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轴向拉伸与压缩


项目一
一、教学目的要求

轴向拉伸与压缩计算

1、能较熟练的分析拉(压)杆件的内力,绘制相应的轴 力图。 2、掌握正应力的概念;熟练地计算出各种变形时横截面 上应力。 3、掌握纵向线应变和横向线应变及虎克定律的计算方 法。 4、掌握拉(压)变形的强度计算。 二、重点难点 内力图的绘制 三、教学方法和手段 以讲授为主,使用电子课件 四、教学过程
1.重要概念 1)杆件变形的基本形式:轴向拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲 2)变形固体的概念:变形固体的性质比较复杂,在对构件进行强度、刚度和稳 定性计算时,为了简化起见,常略去材料的次要性质,并根据其主要性质作出假 设,将它们抽象为一种理想的力学模型,作为材料力学理论分析的基础。在材料 力学中对变形固体所作的基本假设有: 连续性假设、均匀性假设、各向同性假设、小变形假设 3)轴向拉伸与压缩的概念: 对构件产生作用的外界因素除载荷以及载荷引起的约束反力之外,还有温度 改变、支座移动、制造误差等。杆件在外力的作用下的变形可分为四种基本变形 及其组合变形。

作用于直杆两端的两个外力等值、反向,且作用线与杆的轴线重合,杆件产 生沿轴线方向的伸长(或缩短) 。这种变形形式称为轴向拉伸(或轴向压缩) ,这 类杆称为拉杆(或压杆) 。 4)内力的概念 构件的材料是有许多质点组成的。构件不受外力作用时,材料内部质点之间保持 一定的相互作用力,使构件具有固体形状。当构件受外力作用产生变形时,其内 部质点之间相互位置改变, 原有内力也发生变化。这种由外力作用而引起的受力 构件内部质点之间相互作用力的改变量成为附加内力,简称内力。 5)虎克定律 绝对变形与杆件的长度有关, 为去掉杆件原长对变形的影响,常用单位长度的变 形量来表示杆件的变形程度,称之为纵向线应变(或线应变) ,用 ? 表示 ? ? ?L L 在弹性范围内,变形与轴力及杆件的长度成正比,与杆件的横截面积成反比。这 一关系称为虎克定律。 6)材料在拉伸时的机械性质: 塑性材料拉伸时的机械性质有四个阶段:弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、缩颈 阶段 7)拉(压)杆的强度条件: ? ?
N ≤ ?? ? A

2.内力的求法——截面法 如图 8-4 所示的构件,在杆端沿杆的轴线作用着大小相等、方向相反的两个 力 F ,杆件处于平衡状态,求 m — m 断面上的 内力。 (1)为显示内力,用一假想截面将构件在

m—m
断面处切开,将构件分为 A 段和 B 段。任 意保留一段(如 A 段)为研究对象(图 8-4 b ) , 弃去另一段(如 B 段) 。 (2)在保留段 A 的 m — m 截面上,各处作用着内力,设这些内力的合力为

N ,它是弃去部分 B 对保留部分 A 的作用力。

(3)由于整个杆件原来处于平衡状态,所以截开后的任意一部分仍应保持 平衡,故可对保留部分 A 建立平衡方程。 ? Fx ? 0 , N ? F ? 0 故
(a)
8-4 轴向拉伸的内力计算

N?F

N 即是截面 m — m 上的内力。由作用和反作用公理可知,若保留 B 段研究,
也可得出同样的结果(见图 8-4 c ) 。式 (a) 称为内力方程,它反映了截面上的内 力 N 与该截面一侧外力间的关系。 拉压杆的内力 N 由于沿杆的轴线方向,故也称之为杆件横截面 m — m 上的 轴力。通常规定拉伸时轴力取正号(即轴力的箭头背离截面) ,压缩时轴力取负 号(即轴力的箭头指向截面) 。计算轴力时可设轴力为正,这样求出的轴力正负 号与变形保持一致。 上述利用假想截面将杆件切开,以显示并计算内力的方法,称为截面法。在 其他基本变形中,内力也都用此方法求得。 截面法求内力的步骤可归纳为: (1)截开:在欲求内力截面处,用一假想截面将构件一分为二。 (2) 代替:弃去任一部分,并将弃去部分对保留部分的作用以相应内力代替 (即显示内力)。 (3)平衡:根据保留部分的平衡条件,确定截面内力值。 3、轴力与轴力图 为了表示轴力随横截面位置的变化情况, 用平行于杆件轴线的坐标表示各横截 面的位置,以垂直于杆轴线的坐标表示轴力的数值,这样的图称为轴力图。 如图所示为一受拉杆,用截面法求 m-m 截面上的内力,取左段为研究对象:

由Σ X=0 解得

N-P=0 N=P

同样以右段为研究对象:

由Σ X=0 解得

N/-P=0 N/=P

由上可见 N 与 N/大小相等,方向相反,符合作用与反作用定律。由于内力的 作用线与轴线重合,故称轴力。其实际是横截面上分布内力的合力。 为了无论取哪段,均使求得的同一截面上的轴力 N 有相同的符号,则规定: 轴力 N 方向与截面外法线方向相同为正,即为拉力;相反为负,即为压力。 4.应力的概念: 分布内力在某点的处的集度,即为该点处的应力。 横截面上的正应力

假设: 平面假设 横截面上各点处仅存在正应力并沿截面均匀分布。

??

F FN ? A A

? FN:横截面上的轴力 ? ? A:横截面面积

拉应力为正,压应力为负。 对于等直杆 :当有多段轴力时,最大轴力所对应的截面-----危险截面。 危险截面上的正应力----最大工作应力

? max ?
5.拉压杆的变形及虎克定律

FN,max A

杆件在拉伸或压缩时长度发生改变,其改变量称为绝对变形,用 ?L 表示。设杆 L 件变形前的长度为 L ,变形后的长度为 1 ,则其绝对变形 ?L ? L1 ? L 显然,拉伸时绝对变形为正,压缩时绝对变形为负。

绝对变形与杆件的长度有关, 为去掉杆件原长对变形的影响,常用单位长度的变 形量来表示杆件的变形程度,称之为纵向线应变(或线应变) ,用 ? 表示 ? ? ?L L

? 为无量纲的量,其正负号取决于绝对变形。
实验证明:在弹性范围内,变形与轴力及杆件的长度成正比,与杆件的横截面积 成反比。这一关系称为虎克定律。可用下式表达 ?L ? NL EA 6.拉压杆的强度计算 由内力图可直观地判断出等直杆内力最大值所发生的截面,称为危险截面, 危险截面上应力值最大的点称为危险点。为了保证构件有足够的强度,其危险点 的有关应力需满足对应的强度条件。 极限应力、许用应力、安全系数 轴向拉(压)杆中的任一点均处于单向应力状态。塑性及脆性材料的极限应 o 力 ? 分别为屈服极限 ? s (或 ? 0.2 )和强度极限 ? b ,则材料在单向应力状态下的 破坏条件为

? ??o
材料的许用拉(压)应力

?? ? ?
拉(压)杆的强度计算

?o
n

式中, 称为安全系数。 n 一般塑性材料 n=1.3~2.0; 对脆性材料, n=2.0~3.5。 取

? max ?

FN,max ? ?? ? A

根据强度条件可进行强度计算: ①强度校核 (判断构件是否破坏) ②设计截面 (构件截面多大时,才不会破坏) ③求许可载荷 (构件最大承载能力) 五、教学建议 教学提示 ① 应引导学生了解反应材料力学性质的各种数据,学会查阅材料机械性能的有

关资料。 ② 利用习题讲解,使学生深刻理解轴力图、内力以及应力的概念及进行拉压杆 的强度计算。

六、布置作业 课后习题 2-12


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