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浙江省湖州市2015-2016学年高一(下)期末数学试卷(解析版)


2015-2016 学年浙江省湖州市高一(下)期末数学试卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1.若直线 l:y= x+2,则直线 l 的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 2.等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( ) A.1

B.2 C.3 D.4 3.已知 a,b,c 是不重合的三条直线,α,β 是不重合的两个平面,那么下列命题中正确的 是( ) A.若 a∥α,b∥α,则 a∥b B.若 a∥α,α∥β,则 a∥β C.若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b D.若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b 4.已知 a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是( ) A.若 a>b,则 ac2>bc2 C.若 a3>b3 且 ab<0,则 B.若 ,则 a>b D.若 a2>b2 且 ab>0,则 ,A=30°,则 c 的

5.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,并且 a=1,b= 值为( ) A.2 B.1 C.1 或 2 D. 或2

6.若实数 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=﹣x+2y 取最大值时的最优解是

( ) A. C. (﹣2,﹣1) B. (0,﹣1) (﹣1,﹣1) D. (﹣1,0) 7.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,下列结论错误的是( )

A.直线 BD1 与直线 B1C 所成的角为 B.直线 B1C 与直线 A1C1 所成的角为 C.线段 BD1 在平面 AB1C 内的射影是一个点 D.线段 BD1 恰被平面 AB1C 平分 8.已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项 am、an,使得 aman=16a12,则 + 的最小值为( )

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A.

B.

C.

D.不存在

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分 9.已知直线 l1:3x+4y﹣3=0 与直线 l2:6x+my+2=0 平行,则 m= . 10.某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体共有 条棱;该几何 3 cm . 体体积为

11.已知数列{an}满足 a1a2…an=n+1,则 a3= Sn 为数列{bn}的前 n 项和,则 Sn= 12.在△ABC 中, ? =2,∠BAC= + . ,则 S△ ABC= 的最小值为

;若数列{bn}满足 bn=



;若点 M 为△ABC .

内一动点,且 S△ AMC=1,

13.若对任意的 x∈R,不等式|x﹣3|+|x﹣a|≥3 恒成立,则 a 的取值范围为 . 14.在数列{an}中,若点(n,an)在经过点(5,3)的定直线 l 上,则数列{an}的前 9 项和 S9= . 15.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为 DD1 上一点,且 DE= DD1,F 是侧面 CDD1C1 上的动点,且 B1F∥平面 A1BE,则 B1F 与平面 CDD1C1 所成角的正切值的取值范围 是 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 acosC+ccosA=2bcosA. (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a=1,求 b+c 的取值范围. 17.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,AC 交 BD 于点 O, PD=PC= ,PB=2,M 为 PB 的中点. (1)求证:BD⊥平面 AMC; (2)求二面角 M﹣BD﹣C 平面角的大小.

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18.已知直线 l1:3x+4ay﹣2=0(a>0) ,l2:2x+y+2=0. (1)当 a=1 时,直线 l 过 l1 与 l2 的交点,且垂直于直线 x﹣2y﹣1=0,求直线 l 的方程; (2)求点 M( ,1)到直线 l1 的距离 d 的最大值. 19.已知函数 f(x)=x2+mx﹣1,m∈R. (1)若关于 x 的不等式 f(x)<0 的解集是{x|﹣2<x<n},求实数 m,n 的值; (2)若对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立,求实数 m 的取值范围. 20.设数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n﹣an(n∈N*) . (Ⅰ)求 a1,an; (Ⅱ)若 bn=n(2﹣n) (an﹣1) ,且对任意的正整数 n,都有 bn+ t≤t2,求实数 t 的取值范 围.

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2015-2016 学年浙江省湖州市高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1.若直线 l:y= x+2,则直线 l 的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 【考点】直线的倾斜角;直线的斜率. 【分析】根据直线的斜截式方程,得到直线的斜率,利用斜率和倾斜角之间的关系进行求解 即可. 【解答】解:由直线方程可知直线的斜率 k= , 设直线的倾斜角为 α,则 k=tan , 解得 α=60°, 故选:C. 2.等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

【考点】等差数列的通项公式. 【分析】设数列{an}的公差为 d,则由题意可得 2a1+4d=10,a1+3d=7,由此解得 d 的值. 【解答】解:设数列{an}的公差为 d,则由 a1+a5=10,a4=7,可得 2a1+4d=10,a1+3d=7,解 得 d=2, 故选 B. 3.已知 a,b,c 是不重合的三条直线,α,β 是不重合的两个平面,那么下列命题中正确的 是( ) A.若 a∥α,b∥α,则 a∥b B.若 a∥α,α∥β,则 a∥β C.若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b D.若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】根据直线与平面之间的位置关系,平面与平面之间的位置关系,分别进行判断,即 可得出结论. 【解答】解:对于 A,∵a∥α,b∥α,∴当 a,b 共面时,满足 a∥b 或 a,b 相交,当 a,b 不共面时,a 和 b 为异面直线,∴a 和 b 的关系是平行、相交或异面.即 A 不正确; 对于 B,若 a∥α,α∥β,则 a∥β 或 a? β.即 B 不正确; 对于 C,若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b 或相交或异面,即 C 不正确; 对于 D,若 a⊥α,b⊥α,根据垂直于同一平面的两条直线平行,可得 a∥b,正确. 故选:D. 4.已知 a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是( A.若 a>b,则 ac2>bc2 C.若 a3>b3 且 ab<0,则 B.若 ,则 a>b D.若 a2>b2 且 ab>0,则
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【考点】不等关系与不等式. 【分析】根据不等式的性质,对 A、B、C、D 四个选项通过举反例进行一一验证. 【解答】解:A.若 a>b,则 ac2>bc2(错) ,若 c=0,则 A 不成立; B.若 ,则 a>b(错) ,若 c<0,则 B 不成立; (对) ,若 a3>b3 且 ab<0,则

C.若 a3>b3 且 ab<0,则

D.若 a2>b2 且 ab>0,则 故选 C.

(错) ,若

,则 D 不成立.

5.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,并且 a=1,b= 值为( ) A.2 B.1 C.1 或 2 D. 或2

,A=30°,则 c 的

【考点】余弦定理. 【分析】由 a,b 及 cosA 的值,利用余弦定理即可列出关于 c 的方程,求出方程的解即可得 到 c 的值. 【解答】解:由 a=1,b= ,A=30°, 根据余弦定理 a2=b2+c2﹣2bccosA 得: 12=( )2+c2﹣2 c?cos30°, 化简得:c2﹣3c+2=0,即(c﹣1) (c﹣2)=0, 解得:c=1 或 c=2, 则 c 的值为 1 或 2. 故选 C

6.若实数 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=﹣x+2y 取最大值时的最优解是

( ) A. (﹣2,﹣1) B. (0,﹣1)

C. (﹣1,﹣1) D. (﹣1,0)

【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定 z 的最大值时的最优解. 【解答】解:解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) 由 z=﹣x+2y 得 y= x+ z, 平移直线 y= x+ z, 由图象可知当直线 y= x+ z 经过点 B 时,直线 y= x+ z 的截距最大, B(﹣1,0) ;所以目标函数 z=﹣x+2y 取最大值时的最优解是(﹣1,0) ;
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故选:D.

7.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,下列结论错误的是(



A.直线 BD1 与直线 B1C 所成的角为 B.直线 B1C 与直线 A1C1 所成的角为 C.线段 BD1 在平面 AB1C 内的射影是一个点 D.线段 BD1 恰被平面 AB1C 平分 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】利用正方体的性质结合三垂线定理进行判断分析. 【解答】解:因为已知为正方体,由三垂线定理得到直线 BD1 与平面 AB1C 垂直,所以直 线 BD1 与直线 B1C 垂直;故 A 正确; 因为三角形 AB1C 是等边三角形, 并且 AC∥A1C1, 所以直线 B1C 与直线 A1C1 所成的角为 正确; 因为直线 BD1 与平面 AB1C 垂直,所以线段 BD1 在平面 AB1C 内的射影是一个点;正确; 利用正方体的对称性,线段 BD1 被平面 AB1C 和平面 A1DC1 分成 3 等分,且交点不重合; 故 D 错误; 故选 D.

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8.已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项 am、an,使得 aman=16a12,则 + 的最小值为( A. B. ) C. D.不存在

【考点】等比数列的通项公式;基本不等式. 【分析】设{an}的公比为 q(q>0) ,由等比数列的通项公式化简 a7=a6+2a5,求出 q,代入 2 aman=16a1 化简得 m,n 的关系式,由“1”的代换和基本不等式求出式子的范围,验证等号成 立的条件,由 m、n 的值求出式子的最小值. 【解答】解:设正项等比数列{an}的公比为 q,且 q>0, 由 a7=a6+2a5 得:a6q=a6+ ,

化简得,q2﹣q﹣2=0,解得 q=2 或 q=﹣1(舍去) , 因为 aman=16a12,所以 则 qm+n﹣2=16,解得 m+n=6, 所以 = (m+n) ( )= (10+ )≥ = , =16a12,

当且仅当

时取等号,此时

,解得



因为 m n 取整数,所以均值不等式等号条件取不到,则 验证可得,当 m=2、n=4 时, 故选:C. 取最小值为 ,

> ,

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分 9.已知直线 l1:3x+4y﹣3=0 与直线 l2:6x+my+2=0 平行,则 m= 8 . 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系. 【分析】由直线 3x+4y﹣3=0 与直线 6x+my+2=0 平行,得到关于 m 的方程,解出即可. 【解答】解:∵直线 3x+4y﹣3=0 与直线 6x+my+2=0 平行, ∴ = ≠ ,∴m=8,

故答案为:8. 10.某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体共有 8 条棱;该几何体体积 3 为 1 cm .

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【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图可知:该几何体为四棱锥,底面为直角梯形,其中左侧面、后侧面与底面 垂直.利用体积计算公式即可得出. 【解答】解:由三视图可知:该几何体为四棱锥,底面为直角梯形,其中左侧面、后侧面与 底面垂直. ∴该几何体的体积= 故答案为:8;1 ×1×2=1cm2.

11.已知数列{an}满足 a1a2…an=n+1,则 a3= 列{bn}的前 n 项和,则 Sn= 【考点】数列的求和. an= 【分析】 求得 a1=2, 运用当 n>1 时, ﹣ .

;若数列{bn}满足 bn=

,Sn 为数

an, , 可得 a3; 求得 bn=

=

,运用数列的求和方法:裂项相消求和,即可得到所求和.

【解答】解:由 a1a2…an=n+1,可得: a1=2,a1a2=3,可得 a2= , a1a2a3=4,可得 a3= ; 当 n>1 时,an= 上式对 n=1 也成立; 则 bn= = = = ﹣ , =



可得 Sn=b1+b2+…+bn=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ = .

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故答案为: ,



12.在△ABC 中, 点,且 S△ AMC=1,

?

=2,∠BAC= +

,则 S△ ABC=

;若点 M 为△ABC 内一动 .

的最小值为

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由条件,根据向量数量积的计算公式便有 而 ,根据基本不等式即可得出

,进而得出 S△ AMB=1,从 ,从而可

以得出

,这样根据基本不等式即可求出要求的最小值.

【解答】解:根据题意: ∴ ∴ 又 S△ AMB=1; ∴ ∴ ∴ ∴S△ AMB?S△ CMB≤ ∴ ; ; ; ; ; ;

=





∴ ∴ 故答案为: 的最小值为 . .



13.若对任意的 x∈R,不等式|x﹣3|+|x﹣a|≥3 恒成立,则 a 的取值范围为 {a|a≤0 或 a ≥6} . 【考点】绝对值三角不等式. 【分析】由绝对值的代数意义确定出不等式左边的最小值为|a﹣3|,求出|a﹣3|≥3 的解集 即可确定出 a 的范围.

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【解答】解:由绝对值的代数意义得:不等式|x﹣3|+|x﹣a|表示在数轴上表示 x 的点到表 示 3 与表示 a 的点距离之和, 其最小值为|a﹣3|, ∵对任意的 x∈R,不等式|x﹣3|+|x﹣a|≥3 恒成立, ∴|a﹣3|≥3,即 a﹣3≥3 或 a﹣3≤﹣3, 解得:a≤0 或 a≥6, 则 a 的取值范围为{a|a≤0 或 a≥6}, 故答案为:{a|a≤0 或 a≥6} 14.在数列{an}中,若点(n,an)在经过点(5,3)的定直线 l 上,则数列{an}的前 9 项和 S9= 27 . 【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】根据点(n,an)在定直线 l 上得到数列为等差数列,设出等差数列的通项,把(5, 3)代入即可求出 a5 的值,根据等差数列的前 n 项和的公式及性质即可求出 S9 的值. 【解答】解:∵点(n,an)在定直线 l 上, ∴数列{an}为等差数列. ∴an=a1+(n﹣1)?d. 将(5,3)代入,得 3=a1+4d=a5. ∴S9= =9a5=3×9=27.

15.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为 DD1 上一点,且 DE= DD1,F 是侧面 CDD1C1 上的动点, 且 B1F∥平面 A1BE, 则 B1F 与平面 CDD1C1 所成角的正切值的取值范围是 [ , ] . 【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 【分析】分别在 CC1、C1D1 上取点 N、M,使得 , ,连接 B1N、

B1M,可证明平面 MNB1∥平面 A1BE,由 B1F∥平面 A1BE 知点 F 在线段 MN 上,易证∠ B1FC1 为 B1F 与平面 CDD1C1 所成角,tan∠B1FC1═ 值、最小值,从而可得答案. 【解答】解:如图:分别在 CC1、C1D1 上取点 N、M,使得 , , ,设出棱长,可求得 C1F 的最大

连接 B1N、B1M,则 MN∥CD1, ∵BC∥AD,BC=AD,AD∥A1D1,AD=A1D1,∴BC∥A1D1,BC=A1D1, ∴四边形 BCD1A1 为平行四边形,则 CD1∥BA1, ∴MN∥BA1, ∵ ,DE= DD1,∴NE∥C1D1,NE=C1D1,

又 C1D1∥A1B1,C1D1=A1B1,
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∴NE∥A1B1,NE=A1B1, ∴四边形 NEA1B1 为平行四边形,则 B1N∥A1E, 且 MN∩B1N=N, ∴平面 MNB1∥平面 A1BE, ∵B1F∥平面 A1BE,点 F 必在线段 MN 上, 连接 C1F,∵B1C1⊥平面 CDD1C1,∴∠B1FC1 即为 B1F 与平面 CDD1C1 所成角, 设正方体棱长为 3,则 C1N=C1M=2,当 F 为 MN 中点时,C1F 最短为 , 当 F 与 M 或 N 重合时,C1F 最长为 2, tan∠B1FC1= 故答案为:[ , ]. ∈[ , ],即所求正切值的取值范围是[ , ].

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 acosC+ccosA=2bcosA. (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a=1,求 b+c 的取值范围. 【考点】正弦定理;三角函数中的恒等变换应用. 【分析】 (Ⅰ)利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简 acosC+ccosA=2bcosA,结合三 角形的内角和,求解 A 即可. (Ⅱ)通过余弦定理以及基本不等式求出 b+c 的范围,再利用三角形三边的关系求出 b+c 的 范围. 【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (Ⅰ)在△ABC 中,因为 acosC+ccosA=2bcosA, 所以 sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA,即 sin(A+C)=2sinBcosA. 因为 A+B+C=π, 所以 sin(A+C)=sinB. 从而 sinB=2sinBcosA.… 因为 sinB≠0, 所以 cosA= . 因为 0<A<π,
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所以 A=

.…

(Ⅱ)由余弦定理得,a2=b2+c2﹣2bccosA, 则 1=b2+c2﹣bc, ∴(b+c)2﹣3bc=1, 即 3bc=(b+c)2﹣1≤3[ (b+c)]2, 化简得, (b+c)2≤4(当且仅当 b=c 时取等号) , 则 b+c≤2,又 b+c>a=1, 综上得,b+c 的取值范围是(1,2].… 17.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,AC 交 BD 于点 O, PD=PC= ,PB=2,M 为 PB 的中点. (1)求证:BD⊥平面 AMC; (2)求二面角 M﹣BD﹣C 平面角的大小.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1)连结 OM,推导出 BD⊥AC,BD⊥OM,由此能证明 BD⊥平面 AMC. (2)由 MO⊥BD,CO⊥BD,得∠MOC 是二面角 M﹣BD﹣C 的平面角,由此能求出二面 角 M﹣BD﹣C 平面角. 【解答】证明: (1)连结 OM, ∵在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,AC 交 BD 于点 O, PD=PC= ,PB=2,M 为 PB 的中点, ∴BD⊥AC,且 O 是 BD 中点,∴OM∥PD, BD= = = ,

∴BD2+PD2=PB2,∴BD⊥PD,∴BD⊥OM, ∵AC∩OM=O,∴BD⊥平面 AMC, 解: (2)∵MO⊥BD,CO⊥BD, ∴∠MOC 是二面角 M﹣BD﹣C 的平面角, ∵M 为 PB 的中点,O 是 BD 中点,∴MO= CO= = , ,

cos∠PBC=

=



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=

,解得 MC=



∴MO=CO=MC=



∴∠MOC=60°, ∴二面角 M﹣BD﹣C 平面角为 60°.

18.已知直线 l1:3x+4ay﹣2=0(a>0) ,l2:2x+y+2=0. (1)当 a=1 时,直线 l 过 l1 与 l2 的交点,且垂直于直线 x﹣2y﹣1=0,求直线 l 的方程; (2)求点 M( ,1)到直线 l1 的距离 d 的最大值. 【考点】点到直线的距离公式;两条直线的交点坐标. 【分析】 (1)联立两个直线解析式先求出 l1 和 l2 的交点坐标,然后利用直线与直线 x﹣2y ﹣1=0 垂直,根据斜率乘积为﹣1 得到直线 l 的斜率,写出直线 l 方程即可; (2)由直线 l1 过定点,把点 M 到直线 l1 的距离 d 的最大值转化为两点间的距离求解. 【解答】解: (1)当 a=1 时,直线 l1:3x+4y﹣2=0,l2:2x+y+2=0, 则 ,解得交点(﹣2,2) .

又由直线 l 垂直于直线 x﹣2y﹣1=0,则直线 x﹣2y﹣1=0 的斜率 ∵两直线垂直得斜率乘积为﹣1, 得到 kl=﹣2. ∴直线 l 的方程为 y﹣2=﹣2(x+2) ,即 2x+y+2=0. (2)直线 l1:3x+4ay﹣2=0(a>0)过定点 N( 又 M( ) , ) ,



∴点 M 到直线 l1 的距离 d 的最大值为|MN|=



19.已知函数 f(x)=x2+mx﹣1,m∈R. (1)若关于 x 的不等式 f(x)<0 的解集是{x|﹣2<x<n},求实数 m,n 的值; (2)若对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立,求实数 m 的取值范围. 【考点】一元二次不等式的解法;二次函数的性质.

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【分析】 (1)根据题意,根据不等式与对应方程的关系,利用根与系数的关系即可求出 m、 n 的值; (2)根据题意得出 ,解不等式组即可.

【解答】解: (1)根据题意,关于 x 的不等式 x2+mx﹣1<0 的解集是{x|﹣2<x<n}, 所以方程 x2+mx﹣1=0 的实数根为﹣2 和 n, 由根与系数的关系得 ,

m= ,n= ; (2)对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立, 可得 ,

解得﹣

<m<0, ,0) .

即实数 m 的取值范围是(﹣

20.设数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n﹣an(n∈N*) . (Ⅰ)求 a1,an; (Ⅱ)若 bn=n(2﹣n) (an﹣1) ,且对任意的正整数 n,都有 bn+ t≤t2,求实数 t 的取值范 围. 【考点】数列递推式. 【分析】 (I)设 Sn=a1+a2+a3+…+an=n﹣an(n∈N*) .n=1 时,a1=1﹣a1,解得 a1.n≥2 时, an=Sn﹣Sn﹣1,变形利用等比数列的通项公式即可得出. (II)bn=n(2﹣n) (an﹣1)=(n﹣2)× ,对 n 分类讨论,利用数列的单调性与一元

二次不等式的解法即可得出. 【解答】解: (I)设 Sn=a1+a2+a3+…+an=n﹣an(n∈N*) . ∴a1=1﹣a1,解得 a1= . n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n﹣an﹣(n﹣1﹣an﹣1) ,化为:2an=an﹣1+1, 变形为:an﹣1= (an﹣1﹣1) , ∴数列{an﹣1}是等比数列,首项为 ∴an﹣1= ∴an=1﹣ × .
第 14 页(共 16 页)

,公比为 .



(II)bn=n(2﹣n) (an﹣1)=(n﹣2)× 可得:b1=﹣ ,b2=0,b3= , n≥3 时,bn>0,bn+1﹣bn=



﹣(n﹣2)×

=

×



∴n=3 时,b3=b4,n≥4 时,bn+1<bn,此时数列{bn}单调递减, 因此 n=3 或 4 时,bn 取得最大值 . ∵对任意的正整数 n,都有 bn+ t≤t2, ∴(bn)max ∴ 解得 或 t≤ , ,化为:8t2﹣2t﹣1≥0, . ∪ .

∴实数 t 的取值范围是

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2016 年 8 月 20 日

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