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高中数学教学中分类讨论方法的运用研究


高中数学教学中分类讨论方法的运用研究 摘要:分类讨论法是高中数学解题的重要方法之一,许多问题 都是要进行分类讨论,才能得出完整答案的。本文对高中数学教学 中分类讨论方法的运用进行探讨,并从中找出一些有益的教学方 法。 关键词:高中数学 教学方法 分类讨论 一般来说,数学问题的答案是唯一的,但是却也不是绝对的唯一。 如果条件在一定的区间和范围内有浮动变化的可能,则同一个题目 就可能出现不同的答案。这里讨论的是一题多解的数学问题。也就 是说,当问题是有不同的条件同时发生,解题时就必须要根据这些 条件的变化进行思考,找到各自的答案。而这一般也是高中数学常 见的题型,特别是在函数与集合这些方面而言,解题往往要根据问 题的不同,及条件的差异进行取值。这无疑是增加了学生解题的难 度, 如果学生无法认清其中的各种包含关系, 不能进行适当的分类, 则最终求得的答案可能是某一个部分的,而不是全部的。因此,高 中数学教师应该在教学中根据学生容易忽略某一个方面知识点,解 题不全面的缺点进行总结,并让学生养成分类讨论,全面解题的思 想意识,保证解题过程和答案的完整。 一、含参问题中,以参数的不同取值范围分类讨论 在高中数学问题中,一些含参数的问题,由于参数取值的不同, 会导致问题的不同结果。或者不同的参数要用到不同的推演方法。 而这往往是高中学生学习数学的难点所在。许多学生因为对问题隐 含的多种条件和可能性分析不透,对解题思路和答案的预测也就会 出现偏差。最可能的情况就是学生只是从一个角度去讨论,而没有 多方去思考。而这类问题多半都要根据参数的不同取值情况进行分 类讨论来解决。特别是对一些含有双参数的问题,处理更须谨慎。 因此,高中数学要在教学中注意引导学生进行分类推导,或将两个 参数设法化为一个参数,从而使问题化繁为简,易于进行讨论;或 抓住其中的一个, 以此进行分类, 在问题推进的过程中带进另一个, 随着问题讨论的深入。其对结论的影响趋于变弱或渐趋明朗。举例 说: 求函数 y=kx+l,在 x∈[a,b]上的最值。 解析:在此函数的魑析式中含有参变量 k,而 k 的不同取值直接影 响着问题的结论,k 的几何意义是表示直线的斜率,联想斜率对直 线的影响,问题可就 k 进行分类讨论。 上述问题是含有参变数的问题。对于这种含参问题,引入分类讨 论的思想方法可以说是问题解决的基本策略,而在此依参数的不同 取值划分讨论标准又是一有效的抉择。在此例中我们关注了参数的 几何意义,从而使得讨论更深刻。也就是说,教师要在教材的基础 之上,把分类思想进行进一步的深化,让学生在实际的学习中收获 更多的知识。 二、依据运算的要求分类讨论 在高中数学中,许多运算都有比较严格的要求限制,在运算过程 中必须按要求进行。如在进行除法运算时,除式应当不为零;在实 数范围内开偶次方,要求被开方数必须非负;对数之真数部位一定 是正数;在求解方程或不等式时,两边相乘,除的同一个数(或式 子)又应该区分是正数、负数还是零。所有这些在各级运算中必须 加以考虑。正是基于这一点,当我们对某些运算情况不明时,就要 依此划分标准,进行分类讨论,以求得问题的圆满解答。因此,高 中学生在进行解题的过程中,就必须要把各种可能性进行分类讨 论,唯此才能得出完整的答案。 例如:解关于 x 的不等式 a ?? 2x ?+10,且 a≠1) 。 解析:此题是关于指数不等式的求解问题。原不等式可化为 a ? ? 2x ?-(a ?? 2 ?+d ?? 12 ?)a ?? 2x ?+1<0,此为一关 于 a ?? x ?的二

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