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高三数学等比数列与数列求和综合题


高三数学等比数列与数列求和综合题 1.设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S4=5S2,则 的值为( C )

A.﹣2 或﹣1 B.1 或 2 C.±2 或﹣1 D.±1 或 2 2.已知 x,y,z∈R,若﹣1,x,y,z,﹣4 成等比数列,则 xyz 的值为( C ) A.﹣4 B.±4 C.﹣8 D.±8 3.设等比数列{an}的前 n 项积

Pn=a1?a2?a3?…?an,若 P12=32P7,则 a10 等于( ) A.16 B.8 C.4 D.2 由题意,∵ P12=32P7,∴ a1?a2?a3?…?a12=32a1?a2?a3?…?a7, 5 ∴ a8?a9?…?a12=32,∴ (a10) =32,∴ a10=2. * 4.设数列{an}的首项为 m, 公比为 q (q≠1) 的等比数列, Sn 是它的前 n 项的和, 对任意的 n∈N , 点(an, )在直线( B )上. B.qx﹣my+m=0 C.mx+qy﹣q=0 D.qx+my+m=0

A.qx+my﹣q=0

解:∵ 数列{an}的首项为 m,公比为 q(q≠1)的等比数列, ∴ an=mq
n﹣1

,Sn=





=1+q ,
n﹣1

n

∴ q?=mq

﹣m(1+q )+m=0, )在直线 qx﹣my+m=0 上.

n

∴ 点(an,

5.各项都是正数的等比数列{an}的公比 q≠1 且 a3、a5、a6 成等差数列,则

=( D )

A.

B.

C.

D.

6.已知正项等比数列{an}满足 a2014=a2013+2a2012,且 an am =4a1,则 6( 为( )A.

1 1 + )的最小值 m n

2 3

B.2

C.4

D.6

7.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a3= A.4 ﹣1 B.4 C.2 ﹣1 解:设等比数列{an}的公比为 q, ∴ q= = ,
n n﹣1 n

,则

=( C )

D.2

n﹣1

∴ a1+a3=a1(1+q )=a1(1+ )= ,解得 a1=2, ∴ an=2× = ,

2

Sn=



∴ =

=2 ﹣1
*

n

8.已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N ) ,且 a2+a4+a6=9,则 是( A ) A.﹣5 B. C .5 D.

(a5+a7+a9)的值

解:∵ log3an+1=log3an+1 ∴ an+1=3an ∴ 数列{an}是以 3 为公比的等比数列, 2 4 ∴ a2+a4+a6=a2(1+q +q )=9 2 4 3 2 4 3 5 ∴ a5+a7+a9=a5(1+q +q )=a2q (1+q +q )=9×3 =3

9.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2n=4(a1+a3+…+a2n﹣1) ,a1a2a3=27,则 a6=( C ) A.27 B.81 C.243 D.729 3 解:利用等比数列的性质可得,a1a2a3=a2 =27 即 a2=3 因为 S2n=4(a1+a3+…+a2n﹣1) 所以 n=1 时有,S2=a1+a2=4a1 从而可得 a1=1,q=3 5 所以,a6=1×3 =243 10.设数列{an}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,{bn}是以 1 为首项,2 为公比的等比数 列,则 A.78 B.84 等于( D ) C.124 D.126

11.现有数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 ,且对任意的 m,n∈N*都有: am?n ? am ? an ? mn ,则

1 1 1 ? ? ? a1 a2 a3

?

1 a2014
2

?(

)A.

2014 2015

B.

2012 1007

C.

2013 2014

D.

4028 2015

12 .已知函数 f (n) ? n cos(n? ) ,且 an ? f ( n) ? f ( n? 1),则 a1 ? a2 ? a3 ? ( B )A.0 B. ?100 C.100 D.10200

? a100 ?

2 13. 已知数列 {an } 的通项公式是 an ? n sin(

2n ? 1 ? ) , 则a1 ? a2 ? a3 ? 2

? a2014 ? (

)

A.

2013 ? 2013 2

B. 2013 ? 1007

C. 2014 ? 1007

D. 2015 ? 1007

2 化简可得: an ? n sin(

2n ? 1 ? )? ? n 2 sin( ? n? ) ,当 n=2k-1 时, a2k ?1 ? ?(2k ?1)2 ,当 2 2

n=2k 时, a2k ? (2k )2 ? 4k 2 ,∴ a2k ?1 ? a2k ? ?(2k ?1)2 ? 4k 2 ? 4k ?1 ,所以

a1 ? a2 ? a3 ?

? a2014 ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a2 )

? (a2013 ? a2014 ) ? (4 ?1 ?1) ? (4 ? 2 ?1) ? …+(4 ?1007 ?1)

=4 ?

1+1007 ?1007-1007=1007 ? 2015 . 2

14 .正项等比数列 ?an ? 满足 a2 a4 ? 1 , S3 ? 13 , bn ? log3 an ,则数列 ?bn ? 的前 10 项和 是 。 ???

15 . 已 知 数 列

?an ? 是 等 比 数 列 , 其 前 n 项 和 为 S
.

n

. 若 S10 ? 20 , S20 ? 60 , 则

S30 = S10
【答案】 7 16 . 设 a1 , a2 ,

, a1o成等比数列,且a1a2
X 1 ? ,则 Y a10
?
2

a1o ? 32 记 X ? a1 ? a2 ?

? a10 ,

Y?

1 1 ? ? a1 a2

?

17.化简 1 ?

1 1 ? ? 1? 2 1? 2 ? 3

1 1? 2 ?3 ?

?n

的结果是



2n 2n ? 1

2 18 . 已 知 数 列 {a n } 满 足 an ? an?1an?1 (n ? N * , n ? 2) , 若

1 1 1 ? ? ? 1, a 4 a 6 ? 4 , 则 a 4 a5 a6

a 4 ? a5 ? a6 ? _____.
【答案】4 19.设 S n ? 【答案】6 20.若数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? n 2 ? 2n ,若 bn ?

1 1 1 1 3 ? ? ??? , 且S n ? S n ?1 ? ,则 n 的值为 2 6 12 n(n ? 1) 4

2 ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 (2n ? 1)a n

Tn ,则使 Tn ?
【答案】5

9 成立的最小正整数 n 的值为 10
*

21.已知等比数列{an}中, a5+2a4=a2a4, 前 2m (m∈N ) 项和是前 2m 项中所有偶数项和的 倍. (Ⅰ )求通项 an; * (Ⅱ )已知{bn}满足 bn=(n﹣λ)an(n∈N ) ,若{bn}是递增数列,求实数 λ 的取值范围. 解: (Ⅰ )设公比为 q,则 ∵ 前 2m(m∈N )项和是前 2m 项中所有偶数项和的 倍,
*



=



∴ q=2, ∵ 等比数列{an}中,a5+2a4=a2a4, 4 3 3 ∴ a1q +2a1q =a1q?a1q , ∴ a1=2, n ∴ an=2 ; (Ⅱ )bn=(n﹣λ)2 ,则 ∴ λ<n, ∴ λ≤1. 22.已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,且 S3= ,S6= ,bn=λan﹣n .
2 n

=

>1,

(Ⅰ )求数列{an}的通项公式 an; (Ⅱ )若数列{bn}是单调递减数列,求实数 λ 的取值范围. 解: (Ⅰ )∵ S3= ,S6= ∴ q≠1, ∴ 得:1+q = , ∴ q=﹣ ,a1=2. ∴ an=2× (Ⅱ )∵ bn=λan﹣n , ∴ bn=2λ ﹣n ,
* 2 2 3



= ,

=





由题意可知对任意 n∈N ,数列{bn}单调递减, ∴ bn+1<bn,

即 2λ

﹣(n+1) <=2λ <2n+1 对任意 n∈N 恒成立,
*

2

﹣n ,

2

即 6λ

当 n 是奇数时,λ>﹣ 1; 当 n 是偶数时,λ< 综上可知,﹣1<λ<

,当 n=1 时,﹣

取得最大值﹣1,故 λ>﹣

,当 n=2 时, ,即实数 λ 的取值范围是(﹣1,

取得最小值 ) .

,故 λ<



23.已知等比数列{an}的公比大于零,a1+a2=3,a3=4,数列{bn}是等差数列,bn= c≠0 是常数.



(1)求 c 的值,数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}满足:c1=1,cn﹣cn﹣1=an﹣1(n≥2) ,求数列{cn}的通项公式及使得 cn﹣2bn≥0 成立的 n 的取值范围. 解: (1)∵ 数列{bn}是等差数列,且 bn= ∴ bn= =n+t,则 n +n=n +(t+c)n+tc,
2 2



即 t+c=1,且 tc=0, 又 c≠0, ∴ t=0,则 c=1. ∴ bn=n. 设等比数列{an}的公比为 q(q>0) , 由 a1+a2=3,a3=4,得: ,解得 .





(2)∵ cn﹣cn﹣1=an﹣1(n≥2) , ∴ 则 (n≥2) ,

… (n≥2) .

累加得: 又 c1=1, ∴ (n≥2) .

=



当 n=1 时满足, ∴ .
n﹣1

由 cn﹣2bn≥0,得 2 ﹣2n≥0, n﹣1 令 f(n)=2 ﹣2n, n n﹣1 n﹣1 则 f(n+1)﹣f(n)=2 ﹣2(n+1)﹣2 +2n=2 ﹣2, 当 n≥2 时 f(n)单调递增. 又 f(1)<0,f(2)<0,f(3)<0,f(4)=0. ∴ n≥4. 故使得 cn﹣2bn≥0 成立的 n 的取值范围是[4,+∞) . 24.已知数列{an}为等比数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a1+a4=﹣ Sn,Sn+2,Sn+1 成等差数列; (Ⅰ )求数列{an}的通项公式; (Ⅱ )已知 bn=n(n∈N+) ,记 ﹣1)对于 n≥2 恒成立,求实数 m 的范围. 解: (Ⅰ )设等比数列{an}的公比为 q, ∵ 对于任意的 n∈N+有 Sn,Sn+2,Sn+1 成等差, ∴ 2 整理得: ∵ a1≠0,∴ ,2+2q+2q =2+q. ∴ 2q +q=0,又 q≠0,∴ q= 又 把 q= 所以, (Ⅱ )∵ bn=n, ,∴ 代入后可得 . ; ,
2 2

,且对于任意的 n∈N 有

*

,若(n﹣1) ≤m(Tn﹣n

2

. .

. ,









=


2



若(n﹣1) ≤m(Tn﹣n﹣1)对于 n≥2 恒成立, 2 n+1 则(n﹣1) ≤m[(n﹣1)?2 +2﹣n﹣1]对于 n≥2 恒成立, 2 n+1 也就是(n﹣1) ≤m(n﹣1)?(2 ﹣1)对于 n≥2 恒成立, ∴ m≥ 对于 n≥2 恒成立,







=

∴ f(n)为减函数,∴ f(n)≤f(2)=



∴ m


2

所以, (n﹣1) ≤m(Tn﹣n﹣1)对于 n≥2 恒成立的实数 m 的范围是[

) .

25.已知各项均不相等的等差数列{an}的前 5 项和 S5=35,又 a1+1,a3+1,a7+1 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Tn 为数列 的前 n 项和,问是否存在常数 m,使 ,

若存在,求 m 的值;若不存在,说明理由. 解: (1)∵ a1+1,a3+1,a7+1 成等比数列 ∴ ∴ 整理可得,a1+1=2d① ∵ s5=5a1+10d=35② 联立① ② 可得,a1=3,d=2 ∴ an=3+2(n﹣1)=2n+1 (2)由(1)可得,sn= =n(n+2)

∴ ∴ = = ∵ ∴ 整理可得,m=

=

×

=

∴ 存在常数 m= ,使 26 . 设 各 项 为 正 数 的 数 列
2

成立

?an ?

的 前 n 和 为 Sn , 且 Sn 满

2 2 足: Sn ? (n ? n ? 3)Sn ? 3(n ? n) ? 0, n ? N? .等比数列 ?bn ?满足: log 2 bn ?

1 an ? 0 . 2

(Ⅰ)求数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式;(Ⅱ)设 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ?的前 n 项的和 Tn ; (Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ? ??? ? ? a1 (a1 ? 1) a2 (a2 ? 1) an (an ? 1) 3

当 n ? 1 时, S1 ? S1 ? 6 ? 0, 即 ?S1 ? 3??S1 ? 2? ? 0 ,又 S1 ? 0 ,? S1 ? 2 ,即 a1 ? 2
2

当 n ? 2 时, ?Sn ? 3? Sn ? n2 ? n ? 0 ,又 Sn ? 0 ,? Sn ? n2 ? n 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n 又 a1 ? 2 ? 2 ?1 ? an ? 2n 由 log 2 bn ?

?

?

1 ?1? an ? 0 ,得 bn ? ? ? 2 ?2?
n ?1

n

?1? cn ? anbn ? n? ? ? 2?
0

?1? ?1? ?1? ?1? Tn ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ?n ? 1?? ? ? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2?
1 2 3

1

2

n ?2

?1? ? n?? ? ? 2?

n ?1

?? (1)
n

1 ?1? ?1? ?1? ?1? Tn ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ?n ? 1?? ? ? 2 ? 2? ? 2? ? 2? ? 2?

n ?1

?1? ? n ? ? ? ?? (2) ? 2?

1 1 1 1 1 (1) ? ( 2) 得 Tn ? 1 ? ( )1 ? ( ) 2 ? ? ? ? ? ( ) n ?1 ? n ? ( ) n ? 2 2 2 2 2

1 1 ? ( )n 2 ? n ? ( 1 )n 1 2 1? 2

1 ?Tn ? 4 ? ( ) n ?1 (n ? 2) .............................................9 分 2 k k 3 1 3 2 2 ? (k ? )( k ? ) (Ⅲ)当 k ? N ? 时 k ? ? k ? ? 2 2 16 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? [ ? ] ak (ak ? 1) 2k (2k ? 1) 4 k (k ? 1 ) 4 (k ? 1 )(k ? 3 ) 4 k ? 1 (k ? 1) ? 1 2 4 4 4 4

?

1 1 1 ? ? ??? ? a1 (a1 ? 1) a2 (a2 ? 1) an (an ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? )?( ? ) ? ??? ? ( ? )] 1 1 1 1 4 1? 1 2 ? 1 2? 3? n? n ?1? 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 ? ( ? )? ? ? ... 4 1? 1 n ?1? 1 3 4n ? 3 3 4 4


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