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2.2直线、平面平行的判定及其性质


2.2 直线、平面平行的 判定及其性质

主要内容
2.2.1 直线与平面平行的判定 2.2.2 平面与平面平行的判定 2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与平面平行的性质

2.2.1 直线与平面平行的 判定

复习 直线和平面的位置关系 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以 下三种:

(1)直线在平面内——有无数个公共点. (2)直线和平面相交——有且只有一个公共点. (3)直线和平面平行——无公共点. 直线和平面相交或平行的情况统称为直线在 平面外.

直线和平面的三种位置关系的画法

直线在平面内

直线与平面相交

直线与平面平行

观察 若将一本书平放在桌面上,翻动书的封面, 观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有 怎样的位置关系?

l

直线和平面平行
思考 如图,设直线b在平面α内,直线a在平面 α外,猜想在什么条件下直线a与平面α平行.

a

a//b
α
b

直线和平面平行
判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条 直线平行,那么这条直线和这个平面平行.

b

?

判定定理的证明
? a ?? b ? 已知: ,
求证: a // ?

a // b ,
b

证明:因为a // b
所以经过a、b确定一个平面?. 因为 a?? ,而a?? , 所以? 与?是两个不同的平面. 因为b??,b? ? 所以 ???=b

?

未完

判定定理的证明

下面用反证法证明a与?没有公共点:
假设a与?有公共点P??,而???=b,得P?b, 所以 点P是a、b的公共点,这与a//b矛盾. 所以a//?

例1 求证:空间四边形相邻两边中点的 连线,平行于经过另外两边的平面.
E、F 分别是 AB、AD 已知:空间四边形 ABCD 中, 的中点.

求证: EF //平面 BCD . 证明:连结 BD .

? EF // BD

AE ? EB ? ? AF ? FD?

? ? 又EF ? 平面BCD? BD ? 平面BCD ? ?

? EF // 平面BCD

例2 在长方体ABCD—A1B1C1D1中. (1)作出过直线AC且与直线BD1平行的截面,并 说明理由. (2)设E、F分别是A1B和B1C的中点,求证直线 EF//平面ABCD. D1 C1 M A1 D B1 F C H B

E
A G

小结
直线与平面平行的判定定理可简述为

“线线平行,则线面平行”
思想方法 通过直线间的平行,推证直线与平面平 行,即将直线与平面的平行关系(空间问题) 转化为直线间的平行关系(平面问题).

作业
P55-56练习1,2 P62 习题2.2 A组 3,4

2.2.2

平面与平面平行的判定

思考1: 我们知道,两个平面的位置关系是平行或 相交.
? ?

问:对于两个平面α、β,你猜想在什么条件 下可保证平面α与平面β平行?

思考2 1.三角板的一条边所在直线 与桌面平行,这个三角板所在平 面与桌面平行吗? 2. 三角板的两条边所在 直线分别与桌面平行,三角 板所在平面与桌面平行吗?

A

A

思考3 1.一般地,如果平面α内有一条直线平行 于平面β,那么平面α与平面β一定平行吗? 2. 如果平面α内有两条直线平行于平面β, 那么平面α与平面β一定平行吗? α β

两个平面平行的判定
判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

平面平行的判定定理的证明 已知:在平面?内,有两条直线 a 、 b 相交且和 平面?平行. 求证: ? // ? . 证明:用反证法证明. 假设 ? ? ? ? c . ? a // ? , a ? ? , ? a // c 同理 b // c, ? a // b 这与题设 a 和 b 是相交直线是矛盾的. ?? // ?

例题分析
例1 已知:在正方体ABCD-A′B′C′D′中 . 求证:平面AB′D′∥平面BC′D. D′ C′ A′ B′

D
A B

C

例2 在三棱锥P-ABC中,点D、E、F分别是 △PAB、△PBC、△PAC的重心. 求证:平面DEF//平面ABC. P F A D M E C

N B

练习
交与点 O, AA'=A' O, 已知: 直线 AA'、BB '、CC ',
BB' ? B' O,

CC ' ? C ' O,求证:平面 ABC ??平面 A' B ' C '

小结
1. 知识小结

2. 思想方法
线线平行 线面平行 面面平行

作业
P58练习1,2,3 P62 习题2.2 A组 7,8

2.2.3

直线与平面平行的 性质

复习 直线与平面平行的判定定理是什么? 定理 若平面外一条直线与此平面内的

一条直线平行,则该直线与此平面平行.

问:其逆定理是否成立?

思考1

如果直线a与平面α平行,那么直线a与平 面α内的直线有哪些位置关系?

a
α

思考2 若直线a与平面α平行,那么在平面α内与直 线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如 何?

a
α

思考3 教室内日光灯管所在的直线与地面平行,如 何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行?

a

α

直线与平面平行
性质定理及证明 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的 平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行. ? ? ? ,? ? ? ? b 已知: a // ? , a // b . 求证:
证明: ? ? ? ? b.
? b ??? ? a // ? ?

? a ? b ? ?? ? 又a ? ? ? ? a // b ? b?? ?

问题解决 教室内日光灯管所在的直线与地面平行,如 何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行? 灯管

地面

例 1 在图中所示的一块木料中,棱 BC 平行于平 面A’C’ . ( 1 )要经过平面 A?C ? 内的一点 P 和棱 BC 将木料 据开,应怎样画线? (2)所画的线和平面AC 是什么位置关系?
D′ A′ D A B P C′

B′

C

例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平 行于这个平面,求证另一条也平行于这个平面. 如图,已知直线a,b 和平面α ,a∥b,a∥α , a,b都在平面α外 . 求证:b∥α .

a
α c

b

练习 如果三个平面两两相交,有三条交线,如 果有两条交线平行,那么第三条交线和这两条 交线的位置关系如何?

b β

?
α

l

a

三条交线两两平行

小结
直线与平面平行的性质定理可简述为

“线面平行,则线线平行”
思想方法 线面平行的性质定理不但提供了用线面平 行来证明线线平行的方法,也提供了作平行线 的一种方法.

作业
P61-63习题2.2 A组1,2,5,6

2.2.4

平面与平面平行的性质

复习1:

两个平面的位置关系是 平行或相交 .

? ?

复习2:

两个平面平行的判定

判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

思考1 若 ? // ? , l ? ? ,则直线l与平面β的位置关系 如何?
l

?

?

两个平面平行的性质
结论1
如果两个平面平行,那么其中一个平面内 的直线平行于另一个平面.
a

?

? // ? , a ? ? ? a // ?
?

思考2 若 ? // ? ,直线 l 与平面α相交,那么直 线 l 与平面β的位置关系如何?

l

α β

思考3

若 ?//? ,平面α、β分别与平面γ相交于 直线a、b,那么直线a、b的位置关系如何?为什 么?

α β

a b
?

两个平面平行的性质定理 定理:如果两个平行平面同时和第三个平 面相交,那么它们的交线平行.

? // ? ? ? 即:? ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? ? b? ?

这个定理判定两直线平行的依据之一

例1 求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.

A

β
B?

C

α

D

例2 在正方体ABCD-A′B′C′D′中,点M在CD′ 上,试判断直线MB′与平面BDA′的位置关系,并说 明理由. C′ D′ A′ B′

M C D
A

B

例3 如图,已知AB、CD是夹在两个平行平面α、 β之间的线段,M、N分别为AB、CD的中点,求证: MN∥平面β. A M β B E D
l

C N

α

练习1

如果三个平面两两相交,那么它们的交线 位置如何? b β
γ α
相交于一条交线

β

l

a

b

l

γ a

α

三条交线两两平行

三条交线相交 于一点

应用举例
练习2 一条斜线和两个平行平面相交,求证它和两 个平面所成的角相等.

小结
1. 知识小结 几个结论和性质的应用

2. 思想方法
面面平行 线面平行或线线平行

作业
P61 练习 P63习题2.2 B组2,3,4


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