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乌鲁木齐地区2015年高三年级第三次诊断性测验试卷文科数学试题参考答案及评分标准


乌鲁木齐地区 2015 年高三年级第三次诊断性测验试卷

文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 选项 1 D 2 B 3 A 4 B 5 D 6 A 7 D 8 C 9 B 10 A 11 C 12 B

1.选 D. 【解析】由题意知 ?U A ? ?0, 4? ,又 B ? ?2, 4? ,∴ ?U A 2.选 B. 【解析】∵ z ? ∴ a ? ?1 ,故选 B.

?

?

B ? ?4? .故选 D.

?a ? i ??1 ? i ? ? a ? 1 ? a ?1 i ,由题意,得 a ? 1 ? 0 且 a ? 1 ? 0 2 2 2 ?1 ? i ??1 ? i ? 2
2

2 3.选 A. 【解析】∵“直线 y ? x 与圆 ? x ? a ? ? y ? 1 相切”的充要条件是“圆心 ? a, 0 ? 到

直线 x ? y ? 0 的距离等于圆的半径 1 ,即
2

a 2

,所以“ a ? 2 ” ? 1,也就是 a ? ? 2 ”

2 是“直线 y ? x 与圆 ? x ? a ? ? y ? 1 相切”的充分不必要条件,故选 A.

4.选 B. 【解析】当 x ? 8 时, y ? 3 , y ? x ? 3 ? 8 ? 5 , 5 ? 3 不成立, x ? 3 ; 当 x ? 3 时, y ?

1 5 1 5 , y ? x ? ?3 ? , ? 3 成立,输出 2 2 2 2
P

y?

1 .故选 B. 2

5.选 D. 【解析】依题意,此几何体的直观图为如图所示的四棱锥.

1 3 1 1 ?1 ? 3 ∴ S 底 ? ? ? ? 1? ?1 ? ,∴ VP ? ABCD ? ? ? 1 ? 3 4 4 2 ?2 ? 4
故选 D.

D A

C B

6.选 A. 【解析】由 a2 ? 8a5 ? 0 ,得 a1q ? 8a1q4 ? 0 ,解得 q ? ?

?1? 1 ,易知 ? ? 是等比数 2 ? an ?

1? 1? 2 5 1 ? ? ?2 ? ? 1 ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? 11 1 a a 1 列,公比为 ?2 ,首项为 ,∴ S 2 ? 1 ? ? ,S5 ? 1 ? , a1 1 ? ? ?2 ? a1 1 ? ? ?2 ? a1


S5 = ? 11,故选 A. S2

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7.选 D. 【解析】由题意, xy - 2 = 0, a + b = (x + y ,1) ∴ a+ b =

(x + y ) + 1 = x 2 + y 2 + 2xy + 1 ? 4xy 1 = 3 .故选 D.
4 2 2 2 ,得 sin θ cos θ ? ,又 sin θ ? cos θ ? 1 , q ? 5 5

2

8.选 C. 【解析】由 sin 2θ ?

轾 p p 犏, , 犏 4 2 臌

∴ sin θ ?

2 5 5 ,∴ tan θ ? 2 .故选 C. , cosθ ? 5 5

9.选 B. 【解析】设 A ? x 1, y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? , 则 y 12 ? 2 px 1 , y 22 ? 2 px 2 ,两式相减, 得 ? y 1 ? y 2 ?? y 1 ? y 2 ? ? 2 p ? x 1 ? x 2 ? ,依题意 x1 ? x2 ,∴ k AB ? 于是 y 1 ? y 2 ? 2 p ? 2 ,因此 p ? 1 .故选 B.

y1 ? y 2 ? 1, x1 ? x 2

10.选 A. 【解析】∵ f ? ?? x ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? f ? x ? 2 ? ? f ? x ? ,∴ f ? x ? 是以 4 为周期的函数, 又∵ f ? log3 54 ? ? f ? 4 ? log 3

? ?

2? 2? 3? ? ? ? ? f ? log 3 ? ? f ? ? log 3 ? ? ? f 3? 3? 2? ? ?

3? ? ? log 3 ? ,易知 2? ?

0 ? log 3

3 ? 1 ,∴ 2

3 ? log 3 3 1 3 1 ? f ? log 3 ? ?3 2 ? ? ? ?2 ,∴ f ? log 354 ? ? ? 2 .故选 A. 2? 2 2 2 ?

11.选 C. 【解析】不妨设棱长为 2 , ①连结 AB1 ,则 AB1 ? AC1 ? 2 2 ,∴ ?AC1B1 ? 90? , 即 AC1 与 B1C1 不垂直,又 BC // B1C1 ,∴①错. ②连结 AD , DC1 ,在 ?ADC1 中 AD ? DC1 ? 5 , 而 DF ? AC1 ,∴ F 是 AC1 的中点,∴②对.
2 2

由②知在 ?ADC1 中 DF ? 3 ,连结 CF ,易知 CF ? 2 而在 Rt ?CBD 中, CD ? 5 ,∴ DF ? CF ? CD ,
2

即 DF ? CF ,又 DF ? AC1 ,∴ DF ? 平面 AAC 1 1C , ∴③对.故选 C. 12.选 B. 【解析】 a cos C ? 3 sin C ? 2R sin A cosC ?2 3R sin Asin C =2R sin A cosC

?

?

1 ? ? ?3 R sin C =2R ? sin A cosC ? sin C +sinC ? =2R ?sin A cosC ? cos A sinC +sinC? 2 ? ?

=2R ? ?sin ? A ? C ? +sinC? ? ? 2R ? sin B +sinC? ? b ? c .故选 B.
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二、填空题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.填 ?8 .【解析】由题意,得可行域如图所示,

x=-2 1 y=- x+1 2

x

1 1 z y ? x ? 与直线 y ? x 平行,当其过 ? ?2, 2? 时, 3 3 3 z 8 纵截距 ? 最大,为 ,此时 z 最小,最小值为 ?8 . 3 3

y=x 1 y= x 3

O

y

14 . 填 0.005 . 【 解 析 】 由 题 知 , 组 距 为 10 , 根 据 频 率 分 布 直 方 图 得

? 0.04 ? 0.03 ? 0.02 ? 2a ? ?10 ? 1,故 a ? 0.005 .
15.填 2 ? 1 .【解析】依题意知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 和它的两焦点 F1 , F2 构成等 a 2 b2

腰 三 角 形 时 , ?PF 1F2 或 ?PF 2F 1 为 90 ? , 不 妨 设 ?PF 1 F2 ? 90? , 依 题 意

PF1 ? F1F2 ? 2c , PF2 ? 2 2c , PF2 ? PF1 ? 2 2c ? 2c ? 2a ,∴ e ? 2 ? 1.
16.填③④. 【解析】易知, a2 ? 2 ,由 an ? an?1 ? 2n ? 1, an?1 ? an?2 ? 2n ? 3, 两式相减, 得 an? 2 ? an ? 2 ,即,此数列每隔一项成等差数列,由 a1 ? 1 ,可得数列 ?an ? 的奇数项 为 1,3,5,

, 由 a2 ? 2 ,可得其偶数项为 2, 4,6,

, 故 an ? n .

令 n ? 2 , S 2 n ?1 ? S3 ?

11 1 3 1 , ? 2n ? 1? ? ? , S2 n?1 ? ? 2n ? 1? ? ,①错; 6 an 2 an

1 3 1 1 1 1 ? , S n ? S 1? , S 2 n ? S n ,②错; 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 n ? n, ∵ S2 n ? Sn ? 1 ? ? ? ? ,又 2 ? 2n ? 1 ,∴ 2 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 1 1 1 1 1 1 3 1 ? 1 ? ? ? ? n ? ? n ,故③正确; ∴1 ? ? ? ? 3 5 2n ? 1 4 8 2 2 2
令 n ? 1 , S2n ? S2 ? 1 ? ∵ S 2n - S n =

1 1 + + n+1 n+ 2

1 1 1 , 设 f (n ) = + + 2n n+1 n+ 2

+

1 , 2n

∵ f (n + 1)- f (n ) =

1 1 1 1 1 + = > 0, 2n + 1 2n + 2 n + 1 2 n + 1 2 n + 2

∴ f (n + 1) > f (n ),∴ f

(n ) 单增,∴ f (n ) ? f (1)

1 ,∴ S 2 n - S n 2

1 , 2

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∴ S 2n ? S n

1 n ? N * ) ,故④正确. ( 2

三、解答题:共 6 小题,共 70 分. 17. (12 分) (Ⅰ) f

? x ? ? sin 2 ax ?

3 sin ax ? cos ax ?

1 1 ? cos 2ax 3 1 ? ? sin 2ax ? 2 2 2 2

π? ? ? ? sin ? 2ax ? ? 6? ?
∵y ?f

? x ? 的图像与直线 y

? b 相切,∴ b 为 f ? x ? 的最大值或最小值,
π π 的等差数列,∴ f ? x ? 的最小正周期为 , 2 2
…6 分

即 b ? ?1 或 b ? 1 , ∵切点的横坐标依次成公差为 即T ?

2π π π? ? ? , a ? 0 ,∴ a ? 2 ,即 f ? x ? ? ? sin ? 4x ? ? ; 2a 2 6? ?
π? ? ? sin ? 4x ? ? 的减区间, 6? ?

(Ⅱ) f

? x ? 的增区间,即为 y
?
2 ? 4x ?

∴ 2k ? ? ∴y ?f

?
6

? 2k ? ?

3? k? ? k? ? ? ?x ? ? ? k ? Z? ,解得 2 2 12 2 3
…12 分

? x ? 的单调增区间为 ? ?

k? ? k? ? ? ? , ? ? ? k ? Z? . 3? ? 2 12 2

18. (12 分) (Ⅰ)取 B C 中点 M ,连结 EM , FM , ∵ E , F 分别是 AD , BC 1 的中点,∴ EM // DC , FM // C 1C ,
A1 B1 G C1 D1

EM ? 平面 EFM , FM ? 平面 EFM , EM

FM ? M

DC ? 平面 C1CD , C1C ? 平面 C1CD , DC C1C ? C
A

F E M C D

∴平面 EFM // 平面 C1CDD1 ,而 EF ? 平面 EFM ∴ EF // 平面 C1CDD1 .

B

…6 分

(Ⅱ)取 A 1B 中点 G ,连结 EG ,易知 EA1 ? EB ,而 G 为中点,∴ EG ? A 1B ,

1 2 连结 FG ,则 FG // A1C 1 ,因为正方体棱长为 1 ,在 ?A , 1BC1 中, FG = A1C 1 ? 2 2 3 5 在 Rt ?FME 中, EF ? ,在 Rt ?EAG 中, EG ? , 2 2
∴ FG 2 ? EG 2 ? FE 2 ,即 EG ? FG ,故 EG ? A1C 1 ,
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又A 1 B, AC 1 1 ? 平面 A1BC 1 , A1B ? A1C 1 ? A1 ,∴ EG ? 平面 A1BC 1 . 点 G 到平面 C1DF 的距离就是点 G 到平面 C1DB 的距离, ∵ GA // C1D ,∴ GA ∥平面 C1 DB , 所以点 G 到平面 C1DB 的距离就是点 A 到平面 C1DB 的距离. 易知 S ?BDC1 ?

3 1 , S ?ABD ? ,点 C1 到平面 ABD 的距离为 1 ,设点 G 到平面 C1DF 2 2

的距离为 d ,由V C1- ABD = V A - BDC1 ,得 ? 1? S ?ABD ?

1 3

1 1 3 ? d ? S ?BDC1 ,即 ? d ? , 3 2 2
…12 分

∴d ?

3 3 ,即点 G 到平面 C1DF 的距离为 . 3 3

19. (12 分) (Ⅰ)取 5.5 为中心数,取每个数与 5.5 的偏差计算平均数:
x ? 5.5 ? ?0.8 ? 0.8 ? 3 ? ? ?0.7 ? ? 3 ? 0.7 ? 9 ? ? ?0.6 ? ? 9 ? 0.6 ? 2 ? ? ?0.5? ? 2 ? 0.5 ? ? ?0.4 ? ? 0.4 ? ? ?0.3? ? 0.3 ? 3 ? ? ?0.2 ? ? 3? 0.2 ? 3 ? ? ?0.1? ? 3? 0.1 50 ? 5.5

s2 ?

6 ? 0 .21? ? 6 02 . ?2 ? 2 2? 0.? 3

2 2? 0 ?. 4 50

2 ? 4 ? 0 . 5 ?21? 8 0 .?62 ? 6 0 .27

2 0.8

?

2 2 0.1 6 ? 1 ?6 2 ? 2 ? 2 2? 3 ? 2? 4 ? ? ?

2 ? 4 5 ?

? 128 ? 6 ? 2 6 ? 7?

2

2 8

50
2 0.1 ? ? 6

?

2? 4 1 ?8

2 3 ? 2 1?0 0 ? 6 4 8 ?2? 9 40 . 1 2 81 2 5 0 2 ? ? ? 0.5 50 50

∴ s ? 0.5

x ? 3s ? 5.5 ? 3? 0.5 ? 4 , x ? 3s ? 5.5 ? 3 ? 0.5 ? 7
∴正常产品的取值范围为 ? 4, 7 ? (Ⅱ) x ? 3s, x ? 3s ? ? 4, 7 ? 落在这个范围内的产品共有 50 个, …6 分

?

? ?

50 ?1; 50 50 x ? 2s, x ? 2s ? ? 4.5, 6.5 ? 落在这个范围内的产品共有 50 个, ? 1 ; 50 20 ? 0.4 . x ? s, x ? s ? ? 5, 6 ? 落在这个范围内的产品共有 20 个, 50

?

?

?

∴不能认为很稳定.

…12 分

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20. (12 分) (Ⅰ) 依题意知, ?

c a

1 2 2 b2 c ?2 , ,AB ? 7 , 即a ?b ? 7 , 又 a2 ? 解得 a ? 2 , b ? 3, 2

∴椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3
3 x ? m , P ? x 1 , y 1 ? , Q ? x 2 , y 2 ? 在椭圆上, 2

…5 分

(Ⅱ)设直线 PQ 的方程为 y ?

x2 y2 将直线 l 的方程代入椭圆方程 ? ? 1 ,整理得 3x 2 ? 2 3mx ? 2m 2 ? 6 ? 0 4 3
2 3m 2m 2 ? 6 , x 1x 2 ? ?①, 3 3 m2 ?3 3 3 x1 ? m , y 2 ? x 2 ? m ,∴ y 1 ? y 2 ? m , y 1 y 2 ? 又 y1 ? ?②, 2 2 2
则 ? ? 12m 2 ? 12 2m 2 ? 6 ? 0 , x 1 ? x 2 ? ?

?

?

设过点 A ? 2, 0 ? , P ? x1 , y1 ? , B 0, 3 三点的圆的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 于是 2D ? F ? 4 ? 0 , x 12 ? y 12 ? Dx 1 ? Ey 1 ? F ? 0 , 3E ? F ? 3 ? 0 ∴D ?

?

?

3E ? 1 , F ? ? 3E ? 3 ?③ 2

令 x 22 ? y 22 ? Dx 2 ? Ey 2 ? F ? t ,∵ x 12 ? y 12 ? Dx 1 ? Ey 1 ? F ? 0 ∴ t ? x12 ? y12 ? Dx1 ? Ey1 ? F ? x2 2 ? y2 2 ? Dx2 ? Ey2 ? F
2 2

?

? ?

?

= ? x 1 ? x 2 ? ? 2x 1x 2 ? ? y 1 ? y 2 ? ? 2y 1 y 2 ? D ? x 1 ? x 2 ? ? E ? y 1 ? y 2 ? ? 2F
将①②③式代入此式,并化简,得 t ? 1 ?

3 m ? 2 3E ?④, 3

又 t ? x 2 2 ? y 2 2 ? Dx 2 ? Ey 2 ? F ? x 12 ? y 12 ? Dx 1 ? Ey 1 ? F

?

? ?

?

= ? x 2 ? x 1 ?? x 2 ? x 1 ? ? ? y 2 ? y 1 ?? y 2 ? y 1 ? ? D ? x 2 ? x 1 ? ? E ? y 2 ? y 1 ?
将①②③式,及 y2 ? y1 ?

3 ? x2 ? x1 ? 代入此式,并化简,得 2

? 3 1? t ?? ? m ? 3 E ? ? ? 6 ? ? x 2 ? x 1 ? ? ⑤ , 依 题 意 , x1 ? x2 , 由 ④ ⑤ 得 , 2 ? ?
2t ? t ? 0 ,∴ t ? 0 ,或 x 2 ? x 1 ? ?2 ; x 2 ? x1

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若 x 2 ? x 1 ? ?2 ,则 ? x2 ? x1 ? ? 4 x1 x1 ? 8 ? m ? 4 ,得 m 2 ? 3 ,
2

4 3

∴m = -

3或m =

3,

此时直线 l 经过点 (2, 0), 0, -

(

3 或 (- 2, 0), 0, 3 , 这与直线 l 过椭圆在第一象

)

(

)

限上的一点 P 矛盾,所以 t ? 0 ,故 x 22 ? y 22 ? Dx 2 ? Ey 2 ? F ? 0 ,即点 Q 在过点

A, P, B 三点的圆上,所以 A , P , B ,Q 四点共圆.
21. (12 分) (Ⅰ)易知 h (x ) 的定义域为 (- 1 , +

…12 分

) , h ?(x ) = e x -

1 , x +1

令 j (x ) = e x

1 1 ,则 j ? ,∵当 x > - 1 时,j ? (x ) = e x + (x )> 0 2 x +1 (x + 1)

∴函数 j (x ) 在区间 (- 1, + ∴当 - 1 < x

) 上为增函数,
0 ,即 h ? (x ) ? 0 ,

0 时, j (x ) ? j (0)

当 x > 0 时, j (x ) > j (0) = 0 ,即 h ? (x )> 0 , 故函数 h (x ) 在区间 (- 1,0]上为减函数,在区间 (0, +
x

) 上为增函数.

…6 分

(Ⅱ)令 p (x ) = f (x )?g (x ) x ,则 p (x ) = e ln (x + 1)- x

p? (x ) = e x ln (x + 1)+

ex ex x - 1 ,令 s (x ) = e ln (x + 1) + - 1, x +1 x +1

则s? ln (x + 1) + (x ) = e 犏 犏
x

轾 犏 臌

2x + 1

(x + 1)

2



x ∴当 x ? 0 时, e > 0 , x + 1

1 ,∴ ln (x + 1) 0 ,

2x + 1

(x + 1)

2

> 0,

∴s? (x ) ? 0 ,∴函数 s (x )在区间 [0, + ∴当 x ? 0 时, s (x ) ? s (0) ∴函数 p (x ) 在区间 [0, +

) 为增函数,

0 ,∴ p ? (x ) ? 0 ,

) 为增函数,∴当 x ? 0 时, p (x ) ? p (0) 0
x 成立.
…12 分

即,当 x ? 0 时, f (x )壮 g (x )

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22. (10 分) (Ⅰ)如图:依题意知, BC 为半圆 O 的直径, A 为半圆 O 上一点,∴ ?BAC ? 90? ,又 AD ? BC , ∴ ?BAD ? ?ACD ,又 PA 为半圆 O 的切线, ∴ ?PAB ? ?ACD ,∴ ?PAB ? ?BAD , 即 AB 平分 ? PA D ; …5 分 P ,∴ ?PA B ∽ ?PCA , (Ⅱ)连结 AC ,∵ ?PAB ? ?PCA , ? P

PA PB AB ? ? ,在 Rt D BAC 中, A D ^ CD 于点 D , PC PA AC AB AD BD PA AD PB BD ? ? ? , ? ∴ ,∴ , AC CD AD PC CD PA AD PC PA PB PA PB PC PB BD ? , ? ? ? ∴ ,故 ,即 . DC AD BD AD BD CD PC CD
∴ 23. (10 分) (Ⅰ)依题意 A ? a cos α , b sin α ? , B ? a cos ? α ?

…10 分

? ?

? ?

π? π ?? ? ? , b sin ? α ? ? ? , 2? 2 ?? ?

即 A? a cos α, b sin α ?,B ? ?a sin α, b cos α ?

a ? x ? ? cos α ? sin α ? ? 0 ? α ? 2π ? 3 ? ? 2 设 M ?x , y ? , 则有 ? , 由? , 得0 ? α ? π π 2 0 ? α ? ? 2π ? y ? b ? sin α ? cos α ? ? ? 2 ? ? 2

x=

骣 p÷ π π 7 2 ,而 ? α ? ? π , a cos ? a+ ÷ ? ÷ ? 桫 4 4 4 4 2 骣 ? 桫 p÷ ÷ 4÷
2 2 ,∴ a #x 2 2 1 a, 2 2 b 2
1 ÷ a÷ ÷. 2 ÷
…5 分

∴ - 1 ? cos ? ?a

y=

骣 p÷ 2 2 ,∴ b #y b sin ? a+ ÷ ? ? 桫 4÷ 2 2

骣 2 2x 2 2 y 2 a #x ? ∴ M 轨迹方程为 2 ? 2 ? 1 ? ? ? a b 桫 2
(Ⅱ)直线 AB 的方程为 y ? b sin α ?

b ? cos α ? sin α ? ? x ? a cos α ? ?a ? sin α ? cos α ?

即 b ? cos α ? sin α ? x ? a ?sin α ? cos α ? y ? ab ? 0 ,设点 O 到直线 AB 距离为 d

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d?

ab b 2 ? cos α ? sin α ? ? a 2 ? sin α ? cos α ?
2 2

?

ab a 2 ? b 2 ? ? a 2 ? b 2 ? sin 2α

其中, 0 ? α ? ∴当 α ? 24. (10 分)

3 π, 2
…10 分

π 5 3 2 2 或 π 时, d min ? b ;当 α ? π 时, d max ? a. 4 4 4 2 2
2

2 2 2 (Ⅰ) ? a ? b ? c ? ? a ? b ? c ? 2ab ? 2bc ? 2ac

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?a 2 ? b 2 ? ? ?b 2 ? c 2 ? ? ?a 2 ? c 2 ? ? 3 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 9
∴ a ?b ?c ? 3 , ∴a ?b ?c ? 3 …5 分

? b 2 a2 ? ? c 2 a2 ? ? c 2 b 2 ? 1 1 ? 2 ? 1 2 2 (Ⅱ) ? 2 ? 2 ? 2 ? ? a ? b ? c ? ? 3 ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? c ? c ? ?a b ? a b ? ?a c ? ?b
1 1 1 ?1 1 1? ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 9 ,即 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 3 ? 9 ,∴ 2 ? 2 ? 2 ? 3 a b c c ? ?a b
以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分. …10 分

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