? 2, ? ? ?b ? 3 ?







a?b?2?

3



??????12 分

由正弦定理得 sin A ? sin B ? sin C ? 1 ,
a b 1 2


s A? B ? 1? a ? b? ? 2 ? 3 2

以 .
i ??????14 分

17. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xO y 中, 如图, 已知椭圆 E:x 2
a
2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的左、 右顶点分别为 A1 、

A2 ,

上、下顶点分别为 B 1 、 B 2 .设直线 A1 B1 的倾斜角的正弦值为 1 ,圆 C 与以线段 O A 2 为直
3

径的圆 关于直线 A1 B1 对称. (1)求椭圆 E 的离心率; (2)判断直线 A1 B1 与圆 C 的位置关系,并说明理由; (3)若圆 C 的面积为 ? ,求圆 C 的方程. 【解】 (1)设椭圆 E 的焦距为 2c(c>0) , 因为直线 A1 B1 的倾斜角的正弦值为 1 ,所以
3
2 8 于是 a 2 ? 8 b 2 , a 2 ? ( a 2 c? ) 即

y B1 A1 O B2
(第 17 题)

A2

x

b a ?b
2 2

?

1 3
?


c a
2 2

, 所以椭圆 E 的离心率 e

?

7 ? 8

14 . 4

????

4分 (2)由 e
? 14 4

可设 a ? 4 k ? k ? 0 ? , c

?

14k

,则 b

?

2k



于是 A1 B1 的方程为 : x ? 2 2 y ? 4 k ? 0 , 故
O A2
d ?


? 2k

中 ,



? 2k , 0 ?



A1 B1







2k ? 4k 3

??????????6 分
? 2k

又以 O A 2 为直径的圆的半径 r 所 切. 以 直

, 即有 d

?r

, 与 圆
C

线

A1 B1



??????????8 分
? 1 2

(3)由圆 C 的面积为 ? 知圆半径为 1,从而 k 10 分



??????????

设 O A 2 的中点 ? 1, 0 ? 关于直线 A1 B1 : x ? 2 2 y ? 2 ? 0 的对称点为 ? m , n ? ,
? n 2 ? m ? 1 ? 4 ? ? 1, ? ? m ? 1 ? 2 2 ? n ? 2 ? 0. ? 2 2



??????????12 分 解得 m ? 1 , n ? 4 2 3 3 分 18. (本小题满分 16 分) 如图,实线部分的月牙形公园是由圆 P 上的一段优弧和圆 Q 上的一段劣弧围成,圆 P 和 圆Q的 半径都是 2km,点 P 在圆 Q 上,现要在公园内建一块顶点都在圆 P 上的多边形活动场地. (1)如图甲,要建的活动场地为△RST,求场地的最大面积; (2)如图乙,要建的活动场地为等腰梯形 ABCD,求场地的最大面积.
R M B S T P Q C D P Q A M

.所以,圆 C 的方程为 ?

x?

1 3

? ?
2

? y?

4 2 3

?

2

? 1 .???????14

N

N

(第 17 题甲)

(第 17 题乙)

【解】 (1)如右图,过 S 作 SH⊥RT 于 H, S△RST=
1 2 SH ? RT



????????2 分

由题意,△RST 在月牙形公园里, RT 离; 与 圆 Q 只 能 相 切 或 相

????????4 分

RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形, 则有 RT≤4,SH≤2, 当且仅当 RT 切圆 Q 于 P 时(如下左图) ,上面两个不等式中等号同时成立. 此时,场地面积的最大值为 S△RST= ? 4 ? 2 =4(km2) .
2 1

????????6
M



R

M B

A θ

S

P

Q C

P

Q

T

N 甲

D

N 乙

(2) 同(1)的分析,要使得场地面积最大,AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形, AD 必须切圆 Q 于 P,再设∠BPA= ? ,则有
S四 边 形 ABC D ? 1 1 π ? 2 ? 2 ? sin ? ? 2 ? ? 2 ? 2 ? sin ( π ? 2? ) ? 4 (sin ? ? sin ? co s ? ) 0 ? ? ? 2 2 2

?

?.

????????8 分 令 y ? sin ? ? sin ? cos ? ,则
y ? ? cos ? ? cos ? cos ? ? sin ? ( ? sin ? ) ? 2 cos
2

? ? cos ? ? 1 .

???????

11 分 若 y ? ? 0 , co s ?
? 1 π ,? ? 2 3



? 又 ? ? 0, π 时,y ? ? 0 , ? π , π 时,y ? ? 0 ,
3

?

?

?3 2?
3

???????14

分 函数 y ? sin ? ? sin ? cos ? 在 ? ? π 处取到极大值也是最大值, 故 ? ? π 时, 场地面积取得最大值为 3
3
3(km
2

) .

???????16

分 19. (本小题满分 16 分) 设定义在区间[x1, x2]上的函数 y=f(x)的图象为 C,M 是 C 上的任意一点,O 为坐标原点, 设向 量 O A = ? x1, f ? x1 ? ? , O B ? ? x 2, f ? x 2 ? ? , O M =(x,y),当实数 λ 满足 x=λ x1+(1-λ) x2 时, 记向 量 O N =λ O A +(1-λ) O B .定义“函数 y=f(x)在区间[x1,x2]上可在标准 k 下线性近似”是指 “
???? ? MN ≤
????

??? ?

??? ?

???? ?

??? ?

??? ?

k 恒成立” ,其中 k 是一个确定的正数.

(1)设函数 f(x)=x2 在区间[0,1]上可在标准 k 下线性近似,求 k 的取值范围; (2)求证:函数 g ( x ) ? ln x 在区间 ? e m,e m ? 1 ? ( m ? R ) 上可在标准 k= 1 下线性近似. ? ?
8

(参考数据:e =2.718,ln(e-1)=0.541)

【解】 (1)由 O N =λ O A +(1-λ) O B 得到 B N =λ B A , 所以 B, A 三点共线, N, 分 又由 x=λ x1+(1-λ) x2 与向量 O N =λ O A +(1-λ) O B , N 与 M 的横坐标相同.?????4 得 分 对于 [0,1]上的函数 y=x2,A(0,0),B(1,1), 则有 所
?1, ? ? ?4 ?
???? ? 2 1 MN ? x ? x ? ? x ? 2
????

????

??? ?

??? ?

????

??? ?

????????2

??? ?

??? ?

?

?

2

?

1 4

,故 M N ? ? 0, 1 ? ; ? ? 4? ? 的 取 值 范 围 是

???? ?



k

?.

????????6 分

(2)对于 ? e m, e m ? 1 ? 上的函数 y ? ln x , ? ? A( B( e m ? 1, m 则
y?m ? e 1
m ?1

e ,m ? 1 ),

m

) ????????8 分




?e
m

线
m

AB







(x ? e )


m 1 (x ? e ) m ?e

????????10 分 ,其中 x ? ? e m ,e m ? 1 ? ? m ? R ? , ? ? 是

令 h ( x ) ? ln x ? m ?
e

m ?1


h ?( x ) ? 1 1 ? x e m ?1 ? e m



????????13 分

列表如下: (em,em+1- x em em) [来源:学*科 *网]
h' ( x) h(x)

em+1-em

(em+1-em,em+1)

em+1

+ 0 增
h (e

0
m ?1


m

?e )



0



???? ? MN ? h ?x?
m

,且在 x ? e m ? 1 ? e m 处取得最大值,
e?2 e ?1 ?

又 h (e m ? 1 分

? e ) ? ln ? e ? 1 ? ?

0.123 ?

1 8

, 从而命题成立.

????????16

20.(本小题满分 16 分)

已知数列 { a n } 满足 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? n 2 ( n ? N * ) . (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)对任意给定的 k ? N * ,是否存在 p, r ? N * ( k ? p ? r )使 若存 在,用 k 分别表示 p 和 r (只要写出一组) ;若不存在,请说明理由; (3)证明:存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形,其边长为 a n , a n , a n .
1 2 3

1 1 1 , , ak a p ar

成等差数列?

【解】 (1)当 n

? 1 时, a1 ? 1 ;

当 n≥ 2, n ? N * 时, a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1 ? ( n ? 1) 2 , 所以 a n
? n ? ( n ? 1) ? 2 n ? 1
2 2

; ????????3

a 综上所述, n ? 2 n ? 1 ( n ? N * ) .

分 (2)当 k
? 1 时,若存在

p,r 使

1 1 1 , , ak ap ar

成等差数列,则

1 ar

?

2 ap

?

1 ak

?

3?2p 2p ?1



因为 p≥ 2 ,所以 a r 分

?0

,与数列 { a n } 为正数相矛盾,因此,当 k

? 1 时不存在;

????5

当 k≥ 2 时, a k ? x,a p ? y,a r ? z , 设 则 分

1 x

?

1 z

2 ? y

, 所以 z ?

xy 2x ? y

, ????????7

令 y ? 2 x ? 1 ,得 z ? xy ? x (2 x ? 1) ,此时 a k

? x ? 2 k ? 1 , a p ? y ? 2 x ? 1 ? 2 (2 k ? 1) ? 1 ,

所以 p ? 2 k ? 1 , a r ? z ? (2 k ? 1)(4 k ? 3) ? 2(4 k 2 ? 5 k ? 2) ? 1 , 所以 r ? 4 k 2 ? 5 k ? 2 ; 综上所述,当 k ? 1 时,不存在 p,r;当 k≥ 2 时,存在 p
? 2 k ? 1, r ? 4 k ? 5 k ? 2
2

满足题设.

????????10 分 (3)作如下构造: a n
1

? (2 k ? 3) ,a n ? (2 k ? 3)(2 k ? 5), a n ? (2 k ? 5)
2
2 3

2

,其中 k ? N * ,

它们依次为数列 { a n } 中的第 2 k 2 ? 6 k ? 5 项, 2 k 2 ? 8 k ? 8 项, 2 k 2 ? 10 k ? 13 项, ??12 第 第 分 显然它们成等比数列,且 a n ? a n ? a n , a n ? a n ? a n ,所以它们能组成三角形.
1 2 3 1 2 3

由 k ? N * 的任意性,这样的三角形有无穷多 个. 下面用反证法证明其中任意两个三角形 A1 B1 C 1 和 A2 B 2 C 2 不相似: 若三角形 A1 B1 C 1 和 A2 B 2 C 2 相似,且 k 1
? k2

????????14 分

,则

( 2 k 1 ? 3)( 2 k 1 ? 5) ( 2 k 1 ? 3)
2

?

( 2 k 2 ? 3)( 2 k 2 ? 5) ( 2 k 2 ? 3)
2



整理得

2 k1 ? 5 2 k1 ? 3

?

2k2 ? 5 2k2 ? 3

,所以 k 1

? k2

,这与条件 k 1

? k2

相矛盾,

因此,任意两个三角形不相似. 故命题成 立. 【注】1.第(2)小题当 ak 不是质数时,p,r 的解不唯一; 2. 第(3)小题构造的依据如下:不妨设 n1
? n 2 ? n 3 ,且 a n1 , a n 2 , a n 3

????????16 分

符合题意,
5 ?1 2

则公比 q >1, a n ? a n ? a n , a n ? a n ? a n , 1 ? 因 又 则
1 2 3 1 2 3

q ? q

2

, 所以 1 ? q ?



因为三项均为整数,所以 q 为 ? 1,

? ?

5 ?1? ? 2 ?
1

内的既约分数且 a n 含平方数因子,
1

经验证,仅含 1 2 或 3 2 时不合,所以 a n 3.第(3)小题的构造形式不唯一.

? (2 k ? 3) p ( k , p ? N )
2 *



数学 II(附加题)
21. 【选做题】本题包括 A,B,C,D 四小题,请选定其中两题作答,每小题 10 分,共计 20 ......... 分, 解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 自圆 O 外一点 P 引圆的一条切线 PA,切点为 A,M 为 PA 的中点, 过点 M 引圆 O 的割线交该圆于 B、C 两点,且∠BMP=100°, ∠BPC=40°,求∠MPB 的大小. 【解】因为 MA 为圆 O 的切线,所以 M A 2 ? M B ? M C . 又 M 为 PA 的中点,所以 M P 2 ? M B ? M C . 因为 ? B M P 分 于是 ? M P B
? ?MCP ? ? PM C

(第 21—A 题)

, 所以 ? BM P ∽ ? PM C .

??????5



在△ MCP 中, ? M P B ? ? M C P ? ? B P C ? ? B M P ? 180 ? , 由 得∠MPB=20°. ??????10 分 B.选修 4—2:矩阵与变换 已知二阶矩阵 A ? 特征值
? 2 ? 4 的一个特征向量为 ? 2 ? ? ? .求矩阵 A.
?2? ?3 ? ?a ? ?c b? ? d?

,矩阵 A 属于特征值 ?1

? 1? ? ? 1 的一个特征向量为 ? 1 ? ? ? ? ? 1?

,属于

【解】由特征值、特征向量定义可知,A ? 1 即
?a ? ?c b? ? d? ? 1? ? ? ? ?1 ? ? ? 1? ? 1? ? ? ? ? 1?

? ?1 ? 1 ,





? a ? b ? ? 1, ? ?c ? d ? 1.

????????5 分 同 理 可 得
? 3 a ? 2 b ? 1 2, ? ? 3 c ? 2 d ? 8,

3 解 得 a ? 2, b ?,

c, 2 ?

d .1 ?

因 此 矩 阵

A?

?2 ? ?2

3? ? 1?

. ????10 分

C.选修 4—4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 的参数方程为 ? 系原

? x ? 2 co s ? , ? y ? sin ?

? ? 为 参 数 ? .以直角坐标

点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为
? co s ? ?

?

π ? 2 2 4

?

.点

P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 距离的最大值. 【解】 ? co s ? ? π ? 2 2 化简为 ? cos ? ? ? sin ? ? 4 ,
4

?

?


x? y ? 4

直 .

线

l

















???????4 分
2 co s ? ? sin ? ? 4 2
5 sin ? ? ? ? ? ? 4 2

设点 P 的坐标为 ? 2 co s ? ,sin ? ? ,得 P 到直线 l 的距离 d ?




co s ? ? 1 5 sin ? ?

d ?

, ???????8 分





,

2 5


sin ? ? ? ? ? ? - 1


dm ? 2 2 ? 10 2

时 ??????10 分





a

x

D.选修 4—5:不等式选讲 若正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求
1 3a ? 2 ? 1 3b ? 2 ? 1 3c ? 2

的最小值.

【解】因为正数 a,b,c 满足 a+b+c=1, 所以, 分 即
1 3a ? 2 ? 1 3b ? 2 ? 1 3c ? 2 ≥1 , ?b ? c ? 1 3

? 3 a 1? 2 ? 3b 1? 2 ? 3 c 1? 2 ? ?? ? 3 a ? 2 ? ? ? 3b ? 2 ? ? ? 3 c ? 2 ? ?? ≥ ?1 ? 1 ? 1 ? ,??????5
2

当且仅当 3 a ? 2 ? 3b ? 2 ? 3 c ? 2 ,即 a 分

时,原式取最小值 1. ??????10

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 解答时应写出文字说明,证明过程 或演算步骤. 22.在正方体 ABC D
? A 1B 1C 1D 1

中,O 是 AC 的中点,E 是线段 D1O 上一点,且 D1E=λEO.

(1)若 λ=1,求异面直线 DE 与 CD1 所成角的余弦值; (2)若平面 CDE⊥平面 CD1O,求 λ 的值. 【解】(1)不妨设正方体的棱长为 1,以 D A , D C , D D1
??? ? ???? ?????

D1

C1

为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz . 则 A(1,0,0), O 1 , 1 ,0 , C ? 0,1,0 ? ,D1(0,0,1),
2

A1C BA E B A

B1C BA

?2

?

E

?

1 1 1 , , 4 4 2

?,
? ?
???? ? , C D1 ? ? 0,? 1,1 ?

A .
1

???? 于是 D E ? 1 , 1 , 1 4 4 2

D C O B A (第 22 题)

B A

C B A



???? ???? ? cos ? D E,C D1 ?

???? ???? ? D E ? C D1 ????? ???? ? = | D E |? | C D 1 |



3 6

.
3 6

所以异面直线 AE 与 CD1 所成角的余弦值为 分

.

????????5

(2)设平面 CD1O 的向量为 m=(x1,y1,z1),由 m· C O =0,m· C D 1 =0 得 分 由 D1E=λEO,则 E ? ?
?
? 2 (1 ? ? ) ,

????

???? ?

1 ?1 ? x1 ? y 1 ? 0, 2 ?2 ? ? y 1 ? z 1 ? 0, ?

取 x1=1, y1=z1=1, m=(1, 1) . 得 即 1,

????????7

?
2 (1 ? ? )



1 ? ? 1? ? ?

, DE =? ?
????

????

?

? 2 (1 ? ? )



?
2 (1 ? ? )



1 ? ? 1? ? ?

.

又设平面 CDE 的法向量为 n=(x2,y2,z2),由 n· C D =0,n· D E =0.
? y 2 ? 0, ? ? y2 z2 ? ? x2 ? 2 (1 ? ? ) ? 2 (1 ? ? ) ? 1 ? ? ? 0, ?

????



取 x2=2,得 z2=-λ,即 n=(-2,0,λ) . ????????10

因为平面 CDE⊥平面 CD1F,所以 m·n=0,得 λ=2. 分

23.一种抛硬币游戏的规则是:抛掷一枚硬币 ,每次正面向上得 1 分,反面向上得 2 分. (1)设抛掷 5 次的得分为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望 E ? ; (2)求恰好得到 n ( n ? N * ) 分的概率. 【解】 (1)所抛 5 次得分 ? 的概率为 P( ? =i)=
C5
i?5

? ?
1 2

5

(i=5,6,7,8,9,10),

其分布列如下:
?

5
1 32
10

6
5 32

7
5 16

8
5 16

9
5 32

10
1 32

P

E ? = ? i ?C i5? 5 1 2
i?5

? ?

5

=

15 2

(分) .

????????5 分

(2)令 pn 表示恰好得到 n 分的概率. 不出现 n 分的唯一情况是得 到 n-1 分以后再掷出 一次反面. 因为“不出现 n 分”的概率是 1-pn, “恰好得到 n-1 分”的概率是 pn-1, 因为“掷一次出现反面”的概率是 即 pn- 于是
2 3
n

1 2

,所以有 1-pn=

1 2

pn-1,

????????7 分

=-
? 2 3
2 3

1 2

?p
1 6

n ?1

?

2 3

?.
,即 pn= 1 ? 2 ? ? 1
3? ? 3? ?

?p

? 是以 p - 2 = 12 - 2 =- 1 为首项,以- 12 为公比的等比数列. 3 3 6
1

所以 pn-

=-

?? 1 ? 2

n ?1

? 2 ? ??? .
n

答:恰好得到 n 分的概率是 1 ? 2 ? ? 1

? 2 ? ??? .
n

???????10 分


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