当前位置:首页 >> 数学 >> 高三数学理科二轮复习同步练习:1-2-7空间向量与立体几何 Word版含答案

高三数学理科二轮复习同步练习:1-2-7空间向量与立体几何 Word版含答案


高考专题训练七 空间向量与立体几何
班级 _______ 姓名 ________ 时间: 45 分钟 分值: 75 分 总得分 ________

一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题 给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项填在答题卡上. 1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、 N 分别为棱 AA1 和

BB1 → → 的中点,则 sin〈CM,D1N〉的值为( A. 1 9 ) 4 B. 5 9 2 D. 3

2 C. 5 9

解析:以 D 为原点,DA、DC、DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建系,
? 1? ? 1? 设正方体棱长为 1,则 C(0,1,0),M?1, 0, ? , D1(0,0,1),N?1, 1, ? , ? ? 2? 2?

1 → ? 1? → ? 1? → → 4 ∴CM=?1,- 1, ? ,D1N=?1, 1,- ?, ∴ cos 〈CM, D1N〉 = = ? ? 2? 2? 3 3 × 2 2 - 1 - , 9 → → 4 5 ∴ sin〈CM,D1N〉= .故选 B. 9 答案:B 2. (2011· 全国 )已知直二面角 α-l-β,点 A∈α,AC⊥l,C 为垂 足,B∈β,BD⊥l,D 为垂足,若 AB= 2,AC= BD=1,则 D 到平面 ABC 的距离等于( A. C. 2 3 6 3 ) B. 3 3

D. 1

→ → → → 解析:由AB2= (AC+CD+DB)2 → → → → → → → → → =AC2+ CD2+ DB2+ 2AC· CD+ 2AC· DB+ 2CD· DB → = 1+ |CD|2+ 1,所以 |CD|= 2. 过 D 作 DE⊥ BC 于 E,则 DE⊥面 ABC, DE 即为 D 到平面 ABC 的距离.在 Rt△ BCD 中, BC2= BD2+ CD2= 3,∴ BC= 3.DE· BC= BD· CD,∴ DE= 6 . 3

答案:C 3.在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC= 90° , D、E、 F 分别是棱 AB、BC、CP 的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为( A. 1 5 5 5 ) 2 B. 5 2 5 D. 5

C.

解析:以 A 为原点,AB、AC 、AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系, 由 AB= AC= 1, PA= 2, 得 A(0,0,0),
?1 ? ?1 1 ? B(1,0,0), C(0,1,0), P(0,0,2), D? , 0, 0?, E? , , 0 ?, ?2 ? ?2 2 ?

? 1 ? F?0, , 1?, ? 2 ?

→ → ? 1 ? → ? 1 1 ? ∴AP= (0,0,2),DE=?0, , 0? ,DF=?- , , 1? ,设面 DEF 的 ? ? 2 2 ? 2 ? → ?n · DE = 0, 法向量为 n= (x,y,z),则由? → ? n· DF= 0
? ?y= 0, 得? 取 z= 1,则 n ?x= 2 z, ?

→ |PA· n| 5 = (2,0,1),设 PA 与平面 DEF 所成角为 θ,则 sinθ= = ,∴ PA → 5 | PA||n | 与平面 DEF 所成角为 arcsin 答案:C 4.如图所示,AC1 是正方体的一条体对角线,点 P、Q 分别为其 所在棱的中点,则 PQ 与 AC1 所成的角为 ( ) 5 ,故选 C. 5

A.

π 6

π B. 4 π D. 2

π C. 3

解析:如图,设底面中心为 O,在对角面 ADC1B1 中,取 AB1 的 中点为 T,TD∥ PQ,从而 TD 与 AC1 所成的角为所求.由相似可得∠ π AMD= ,故选 D. 2

答案:D 5.如下图所示,在棱长为 a 的正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,M 是 AA1 的中点,则点 A 到平面 MBD 的距离是 ( )

A. C.

6 a 3 3 a 4

B. D.

3 a 6 6 a 6
来源: [ 学科网 Z XXK ]

解析:A 到面 MBD 的距离由等积变形可得. VA- MBD= VB- AMD.易求 d= 答案:D 6 a. 6

6.已知平面 α 与 β 所成的二面角为 80° ,P 为 α,β 外一定点,过

点 P 的一条直线与 α,β 所成的角都是 30° ,则这样的直线有且仅有 ( ) A.1 条 C.3 条 B.2 条 D.4 条

解析:如右图,过 P 作 α、β 的垂线 PC、PD,其确定的平面与棱 l 交于 Q,过 P 的直线与 α、 β 分别交于 A、 B 两点,若二面角为 80° , AB 与平面 α、 β 成 30° ,则∠ CPD= 100° , AB 与 PD、 PC 成 60° ,因 100° 此问题转化为过 P 点与直线 PD、 PC 所成角为 60° 的直线有几条. ∵ 2 80° <60° , <60° ,∴这样的直线有 4 条. 2

答案:D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填 在答题卡上. 7.(2011· 全国 )已知点 E、F 分别在正方体 ABCD- A1B1C1D1 的棱 BB1、CC1 上,且 B1E=2EB,CF=2FC1,则面 AEF 与面 ABC 所成的 二面角的正切值等于________. 解析:如图,以 DA, DC, DD1 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角 坐标系 设正方体的边长为 3.

∴ A(3,0,0), E(3,3,1), F(0,3,2) → → ∴AE= (0,3,1),AF= (- 3,3,2) 设平面 AEF 的法向量为 n= (x, y, z), → ?n⊥AE ∴? → ?n⊥AF
? ?3 y+ z= 0 ?? ?- 3x+ 3 y+ 2z= 0 ?

令 y= 1,∴ z=- 3, x=- 1,∴ n= (- 1,1,- 3) → 又DD1 = (0,0,3)为面 ABC 的一个法向量, 设平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角为 θ
?- 3×3? → 3 ?= ∴ cosθ= |cos〈 n,DD1 〉 |=? ? 3· 11 ? 11

∴ sinθ= 1- cos 2θ= ∴ tanθ= 答案: sinθ 2 = . cos θ 3

2 11

2 3

8.已知 l1,l 2 是两条异面直线,α、β、γ 是三个互相平行的平面, l 1、l 2 分别交 α、β、γ 于 A、B、C 和 D、E、F,AB=4,BC=12,DF =10, 又 l1 与 α 成 30° 角, 则 β 与 γ 间的距离是________; DE=________.

解析:由直线与平面所成角的定义及平行平面距离定义易得 β 与 γ 间 距离为 6.由面面平行的性质定 理可得 DE DE 4 ,即 = .∴ DE= 2.5. DE+ EF 4+ 12 10 答案:6 2.5 9.坐标平面上有点 A(-2,3)和 B(4,-1),将坐标平面沿 y 轴折 成二面角 A-Oy-B,使 A,B 两点的距离为 2 11,则二面角等于 ________. 解析: 如图,AD⊥ BC,BC⊥ CD, ∴ BC⊥平面 ACD, ∴ BC⊥ AC, AB= 2 11,BC= 4, ∴ AC= 2 7, AD= 2,CD= 4, ∴ cosθ= 8 1 =- =- . 16 2 4+ 16- 28 2×2× 4 AB DE AB = ,∴ = BC EF AB+ BC

答案:120° 10.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,则直线 DA1 与 AC 间的距离为________.

→ → → 解析: 设 n= λAB+ μAD+AA1是 A1D 和 AC 的公垂线段上的向量, → → → → → → → 则 n· A1D= (λAB+ μAD+AA1)· ( AD-AA1) = μ- 1= 0,∴ μ= 1.又 n· AC → → → → → = (λAB+ μAD+AA1)· (AB+AD)= λ+ μ= 0,∴ λ=- 1. → → → ∴ n=-AB+AD+AA1.故所求距离为 → → → → ? |AA1· n| ? ? → -AB+AD+AA1 ? d= =?AA1· ? |n | ? ? 3 = 1 3 = . 3 3 3 3
来源: [ 学科网]

答案:

三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 11. (12 分 )(2011· 天津 )如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,H 是正 方形 AA1B1B 的中心,AA1=2 2,C1H⊥平面 AA1B1B,且 C1H= 5.

(1)求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值; (2)求二面角 A-A1C1-B1 的正弦值; (3)设 N 为棱 B1C1 的中点,点 M 在平面 AA1B1B 内,且 MN⊥平 面 A1B1C1,求线段 BM 的长. 解:方法一:如图所示,建立空间直角坐标系,

点 B 为坐标原点,依题意得 A(2 2,0,0),B(0,0,0),C( 2,- 2, 5), A1(2 2, 2 2, 0), B1(0,2 2, 0), C1( 2, 2, 5) → (1)易得AC= (- 2,- 2, 5), → A1B1= (- 2 2, 0,0). → → AC· A 1B 1 → → 4 2 于是 cos〈AC,A1B1〉= = = . → → 3×2 2 3 |AC|· |A1B1| 所以异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值为 2 . 3

→ → (2)易知AA1= (0,2 2, 0),A1C1= (- 2,- 2, 5), 设平面 AA1C1 的法向量 m= (x′, y′, z′ ), → ?m· A1C1= 0, 则? → ?m· AA1= 0.
来源:Z [ x xk .C om ]

? ?- 2x′- 2y′+ 5z′= 0. 即? ? ?2 2 y′= 0.

不妨令 x′= 5,可得 m= ( 5,0, 2),同样地,设平面 A1B1C1 → ?n · A1C1= 0, 的法向量 n= (x, y, z),则? → ?n · A1B1= 0.
? ?- 2x- 2y+ 5z= 0 即? ?- 2 2 x= 0. ?

m· n 2 不妨令 y= 5, 可得 n= (0, 5, 2), 于是 cos 〈 m, n〉 = = |m |· |n| 7· 7 2 3 5 = .从而 sin〈 m, n〉= . 7 7
来源 :Z [ x xk .C om ]

3 5 所以二面角 A- A1C1- B1 的正弦值为 . 7 (3)由 N 为棱 B1C1 的中点,得 N?
? 2 3 2 5? , , ?,设 M(a, b,0), ?2 2 2 ?

→ ? 2 3 2 5? 则MN=? - a, - b, ?,由 MN⊥平面 A1B1C1, ?2 2 2 ? → → ?MN · A1B1= 0, 得? → → ?MN · A1C1= 0. ?- 2 2?= 0, ??? 22- a ??· 即? ? 2 ? ?3 2 ? ? ? ? ?· · ? - 2 ? + ?- - a - b ?? 2 ? ? 2 ?
? ?

2?+

5 · 5= 0. 2

?a= 22, 解得? 2 b = ? 4.

故 M?

? 2 → ? 2 2 ? 2 ? , , 0? ,因此BM=? , , 0? ,所 ?2 ? ?2 ? 4 4

→ 10 以线段 BM 的长 |BM|= . 4 方法二:(1)由于 AC∥ A1C1.故∠ C1A1B1 是异面直线 AC 与 A1B1 所 成的角.

因为 C1H⊥平面 AA1B1B,又 H 为正方形 AA1B1B 的中心, AA1= 2 2, C1H= 5, 可得 A1C1= B1C1= 3.

2 2 A1C2 2 1+ A1B1- B1C1 因此 cos∠ C1A1B1= = . 2A1C1· A1B1 3

所以异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值为

2 . 3

(2)连接 AC1,易知 AC1= B1C1,又由于 AA1= B1A1, A1C1= A1C1, 所以△ AC1A1≌△ B1C1A1,过点 A 作 AR⊥ A1C1 于点 R,连接 B1R,于 是 B1R⊥ A1C1,故∠ ARB1 为二面角 A- A1C1- B1 的平面角.
来源 : [ Zxxk .C om]

在 Rt△ A1R B1 中, B1R= A1B1· sin∠ RA1B1= 2 2· 1-?

? 2 ?2 ? = ?3 ?

2 14 .连 接 AB1,在△ ARB1 中, AB1= 4, AR= B1R, cos ∠ ARB1= 3 AR2+ B1R2- AB2 2 3 5 1 =- ,从而 sin∠ ARB1= . 2AR· B 1R 7 7 3 5 所以二面角 A- A1C1- B1 的正弦值为 . 7 (3)因为 MN⊥平面 A1B1C1,所以 MN⊥ A1B1,取 HB1 中点 D,连 1 5 接 ND.由于 N 是棱 B1C1 的中点,所以 ND∥ C1H 且 ND= C1H= . 2 2 又 C1H⊥平面 AA1B1B,所以 ND⊥平面 AA1B1B,故 ND⊥ A1B1.又 MN∩ ND= N,所以 A1B1⊥平面 MND,连接 MD 并延长交 A1B1 于点 E,则 ME⊥ A1B1,故 ME∥ AA1. DE B1E B1D 1 2 由 = = = ,得 DE= B1E= ,延长 EM 交 AB 于点 AA1 B1A1 B1A 4 2 F,可得 BF= B1E= 2 ,连接 NE.在 Rt△ ENM 中,ND⊥ ME,故 ND2 2

ND2 5 2 2 = DE· DM,所以 DM= = ,可得 FM= ,连接 BM,在 Rt DE 4 4 △ BFM 中,

BM= FM2+ BF2=

10 . 4

12. (13 分 )(2011· 上海 )已知 ABCD- A1B1C1D1 是底面边长为 1 的 正四棱柱,O1 为 A1C1 与 B1D1 的交点.

(1)设 AB1 与底面 A1B1C1D1 所成角的大小为 α,二面角 A-B1D1- A1 的大小为 β.求证: tanβ= 2tanα; 4 (2)若点 C 到平面 AB1D1 的距离为 , 求正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 3 的高. 解:设正四棱柱的高为 h.

(1)证明:连接 AO1, AA1⊥底面 A1B1C1D1 于 A1,∴ AB1 与底面 A1B1C1D1 所成的角为∠ AB1A1, 即∠ AB1A1= α.∵ AB1= AD1, O1 为 B1D1 中点, ∴ AO1⊥ B1D1, 又 A1O1⊥ B1D1, ∴∠ AO1A1 是二面角 A- B1D1- A1 的平面角,即∠ AO1A1= β

AA1 AA1 ∴ tanα= = h, tanβ= = 2h= 2tanα. A1B1 A1O1 (2)建立如图空间直角坐标系,有 A(0,0,h),B1(1,0,0), D1(0,1,0), C(1,1, h)

→ → → AB1= (1,0,- h),AD1= (0,1,- h),AC= (1,1,0) 设平面 AB1D1 的一个法向量为 n= (x, y, z), → ?n⊥AB 1 ∵? → ?n⊥AD1 → ?n · AB1= 0 ?? → ?n · AD1= 0 ,

即 z= 1,得 n= (h, h,1) → |n· AC| h+ h+ 0 4 ∴点 C 到平面 AB1D1 的距离为 d= = 2 = ,则 h |n | h + h2+ 1 3 = 2.


更多相关文档:

高三数学(理)同步双测:专题7.3《立体几何中的向量法》(A)卷(含答案)

高三数学(理)同步双测:专题7.3《立体几何中的向量法》(A)卷(含答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。班级 姓名 学号 分数 《立体几何中的向量法》测试卷...

2013届高三理科数学高考专题训练7 空间向量与立体几何 Word版含答案]

2013届高三理科数学高考专题训练7 空间向量与立体几何 Word版含答案]_高中教育_...D 为垂足,若 AB=2,AC=BD=1,则 D 到平 面 ABC 的距离等于( A. 2 3...

2014年高考数学(理)二轮复习简易三级排查大提分专练:5-2空间向量与立体几何 Word版含解析]

2014年高考数学(理)二轮复习简易三级排查大提分专练:5-2空间向量与立体几何 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2014年高考数学(理)二轮复习简易三级排查大提分专...

2014年高考数学(理)二轮专题复习知能提升演练:1-5-3空间向量与立体几何 Word版含解析]

2014年高考数学(理)二轮专题复习知能提升演练:1-5-3空间向量与立体几何 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2014年高考数学(理)二轮专题复习知能提升演练:1-5-...

2013届高三理科数学高考专题训练7_空间向量与立体几何

2013届高三理科数学高考专题训练7_空间向量与立体几何_高三数学_数学_高中教育_教育专区。空间向量与立体几何一、选择题: 1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N...

2015高考数学二轮专题复习(立体几何) - 含答案

2015高考数学二轮专题复习(立体几何) - 含答案_高三...2 1 考点二 空间几何体的三视图和直观图 2 .若...AA 1C1 为等边三角形, 同理 ? ABC1 得是等边...

高三数学空间向量专题复习附答案

高三数学空间向量专题复习答案_高三数学_数学_高中...PD ? 2a, 点 E 在 PD 上,且 PE:ED= 2: 1...A -3- F E B 空间向量与立体几何考点系统复习 ...

2015高三理科数学期末复习7《立体几何》

2015高三理科数学期末复习7立体几何》_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2015 高三理科数学期末复习 7《立体几何》班级: 姓名: 号数: 成绩: 1、设 m,n 是...

高考第二轮专题复习-- 空间向量、立体几何复习与检测

立体几何复习与检测_高三数学_数学_高中教育_教育...对于理科生来说,空间向量作为种新的快捷有效的...3 ? 1 。 3 2 【点评】主试图和侧视图的高就...
更多相关标签:
相关文档

网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com