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等差数列的前n项求和公式


等差数列的前 n 项求和公式 合肥十七中 刘学禄 教学目标 (1)知识目标:掌握等差数列前 n 项和公式及其推导方法,并能用公式解决一些简单 问题,学会由特殊到一般的数学思想方法。 (2)能力目标:通过公式的探索、发现,在知识的发生、发展过程中培养学生观察分 析综合逻辑推理能力,通过对公式不同角度、不同侧面的分析,培养学生思维的灵活性。 (3)德育目标:公式的发现反映了普遍性寓于特殊性中,通过本节课学习,培养学生 辩证唯物主义思想,对实际问题的解决,树立数学的应用意识。 教学重点 等差数列 n 项和公式及推导方法和简单运用。 教学难点 公式的推导 教学设计 (一)创立情景,引入课题 我们的生活中,数列无处不在。在前几堂课中我们已经学习了等差数列的定义,通项公 式,等差中项以及重要的性质:若 m+n= p+q,则 am+an=ap+ aq。。但在实际问题中,我们 不仅要知道数列的项是什么, 还要知道项的和是什么, 等差数列的各项和是一个很重要的问 题。这节课我们就来研究以下等差数列的求和公式。(板书) 先来看下面的具体问题。 1+2+3+……+100=? (高斯算数故事)

教师:要解决问题,首先要学会观察。这个问题可以看作是数列 1,2,3…..,100 的 求和,分析一下项与项之间的关系,我们不难发现以下规律: 解法 1 首项与末项的和: 1+100=101,

第 2 项与倒数第 2 项的和: 2+99=101, 第 3 项与倒数第 3 项的和: 3+98=101, · · · · · · 第 50 项与倒数第 50 项的和:50+51=101, 于是所求的和是: 101×50=5050 。

(指出高斯在 10 岁的时候就已经解决了这个问题)。 引导学生再利用倒序相加法解。 ∵S= 1 +2 +3+4+···+97 +98+99+100 , S=100+99+98+97+···+4 +3 +2 +1 , ∴2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+ ···+(97+4)+(98+3)+(99+2)+(100+1) =(1+100)×100 ∴S=(1+100)×100/2=5050 指导学生找出解题的原理:1+100=2+99=3+98=…=50+51 教师指出:在上面的解中,1,100 分别是首项和尾项,100 是项数。发现:等差数列 前 n 项和与首项,尾项,项数有关。从以上的例子出发,我们能不能得出求和公式的推导 方法呢? (二)讲授新课、公式推导 (1)明确概念设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn , 即 Sn=a1+a2+…+an-1+ an (2)提出课题学生思考如何推 Sn 的计算公式? (经过前面 1 个问题对难点的化解,学生自主探索,应可以比较快的得出结论). (3)教师指出文字表述及另一种表达方式 Sn=na1+n(n-1)d/2 (II)

并总结:都需已知 ,n,若已知末项 an,用(I)求解。若已知公差 d,用(II)求解 (三)讲练结合,深化目标 例 1 利用公式解决上述问题 解法 1:利用公式(I)(公式结构可与梯形面积公式相类比)。 解法 2:利用公式(II)(可将梯形截成平行四边形和三角形之和)(设计目的:对两 条公式的直观解释,从不同的角度加深理解。) 练习 (根据学生的基础特点,在第一课时先接触一些较基础的练习,促进对公式的熟悉) (1)1+2+3+…+n (2)1+3+5+…+(2n-1) (3)2+4+6+…+2n

(4)1-2+3-4+…+(2n-1)-2n (分析 2 种解法) 教师:在解题时,我们应仔细观察,寻找规律,往往会找到好的方法。并注意在运用 S n 公式时,要看清等差数列的项数,否则会引起错解。 例 2 等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和是 54?(已知 ,d,Sn 求 n,故用公式(I I)) (指出:在公式 an= +(n-1)d,(I),(II)中,共有 ,d,n, an,Sn 五个量,只要知道其中三个基 本量,就可求另外两个量) 思考 1 已知等差数列,a1+a2+a3=-18,a7+a8+a9=54,求 S9 (学生板演) 教师根据具体情况指出可以根据关系式列出方程解的, 体现了方程的思想。 特别指出可直接求 a1+a9 解。引导学生从整体的观点理解 Sn 公式。 思考 2 已知 a2+a4+a6+a8=3,求 。 思考 3 已知 a5=1.5,求 。 (四)总结提高,布置作业 1、小结(学生讨论完成) (1)倒序相加法求等差数列前 n 项和; (2)灵活选择公式解题(知三求二); (3)当条件不足以求 a1 与 d 时,要认真观察,灵活运用等差数列的有关性质,看能否 用整体的思想求解。 2、作业 (1)看书复习课文 ; (2)习题 23 2(1)(2)(3)(4); (3)思考题:(一)当公式 Sn=na1+n(n-1)d/2 中 d 非 O 时,Sn 是 n 的什么函数?如 何从函数的观点来认识 Sn?(二)考虑 Sn 的逆命题:已知数列的前 n 项和为 Sn,若 Sn= n(a1+an)/2,则{an}是否为等差数列?并说明理由。 (板书设计略) 课题 等差数列的前 n 项求和公式 1. 等差数列的前 n 项求和公式 ①. Sn=n(a1+ )/2 ②. Sn=na1+n(n-1)d/2 思考 1 思考 2 草 稿

2. 例 1 练习 例2

思考 3



4.总结提高,布置作业

3. 讲练结合,深化目标


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