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线面平行习题精选精讲.doc


1.已知直线 a ∥平面 ? ,直线 a ∥平面 ? ,平面 ?

平面 ? = b ,求证 a // b .

分析: 利用公理 4,寻求一条直线分别与 a,b 均平行,从而达到 a∥b 的目的.可借用已知条件中的 a∥α 及 a∥β 来 实现. 证明:经过 a 作两个平面 ? 和 ? ,与平面 ? 和 ? 分别相交于直线 c 和 d ,

∵ a ∥平面 ? , a ∥平面 ? , ∴ a ∥ c , a ∥ d ,∴ c ∥ d , 又∵ d ? 平面 ? , c ? 平面 ? , ∴ c ∥平面 ? ,

b c a ? ? d ? ?

又 c ? 平面 ? ,平面 ? ∩平面 ? = b ,∴ c ∥ b ,又∵ a ∥ c ,所以, a ∥ b .

平面BCD . 2.已知:空间四边形 ABCD 中, E , F 分别是 AB, AD 的中点,求证: EF // A
证明:连结 BD ,在 ?ABD 中, ∵ E , F 分别是 AB, AD 的中点, ∴ EF // BD , EF ? 平面BCD , BD ? 平面BCD ,
C B E D F

∴ EF // 平面BCD .
3、已知:空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、AD 的中点.求证:EF∥平面 BCD。 证明:连结 BD,在△ABD 中, ∵E、F 分别是 AB、AD 的中点 ∴ EF∥BD 又 EF ? 平面 BCD,BD ? 平面 BCD,

A E F D C

B 4 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有 一点P、Q,且AP=DQ.求证:PQ∥面BCE.

∴EF∥平面 BCD(直线和平面平行判定定理)

证法一:如图9-3-4(1),作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,连接MN,因为面ABCD∩面ABEF=AB,则AE=DB. 又∵AP=DQ,∴PE=QB. 又∵PM∥AB∥QN, ∴
PM PE QN BQ PM QN , .∴ . ? ? ? AB AE DC BD AB DC

∴PM∥QN.即四边形PMNQ为平行四边形. ∴PQ∥MN. 又∵MN ? 面BCE,PQ ? 面BCE,∴PQ∥面BCE. 证法二:如图9-3-4(2),连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K,连结EK.

∵AD∥BC,∴

DQ AQ ? . QB QK

又∵正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB,且AP=DQ, ∴
AQ AP ? .则PQ∥EK. QK PE

∴EK ? 面BCE,PQ ? 面BCE.∴PQ∥面BCE. 点拨:证明直线和平面平行的方法有:①利用定义采用反证法;②判定定理;③利用面面平行,证线面平行.其中 主要方法是②、③两法,在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线. 5 已知:如图9-3-6,面α 1∩面α 2=b,a∥面α 1,a∥面α 2.

求证:a∥b. 证法一:过直线a作两个平面β 1和β 2,使得平面β 1∩平面β 1=c,面β 2∩面α 2=d. ∵a∥面α 1,a∥面α 2,∴a∥c,a∥d. ∴c∥d.∵d ? 面α 2,c ? 面α 2. ∴c∥面α 2. 又∵c ? 面α 1,面α 1∩面α 2=b, ∴c∥b.∴a∥b. 证法二:经过a作一平面π ,使得平面π ∩面α 1=k,面π ∩面α 2=l. ∵a∥面α 1,a∥面α 2, ∴a∥k,a∥l,则k∥l∥a. ∵三个平面α 1、α 2、π 两两相交,交线分别为k、l、b且k∥l, ∴k∥l∥b,则a∥b. 证法三:在b上任取一点A,过A和直线a作平面和平面α 1相交于l1,和平面α 2相交于直线l2. ∵a∥面α 1,a∥面α 2, ∴a∥l1,a∥l2. ∵过一点只能作一条直线与另一直线平行, ∴l1与l2重合. 又∵l1 ? 面α 1,l2 ? 面α 2, ∴l1与l2重合于b. ∴a∥b. 点拨:证明直线与直线平行,有下列方法:(1)若a,b ? 面α ,且a∩b=○,则a∥b;(2)若α ∩β =a,β ∩γ =b,γ ∩α =c 且a∥b∥c;(3)若a∥b,b∥c,则a∥c;(4)若a∥α ;a ? β ,α ∩β =b,则a∥b. 6.P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证:PC∥面BDQ. .证明:如答图9-3-2,连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形,∴AO=OC.连结OQ,则OQ在平面BDQ内,且OQ是△APC的中位线,∴PC∥OQ. ∵PC在平面BDQ外,∴PC∥平面BDQ.

7.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证:(1)E、F、B、D 四点共面;(2)面AMN∥面EFBD. .证明:(1)分别连结B1D1、ED、FB,如答图9-3-3, 则由正方体性质得 B1D1∥BD. ∵E、F分别是D1C1和B1C1的中点, ∴EF∥ ∴EF∥
1 B1D1. 2 1 BD. 2

∴E、F、B、D对共面. (2)连结A1C1交MN于P点,交EF于点Q,连结AC交BD于点O,分别连结PA、QO. ∵M、N为A1B1、A1D1的中点, ∴MN∥EF,EF ? 面EFBD. ∴MN∥面EFBD. ∵PQ∥AO, ∴四边形PAOQ为平行四边形. ∴PA∥OQ. 而OQ ? 平面EFBD, ∴PA∥面EFBD. 且PA∩MN=P,PA、MN ? 面AMN, ∴平面AMN∥平面EFBD. 8 ? // ? ,线段 GH、GD、HE 交 ? 、 ? 于 A、B、C、D、E、F,若 GA=9,AB=12,BH=16, S ?AEC ? 72,求 S ?BFD 。
G

E
α

A

C

F
β

B

D

H

证明:

GD ? GH ? G ? AC // BD? ? ? ?EAC ? ?FBD HE ? HA ? H ? AE // BF ?
? AC GA 9 ? ? BD GB 21 ? BF HB 16 ? ? AE HA 28

AC∥BD

AE∥BF

S ?AEC S ?BFD

1 AC ? AE ? sin A 3 7 3 2 ? ? ? ? 1 7 4 4 BF ? BD ? sin B 2

∴ S BFD ? 96

9 正方形 ABCD 交正方形 ABEF 于 AB(如图所示)M、N 在对角线 AC、FB 上且 AM= FN。求证:MN //平面 BCE

证:过 N 作 NP//AB 交 BE 于 P,过 M 作 MQ//AB 交 BC 于 Q

CM QM ? AC AB

BN NP ? ? NP ? MQ BF EF
MQPN

又 ∵ NP // AB // MQ ?

MN // PQ ? ? ? MN // 面B C E PQ ? 面BCE?
PE CF ? FA 求证: EF // 面PCD 10. P 为 ABCD 所在平面外一点, E ? PB , F ? AC ,且 EB CF HF ? FB ∴ FA

. 证:连 BF 交 CD 于 H,连 PH

AB//CD

∴ ?ABF ∽ ?CFH

在 ?BPH 中

PE CF HF ? ? EB FA FB

? ? EF ? 面PCD? ? EF // 面PCD PH ? PCD ? ? ∴ EF // PH
P E A F D H B C

11 三个平面两两相交得三条直线,求证:这三条直线相交于同一点或两两平行. 已知:平面α ∩平面β =a,平面β ∩平面γ =b,平面γ ∩平面α =c. 求证:a、b、c 相交于同一点,或 a∥b∥c. 证明:∵α ∩β =a,β ∩γ =b ∴a、b ? β ∴a、b 相交或 a∥b. (1)a、b 相交时,不妨设 a∩b=P,即 P∈a,P∈b 而 a、b ? β ,a ? α ∴P∈β ,P∈α ,故 P 为α 和β 的公共点 又∵α ∩γ =c

由公理 2 知 P∈c ∴a、b、c 都经过点 P,即 a、b、c 三线共点. (2)当 a∥b 时 ∵α ∩γ =c 且 a ? α ,a ? γ ∴a∥c 且 a∥b ∴a∥b∥c 故 a、b、c 两两平行. 12 如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 在 AB1 上,F 在 BD 上,且 B1E=BF. 求证:EF∥平面 BB1C1C. 证法一:连 AF 延长交 BC 于 M,连结 B1M. ∵AD∥BC ∴△AFD∽△MFB ∴

AF DF ? FM BF

又∵BD=B1A,B1E=BF ∴DF=AE ∴

AF AE ? FM B1 E

∴EF∥B1M,B1M ? 平面 BB1C1C ∴EF∥平面 BB1C1C. 证法二:作 FH∥AD 交 AB 于 H,连结 HE ∵AD∥BC ∴FH∥BC,BC ? BB1C1C ∴FH∥平面 BB1C1C 由 FH∥AD 可得

BF BH ? BD BA

又 BF=B1E,BD=AB1 ∴

B1 E BH ? AB1 BA

∴EH∥B1B,B1B ? 平面 BB1C1C ∴EH∥平面 BB1C1C, EH∩FH=H ∴平面 FHE∥平面 BB1C1C EF ? 平面 FHE ∴EF∥平面 BB1C1C 说明:证法一用了证线面平行,先证线线平行.证法二则是证线面平行,先证面面平行,然后说明直线在其中一个 平面内.∴△END 的面积为

n 2 (m+p) 平方单位. m

13 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 N 在 BD 上,点 M 在 B1C 上,并且 CM=DN. 求证:MN∥平面 AA1B1B. 分析一:本题是把证“线面平行”转化为证“线线平行” ,即在平面 ABB1A1 内找一条直线与 MN 平行,除上面的证 法外,还可以连 CN 并延长交直线 BA 于点 P,连 B1P,就是所找直线,然后再设法证明 MN∥B1P. 分析二:要证“线面平行”也可转化为证“面面平行” ,因此,本题也可设法过 MN 作一个平面,使此平面与平面 ABB1A1 平行,从而证得 MN∥平面 ABB1A1. (本题证明请读者自己完成,本题中对转化思想的考查值得我们认真思考.)


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