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高中数学选修人教A教案导学案第3章 空间向量与立体几何 § (三)—— 利用向量方法求距离


§ 3.2

立体几何中的向量方法(三) —— 利用向量方法求距离

知识点一 求两点间的距离 已知矩形 ABCD 中,AB=4,AD=3,沿对角线 AC 折叠,使面 ABC 与面 ADC 垂直,求 BD 间的距离. 解 方法一

过 D 和 B 分别作 DE⊥AC 于 E,BF⊥AC 于 F, 则由已知条件可知 AC=

5, 3×4 12 3×4 12 ∴DE= = ,BF= = . 5 5 5 5 AD2 9 ∵AE= = =CF, AC 5 9 7 ∴EF=5-2× = , 5 5

??? → ??? → ? ? ∴ DB =DE+ EF +FB. ??? ? ??? ? ? ??? → ? → → → → → → ??? → → | DB |2= (DE+B1E+FB)2=DE2+ EF 2+FB2+2DE· +2DE· +2 EF · . FB FB EF
∵面 ADC⊥面 ABC,而 DE⊥AC, ∴DE⊥面 ABC, → → ∴ DE⊥BF, DE ⊥FB,

??? ? → → → 144 49 144 337 | DB |2=DE2+B1E2+FB2= + + = , 25 25 25 25
∴| DB |=

??? ?

337 . 5 337 . 5

故 B、D 间距离是 方法二

1

同方法一.过 E 作 FB 的平行线 EP,以 E 为坐标原点,以 EP,EC,ED 所在直线分别 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系如图. 则由方法一知 DE=FB= 12 , 5

12 12 7 7 EF= ,∴D?0,0, 5 ?,B? 5 ,5,0?, ? ? ? ? 5

??? ? 12 7 12 ∴ BD =? 5 ,5,- 5 ?, ? ?
| BD |=

?12?2+?7?2+?-12?2= 337. ? 5 ? ?5? ? 5 ? 5 【反思感悟】 求两点间的距离或某线段的长度的方法: (1)把此线段用向量表示,然后用|a|2=a· 通过向量运算去求|a|.(2)建立空间 a

??? ?

坐标系,利用空间两点间的距离公式 d= ?x1-x2?2+?y1-y2?2+?z1-z2?2求解.
如图所示,正方形 ABCD,ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD⊥平面 ABEF,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN=a(0<a< 2).

(1)求 MN 的长; (2)当 a 为何值时,MN 的长最小. 解 (1)

建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1,0,0),F(1,1,0),C(0,0,1) ∵CM=BN=a(0<a< 2), 且四边形 ABCD、ABEF 为正方形, ∴M( 2 2 2 2 a,0,1- a),N( a, a,0), 2 2 2 2

2 2 → → ∴|MN=(0, a, a-1),∴|MN|= a2- 2a+1. 2 2 (2)由(1)知 MN= ?a- 22 1 ?+ , 2 2

2

所以,当 a=

2 2 时,MN= . 2 2 2 . 2

即 M、N 分别移到 AC、BF 的中点时,MN 的长最小,最小值为 知识点二 求异面直线间的距离

如图所示,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB⊥侧面 BB1C1C,E 为棱 CC1 上异 π 于 C、C1 的一点,EA⊥EB1,已知 AB= 2,BB1=2,BC=1,∠BCC1= ,求异面直线 3 AB 与 EB1 的距离. → → 解.以 B 为原点,BA、BA所在直线分别为 y、z 轴,如图建立空间直角坐标系.? 由于 BC=1,BB1=2, π AB= 2,∠BCC1= , 3 在三棱柱 ABC—A1B1C1 中有 B(0,0,0),A(0,0, 2),B1(0,2,0), 设 E( 即?-

??? ???? ? 3 , a, 0 ),由 EA⊥EB1,得? EA · EB1 =0,? 2
3 3 ?? ? ,-a, 2 ·- ,2-a,0 =0, 2 ?? 2 ?

?

1 3 1 3 得?a-2??a-2?=0,即 a= 或 a= (舍去), ? ?? ? 2 2 故 E? 3 1 ? . ? 2 ,2,0?

设 n 为异面直线 AB 与 EB1 公垂线的方向向量, 由题意可设 n=(x,y,0), 则有 n· EB1 =0.? 易得 n=( 3,1,0), ∴两异面直线的距离 d=

????

??? ? BE ? n n



?? 3,1,0?· 3,1,0?? ? ?? 2 2 ? ?
3+1

=1.

【反思感悟】 求异面直线的距离,一般不要求作公垂线,若公垂线存在, 则直接求解即可;若不存在,可利用两异面直线的法向量求解.

3

如图所示,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=4,AD=3,AA1=2,M、N 分别为 DC、BB1 的中点,求异面直线 MN 与 A1B 的距离. 解 以 A 为原点,AD、AB、AA1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 则 A1(0,0,2),B(0,4,0),M(3,2,0),N(0,4,1).

???? ? → ∴|MN=(-3,2,1), A1B =(0,4,-2).
设 MN、A1B 公垂线的方向向量为 n=(x,y,z),

???? ? ?n ? MN ? 0, ?-3x+2y+z=0 ? ? 则 ? ???? 即? . ? ? ?4y-2z=0 ?n ? A1B ? 0, ?

4 令 y=1,则 z=2,x= , 3 4 61 即 n=?3,1,2?,|n|= . ? ? 3

???? ? MA1 =(-3,-2,2)在 n 上的射影的长度为 ???? ? MA1 ? n
d= ,

n

6 61 故异面直线 MN 与 A1B 的距离为 . 61 知识点三 求点到平面的距离 在三棱锥 B—ACD 中,平面 ABD⊥平面 ACD,若棱长 AC=CD=AD=AB =1,且∠BAD=30° ,求点 D 到平面 ABC 的距离. 解

如图所示,以 AD 的中点 O 为原点,以 OD、OC 所在直线为 x 轴、y 轴,过 O 作 OM⊥ 面 ACD 交 AB 于 M,以直线 OM 为 z 轴建立空间直角坐标系,

4

1 1? ? 3-1 则 A?-2,0,0?,B? ? ? ? 2 ,0,2?, ? C?0,

?

1 3 ? ,0 ,D?2,0,0?, ? ? 2 ?

???? 1 3 ∴ AC =? , ,0?, ?2 2 ?
???? ??? ? 3 ? 1 1 3 AB = 2 ,0,2?, DC =?-2, 2 ,0?, ? ? ? ?
设 n=(x,y,z)为平面 ABC 的一个法向量,

? ? ??? ? 3 1 AB x ? z ? 0, ? ?n· ? ? 2 2 ?, 则? ???? 1 ?n· ? x ? 3 y ? 0, ? ? ? AC 2 ? 2 ?
∴y=- 3 x,z=- 3x,可取 n=(- 3,1,3), 3

代入 d=

???? DC ? n n

3 3 + 2 2 39 ,得 d= = , 13 13 39 . 13

即点 D 到平面 ABC 的距离是

【反思感悟】 利用向量法求点面距,只需求出平面的一个法向量和该点与 平面内任一点连线表示的向量,代入公式求解即可.

正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 4,M、N、E、F 分别为 A1D1、A1B1、C1D1、B1C1 的中点,求平面 AMN 平面与 EFBD 间的距离. 解 如图所示, 建立空间直角坐标系 D—xyz, A(4,0,0), 则 M(2,0,4), D(0,0,0), B(4,4,0), E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4),

??? ? → 从而 EF =(2,2,0),MN=(2,2,0), ???? ? ??? ? → ???? → ? → AM =(-2,0,4),BF=(-2,0,4), ∴ EF =MN, AM =BF,
∴EF∥MN,AM∥BF, ∴平面 AMN∥平面 EFBD. 设 n=(x,y,z)是平面 AMN 的法向量,

???? ? ?n· ? 2 x ? 2 y ? 0, ? ? MN 从而 ? ???? ? ? ? AM ?n· ? ?2 x ? 4 z ? 0, ? ?

5

? ?x=2z 解得? . ?y=-2z ?

取 z=1,得 n=(2,-2,1),

??? ? n ? AB ??? ? -8 8 由于 AB 在 n 上的投影为 = =- . 3 4+4+1 n ??? ? n ? AB 8
∴两平行平面间的距离 d= 课堂小结: 1.求空间中两点 A,B 的距离时,当不好建系时利用|AB|=| AB | = ?x1-x2?2+?y1-y2?2+?z1-z2?2来求. 2.两异面直线距离的求法.如图(1),n 为 l1 与 l2 的公垂线 AB 的方向向量, → ??? |CD· ? n| d=| AB |= . |n|

n

= . 3

??? ?

??? ? AB ? n ??? ? 3 点 B 到平面α 的距离:|? BO |= .(如图(2)所示)? n
4.面与面的距离可转化为点到面的距离.

一、选择题

1.若 O 为坐标原点,? OA =(1,1, ? 2) ,? OB =(3,2,8) ,?

??? ?

??? ?

???? OC =(0,1,0) ,则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距离为
)? 165 2 B.2 14 D. 53 2

( ? A.

C. 53 答案 D

??? ? 3 → 1 → → 解析 由题意 OP =(1-t)OA= (OA+OB)=(2, ,3), 2 2 ??? ? 1 1 53 → → → → PC=OC- OP =(1-t)OA=(-2,- ,-3),PC=|PC|= 4+ +9= . 2 4 2 2.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,O 是底面 A1B1C1D1 的中心,则 O 到平
6

面 ABC1D1 的距离是(

)

A. C.

1 2

B.

2 4

2 3 D. 2 2 答案 B 解析 以 D 为坐标原点,以 DA,DC,DD1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标 系,则有 D1(0,0,1) ,D(0,0,0) ,A(1,0,0) ,B(1,1,0) 1(1,0,1) 1 ,A ,C

???? ? 1 1 1 1 , ,1) ,? C 1O =( , ? ,0) ,设 2 2 2 2 ???? ? ?n ? AD1 ? 0, ? 平面 ABC1D1 的法向量为 n=(x,y,z) ,则有 ? ??? ? ?n ? AB ? 0, ? ?? x ? z ? 0, 即? 则 n = (1,0,1) , ? y ? 0, ???? ? C 1O ? n ∴O 到平面 ABC1D1 的距离为: d ? ,? n
(0,1,1).因 O 为 A1C1 的中点,所以 O( . 3.在直角坐标系中,设 A(-2,3),B(3,-2),沿 x 轴把直角坐标平面折成 120° 的二面 角后,则 A、B 两点间的距离为( ) A.2 11 B. 11 C. 22 D.3 11 答案 A ??? ??? ??? → ? ? ? 解析 AB ? AE ? EF +FB

??? 2 ??? 2 ??? 2 → 2 ??? ??? ? ? ? ? ? ??? → ? ??? → ? FB FB AB = AE + EF +FB +2 AE · +2 AE · +2 EF · EF
1 =9+25+4+2×3×2× =44. 2 ∴| AB |=2 11. 4.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2,点 E 是 A1B1 的中点,则点 A 到直线 BE 的距离是( ) 6 5 4 5 A. B. 5 5 2 5 5 C. D. 5 5 答案 B 解析 如图所示,? BA =(2,0,0) ,?

??? ?

??? ?

7

??? ? ,? BE =(1,0,2) ??? ??? ? ? BA ? BE 2 5 ∴? cosθ = ??? ??? ?= = , ? ? 5 2 5 BA BE
∴sinθ= 1-cos2θ= 2 5, 5

2 4 5 → A 到直线 BE 的距离 d=|-*6]· |sinθ=2× 5= OC . 5 5 二、填空题 5. 已知 A(2,3,1), B(4,1,2), C(6,3,7), D(-5, -4,8), 则点 D 到平面 ABC 的距离为________. 49 17 答案 17 解析 设平面 ABC 的法向量为 n=(x,y,z),

??? ? ?n ? AB ? 0, ? 则 ? ???? ?n ? AC ? 0, ?

?(x,y,z)· (2,-2,1)=0, ? 即? ? (4,0,6)=0. ?(x,y,z)· 3 ∴n=?-2,-1,1?, ? ?

又? AD =( ? 7, ? 7,7).? ∴点 D 到平面 ABC 的距离 d = =

????

???? AD ? n n

49 17 . 17 6. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 棱长为 2, 为 A1B1 的中点, E 则异面直线 D1E 和 BC1 间的距离是________. 2 6 答案 3

???? ? ?n ? BC1 ? 0, ? 并设 n=(x,y,z),则有 ? ???? ? ?n ? D1E ? 0, ?
易求得 n=(1, ? 2,1) ,

解析 如图所示建立空间直角坐标系,设 n 为异面直线 D1E 与 BC1 公垂线的方向向量,

????? ? D1C1 ? n
∴d=

n

|(0,2,0)· (1,-2,1)| 4 2 6 = = = . 3 6 1+4+1

7.在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 A 到平面 A1BD 的距离为________. 3 答案 a 3 解析 以 D 为空间直角坐标原点,以 DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴
8

建立坐标系, 则 D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),A1(a,0,a). 设 n=(x,y,z)为平面 A1BD 的法向量,

???? ? ?n ? DA1 ? 0, ? 则有 ? ??? , ? ?n ? DB ? 0, ?

?(x,y,z)(a,0,a)=0, ? 即? ? ?(x,y,z)(a,a,0)=0. ? ?x+z=0, ∴? 令 x=1, ? ?x+y=0, ∴n=(1,-1,-1). ∴点 A 到平面 A1BD 的距离

??? ? DA ? n n

d=



a 3 = a. 3 3

三、解答题

8.如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截而得到的,其中 AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1. (1)求 BF 的长; (2)求点 C 到平面 AEC1F 的距离. 解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系, 则 D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1), C1(0,4,3).设 F(0,0,z).

∵四边形 AEC1F 为平行四边形, ∴由 AF ? EC1 得(-2,0,z)=(-2,0,2) ,? ∴z=2.∴F(0,0,2).?

??? ?

???? ?

??? ? ??? ? 于是| BF |= 2 6

∴? BF =(-2,-4,2).? (2)设 n1 为平面 AEC1F 的一个法向量,? 显然 n1 不垂直于平面 ADF,故可设 n1=(x,y,1) ,?

??? ? ?n ? AE ? 0, ? 由 ? ??? ? ?n ? AF ? 0, ? ?0 ? x ? 4 ? y ? 1 ? 0, 得 ? ? ??2 ? x ? 0 ? y ? 2 ? 0,

9

? x ? 1, ?4 y ? 1 ? 0, ? ∴? 1 ??2 x ? 2 ? 0, ? y ? ? , ? 4 1 ?∴n1=(1, ? ,1).? 4 ???? ? ???? ? 又? CC 1 =(0,0,3),设 CC 1 ?与 n1 的夹角为α ,则? ???? ? 3 4 33 CC1 ? n1 ? ? ? cosα = ???? ? 1 33 CC1 n1 3? 1? ?1 16
即? ∴C 到平面 AEC1F 的距离为? d=| CC 1 |cosα =3×

???? ?

4 33 4 33 ? 11 33

9.已知:正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,底面边长为 2 2,侧棱长为 4,E、F 分别为 棱 AB、BC 的中点. (1)求证:平面 B1EF⊥平面 BDD1B1; (2)求点 D1 到平面 B1EF 的距离. (1)证明

建立如右图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0), B(2 2,2 2,0),E(2 2, 2,0), F( 2,2 2,0),D1(0,0,4), B1(2 2,2 2,4).

??? ? EF =(- 2, ??? → ? DB EF · =0.

???? ? → 2,0), DB=(2 2,2 2,0), DD1 =(0,0,4),

∴EF⊥DB,EF⊥DD1,DD1∩BD=D, ∴EF⊥平面 BDD1B1. 又 EF ? 平面 B1EF,∴平面 B1EF⊥平面 BDD1B1. (2)解由(1)知? D1B1 = 2 2, 2 2,0 ? EF = ? 2, 2,0 , B1 E = 0, ?

?????

?

??? ?

?

?

???? ?

?

? 2, ?4 ? ,

设平面 B1EF 的法向量为 n,且 n = (x,y,z),? 则 n⊥ EF ,n⊥ B1 E ,?

??? ?

???? ?

10

即 n· EF =(x,y,z) ? 2 2 · ,0 ,

??? ?

?

? =-

2x+ 2y=0,

???? ? n· B1E =(x,y,z)· (0,- 2,-4)=- 2y-4z=0.
令 x=1,则 y=1,z=- ∴D1 到平面 B1EF 的距离 2 2 ,∴n=?1,1,- ?. 4 4? ?

d?

????? D1B1 ? n


|2 2+2 2| 12+12+?-

n

?

4?

16 17 = 17 2?2

10.直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的高为 3,底面是边长为 4 且∠DAB=60° 的菱形, AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,E 是 O1A 的中点. (1)求二面角 O1—BC-D 的大小; (2)求点 E 到平面 O1BC 的距离. 解 (1)∵OO1⊥平面 AC, ∴OO1⊥OA,OO1⊥OB,又 OA⊥OB, 建立如图所示的空间直角坐标系,

∵底面 ABCD 是边长为 4,∠DAB=60°的菱形, ∴OA=2 3 ,OB=2, 则 A(2 3 ,0,0),B(0,2,0),C( ? 2 3 ,0,0),O1(0,0,3) 设平面 O1BC 的法向量为 n1=(x,y,z) ,则 n1⊥ O1 B ,

???? ?

n ⊥ O1C ,
1

???? ?

?2y-3z=0 ∴? , ?-2 3x-3z=0
若 z=2,则 x=- 3,y=3, ∴n1=(- 3,3,2), 而平面 AC 的法向量 n2=(0,0,3) n1·2 n 6 1 1 ∴cos〈n1,n2〉= = = ,设 O1-BC-D 的平面角为 α,∴cosα= , |n1|· 2| 3×4 2 |n 2 ∴α=60° .故二面角 O1-BC-D 为 60° . (2)设点 E 到平面 O1BC 的距离为 d, ???? ? 3 ∵E 是 O1A 的中点,∴? EO1 =(- 3,0, ), 2 ???? ? 3 (- EO1 ? n1 |(- 3,0,2)· 3,3,2)| 3 则 d= = = 2 (- 3)2+32+22 n1 3 ∴点 E 到面 O1BC 的距离等于 . 2

11


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