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【名师解析】湖南省长郡中学2015届高三月考试卷(三)数学(文)试题


湖南省 2015 届数学(文)试题 【题文】一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 【题文】1.设集合

A ? ? x | log 2 x ? 1 ? 0? , B ? ? y | y ? 3x , x ? R? ,则 (?R A)
B. ? 0,

>B?

A. ? 0, ?

? ?

1? 2?

? ?

1? ? 2?

C. (0,1)

D. E1 A1

? 0,1?

【知识点】 指数、对数不等式的解法;集合运算. 【答案】【解析】B 解析:

1? ? ? 1? A ? ? x | x ? ? , B ? ? y | y ? 0? ,所以 (?R A) B ? ? 0, ? , 2? ? ? 2?

【思路点拨】先化简集合 A、B,再利用补集、交集的意义求结论. 【题文】2.复数 A.

1 i 5

i 1 ? 2i 2 B. 5

(i 是虚数单位)的虚部是 C. ? L4

1 5

D.

1 5

【知识点】复数运算.

【答案】【解析】D 解析:因为

i 1 ? 2i

=

i ?1 ? 2i ? 1 2?i 2 1 ? ? ? i ,所以其虚部是 , 5 ?1 ? 2i ??1 ? 2i ? 5 5 5

【思路点拨】利用复数运算,把已知复数化为 a+bi, a, b ? R 形式即可. 【题文】3.下列命题错误的是 A.命题“若 x B.若
2

? 3x ? 2 ? 0 则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 则 x2 ? 3x ? 2 ? 0 ”

p ? q 为假命题,则 p、 q 均为假命题
2 2 p: 存在 x0 ? R, 使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : 任意 x ? R, 都有 x ? x ? 1 ? 0 2

C.命题

D.“x>2”是“ x

? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件
A2 A3

【知识点】 命题及其关系;基本逻辑联结词及量词.

【答案】【解析】B 解析:显然命题 A 正确;对于命题 B:若 假命题 .所以命题 B 是错误的,故选 B. 【思路点拨】逐个分析每个命题的正误即得结论. 【题文】4.如图给出的是计算 1 ? 中的②处应填的语句是

p ? q 为假命题,则 p、 q 中至少有一个为

1 1 1 ? ? ??? ? 的值的一个程序框图,则图中执行框内①处和判断框 3 5 29

A. n ? n ? 2, i C. n ? n ? 1, i

? 15 ? 15
L1

B. n ? n ? 2, i D. n ? n ? 1, i

? 15 ? 15

【知识点】 算法与程序框图.

【答案】【解析】B 解析:根据所求式子的分母 1,、3、5、7 数的和,所以②处应填 i>15,故选 B. 【思路点拨】根据算式 1 ? 应填的语句. 【题文】5.两个相关变量满足下表: x y 10 1003 15 1005 20 1010

29,得①处应填 n=n+2,而此式是 15 个

1 1 1 ? ? ??? ? 的分母规律得①处应填的语句,根据此算式得项数确定②处 3 5 29

25 1011

30 1014

则两变量的回归直线方程为 A.

y ? 0.56 x ? 997.4

B.

y ? 0.63x ? 231.2
I4

C.

y ? 50.2x ? 501.4

D.

y ? 60.4 x ? 400.7

【知识点】 变量的线性相关性.

?? 【答案】【解析】A 解析: x ? 20, y ? 1008.6 , b

? ( x ? x )( y ? y )
i ?1 i i

5

? (x ? x )
i ?1 i

n

?

2

140 ? 0.56 , 250

? ? 997.4 ,故选 A. ? ? y ? bx a ? 即可. ?, b 【思路点拨】先求出样本中心点 ( x , y ) ,再用最小二乘法求得 a

【题文】 6.已知函数

?2 x ? 1, ( x ? 0), 把方程 f ( x) ? x ? 0 的根按从小到大的顺序排成一 f ( x) ? ? ? f ( x ? 1) ? 1, ( x ? 0),
B. S n D. Sn B9

个数列,则该数列的前 n 项和为 A. Sn C. Sn

? 2n ?1(n ? N? )
? n ?1(n ? N? )

?

n(n ? 1) (n ? N ? ) 2

? 2n?1(n ? N ? )

【知识点】 函数与方程.

【答案】【解析】B 解析:

?2 x ? 1, ( x ? 0) ? x ?1 ?2 , x ? ? 0,1? ? f ( x) ? ?2 x ? 2 ? 1, x ? ?1, 2? ,所以 ? x ?3 ?2 ? 2, x ? ? 2,3? ? ?

方程

f ( x) ? x ? 0 的根按从小到大的

顺序排成一个数列为:0、1、2、3、4、

,所以该数列的前 n 项和为

Sn ?

n(n ? 1) (n ? N ? ) ,故选 B. 2


【思路点拨】根据已知条件写出函数 f(x)表达式的规律,其与 y=x 交点横坐标依次为 0、1、2、3、4 所以所求为 S n

?

n(n ? 1) (n ? N ? ) . 2

【题文】7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于

A.12

B.4

C.

56 3

D. G2

8 3 3

【知识点】几何体的三视图.

【答案】【解析】B 解析:由三视图可知此几何体是底面为直角梯形(其上底长 2,下底长 4,高 2),高 为 2 的四棱锥,所以其体积为

1 1 ? ? 2 ? 4 ? ? 2 ? 2 ? 4 ,故选 B. 3 2

【思路点拨】由几何体的三视图得此几何体的结构,从而求得该几何体的体积.

【题文】8.已知点 F1、F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 a 2 b2

A、B 两点,若△ABF2 为正三角形,则该椭圆的离心率 e 是

A.

1 2

B.

2 2

C.

1 3

D. H5

3 3

【知识点】 椭圆的几何性质.

【答案】【解析】D 解析:设 A 在第二象限,则 A 的纵坐标是

b2 a

,因为 ?AF 1 F2 中,

?AF1F2 ? 90 , ?AF2 F1 ? 30 , F1F2 ? 2c , AF1 ?
a 2 ? b2 ? c2 联立得离心率

b2 a

,所以 tan 30

?

b2 ,与 2ac

3 .故选 D. 3


b2 【思路点拨】由已知得 ?AF 1 ? 1 F2 是 ?AF 1F 2 ? 90 , ?AF 2F 1 ? 30 , F 1F 2 ? 2c , AF a
直角三角形,由此得关于 a,b,c 的等量关系,再与 a 【题文】9.已知函数 A.
2

? b2 ? c2 联立得离心率.

f ( x) ? e x ? ax ? b ,若 f ( x) ? 0 恒成立,则 ab 的最大值为
C. e D.

e

B. e

2

e 2
E8 f(x)是增函数,

【知识点】 导数法确定不等式恒成立的条件;B12 【答案】【解析】D 解析:因为 a>0 时,

f ?( x) ? e x ? a ,所以 a ? 0 时

f ( x) ? 0 不恒成立,当 f ( x) ? 0 恒成立,需使

f ?( x) ? e x ? a =0

得 x=lna ,易得 f(x) 在 x=lna 处有最小值,要使

f (lna) ? 0? a? alna ? b? 0 ,即 b ? a ? a ln a ,
所以 ab ? a 设g
2

(1? ln a), ? a ? 0? ,
e ,易得函数 g (a ) 在

? a ? ? a 2 (1 ? ln a), (a ? 0) ? g?(a) ? a(1 ? 2 lna) ? 0 ? a ?
e e ,所以 ab 的最大值为 2 2
,故选 D.

a ? e 处有最大值 g ( e ) ?
【思路点拨】利用导数确定函数

f ( x) ? 0 恒成立的条件为 b ? a ? a ln a (a>0),从而得:

ab ? a2 (1? ln a), ? a ? 0? ,然后再用导数求 a2 (1 ? ln a), ? a ? 0? 的最大值即可.
【题文】10.A,B,C 是平面内不共线的三点,点 P 在该平面内且有 PA ? 2PB ? 3PC 麻随机撒在△ ABC 内,则这粒芝麻落在△ PBC 内的概率为 A.

? 0 ,现将一粒芝

1 3

B.

1 4

C. K3

1 5

D.

1 6

【知识点】几何概型.

【答案】【解析】D 解析:由 PA ? 2PB ? 3PC

?0

? ? AP ? 2( AB ? AP) ? 3( AC ? AP) ? 0 ,


AP ?

1 1 1 1 1 1 AB ? AC ,设 C 到 AB 距离 d,如图,则: S?PCE ? ? ? AB ? ? d ? S ?ABC , 3 2 2 3 2 6

1?1 1 2 ? 1 S ABPE ? ? AB ? AB ? ? ? d ? AB ? d ? S?ABC ,所以 2?3 3 3 ? 2
1 1 2 1 S?PBC ? (1 ? ? )S?ABC ? S?ABC ,所以所求概率为 .故选 D. 6 6 3 6

【思路点拨】根据已知确定点 P 位置,结合图形求 ?PBC 与 ?ABC 面积等量关系. 【题文】二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

? x ? y ? 5 ? 0, ? 【题文】11.已知 x,y 满足约束条件 ? x ? 3, ,且 z ? 2 x ? 4 y 的最小值为-6,则常数 k=______. ? x ? y ? k ? 0, ?
【知识点】 简单的线性规划问题. E5

【答案】【解析】0 解析:画出可行域如图,平移目标函数 z

? 2 x ? 4 y 得点

B(3,-3-k)为最优解,所以

?6 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?3 ? k ? ? k ? 0 .

【思路点拨】画出可行域,平移目标函数,确定最优解,代入目标函数求得 k 值. 【题文】12.在极坐标系中,直线 ? sin(? 【知识点】 极坐标的意义. 【答案】【解析】 4 圆? N3

?

?
4

) ? 2 被圆 ? ? 4 截得的弦长为______.

? 3 解析:直线 ? sin(? ? ) ? 2 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 2 ? 0 , 4
2

?4的

直角坐标方程为 x

? y 2 ? 16 ,因为圆心(0,0)到直线的距离 d=2,半径 r=4,

所以截得的弦长为 4

3.

【思路点拨】先把直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程,再利用直角坐标方程求弦长. 【题文】13.过原点作曲线

y ? ln x 的切线,则切线方程为________________.
B11

【知识点】导数的几何意义. 【答案】【解析】

1 1 1 x 解析:设的、切点(a,lna),由 f ?( x) ? ? f ?(a ) ? ,所以切线方程为 e x a 1 1 y ? ln a ? ( x ? a ) ,此直线过原点,得 a=e,所以所求切线方程为 y ? x . e a y?

【思路点拨】设出切点坐标,由导数求得斜率关于切点横坐标的表达式,从而得切线方程,再由切线过原 点得,切点横坐标,进一步得结论.

【题文】14.已知不等式

1 2x
2

?x

?1? ?? ? ?2?

2 x 2 ? mx ? m ? 4

对任意 x ? R 恒成立,则实数 m 的取值范围是______. E1 E8
2

【知识点】指数不等式解法;不等式恒成立的条件.

【答案】 【解析】-3<m<5 解析:根据指数函数的单调性得: x 成立,所以 ? ? (m ? 1)
2

? (m ? 1) x ? m ? 4 ? 0 对任意 x ? R 恒

? 4(m ? 4) ? 0 ,解得-3<m<5.

【思路点拨】利用指数函数单调性,将已知转化为一元二次不等式恒成立问题即可. 【题文】15. 设△ AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,n=1,2,3?,若

b1 ? c1 , b1 ? c1 ? 2a1 , an ?1 ? an , bn ?1 ?
【知识点】 数列;函数最值. 【答案】【解析】

an ? cn a ?b , cn ?1 ? n n ,则 ?An 的最大值是________________. 2 2

D1 B3

an ? cn a ?b ? , cn ?1 ? n n 得 解析:由 bn ?1 ? 3 2 2 a ?c a ?b 1 bn ?1 ? cn ?1 ? n n ? n n ? ? bn ? cn ? ? an ,又 an?1 ? an ? a1 ,所以 2 2 2 1 bn ?1 ? cn ?1 ? 2a1 ? ? bn ? cn ? 2a1 ? ,而 b1 ? c1 ? 2a1 ,所以 bn ? cn ? 2a1 ,所以 2

cos ?An ?

2 2 ? b ? c ? ? an2 ? 2bn cn ? 3a12 ? 1 bn 2 ? cn ? an ? n n 2bn cn 2bn cn 2bn cn 2

? 3a12 1 ? ? 1 ? 2 ? 1 ? ,所以 ?An 的最大值是 2 3 2a1 2 ?b ?c ? 2? n n ? ? 2 ?
3a12
【思路点拨】由已知得数列{ bn 从而得 ?An 的最大值. 【题文】三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【题文】16.(本小题满分 12 分) 某城市要建成宜商、宜居的国际化新城,该城市的东城区、西城区分别引进 8 个厂家,现对两个区域的 16 个厂家进行评估,综合得分情况如茎叶图所示. (1)根据茎叶图判断哪个区域厂家的平均分较高; (2)规定综合得分 85 分以上(含 85 分)为优秀厂家,若从该两个区域各选一个优秀厂家,求得分差距不 超过 5 分的概率.

? cn }是常数列,代入余弦定理,再由基本不等式求得 cos ?An 的最小值,

【知识点】用样本估计总体;茎叶图;古典概型.

I2 K2

【答案】【解析】 (1) 东城区的平均分较高;( 2 )

3 . 解析:( 1 ) 5

根据茎叶图知,东城区的平均分为

x东 =

78 ? 79 ? 79 ? 88 ? 88 ? 89 ? 93 ? 94 =86, 8

西城区的平均分为 x西 =

72 ? 79 ? 81 ? 83 ? 84 ? 85 ? 94 ? 94 =84 , 8

∴东城区的平均分较高.?????????????????????(5 分) (2)从两个区域各选一个优秀厂家,所有的基本事件数为 5 ? 3=15 种, 满足得分差距不超过 5 分的事件:

94?、 ?88,85?、 ?88,85,?、 ?89,85?、 ?89,94?、 ?89,94?、 ?93, ?93,94?、 ?94,94?、 ?94,94? 9 种,
∴满足条件的概率为 P

?

9 3 ? …………………………………………………………(12 分) 15 5

【思路点拨】(1)根据平均数得定义求得东、西两个城区厂家的平均分;(2)用列举法写出 从两个区域各选一个优秀厂家的所有情况共 15 种,其中满足得分差距不超过 5 分的情况有 9 种,所以满足

条件的概率为 P

?

9 3 ? . 15 5

【题文】17.(本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,△ABE 为等腰三角形,AE=BE=

2 ,平面 ABCD⊥平面 ABE.

(1)求证:平面 ADE⊥平面 BCE; (2)求三棱锥 D—ACE 的体积. 【知识点】线面垂直的判定;锥体的体积公式. 【答案】【解析】(1)证明:见解析;(2) G5 G1

∴AD⊥AB.又∵平面 ABCD⊥平面 ABE,平面 ABCD∩平面 ABE=AB,AD ? 平面 ABCD, ∴AD⊥平面 ABE,而 BE ? 平面 ABE,∴AD⊥BE. 又∵AE=BE=

2 3

解析:(1)∵四边形 ABCD 是正方形,

2 ,AB=2,∴ AB2 ? AE 2 ? BE 2 ,∴AE⊥BE.

而 AD∩AE=A,AD、AE ? 平面 ADE,∴BE⊥平面 ADE,而 BE ? 平面 BCE, ∴平面 ADE⊥平面 BCE.?????????????????(6 分) (2)取 AB 的中点 O,连接 OE,∵△ABE 是等腰三角形,∴OE⊥AB. 又∵AD⊥平面 ABE,OE ? 平面 ABE,∴AD⊥OE,∴OE⊥平面 ABCD, 即 OE 是三棱锥 D—ACE 的高.又∵AB= ∴ VD ? ACE ? VE ? ACD ?

2 AE= 2 BE=2,∴OE=1,

1 1 2 OE S正方形ABCD ? ? .--------(12 分) 3 2 3

【思路点拨】(1)根据线面垂直的判定定理,只需在平面 BCE 内找到直线与平面 ADE 垂直即可,易知此 直线是 BE;(2)利用等体积转化法,转化为求三棱锥 E-ACD 的体积即可. 【题文】17.(本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边之长依次为 a,b,c,且 cos A= (1)求 cos 2C 和角 B 的值; (2)若 a-c=

2 5 2 2 2 , 5(a ? b ? c ) ? 3 10ab 5

2 ? 1 ,求△ABC 的面积
4 3? , 5 4 1 2

【知识点】 解三角形 C8 【答案】(I) (2)

【 解 析 】 ( I ) 由 ∵ cos A=

2 5 5

, 0 < A < π , ∴ sinA=

1 ? cos2 A

=

5 5





5



a +b -c

2

2

2



=3

10

ab





cosC=

a 2 ? b2 ? c2 2ab

=

3 10 10
2



∵ 0 < C < π , ∴ sinC=

1 ? cos2 C

=

10 10
-

, ∴ cos2C=2cos C-1=

4 5



∴cosB=-cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC=

2 5 3 10 ? 5 10

5 10 2 × = 5 10 2

3? . 4 c sin A a c ? (II)∵ ,∴a= = 2 c,∵a-c= 2 -1,∴a= 2 ,c=1, sin C sin A sin C
∵0<B<π,∴B= ∴S=

1 2

acsinB=

1 2

×

2 ×1×

2 1 = 2 2
2



【思路点拨】(Ⅰ)利用已知 5(a +b -c )=3

2

2

10

ab 代入余弦定理公式求得 cosC 的值,利用同角三

角函数关系求得 sinC 的值,进而利用二倍角公式求得 cos2C 的值;通过 cosA 求得 sinA 的值,最后利用 两 角 和 公 式 取 得 sin ( A+C ) 的 值 , 进 而 取 得 sinB 的 值 , 求 得 B .

(Ⅱ) 利用正弦定理求得 a 和 c 的关系式, 代入 a-c= 【题文】19.(本小题满分 13 分) 已知等差数列

2 -1 求得 a 和 c,最后利用三角形面积公式求得答案.

?an ? 满足 a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26 .
2 an (2)若 m ? n ? 2 2
,数列

(1)求

?an ? 的通项公式;

?bn ? 满足关系式 bn ? ?

?1, n ? 1, ?bn?1 ? m, n ? 2,

求证:数列

?bn ? 的通项公式为 bn =2n ?1; ?bn ? 的前 n 项和 S ,对任意的正整数 n,
n

(3)设(2)中的数列

( 1 ? n) (Sn ? n ? 2)+(n ? p) 2n?1 ? 2 恒成立,求实数 p 的取值范围.
【知识点】等差数列;已知递推公式求通项;不等式恒成立问题. 【答案】【解析】(1) an D2 D1 E8

? 2n ? 1, n ? N *. (2)证明:见解析;(3) ? ??, ? 1? .

解析:(1)设等差数列

?an ? 的公差为 d,由已知,有 ?

?a1 ? 2d ? 7, ?a1 ? 3, 解得 ? ?2a1 ? 10d ? 26, ?d ? 2.

所以 an

? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ? 1, 即等差数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1, n ? N *. (3 分)

2an 22 n ?1 n ?1 n?1 (2)因为 m ? n ? 2 ? n ? 2 ? 2 , 所以当 n ? 2 时, bn ? bn?1 ? 2 . 2 2

?b2 ? b1 ? 2 ? 2 ?b3 ? b2 ? 2 n?1 证:当 n ? 2 时, bn ? bn?1 =2 ,所以 ? ??????? ?b ? b ? 2n ?1 ? n n ?1
将这 n-1 个式子相加,得 bn 即 ? b1 ? 2 ? 22 ? 23 ???? ? 2n?1,

bn =1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ??? ? 2n?1 =
当 n=1 时, b1 所以数列

1 ? 2n ? 2n ? 1 . 1? 2

? 1 也满足上式.

?bn ? 的通项公式为 bn ? 2n ?1.??????????????(7 分)
? 2n ?1 ,所以 Sn ? (2 ? 22 ? 23 ???? ? 2n ) ? n=2n?1 ? (n ? 2),
n ?1

(3)由(2) bn

所以原不等式变为 ( 1 ? n) 2 所以

+(n ? p)2n?1 ? 2, 即 p 2n?1 ? 2 ? 2n?1,

p?

1 ? 1 对任意 n ? N * 恒成立,所以 p ? ?1. n 2

所以 p 的取值范围是

? 1? .????????????????????(13 分) ? ??,

【思路点拨】(1)利用已知求得首项和公差即可;(2)累加法证明结论;(3)由(2)中结论化简恒成立的 不等式,即

p?

1 1 ? 1 对任意 n ? N * 恒成立,而 n ? 1 ? ?1 ,所以 p ? ?1. n 2 2
2

【题文】20.(本小题满分 13 分) 已知椭圆以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,且椭圆以抛物线 y =16x 的焦点为其一个焦点,以双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为顶点. 16 9
(1)求椭圆的标准方程; (2)已知点 A(-1,0),B(1,0),且 C,D 分别为椭圆的上顶点和右顶点,点 P 是线段 CD 上的动点,求 AP 的取值范围; (3)试问在圆 x
2

BP

? y 2 ? a2 上是否存在一点 M,使△F1MF2 的面积 S ? b2 (其中 a 为椭圆的半长轴长,

b 为椭圆的半短轴长,F1,F2 为椭圆的两个焦点),若存在,求 tan ?F 1MF2 的值;若不存在,请说明理 由. 【知识点】 椭圆的方程;向量数量积坐标运算;三角形的面积公式. H5 F3

【答案】 【解析】 (1)

191 x2 y 2 ? AP BP ? 24 ;(3)存在点 M 且 tan ?F1MF2 =2. ? ? 1 ;(2) 34 25 9

解析:(1)因为抛物线 y =16x 的焦点坐标和双曲线

2

x2 y 2 ? ? 1 的焦点分别为(4,0)和(5,0). 16 9

所以 a

? 5, c ? 4, 所以椭圆的标准方程:

x2 y 2 ? ? 1 .??????????(3 分) 25 9

(2)设 P( x0 , y0 ) ,则

AP BP ? x02 ? y02 ?1.CD :3x ? 5 y ?15 ? 0(0 ? x ? 5).
? ?15 3 ?5
2 2

则当 OP⊥CD 时,取到最小值,即: d1

?

15 34 ; 34

当点 P 在 D 点时,取到最大值:OD=5.所以:

191 ? AP BP ? 24 .?????(7 分) 34

【思路点拨】(1)由已知得椭圆中的参数 a,b,c 的值即可;(2)求得线段 CD 方程

3x ? 5 y ? 15 ? 0(0 ? x ? 5). ,设出点 P( x0 , y0 ) 得向量 AP, BP 坐标,从而得

AP BP ? x02 ? y02 ?1 ,再化为关于 x0 的函数,由 0 ? x0 ? 5 得 AP BP 的取值范围;
(3)由(1)得出圆的方程为 x 形可得点 M 的纵坐标
2

? y 2 ? 25 .△F1MF2 的面积 S ? b2 ? 9. 不妨设 M 在 x 轴上方,结合图

y?

9 4

,进一步求得 ?F 1MF2 的三角函数值.

【题文】20.(本小题满分 13 分)

如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 经过 a 2 b2
直线 l 的方程为 x=4.

点 P (1,

3 1 ) ,离心率 e= 2 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P),设直线 AB 与直线 l 相交于点 M, PA,PB,PM 的斜率分别为 k1,k2,k3 问:是否存在常数 ? ,使得 k1+k2= ? k3 若存在,求 ? 的值;若不存在,说明理由. 【知识点】椭圆及其几何性质 H5

【答案】(1)

x2 y 2 ? ? 1 (2)λ=2 4 3 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P a 2 b2
①由离心率 e= (1,

【解析】(1)椭圆 C:

3 2

),可得

1 9 ? 2 ? 1(a > b > 0) 2 a 4b
b=

1 2



c 1 = a 2

,即 a=2c,则 b =3c ②,代入①解得 c=1,a=2,

2

2

3 故椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

(2)由题意可设 AB 的斜率为 k,则直线 AB 的方程为 y=k(x-1)③代入椭圆方程 并整理得(4k +3)x -8k x+4k -12=0 设 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 2 2 2

x2 y 2 ? ?1 4 3

x1+x2=

8k 2 4k 2 ? 12 , x x = ④ 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
y1 ? 3 2 x1 ? 1 y2 ?
,k 2 =

在方程③中,令 x=4 得,M 的坐标为(4,3k),从而 k 1 =

3 2, x2 ? 1

3k ?
k3=

3 2 4 ?1

=k-

1 2

注意到 A,F,B 共线,则有 k=kAF=kBF,即有

y1 y ? 2 =k x1 ? 1 x2 ? 1

y1 ?
所以 k1+k2=

3 2 x1 ? 1

y2 ?
+

3 2 = y1 ? y2 - 3 ( y1 ? y2 ) x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 2 x1 ? 1 x2 ? 1
3 2

=2k-

3 2

×

x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1
1 2
, 所 以

⑤ ④ 代 入 ⑤ 得 k1+k2=2k-

×

8k 2 ?2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 12 8k 2 ? ?1 4k 2 ? 3 4 k 2 ? 3
数 λ=2 符 合

=2k-1



k3=k-

k1+k2=2k3













【思路点拨】(1)由题意将点 P (1, 来 代 入 方 程 , 解 得

3 2

)代入椭圆的方程再由离心率为 e=

1 2

,将 a,b 用 c 表示出

c , 从 而 解 得

a , b , 即 可 得 到 椭 圆 的 标 准 方 程 ;

(2)可先设出直线 AB 的方程为 y=k(x-1),代入椭圆的方程并整理成关于 x 的一元二次方程,设 A(x1,

y1),B(x2,y2),利用根与系数的关系求得 x1+x2=

8k 2 4k 2 ? 12 ,x 1 x 2 = ,再求点 M 的坐标, 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

分别表示出 k1,k2,k3.比较 k1+k2=λk3 即可求得参数的值; 【题文】21.(本小题满分 13 分) 已知函数

f ( x) ? (2 ? a) ln x ?

1 ? 2ax( a ? R). x

(1)当 a=0 时,求

f ( x) 的极值; f ( x) 的单调区间;

(2)当 a<0 时,求

(3)若对任意当 a ? (?3, ?2) 及 x1 , x2 ?[1,3] ,恒有 (m ? ln3)a ? 2ln3 ? 求实数 m 的取值范围. 【知识点】 导数的应用;不等式恒成立问题. B12 E8

f ( x1 ) ? f ( x2 )

成立,

【答案】【解析】(1)

无极大值;(2)当 a ? ?2 时, f ( x ) 的递减区间为 f ( x) 的极小值为 2 ? ln 2,

1 (0, ? ) a

和(

1 1 1 , ??) , 递 增 区 间 为 ( ? , ) ; 当 a = ? 2 时 , f ( x) 在 (0, ??) 上 单 调 递 减 ; 当 2 a 2

1 1 1 1 ?2 ? a ? 0 时, f ( x) 的递减区间为 (0, ) 和 (? , ??) ,递增区间为 ( , ? ) ; 2 2 a a
(3) m ?

?

13 . 3

解析:(1)依题意知 当a

f ( x) 的定义域为 (0, ? ?) ,

1 2 1 2x ?1 ? 0 时, f ( x) ? 2 ln x ? , f ?( x) ? ? 2 ? , x x x x2 1 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? , 当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2 2 1 又∵ f ( ) ? 2 ? ln 2, ∴ f ( x ) 的极小值为 2 ? ln 2, 无极大值.??????(3 分) 2
(2)

f ?( x) ?

2?a 1 2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 ? 2 ? 2a ? . x x x2

当a 令 令

1 1 1 1 ? , 令 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? ? 或 x ? , a 2 2 a 1 1 1 1 f ?( x) ? 0 得 ? ? x ? ; 当 ?2 ? a ? 0 时,得 ? ? , a 2 a 2 1 1 1 1 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 或x ? ? ,令 f ?( x) ? 0 得 ? x ? ? ; 2 a 2 a
? ?2 时, ?

当 a = ? 2 时,

f ?( x) ?

(2 x ? 1) 2 ? 0, x2

综上所述,当 a 当 a = ? 2 时, 当 ?2 ?

1 1 1 1 ? ?2 时, f ( x) 的递减区间为 (0, ? ) 和 ( , ??) ,递增区间为 ( ? , ) ; a 2 a 2

f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减;

1 1 1 1 a ? 0 时, f ( x) 的递减区间为 (0, ) 和 (? , ??) ,递增区间为 ( , ? ) .?(8 分) 2 2 a a

(3)由(2)可知,当 a ? (?3, ?2) 时, 当 x=1 时,

f ( x) 在区间 [1,3] 上单调递减;

f ( x) 取得最大值;当 x=3 时, f ( x) 取得最小值;

1 ? ? 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f (3) ? (1 ? 2a) ? ?(2 ? a) ln 3 ? ? 6a ? ? ? 4a ? (a ? 2) ln 3, 3 ? ? 3

(m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立,

2 2 ? 4a ? (a ? 2) ln 3 ,整理得 ma ? ? 4a , 3 3 2 13 2 38 a ? 0, ?m ? ? 4 恒成立, ?3 ? a ? ?2, ?? ? ?4? ? , 3a 3 3a 9 13 ? m ? ? . ????????????????????????(13 分) 3 ? (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ?
【思路点拨】(1)通过判断导函数为零的点两侧,导函数值的符号,确定极值情况; (2)通过对 a 取值的讨论,确定:导函数大于零的 x 范围是增区间,导函数小于零的范围是减区间;(3) 由(2)的结论,化简恒成立的不等式为: ma

?

2 ? 4a , 3

?3 ? a ? ?2, ?m ?

2 ? 4 恒成立,由此求得实数 m 的取值范围. 3a

【典例剖析】本题第(3)小问是不等式恒成立问题,虽然是常见题型,但本题有一定难度. 需要利用第(2)小问的结论求 问题求解.

f ( x1 ) ? f ( x2 )

在 x1 , x2 ?[1,3] 上的最大值,从而转化为常规的恒成立

【证明】∵ an ? S n ? S n?1 , ∴. S n ? S n?1 ? 化简,得 Sn-1-Sn= 2 Sn Sn-1

2 2S n (n ? 2). 2S n ? 1

两边同除以. Sn Sn-1,得

1 1 ? ? 2 (n ? 2). S n S n?1

∴数列 ?

?1? 1 1 ? 1 为首项,2 为公差的等差数列. ? 是以 ? a1 S1 ? Sn ?



1 ? 1 ? (n ? 1) 2 ? 2n ? 1, Sn

∴ Sn ?

1 . 2n ? 1

考点:数列的求和;等差关系的确定. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)根据等差数列的定义建立条件关系即可求出 λ 的值; (2)根据等差数列的前 n 项和 Sn.即可求解. 解答: 解:(1)假设存在实数 λ 符合题意. 则 必为与 n 无关的常数,



=



要使

是与 n 无关的常数,则



故存在实数 λ=﹣1.使得数列

为等差数列.

(2)由(1)可得








n



∴ an=(n+1)2 +1 n 令 bn=(n+1)2 且前 n 项和为 Tn, ∴ …① …② ① ﹣② 得 =2 ∴ ∴
n﹣1

﹣(n+2)2 .

n+1

=﹣n?2

n﹣1



点评:本题主要考查数列的递推公式, 以及等差数列数, 要求熟练掌握相应的通项公式和前 n 项和公式,以及利用错位相减法求熟练的和,考查学生的计算能力. 20. (Ⅰ ) 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1.又 a1=S1=1,故 an= 2n-1 (n∈N*).所以

1 1 1 1 = ( ? ). an an ?1 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n Tn = ( . 1? )= 2n ? 1 2 2n ? 1
(Ⅱ ) Tn=
1 n = (n∈N*),所以{Tn}是递增数列. 2n ? 1 2+ 1 n

???? 5 分

2 由 Tm =T1 ? Tn 得 (2+

1 2 3 1 ) =6+ >6, 故 2+ > 6 ,又 m≠n,所以 m n m
1<m<

2? 6 2

( m∈N*),

即 m=2,解得 n =12. 所以,当 m=2,n=12 时,T1,Tm,Tn 成等比数列. 20、(1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则 d 为正数, an=3+(n-1)d,bn=qn 1.


???? 15 分

? ?S2b2=?6+d?q=64, 依题意有? 2 ?S3b3=?9+3d?q =960, ?

?d=2 ? 解得? 或 ? ?q=8

?d=-5, ? 40 ?q= 3 .

6

(舍去)

故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n 1.


(2)Sn=3+5+?+(2n+1)=n(n+2), 1 1 1 所以 + +?+ S1 S2 Sn = 1 1 1 1 + + +?+ 1×3 2×4 3×5 n?n+2?

1 1 1 1 1 1 1 1 = (1- + - + - +?+ - ) 2 3 2 4 3 5 n n+ 2 1 1 1 1 = (1+ - - ) 2 2 n+1 n+2 2n+3 3 = - . 4 2?n+1??n+2?

【题文】18.(本小题满分 12 分) 如图所示,已知圆 O 的直径 AB 长度为 4,点 D 为线段 AB 上一点,且 AD=

1 DB,点 C 为圆 O 3

上一点,且 BC= 3 AC.点 P 在圆 O 所在平面上 的正投影为点 D,PD=B D. (1)求证:CD⊥ 平面 PAB; (2)求 PD 与平面 PBC 所成的角的正弦值. 【 解 析 】 ( Ⅰ ) 证 明 : 连 接 CO , 由 3AD=DB 知 , 点 D 为 AO 的 中 点 , 又 ∵ AB 为 圆 O 的 直 径 , ∴ AC ⊥ CB , 由

3 AC=BC 知 , ∠ CAB=60°,

∴ △ ACO 为 等 边 三 角 形 , 从 而 CD ⊥ AO . ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D,∴PD⊥平面 ABC,又 CD?平面 ABC,∴PD ⊥ CD , 由 PD∩AO=D 得 , CD ⊥ 平 面 PAB . 解 : 由 ( Ⅰ ) 可 知 CD=

3



PD=DB=3



过 点 D 作 DE ⊥ CB , 垂 足 为 E , 连 接 PE , 再 过 点 D 作 DF ⊥ PE , 垂 足 为 F . ∵ PD ⊥ 平 面 ABC , 又 CB ? 平 面 ABC , ∴ PD ⊥ CB , 又 PD∩DE=D , ∴ CB ⊥ 平 面 PDE , 又 DF ? 平 面 PDE , ∴ CB ⊥ DF , 又 CB∩PE=E , ∴ DF ⊥ 平 面 PBC , 故 ∠ DPF 为 所 求 的 线 面 角 . 在 Rt △ DEB 中 , DE=DBsin30° =

3 2

, PE=

PD2 ? DE 2 =

3 5 2



sin ∠ DPF=sin ∠ DPE=

DE 5 = . PE 5

【思路点拨】(I)由已知可得△ACO 为等边三角形,从而 CD⊥AO.由点 P 在圆 O 所在 平面上的正投影为点 D,可得 PD⊥平面 ABC,得到 PD⊥CD,再利用线面垂直的判定定理 即 可 证 明 ; (II)过点 D 作 DE⊥CB,垂足为 E,连接 PE,再过点 D 作 DF⊥PE,垂足为 F.得到 DF ⊥平面 PBC,故∠DPF 为所求的线面角.在 Rt△DEB 中,利用边角关系求出 DE 即可. 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC中, a, b, c 分别是角 A、B、C 的对边, m ? (b, 2a ? c) , n ? (2 cos 且 m / /n 。
2

B ? 1, cos C ) , 2

(Ⅰ)求角 B 的大小;
B (Ⅱ)设 f ( x) ? cos(? x ? ) ? sin ? x, (? ? 0), 且f ( x) 的 相邻两条对称轴之间的距离为 2

? ? ?? ,求 f ( x)在区间 ? 0, ? 上的最大值和最小值. 2 ? 2?
解:(1)由 m / / n ,得 b cosC ? (2a ? c) cos B, ? b cos C ? c cos B ? 2a cos B. 由正弦定得,得 sin B cosC ? sin C cos B ? 2 sin A cos B, -----------------4 分

? sin(B ? C ) ? 2 sin A cos B. 又 B ? C ? ? ? A, ? sin A ? 2 sin A cos B. ? 又 sin A ? 0,? cos B ? 1 . 又 B ? (0, ? ),? B ? . ------------------6 分 3 2
(2) f ( x) ? cos(? x ? ? ) ? sin ? x ? 3 sin ? x ? 3 cos ? x ? 3 sin(? x ? ? ) 6 2 2 6 由已知

2?

? 6 ? ? ? 7? ? 1 ], sin( 2 x ? ) ? [? ,1] 当 x ? [0, ]时,2 x ? ? [ , 2 6 6 6 6 2 ? ? ? 因此,当 2 x ? ? , 即x ? 时, f ( x)取得最大值 3;
6 2 6
当 2x ?

? ? ,? ? ? 2.

?

f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?

), --------------9 分

?
6

?

7? ? ,即x ? 时 6 2

f ( x)取得最小值 ?

3 2

---------------12 分


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