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2015届高三数学(理)湘教版一轮复习课时跟踪检测34 数列的综合应用]


课时跟踪检测(三十四) 数列的综合应用 (分Ⅰ、Ⅱ卷,共 2 页) 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an-1(a≠0),则数列{an}( A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或者是等差数列,或者是等比数列 D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列 2.(2013· 辽宁高考)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题: p1:数列{an}是递增数列; p2:数列{nan}是递增数列;
?an? p3:数列? n ?是递增数列; ? ?

)

p4:数列{an+3nd}是递增数列. 其中的真命题为( A.p1,p2 C.p2,p3 ) B.p3,p4 D.p1,p4

3.(2013· 湖南省五市十校联合检测)已知函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且 对任意的正数 x, y 都有 f(x· y)=f(x)+f(y), 若数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 f(Sn+2)-f(an) =f(3)(n∈N*),则 an 为( A.2n
-1

) B.n 3?n-1 D.? ?2?

C.2n-1

4.将石子摆成如图的梯形形状,称数列 5,9,14,20,?为梯形数,根据图形的构成,此 数列的第 2 012 项与 5 的差即 a2 012-5=( )

A.2 018×2 012 C.1 009×2 012

B.2 018×2 011 D.1 009×2 011

5.植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距 10 米. 开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边. 使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往 返所走的路程总和最小,这个最小值为________米. 6.?创新题?设数列{an}中,若 an+1=an+an+2(n∈N*),则称数列{an}为“凸数列”,已知 数列{bn}为“凸数列”,且 b1=1,b2=-2,则数列{bn}的前 2 013 项和为________. 7.(2014· 济南高考模拟考试)数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),

等差数列{bn}满足 b3=3,b5=9. (1)分别求数列{an},{bn}的通项公式; bn+2 1 (2)设 cn= (n∈N*),求证:cn+1<cn≤ . 3 an+2

1 1, ?是函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)的图像上一点,等比数 8.(2013· 惠州调研)已知点? ? 3? 列{an}的前 n 项和为 f(n)-c, 数列{bn}(bn>0)的首项为 c, 且前 n 项和 Sn 满足: Sn-Sn-1= Sn + Sn-1(n≥2). (1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

?1?n,求数列{cn}的前 n 项和 Rn; (2)若数列{cn}的通项 cn=bn· ?3?
? 1 ? 1 000 (3)若数列?b b ?的前 n 项和为 Tn,问 Tn> 的最小正整数 n 是多少? 2 009 ? n n+1?

第Ⅱ卷:提能增分卷 1.(2014· 乌鲁木齐第一次诊断)已知等比数列{an}和等差数列{bn}均是首项为 2,各项为 正数的数列,且 b2=4a2,a2b3=6. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)求使 abn<0.001 成立的正整数 n 的最小值.

2.(2014· 江南十校联考)已知直线 ln:y=x- 2n与圆 Cn:x2+y2=2an+n 交于不同的两 1 点 An、Bn,n∈N*,数列{an}满足:a1=1,an+1= |AnBn|2. 4 (1)求数列{an}的通项公式;
? ?2n-1?n为奇数? (2)若 bn=? ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. ?an?n为偶数? ?

3.?创新题?已知点 A(1,0),B(0,1)和互不相同的点 P1,P2,P3,?,Pn,?,满足 OPn =

an OA +bn OB (n∈N*),其中{an},{bn}分别为等差数列和等比数列,O 为坐标原点,若 P1 是线段 AB 的中点. (1)求 a1,b1 的值. (2)点 P1,P2,P3,?,Pn,?能否在同一条直线上?请证明你的结论.

答 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.选 C ∵Sn=an-1(a≠0),
? ?S1,n=1, ∴an=? ?Sn-Sn-1,n≥2, ? ? ?a-1,n=1, 即 an=? n-1 ??a-1?a ,n≥2. ?



当 a=1 时,an=0,数列{an}是一个常数列,也是等差数列;当 a≠1 时,数列{an}是一 个等比数列. 2.选 D 设 an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,它是递增数列,所以 p1 为真命题;若 an= 3n-12,则满足已知,但 nan=3n2-12n 并非递增数列,所以 p2 为假命题;若 an=n+1,则 满足已知, an 1 但 =1+ 是递减数列,所以 p3 为假命题;设 an+3nd=4dn+a1-d,它是递增数列, n n 所以 p4 为真命题. 3.选 D 由题意知 f(Sn+2)=f(an)+f(3)(n∈N*),∴Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2), 两式相减得,2an=3an-1(n≥2), 又 n=1 时,S1+2=3a1=a1+2, 3?n-1 3 ∴a1=1,∴数列{an}是首项为 1,公比为 的等比数列,∴an=? ?2? . 2 4.选 D 结合图形可知,该数列的第 n 项 an=2+3+4+?+n+2.所以 a2 012-5=4+ 2 011×2 010 5+?+2 014=4×2 011+ =2 011×1 009.故选 D. 2 5.解析:当放在最左侧坑时,路程和为 2×(0+10+20+?+190);当放在左侧第 2 个 坑时,路程和为 2×(10+0+10+20+?+180)(减少了 360 米);当放在左侧第 3 个坑时, 路程和为 2×(20+10+0+10+20+?+170)(减少了 680 米);依次进行,显然当放在中间 的第 10、11 个坑时,路程和最小,为 2×(90+80+?+0+10+20+?+100)=2 000 米. 答案:2 000 6.解析:由“凸数列”的定义,可知,b1=1,b2=-2,b3=-3,b4=-1,b5=2,

b6=3,b7=1, b8=-2,?,故数列{bn}是周期为 6 的周期数列,又 b1+b2+b3+b4+b5+b6=0,故数 列{bn}的前 2 013 项和 S2 013=b1+b2+b3=1-2-3=-4. 答案:-4 7.解:(1)由 an+1=2Sn+1①, 得 an=2Sn-1+1(n≥2,n∈N*)②, ①-②得 an+1-an=2(Sn-Sn-1), ∴an+1=3an(n≥2,n∈N*), 又 a2=2S1+1=3,∴a2=3a1,∴an=3n 1.


∵b5-b3=2d=6,∴d=3, ∴bn=3n-6. (2)证明:∵an+2=3n 1,bn+2=3n,


1-2n 3n n ∴cn= n+1= n,∴cn+1-cn= n+1 <0, 3 3 3 1 1 ∴cn+1<cn<?<c1= ,即 cn+1<cn≤ . 3 3 1?x 1 8.解:(1)∵f(1)=a= ,∴f(x)=? ?3? , 3 1 a1=f(1)-c= -c, 3 2 a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=- , 9 2 a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=- . 27 又数列{an}成等比数列, 4 81 a2 2 1 2 ∴a1= = =- = -c,∴c=1. a3 2 3 3 - 27 a2 1 又公比 q= = , a1 3 1?n 2 1?n-1 * ∴an=- ? =-2? ?3? (n∈N ). 3?3? ∵Sn-Sn- 1=( Sn- Sn-1 )( Sn+ Sn-1 )= Sn+ Sn-1 (n≥2),bn>0, Sn>0,∴ Sn - Sn-1=1, ∴数列{ Sn}构成一个首项为 1,公差为 1 的等差数列, Sn=1+(n-1)×1=n,Sn=n2. 当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1;

又 b1=c=1 满足 bn=2n-1, ∴bn=2n-1(n∈N*). 1?n ?1?n (2)∵cn=bn? ?3? =(2n-1)?3? , ∴Rn=c1+c2+c3+?+cn, 1?1 ?1?2 ?1?3 ?1?n Rn=1×? ?3? +3×?3? +5×?3? +?+(2n-1)×?3? , 1?2 1 ?1?3 ?1?4 ?1?n ?1?n+1 R =1×? ?3? +3×?3? +5×?3? +?+(2n-3)×?3? +(2n-1)×?3? . 3 n 由①-②得, 2 1 ?1?2+?1?3+?1?4+?+?1?n?-(2n-1)×?1?n+1, Rn= +2? ?3? ? ?3? 3 3 ??3? ?3? ?3? 2 1 化简得, Rn= +2× 3 3 n+1 ∴Rn=1- n . 3 1 1 1 1 1 1 1 (3)由(1)知 Tn= + + +?+ = + + +?+ b1b2 b2b3 b3b4 bnbn+1 1×3 3×5 5×7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ?1- ?+ ? - ?+ ? - ?+?+ ?2n-1-2n+1? 2? ? ?2n-1?×?2n+1? 2? 3? 2?3 5? 2?5 7? 1 1 n = ?1-2n+1?= 2? ? 2n+1. n 1 000 1 000 由 T n= > 得 n> , 9 2n+1 2 009 1 000 ∴满足 Tn> 的最小正整数 n 为 112. 2 009 第Ⅱ卷:提能增分卷 1.解:(1)设{an}的公比为 q,{bn}的公差为 d,
? ?2+d=4×2q, 依题意得? ??2+2d?· 2q=6, ?

① ②

?1?2?1-?1?n-1? ?3? ? ?3? ?
1 1- 3

1 + 2 2?n+1? ?1?n -(2n-1)× n 1= - ×?3? , 3 3 3

d=2, d=-5, ? ? ? ? 解得? 1 ,或? (舍) 3 ?q=2, ? ? ?q=-8. 1?n-2 ∴an=? ?2? ,bn=2n. 1?2n-2 (2)由(1)得 abn=a2n=? ?2? , 1?2n-2 ∵abn<0.001,即? ?2? <0.001,

∴22n 2>1 000,∴2n-2≥10,即 n≥6,


∴满足题意的正整数 n 的最小值为 6. 2.解:(1)由题意知,圆 Cn 的圆心到直线 ln 的距离 dn= n,圆 Cn 的半径 rn= 2an+n, 1 n-1 ?2 2 2 ∴an+1=? ?2|AnBn|? =rn-dn=(2an+n)-n=2an,又 a1=1,∴an=2 . (2)当 n 为偶数时,Tn=(b1+b3+?+bn-1)+(b2+b4+?+bn) n?n-1? 2?1-2n? n2-n 2 n - =[1+5+…+(2n-3)]+(2+23+?+2n 1)= + = + (2 -1). 2 2 3 1-4 ?n+1?2-?n+1? 2 n+1 n2+n 2 n+1 当 n 为奇数时,n+1 为偶数,Tn+1= + (2 -1)= + (2 -1), 2 3 2 3 而 Tn+1=Tn+bn+1=Tn+2n, n2+n 1 n ∴Tn= + (2 -2). 2 3

∴Tn=

? ?n +n 1 ? 2 +3?2 -2??n为奇数?
2 n

n2-n 2 n + ?2 -1??n为偶数? 2 3

.

1 1 3.解:(1)P1 是线段 AB 的中点? OP 1 =2 OA +2 OB , 又 OP 1 =a1 OA +b1 OB ,且 OA , OB 不共线, 1 由平面向量基本定理,知 a1=b1= . 2 (2)由 OPn =an OA +bn OB (n∈N*)? OPn =(an,bn), 设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则由于 P1,P2,P3,?,Pn,?互不相同,所以 d =0, q=1 不会同时成立. 1 若 d=0,q≠1,则 an=a1= (n∈N*) 2 1 ?P1,P2,P3,?,Pn,?都在直线 x= 上; 2 1 若 q=1,d≠0,则 bn= 为常数列 2 1 ?P1,P2,P3,?,Pn,?都在直线 y= 上; 2 若 d≠0 且 q≠1,P1,P2,P3,?,Pn,?在同一条直线上? P n-1 P n =(an-an-1,bn-
* bn-1)与 P nP n+1 =(an+1-an,bn+1-bn)始终共线(n≥2,n∈N )

?(an-an-1)(bn+1-bn)-(an+1-an)(bn-bn-1)=0?d(bn+1-bn)-d(bn-bn-1)=0 ?bn+1-bn=bn-bn-1

?q=1,这与 q≠1 矛盾, 所以当 d≠0 且 q≠1 时,P1,P2,P3,?,Pn,?不可能在同一条直线上.


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