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2012年各地高考模拟试题中导数题大汇编


2012 年各地高考模拟试题中导数题大汇编(截止 3 月底)
(淘题整理:顾桂斌)
一、填空题: 1、设函数 f ?x ? ? x ? 6 x ,则 f ? x ? 在 x ? 0 处的切线斜率为
2

. 【答案】 ?6 . 【答案】D

2、函数 y ? x ? 2 sin x, x ? ??

? ? ?? , ? 的大致图象是 ? 2 2?

3、函数 f ?x ? ? ax ? x ? 1有极值的充要条件是
3

.【答案】 a ? 0

0.3 0.3 4、 已知 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x ? 0 时不等式 f ? x ? ? xf ' ? x ? ? 0 成立, a ? 3 ? f 3 若 、

? ?

1 1 b ? log? 3 ? f (log? 3) 、 c ? log3 ? f (log3 ) ,则 a 、 b 、 c 大小关系是 9 9 x ?1 5、设曲线 y ? 在点 (3, 2) 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? x ?1
6、已知曲线 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 1 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 3 ,且 x ?
3 2

.【答案】 c ? b ? a .【答案】 ?2

则 a ?b ?

.【答案】 ?2
/

2 是 y ? f (x) 的极值点, 3
/

7、已知对任意实数 x ,有 f (? x) ? ? f ( x) 、 g (? x) ? g ( x) 且 x ? 0 时, f ( x) ? 0 、 g ( x) ? 0 ,则 x ? 0 时 . A. f ' ( x) ? 0, g ' ( x) ? 0 B. f ' ( x) ? 0, g ' ( x) ? 0
'

C. f ' ( x) ? 0, g ' ( x) ? 0

D. f ' ( x) ? 0, g ' ( x) ? 0 【答案】B . 【答案】A

8、函数 f (x) 的图像如图, f ( x) 是 f (x) 的导函数,则下列数值排列正确的是

-1-

A. C.

0 ? f ' (2) ? f ' (3) ? f (3) ? f (2) 0 ? f ' (3) ? f ' (2) ? f (3) ? f (2)

B. D.

0 ? f ' (3) ? f (3) ? f (2) ? f ' (2) 0 ? f (3) ? f (2) ? f ' (2) ? f ' (3)
.【答案】 y ? x ? 2 .【答案】 y ? 2 x ? 1 .【答案】 (??,5] .【答案】 a ? ?1

9、曲线 y ? 4 x ? x 3 在点 (?1, ?3) 处的 切线方程是 10、曲线 y ?

x 在点 (?1, ?1) 处的切线方程为 x?2
3 2

11、已知函数 f ( x) ? 3x ? ax ? x ? 5 在区间 [1,2] 上单调递增,则 a 的取值范围是 12、设 a ? R ,若函数 y ? e ? ax, x ? R 有大于零的极值点,则实数 a 取值范围是
x

13、函数 y ? ? x ? 3x 在点 (1, 2) 处的切线方程为
3 2

.【答案】 y ? 3 x ? 1 .【答案】 e
3

14、设 f ( x) ? x ln x ,若 f ?( x0 ) ? 2 ,则 x0 ?
2

15、 已知曲线 y ? x ? 1 在 x ? x0 处的切线与曲线 y ? 1 ? x 在 x ? x0 处的切线互相平行, x0 的值为 则 【答案】 0 或-

.

2 3
.【答案】 4 x ? y ? 4 ? 0

16、若幂函数 f ( x) 的图象经过点 A(2, 4) ,则它在 A 点处的切线方程为 17、已知 f ( x) ? x ? 3xf ?(1)
2

则 f ?(2) 为

.【答案】 1 ,其图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则它在点 .【答案】 y ? ?2 x ? 3
2

18、已知函数 f ( x ) ? ?

? ax 2 ? bx ? c ? f (? x ? 2)

x ? ?1 x ? ?1

(?3, f (?3)) 处的切线方程为
A. f ( ?1) = f (1)
x

19、已知函数 f ( x ) 在 R 上可导,且 f ( x ) ? x ? 2 x ? f ?( 2 ) ,则 f ( ?1) 与 f (1) 的大小是 B. f ? ?1? ? f (1) C. f ( ?1) ? f ?1? D.不确定 【答案】B

.

20、函数 f ( x) ? e ? x (e 为自然对数的底数)在区间 [?1,1] 上的最大值是 21、函数 y ? f ? x ? 的导函数图象如图所示,则下面判断正确的是

.【答案】 e ? 1 .【答案】C

-2-

A.在 ? ?3,1? 上 f ? x ? 是增函数 C.在 x ? 2 处 f ? x ? 取极大值 22、 f ( x) ? ax ? 3x ? 2 ,若 f ?(?1) ? 4 ,则 a =
3 2

B.在 x ? 1 处 f ? x ? 有极大值 D.在 ?1, 3 ? 上 f ? x ? 为减函数 .【答案】

10 3

23、定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (4) ? 1 , f ?(x) 为 f (x) 的导函数,已知 y ? f ?(x) 的图象如图所示,

若两个正数 a 、 b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则 A. ( , )

b?2 的取值范围是 a?2
C. ( ,3)

.

1 1 3 2

B. (??, ) ? (3,??)

1 2

1 2

D. (??,3)

【答案】C

24、已知 f ?(x) 是函数 f (x) 的导数, y ? f ?( x) 的图象如图所示,则 y ? f ( x) 的图象最有可能是下图



.

【答案】B

-3-

25、函数 y ? x cos x ? sin x 的一个递增区间是 A. ( ,

.

? 3?
2 2

)

B. (? ,2? )

C. (

3? 5? , ) 2 2

D. (2? ,3? ) .【答案】 (0,

【答案】B

26、函数 f ( x) ? 3 ? x ln x 的单调递减区间是

1 ) e

27、 f ( x) ? ? x3 ? ax 2 ? x ? 1 在 (??, ??) 上是单调函数, 设 则实数 a 的取值范围是 28、若函数 f ( x) ?
x2 ? a 在 x ? 2 处取得极值,则 a ? x ?1

[ . 答案】 ? 3, 3] 【

.【答案】 8 .

29、定义在 R 上的函数 y ? f ( x) ,满足 f (4 ? x) ? f ( x),( x ? 2) f '( x) ? 0 ,若 x1 ? x2 且 x1 ? x2 ? 4 、则 A. f ( x1 ) ? f ( x2 )
x

B. f ( x1 ) ? f ( x2 )

C. f ( x1 ) ? f ( x2 )

D.不确定 .【答案】1

【答案】B

30、函数 f ( x) ? 3 ? sin x ( x ? [0,1) 的最小值
/

31、已知函数 f ( x) 的定义域为 [?2, ??) ,部分对应值如下表, f ( x) 为 f ( x) 的导函数,函数 y ? f ( x) 的
/

图象如图所示.若实数 a 满足 f (2a ? 1) ? 1 ,则 a 的取值范围是

.

x f(x)

-2 1

0 -1

4 1

【答案】 ? ?

? 3 3? , ? ? 2 2?
.【答案】 5 .【答案】 3x ? y ? 1 ? 0 .【答案】 ? ??, 0 ? . 【答案】

32、函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 ,已知 f ( x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a ?
3 2

33、曲线 y= x ? 3 x 有一条切线与直线 3x ? y ? 0 平行,则此切线方程为
3 2

34、若曲线 f ( x) ? ax ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是
3

2 2 35、如图所示的曲线是函数 f ( x) ? x 3 ? bx 2 ? cx ? d 的大致图象,则 x1 ? x 2 等于

16 9

-4-

36、若幂函数 f ( x) 的图象经过点 A(2, 4) ,则它在 A 点处的切线方程为 37、函数 y ? f ( x) 在定义域 ( ?

.【答案】 4 x ? y ? 4 ? 0

f / ( x) ? 0 的解集为

3 ,3) 内的图象如图所示,记 y ? f ( x) 的导函数为 y ? f / ( x) ,则不等式 2 1 . 【答案】 [? ,1] ? [2,3] 3

38、定义域为 (??,0) ? (0,??) 的偶函数 f (x) 在区间 (0, ??) 上的图象如图所示,则不等式 f ( x) f ' ( x) ? 0 的解集是 .

A. (??, 0) ? (0,1) ;B. (?1,0) ? (1,??) ;C. (??,?1) ? (1,??) ;D. (?1, 0) ? (0,1) 【答案】B
/ 39、 定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 对任意 x 满足 f (3 ? x) ? f ( x) ,( x ? ) f ( x) ? 0 , x1 ? x2 且 x1 ? x2 ? 3 , 若

3 2

则有

. (B) f ( x1 ) ? f ( x2 ) (C) f ( x1 ) ? f ( x2 ) (D)不确定 【答案】B

(A) f ( x1 ) ? f ( x2 )

40、已知点 P 在曲线 y ?

4 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围是 e ?1
x

.

【答案】 [

3? ,? ) 4
-5-

41、若函数 f ( x ) ?

x2 ? a 在 x ? 1 处取极值,则 a ? x ?1
3 2

.【答案】 3

42、已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c( x ? [?2,2]) 的图象过原点,且在 x ? 1 处的切线的倾斜角均为
3

3? ,现 4

有以下三个命题:① f ( x) ? x ? 4 x( x ? [?2,2]) ;② f (x) 的极值点有且只有一个;③ f (x) 的最大值与最 小值之和为零,其中真命题的序号是 43、曲线 y ? x ? x ? 1 在点 ?1, 3 ? 处的切线方程是
3

.【答案】①③ .【答案】 4 x ? y ? 1 ? 0

1 在点 (1,1) 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? .【答案】 ? 1 x 2 45、若函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 在其定义域内的一个子区间 (k ? 1, k ? 1) 内不是单调函数,则实数 k 的取值范围 ..
44、设曲线 y ? 是 .【答案】 [1, )
/

3 2

46、设 f (x) 是一个三次函数, f ' ( x) 其导函数,如图所示是函数 y ? xf ( x) 的图像的一部分,则 f (x) 的极

大值与极小值分别为 【答案】 f (?2) 与 f (2) 二、解答题: 47、已知函数 f ( x) ?

.

1 2 ax ? 2 x 、 g ( x) ? lnx . 2

(Ⅰ)如果函数 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调函数,求 a 的取值范围. (Ⅱ)是否存在正实数 a ,使得函数 ? ? x ? ?

g ( x) 1 ? f ?( x) ? (2a ? 1) 在区间 ( , e) 内有两个不同的零点?若存 x e

在,请求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

解析: (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 x 在 [1, ??) 上是单调增函数,符合题意,
当 a ? 0 时, y ? f ( x) 的对称轴方程为 x ? ?

2 2 ,由于 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调函数,所以 ? ? 1 ,解得 a a

a ? ?2 或 a ? 0 ,综上, a 的取值范围是 a ? 0 或 a ? ?2 .
(Ⅱ) ? ? x ? ?

lnx 1 ? (ax ? 2) ? (2a ? 1) ,因 ? ? x ? 在区间( , e )内有两个不同的零点,所以 ? ? x ? ? 0 , x e

-6-

即方程 ax ? (1 ? 2a) x ? lnx ? 0 在区间( , e )内有两个不同的实根、设 H ( x) ? ax ? (1 ? 2a) x ? lnx
2 2

1 e

( x ? 0) 、 H ?( x) ? 2ax ? (1 ? 2a) ?
数,解得 x ? 1 或 x ? ?

1 2ax 2 ? (1 ? 2a) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) 、令 H ?( x) ? 0 ,因为 a 为正 ? ? x x x
H ( x) 是减函数;当 x ? (1, e) 时, H ?( x) ? 0 ,

1 1 (舍) 、当 x ? ( ,1) 时, H ?( x) ? 0 , 2a e

? 1 ? H ( e ) ? 0, ? 1 H ( x) 是增函数. 为满足题意、只需 H ( x) 在( , e )内有两个不相等的零点, 故 ? H ( x) min ? H ?1? ? 0, e ? H (e) ? 0, ? ?
解得 1 ? a ?

e2 ? e . 2e ? 1
3 2

48、 定义在 R 上的函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? 3 同时满足以下条件: f (x) 在 ? 0,1? 上是减函数, ?1, ?? ? ① 在 上是增函数;② f ( x) 是偶函数;③ f (x) 在 x ? 0 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直.
/

(Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的解析式; (Ⅱ)设 g ( x) ? 4ln x ? m ,若存在 x ? ?1, e?,使 g ( x) ? f ?( x) ,求实数 m 的取值范围.
2 解析: (Ⅰ) f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c 、∵ f (x) 在 ? 0,1? 上是减函数,在 ?1, ?? ? 上是增函数,

∴ f (1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 ??① 、由 f ( x) 是偶函数得 b ? 0 ?? ② ,又 f (x) 在 x ? 0 处的切线与直线
/

/

1 1 y ? x ? 2 垂直, f ?(0) ? c ? ?1 ??③,由①②③得 a ? , b ? 0, c ? ?1 ,即 f ( x) ? x 3 ? x ? 3 ; 3 3
(Ⅱ)由已知得:若存在 x ? ?1, e?,使 4ln x ? m ? x 2 ? 1,即存在 x ? ?1, e? ,使 m ? 4ln x ? x 2 ? 1 , 设 M ( x) ? 4 ln x ? x ? 1
2

x ? ?1, e? ,则 M ?(x) ?

4 4 ? x2 2 ?x ? 2 、 M ?( x) ? 0 、 x ? ?1, e? , x ? 2 令 ∵ ∴ x x

当 x ? 2 时,M ?( x) ? 0 , M ( x) 在 ( 2, e] 上为减函数、 1 ? x ? 2 时,M ?( x) ? 0 , M ( x) 在 [1, 2] ∴ 当 ∴ 上为增函数,∴ M ( x) 在 [1, e] 上有最大值.又 M (1) ? 1 ? 1 ? 0, M (e) ? 2 ? e ? 0 ,∴ M ( x) 最小值为 2 ? e2 、
2

于是有 m ? 2 ? e2 为所求. 49、已知函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ( k 常数). ①求函数 f ( x) 的单调区间;②若 f ( x) ? x ? ln x 恒成立,求 k 的取值范围.
3

-7-

1 ? 2k .∵ f (x) 的定义域为 (0, ??) ,∴当 k ? 0 时, x 1 1 1 1 当 由 ? 2k ? 0 可得 x ? , f ( x) 在 (0, ) ∴ f ' ( x) ? ? 2k ? 0 ,f (x) 在 (0, ??) 上是增函数、 k ? 0 时, x 2k 2k x 1 是增函数,在 ( , ??) 上是减函数. 2k 1 综上,当 k ? 0 时, f ( x) 的单调增区间是 (0, ??) , 当 k ? 0 时, f ( x) 的单调增区间是 (0, ) ,单调减区 2k 1 间是 ( , ??) ; 2k

解析: (1)由 f ( x) ? ln x ? 2kx 可得 f ' ( x) ?

(2)由 f ( x) ? x 3 ? ln x 恒成立,可得 x ? 2kx ? 0 恒成立, x ? (0,??) .即 2kx ? ? x ,∴ 2k ? ? x 恒成立、
3 3 3

∵ ? x ? 0 、∵ 2k ? 0, k ? 0 、∴ k 的取值范围是 [0, ??) .
2

50、已知函数 f ( x) ? kx, g ( x) ? (Ⅰ)求函数 g ( x) ?

ln x . x

ln x 的单调区间; x

(Ⅱ)若不等式 f ( x) ? g ( x) 在区间 (0,??) 上恒成立,求实数 k 的取值范围.

ln x 1 - ln x ‘ ‘ ,故其定义域为 (0,??) 、? g ( x) ? 、令 g (x) ? 0 ,得 0 ? x ? e 、 (x ? 0) 2 x x ln x ‘ 令 g (x) ? 0 ,得 x ? e 、故函数 g ( x) ? 的单调递增区间为 (0, e) 、单调递减区间为 (e,??) ; x ln x ln x ln x 1 - 2 ln x ‘ ‘ (Ⅱ)? x ? 0, kx ? 、令 h ( x) ? 0 、解得 x ? e , ? k ? 2 、令 h( x) ? 2 、又 h ( x) ? x x x x3

解析: (Ⅰ)? g ( x) ?

当 x 在 (0,??) 内变化时, h (x ) , h(x ) 变化如下表


x
‘ h (x )

(0, e )
+ ↗

e
0

( e ,??)


h(x)

1 2e

由表知,当 x ? e 时函数 h(x ) 有最大值,且最大值为 51、已知 a 是实数,函数 f ( x) ? x ( x ? a) .
2

1 1 ,所以, k ? . 2e 2e

(1)若 f

/

?1? ? 3 ,求 a 的值及曲线 y ?

f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;

(2)求 f (x) 在区间 [0, 2] 上的最大值.
/ 2 解析: (1) f '( x) ? 3x ? 2ax .因为 f '(I) ? 3 ? 2a ? 3 ,所以 a ? 0 .又当 a ? 0 时, f (1) ? 1 、 f (1) ? 3 ,

-8-

所以曲线 y ? f ( x)在(1, f (I)) 处的切线方程为 3x- y- 2= 0 . (2)令 f '( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0, x2 ? 当

2a . 3

2a ? 0 ,即 a ? 0 时, f ( x) 在 [0, 2] 上单调递增,从而 f max ? f (2) ? 8 ? 4a . 3 2a 当 ? 2 时,即 a ? 3 时, f ( x) 在 [0, 2] 上单调递减,从而 f max ? f (0) ? 0 . 3
当0 ?

2a ? 2a ? ? 2a ? ? 2 ,即 0 ? a ? 3 , f ( x) 在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? , 2 ? 上单调递增. 3 ? 3 ? ? 3 ?

从而 f max ? ?

?8 ? 4a, 0 ? a ? 2. ? ?0, ? 2 ? a ? 3.

、故函数 f ? x ? 的最大值为 8 ? 4a 或 0 .

52、已知 f ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e], g ( x) ?

ln x ,其中 e 是自然常数, a ? R . x 1 ; 2

(1)讨论 a ? 1 时, f ( x) 的单调性、极值; (2)求证:在(1)的条件下, f ( x) ? g ( x) ?

(3)是否存在实数 a ,使 f ( x) 的最小值是 3 ,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

解析: (1)? f ( x) ? x ? ln x, f ' ( x) ? 1 ?

1 x ?1 ' ,∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递减, ? x x ' 当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递增,∴ f ( x) 的极小值为 f (1) ? 1 ;

(2)? f ( x) 的极小值为 1,即 f ( x) 在 (0, e] 上的最小值为 1 、∴ f ( x) ? 0, f ( x) min ? 1, 令 h( x ) ? g ( x ) ?

1 ln x 1 1 ? ln x ' ,当 0 ? x ? e 时, h ( x) ? 0 , h( x ) 在 (0, e] 上单调递增, ? ? , h' ( x) ? 2 2 x 2 x 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 1 ? f ( x)min 、∴在(1)的条件下, f ( x) ? g ( x) ? ; e 2 2 2 2
1 ax ? 1 ? x x

∴ h( x)max ? h(e) ?

(3)假设存在实数 a ,使 f ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e] 有最小值 3 , f ' ( x) ? a ?
'

① 当 a ? 0 时,? x ? (0, e] ? f ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 、 解得 a ? ②当 0 ?

4 (舍) ,所以,此时 f ( x) 无最小值. e

1 1 1 1 ? e 时, f ( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增、 f ( x)min ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3 ,a ? e2 , a a a a

满足条件.

1 ? e 时,? x ? (0, e ],? f ' (x ) ? 0,所以 f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x)min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 ,解 a 4 得 a ? (舍) ,所以,此时 f ( x) 无最小值. e
③ 当
-9-

综上,存在实数 a ? e2 ,使得当 x ? (0, e] 时 f ( x) 有最小值 3 . 53、为了在如图所示的直河道旁建造一个面积为 5000m 的矩形堆物场,需砌三面砖墙 BC 、 CD 、 DE ,出 于安全原因,沿着河道两边需向外各砌 10m 长的防护砖墙 AB 、 EF ,若当 BC 的长为 xm 时,所砌砖墙 的总长度为 ym ,且在计算时,不计砖墙的厚度,求 (1) y 关于 x 的函数解析式 y ? f ( x) ; (2)若 BC 的长不得超过 40m ,则当 BC 为何值时, y 有最小值,并求出这个最小值.
2

解析: (1) y ? f ?x ? ? 2x ?
(2)令 2x ?

5000 ? 20 x

?x ? 0 ? ;

5000 5000 5000 ( 40 得 x ? 50 ? 0, ] 、因为 y / ? 2 ? 在 (0, 40] 恒小于 0 、所以 y ? 2x ? ? 20 2 x x x

在 (0, 40] 内递减、故当 x ? 40m 时. y 取理最小值 225m .

河道
A B C E j D F

54、已知函数 f ( x) ? ax ? bx ( x ? R) .
3

(1)若函数 f (x) 的图象在点 x ? 3 处的切线与直线 24 x ? y ? 1 ? 0 平行,函数 f (x) 在 x ? 1 处取得极值, 求函数 f (x) 的解析式,并确定函数的单调递减区间; (2)若 a ? 1 ,且函数 f (x) 在 [?1,1] 上是减函数,求 b 的取值范围.
3 / 2 解析: (1)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ( x ? R) , f ( x) ? 3ax ? b ,函数 f (x) 图象在点 x ? 3 处的切线与直

? 线 24 x ? y ? 1 ? 0 平行,且函数 f (x) 在 x ? 1处取得极值, f (3) ? 27 a ? b ? 24 ,且 f (1) ? 3a ? b ? 0 ,
/ /

解得 a ? 1, b ? ?3 、? f ( x) ? x ? 3x ,且 f ( x) ? 3x ? 3 、令 f ( x) ? 3x ? 3 ? 0 ? ?1 ? x ? 1 ,所以函
3 / 2 / 2

数的单调递减区间为 [?1,1] ;

? (2) a ? 1 时,f ( x) ? x ? bx ( x ? R) , 当 又函数 f (x) 在 [?1,1] 上是减函数、 f ( x) ? 3x ? b ? 0 在 [?1,1]
3 / 2

上恒成立,即 b ? ?3x 2 在 [?1,1] 上恒成立?b ? ?3 .函数 f ( x) ? ? x ? 3x ,设 g ( x) ? 6ln x ? f ?( x) (其中
3 2

,若曲线 y ? g ( x) 在不同两点 A( x1 , g ( x1 )) 、 B( x2 , g ( x2 )) 处的切线互相平行,且 f ?(x) 为 f (x) 的导函数)

- 10 -

g ( x1 ) ? g ( x2 ) 6 ? m 恒成立,求实数 m 的最大值.? g ( x) ? 6ln x ? 3x 2 ? 6 x 、? g ?( x) ? ? 6 x ? 6 、依题意 x1 ? x2 x
有 g ?( x1 ) ? g ?( x2 ) ,且 x1 ? x2 、即

6 6 ? 6 x1 ? 6 ? ? 6 x2 ? 6 ,∴ x1 x2 ? 1 、 x1 x2

2 3( x1 ? x2 ) 2 ? 6( x1 ? x2 ) ? 6 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 6 ln( x1 x2 ) ? 3( x12 ? x2 ) ? 6( x1 ? x2 ) ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2

? 3( x1 ? x2 ) ?

6 6 ? 6 、令 x1 ? x2 ? t ,则 t ? 2 、?? (t ) ? 3t ? ? 6 在 (2, ??) 上单调递增、 x1 ? x2 t
g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ?3 、? m ? ?3 、?实数 m 的最大值为 ?3 . x1 ? x2

?? (t ) ? ? (2) ? ?3 、?
55、已知函数 f ( x) ?

1 3 m mx ? (2 ? ) x 2 ? 4 x ? 1, g ( x) ? mx ? 5 . 3 2

(1)当 m ? 4 时,求 f ( x) 的单调递增区间; (2)是否存在 m ? 0 ,使得对任意的 x1 , x2 ? [2,3] ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 1 恒成立.若存在,求出 m 的取值范 围;若不存在,请说明理由.

解 析 : (1) f ?( x) ? m x 2 ? (4 ? m) x ? 4 ? ( x ? 1)(mx ? 4) 、 当 m ? 4 时 , f ?( x) ? 4( x ? 1) 2 ? 0 , ∴ f ( x) 在
4 4 ? 1 , ∴ f ( x) 的递增区间为 (??, ), (1, ??) . m m 4 4 (2) 假 设 存 在 m ? 0 , 使 得 命 题 成 立 , 此 时 f ?( x) ? m( x? 1)(x? . ) ∵ m ? 0 , ∴ ? 1 . 则 f ( x) 在 m m 4 4 (??, ) 和 (1, ??) 递减,在 ( ,1) 递增.∴ f ( x) 在[2,3]上单减,又 g ( x) 在 [2,3] 单减. m m 2 ∴ f ( x)max ? f (2) ? m ? 1, g ( x)min ? g (3) ? 3m ? 5 .因此,对 x1 , x2 ? [2,3], f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 1 恒成立. 3 2 15 即 [ f ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? 1 , 亦即 f ( x1 )max ? g ( x2 )min ? 1 恒成立.∴ m ? 1 ? (3m ? 5) ? 1 、∴ m ? ? . 3 7 15 又 m ? 0 ,故 m 的范围为 [? , 0) . 7 1 2 56、已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? x ? x ? a . 2
(??, ??) 上单增,当 m >4 时,
(1)当 a ? 2 时,求 函数y ? g ( x)在[0,3] 上的值域;(2) 求函数 f ( x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; (3) 证明: 对一切 x? (0, ??) ,都有 x ln x ?

g ?( x) ? 1 2 ? 成立. ex e

解 析 : 1 ) ∵ g (x) = (

1 3 3 ( x ? 1) 2 ? , x ?[0,3] , 当 x ? 1 时 , g m i n( x) ? g (1) ? ; 当 x ? 3 时 , 2 2 2
- 11 -

g max ( x) ? g (3) ?

7 3 7 、故 g (x) 值域为 [ , ] ; 2 2 2
1 e 1 e

(2) f '( x) ? ln x ? 1 ,当 x ? (0, ) , f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减,当 x ? ( , ??) , f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. ① 0 ? t ? t ? 2 ? , t 无解;

1 e

1 1 1 1 ? t ? 2 ,即 0 ? t ? 时, f ( x)min ? f ( ) ? ? ; e e e e 1 1 ③ ? t ? t ? 2 ,即 t ? 时, f ( x) 在 [t, t ? 2] 上单调递增, f ( x)min ? f (t ) ? t ln t . e e
②0?t ? 57、已知函数 f ( x) ?

1 3 . x ? ax 2 ? bx ( a 、 b ? R ) 3

(Ⅰ) 曲线 C : y ? f ( x) 经过点 P(1, 2) ,且曲线 C 在点 P 处的切线平行于直线 y ? 2 x ? 1 ,求 a 、 b 的值; (Ⅱ) 已知 f ( x) 在区间 (1, 2) 内存在两个极值点,求证: 0 ? a ? b ? 2 .

1 ? ? f (1) ? ? a ? b ? 2, 2 解析:(Ⅰ) f ?(x) = x ? 2ax ? b ,由题设知 ? 3 ? f ?(1) ? 1 ? 2a ? b ? 2, ?

2 ? ?a ? ?3, ? 解得 ? ?b ? 7. ? 3 ?

(Ⅱ)因为 f ( x) 在区间 (1, 2) 内存在两个极值点,所以 f ?( x) ? 0 ,即 x2 ? 2ax ? b ? 0 在 (1, 2) 内有两个不等的

? f ?(1) ? 1 ? 2a ? b ? 0, ? f ?(2) ? 4 ? 4a ? b ? 0, ? 实根.故 ? ?1 ? ?a ? 2, ?? ? 4(a 2 ? b) ? 0. ?

(1) (2) (3) (4)
1 2
由 (1)+(3)得 a ? b ? 0 、由(4)得 a ? b ? a 2 ? a ,

1 ? 2 ,从而 a ? b ? 2 、所以 0 ? a ? b ? 2 . 4 58、请你设计一个包装盒,如图所示, ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全 等的等腰直角三角形 ,再沿虚线折起,使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P ,正好形成一个正四棱柱形状的 包装盒, E 、 F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE ? BF ? xcm .
因 ?2 ? a ? ?1 ,故 a 2 ? a ? (a ? ) 2 ? (1)若广告商要求包装盒侧面积 S (cm ) 最大,试问 x 应取何值? (2)若广告商要求包装盒容积 V (cm ) 最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
3 2

- 12 -

解析: 设包装盒的高为 h(cm) , 底面边长为 a(cm) , 由已知得 a ? 2 x, h ?
2

60 ? 2 x ? 2(30 ? x)(0 ? x ? 30) 2

(1) S ? 4ah ? 8 x(30 ? x) ? ?8( x ? 15) ? 1800 、所以当 x ? 15 时, S 取得最大值. (2) V ? a 2h ? 2 2( ? x 2 ? 30 x 2 ),V ' ? 6 2 x(20 ? x ) .由 V ' ? 0 得 x ? 0 (舍)或 x ? 20 .当 x ? (0,20) 时,

V ' ? 0 ;当 x ? (20,30) 时,V ' ? 0 、所以当 x ? 20 时,V 取得极大值,也是最大值.此时
的高与底面边长的比值为

h 1 ? ,即包装盒 a 2

1 . 2 m 59、已知函数 f ( x) ? mx ? , g ( x) ? 2ln x . x

(1)当 m ? 2 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 x ? (1, e] 时,不等式 f ( x) ? g ( x) ? 2 恒成立,求实数 m 的取值范围.

2 2 解析: m ? 2 时,f ( x) ? 2 x ? , f '( x) ? 2 ? 3 , f '(1) ? 4 、 (1) 切点坐标为 (1, 0) , ∴切线方程为 y ? 4 x ? 4 ; x x
1 1 2 ( x ? 1) (2) m ? 1时,令 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? x ? ? 21ln x, 则h '( x ) ? 1 ? 2 ? ? ?0 x x x x2
2

∴ h ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数. 又 h(e).h( ) ? ?( ? e ? 2) 2 ? 0,? h( x) 在 ( , e) 上有且只有一个零点、 ∴方程 f ( x) ? g ( x) 有且仅有一个实数根; (或说明 h(1) ? 0 也可以) ;

1 e

1 e

1 e

m ? 2ln x ? 2 恒成立,即 m( x 2 ? 1) ? 2 x ? 2 x ln x 恒成立,`? x 2 ? 1 ? 0 x 2 x ? 2 x ln x 2 x ? 2 x ln x 则当 x ? (1, e] 时, m ? 恒成立,令 G ( x ) ? , 当 x ? (1, e] 时, 2 x ?1 x2 ? 1
(3)由题意知, mx ?

G '( x) ?
G ( e) ?

?2( x 2 ? 1).ln x ? 4 ? 0 、则 G ( x ) 在 x ? (1, e] 时递减,∴ G ( x ) 在 x ? (1, e] 时的最小值为 ( x 2 ? 1) 2
4e 4e ,则 m 的取值范围是 ( ??, 2 ). e ?1 e ?1
2

60、已知函数 f ( x) ? x ? a ln x .
2

(1)当 a ? ?2e 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x 在 [1, 4] 上是减函数,求实数 a 的取值范围.

解析: (1)函数 f (x) 的定义域为 (0, ??) 、当 a ? ?2e 时, f ?( x) ? 2 x ?

2e 2( x ? e )( x ? e ) 、当 x 变 ? x x

- 13 -

化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下:

? f (x) 的单调递减区间是 (0, e ) 单调递增区间是 ( e ,??) ;
(2)由 g ( x) ? x ? a ln x ? 2 x ,得 g ?( x) ? 2 x ?
2

a ? 2 、又函数 g ( x) ? x 2 ? a ln x ? 2 x 为 [1, 4] 上的单调 x a 减函数,则 g ?( x) ? 0 、在 [1,4] 上恒成立,所以不等式 2 x ? ? 2 ? 0 在 [1, 4] 上恒成立,即 a ? 2 x ? 2 x 2 x
在 [1, 4] 上恒成立. ? ( x) ? 2 x ? 2 x , 设 显然 ? (x) 在 [1, 4] 上为减函数, 所以 ? (x) 的最小值为 ? (4) ? ?24 、
2

?a 的取值范围是 a ? ?24 .
61、某食品厂进行蘑菇的深加工,每公斤蘑菇的成本 20 元,并且每公斤蘑菇的加工费为 t 元( t 为常数, 且2?t ?5) ,设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为 x 元( 25 ? x ? 40 ) ,根据市场调查,日销售量 q 与

e x 成反比,当每公斤蘑菇的出厂价为 30 元时,且销售量为 100 公斤(每日利润=日销售量×(每公斤出
厂价-成本价-加工费). ) (1)求该工厂的每日利润 y 元与每公斤蘑菇的出厂价 x 元的函数关系式; (2)若 t ? 5 ,当每公斤蘑菇的出厂价 x 为多少元时,该工厂的利润 y 最大,并求最大值.

解析: (Ⅰ)设日销量 q ?
?y ?

100e30 k k 、 , 则 30 ? 100,? k ? 100e30 、?日销量 q ? ex ex e

100e30 ( x ? 20 ? t ) (25 ? x ? 40) ; ex 100 e 30 ( x ? 25) 100e30 (26 ? x) / / (Ⅱ)当 t ? 5 时, y ? 、 y? ? 、由 y ? 0 得 x ? 26 ,由 y ? 0 得 x ? 26 , x x e e 4 所以当 x ? 26 时 ymax ? 100e 、 当每公斤蘑菇的出厂价为 26 元时, 该工厂的利润最大, 最大值为 100e4 元.
62、某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩, 经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2 ? 设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为 y 万元. (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小?

x ) x 万元.假

解析: (Ⅰ)设需要新建 n 个桥墩, (n ? 1) x ? m 即 n ?
所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x )x=256( (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f '( x) ? ?

m ?1 、 x

m m 256 x ? m x ? 2m ? 256. -1)+ (2 ? x ) x ? x x x
3

256m x
2

3 3 1 m ? mx 2 ? 2 ( x 2 ? 512). 令 f '( x) ? 0 ,得 x 2 ? 512 ,所以 x ? 64 2 2x

当 0 ? x ? 64 时 f '( x) ? 0 、 f ( x) 在区间 (0,64) 内为减函数;当 64 ? x ? 640 时, f '( x) ? 0 、 f ( x) 在区 间 (64,640) 内为增函数、所以 f ( x) 在 x ? 64 处取得最小值,此时 n ?

m 640 ?1 ? ? 1 ? 9. 故需新建 9 个桥墩 x 64

- 14 -

才能使 y 最小. 63、已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? 6 x ? 1 ,当 x ? 2 时,函数 f (x) 取得极值. 3

(I)求实数 a 的值; (II)若 1 ? x ? 3 时,方程 f ( x) ? m ? 0 有两个根,求实数 m 的取值范围.

解析: (I)由 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? 6 x ? 1 ,则 f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? 6 、因在 x ? 2 时, f (x) 取到极值, 3 5 所以 f ?(2) ? 0 ? 4 ? 4a ? 6 ? 0 、解得 a ? ? ; 2 1 3 5 2 2 (II)由(I)得 f ( x) ? x ? x ? 6 x ? 1 且 1 ? x ? 3 、则 f ?( x) ? x ? 5 x ? 6 ? ( x ? 2)( x ? 3) 3 2
由 f ?( x) ? 0 解得 x ? 2 或 x ? 3 ; f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 3 或 x ? 2 ; f ?( x) ? 0 ,解得 2 ? x ? 3

? f (x) 的递增区间为: (??,2) 和 (3,??) ; f (x) 递减区间为: (2,3) 、又 f (1) ?
要 f ( x) ? m ? 0 有 两个根,则 f ( x) ? ?m 有两解,由图知 ?

17 11 7 , f (2) ? , f (3) ? 6 3 2

11 7 ?m?? . 3 2

64、 某商场预计 2010 年从1 月起前 x 个月顾客对某种世博商品的需求总量 P ( x) 件 2010 年世博会在上海召开, 与月份 x 的近似关系是: P( x) ?

1 . x( x ? 1)(41 ? 2 x) ( x ? 12 且 x ? N ? ) 2

(Ⅰ)写出第 x 月的需求量 f (x) 的表达式;

? f ( x) ? 21x,1 ? x ? 7且x ? N *, ? (Ⅱ)若第 x 月的销售量 g ( x ) ? ? x 2 1 2 (单位:件 ) , ? x ( x ? 10 x ? 96 ),7 ? x ? 12且x ? N * ?e 3
每件利润 q (x ) 元与月份 x 的近似关系为: q( x) ?
6

1000 e x?6 ,求该商场销售该商品,预计第几月的月利润 x

达到最大值?月利润最大值是多少? (e ? 403 ) .

解析: (1)当 x ? 1 时, f (1) ? P(1) ? 39 ;当 x ? 2 时,
f ( x) ? P( x) ? P( x ? 1) ?
2

1 1 x( x ? 1)(41 ? 2 x) ? ( x ? 1) x(43 ? 2 x) ? 3x(14 ? x) 2 2
?

∴ f ( x) ? ?3x ? 42 x ( x ? 12 且 x ? N ) .

?3000e x ?6 (7 ? x), ? (2) h( x) ? q ( x) ? g ( x) ? ?1000 1 3 2 ? 6 ( x ? 10 x ? 96 x), 3 ? e

1 ? x ? 7, 7 ? x ? 12, 且x ? N *

- 15 -

?3000e x ?6 (6 ? x), 1 ? x ? 7, ? ∵当 ∴ h '( x) ? ?1000 且x ? N * ; 1 ? x ? 6 时, ' ( x) ? 0 , h(x) 在 x ? [1, 6] h ? 6 ( x ? 8)( x ? 12), 7 ? x ? 12, ? e
上单调递增,∴ 当 1 ? x ? 7 且 x ? N ? 时, h( x) max ? h(6) ? 3000 ;∵当 7 ? x ? 8 时, h' ( x) ? 0 ,当

8 ? x ? 12 时, h' ( x) ? 0 ,∴当 7 ? x ? 12 且 x ? N ? 时,
1000 ? 299 1000 ? 299 ? ? 3000 ; 403 e6 综上,预计第 6 个月的月利润达到最大,最大月利润为 3000 元 . a 65、设函数 f ( x) ? ax ? ? 2ln x. x h( x) max ? h(8) ?
(Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 2 时有极值,求实数 a 的值和 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) 在定义域上是增函数,求实数 a 的取值范围.

解析: (Ⅰ)? f ( x) 在 x ? 2 时有极值, ? 有 f ' ? 2 ? ? 0 , 又 f ' ? x ? ? a ?

a 2 a ? ,? 有 a ? ? 1 ? 0 , 2 x x 4 4 4 4 2 2 1 ? a ? 、?有 f ' ? x ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? , 由 f ' ? x ? ? 0 得 x1 ? 、 x2 ? 2 , 5 5 5x x 5x 2

又 x ? 0 ? x, f ' ? x ? , f ? x ? 关系有下表

x
f '? x?
f ? x?

0? x?

1 2

x?
0

1 2

?
递增

1 ?x?2 2 ?
递减

x?2
0

x?2

?
递增

1 1 ? f ( x) 递增区间为 (0, ] 和 [2, ??) ,递减区间为 ( , 2) ; 2 2
(Ⅱ)若 f ( x) 在定义域上是增函数,则 f ' ? x ? ? 0 在 x ? 0 时恒成立,? f ' ? x ? ? a ?

a 2 ax 2 ? 2 x ? a ? ? , x2 x x2

?需 x ? 0 时 ax2 ? 2 x ? a ? 0 恒成立,化为 a ?

2x 2x 2 恒成立, ? ? 1 ,?需 a ? 1 ,此为所求. ? 2 x ?1 x ?1 x ? 1 x
2

66、设函数 y ? f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 的图象在 x ? 0 处的切线方程为 24 x ? y ? 12 ? 0 .
3 2

(Ⅰ)求 c , d ; (Ⅱ)若函数在 x ? 2 处取得极值 ? 16 ,试求函数解析式并确定函数的单调区间.
2 解析: (Ⅰ) f (x) 的定义域为 R , f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c ,∴ f ?(0) ? c 、∵切线 24 x ? y ? 12 ? 0 的斜率

为 k ? ?24 ,∴ c ? ?24 ,把 x ? 0 代入 24 x ? y ? 12 ? 0 得 y ? 12 ,∴ P(0,12) ,∴ d ? 12 、∴ c ? ?24 、
- 16 -

d ? 12 .
(Ⅱ)由(Ⅰ) f ( x) ? ax ? bx ? 24 x ? 12 、由已知得 ?
3 2

? f (2) ? ?16 ?8a ? 4b ? 36 ? ?16 ?? ? f ?(2) ? 0 ? 12 a ? 4b ? 24 ? 0

∴?

?a ? 1 3 2 2 2 、∴ f ( x) ? x ? 3x ? 24 x ? 12 、∴ f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 24 ? 3( x ? 2 x ? 8) ? 3( x ? 4)( x ? 2) ?b ? 3

由 f ?( x) ? 0 得, x ? ?4 或 x ? 2 ;由 f ?( x) ? 0 得 ? 4 ? x ? 2 ; ∴ f (x) 的单调增区间为 (??,?4), (2,??) ; 单调减区间为 (?4,2) . 67、已知函数 f ( x) ? ax ? ln x(a ? R ) .
2

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求 f (x) 在区间 [e, e ] 上的最大值和最小值;
2

(Ⅱ)如果函数 g ( x), f1 ( x), f 2 ( x) 在公共定义域 D 上,满足 f1 ( x) ? g ( x) ? f 2 ( x) ,那么就称 g (x) 为

1 1 f1 ( x), f 2 ( x) 的“伴随函数”.已知函数 f1 ( x) ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? (1 ? a 2 ) ln x , f 2 ( x) ? x 2 ? 2ax . 2 2
若在区间 (1,??) 上,函数 f (x) 是 f1 ( x), f 2 ( x) 的“伴随函数” ,求 a 的取值范围.

解析: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? 2 x 2 ? ln x,f ?( x) ? 4 x ?
2

1 4x 2 ? 1 2 、对于 x ? [e, e ] ,有 f ?( x) ? 0 , ? x x

∴ f (x) 在区间 [e, e ] 上为增函数,∴ f ( x) max ? f (e 2 ) ? 2 ? 2e 4 , f ( x) min ? f (e) ? 1 ? 2e 2 . (Ⅱ)在区间 (1,??) 上,函数 f (x) 是 f1 ( x), f 2 ( x) 的“伴随函数” ,则 f1 ( x) ? f ( x) ? f 2 ( x) , 令 p( x) ? f ( x) ? f 2 ( x) ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? ln x ? 0 对 x ? (1,??) 恒成立,

1 2

1 2 x ? 2ax ? a 2 ln x ? 0 对 x ? (1,??) 恒成立, 2 1 [( 2a ? 1) x ? 1]( x ? 1) ∵ p ?( x) ? (2a ? 1) x ? 2a ? ? ??(*) x x 1 1 1 ①若 a ? ,令 p?( x) ? 0 ,得极值点 x1 ? 1, x 2 ? ,当 x 2 ? x1 ? 1 ,即 ? a ? 1 时,在 ( x 2 ,??) 上有 2 2a ? 1 2
且 h( x ) ? f 1 ( x ) ? f ( x ) ? ?

p?( x) ? 0 ,此时 p (x) 在区间 ( x 2 ,??) 上是增函数,并且在该区间上有 p( x) ? ( p( x2 ),??) ,不合题意;
p( x) ? ( p(1),??) ,也不合题意;

1 ,则有 2a ? 1 ? 0 ,此时在区间 (1,??) 上恒有 p?( x) ? 0 ,从而 p (x) 在区间 (1,??) 上是减函数; 2 1 1 1 1 要 使 p( x) ? 0 在 此 区 间 上 恒 成 立 , 只 需 满 足 p(1) ? ?a ? ? 0 ? a ? ? , 所 以 ? ? a ? . 2 2 2 2
②若 a ?

- 17 -

又因为 h?( x) ? ? x ? 2a ?

a 2 ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? ( x ? a) 2 ? ? ? 0, h( x) 在 (1,??) 上是减函数. x x x

1 1 1 1 h( x) ? h(1) ? ? ? 2a ? 0 ,所以 a ? .综合可知 a 的取值范围是 [? , ] . 2 4 2 4
另解: (接在(*)号后)先考虑 h(x ) , h?( x) ? ? x ? 2a ? 只要 h(1) ? 0 ,即 ?

a2 ( x ? a) 2 ?? ? 0 , h(x) 在 (1,??) 上递减, x x

1 1 ( x ? 1)[( 2a ? 1) x ? 1] 1 对 x ? (1,??) ,且 a ? 有 ? 2a ? 0 ,解得 a ? . 而 p ?( x) ? 2 4 x 4 1 1 1 1 1 1 即 解得 a ? ? , 所以 ? ? a ? , a 的取值范围是 [? , ] . 即 p?( x) ? 0 . 只要 p(1) ? 0 , a ? ? 2a ? 0 , 2 2 2 4 2 4
3 2

68、已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x . (1)若 f ( x) 在区间 [1, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x ? ? 是 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 在 [1, a ] 上的最大值; (3)在(2)的条件下,是否存在实数 b ,使得函数 g ( x) ? bx 的图象与函数 f ( x) 的图象恰有 3 个交点?若存在, 请求出实数 b 的取值范围;若不存在,试说明理由.

1 3

解析:(1) f / ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 3 、 f ( x) 在 [1, ??) 是增函数,∴ f / ( x) 在 [1, ??) 上恒有 f / ( x) ? 0 ,即
f / ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 3 ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,则必有

a ? 1 且 f / (1) ? ?2a ? 0 ,∴ a ? 0 . 3
2 / 2

/ (2)依题意, f (? ) ? 0 、∴ a ? 4 ,∴ f ( x) ? x ? 4 x ? 3x 、令 f ( x) ? 3x ? 8 x ? 3 ? 0 得 x1 ? ? 、
3

1 3

1 3

x2 ? 3 、∴ f ( x) 在 [1, 4] 上的最大值是 f (1) ? ?6 .
(3)函数 g ( x) ? bx 的图象与函数 f ( x) 的图象恰有 3 个交点,即方程 f ( x) ? x ? 4 x ? 3x ? bx 恰有 3 个不等
3 2

实根.∴ x ? 4 x ? 3x ? bx ? 0 ,∴ x ? 0 是其中一个根,∴方程 x ? 4 x ? 3 ? b ? 0 有两个非零不等实根.
3 2 2

∴ ? ? 0 且 ?3 ? b ? 0 、∴ b ? ?7 且 b ? ?3 . ∴存在满足条件的 b 值, b 的取值范围是 b ? ?7 且 b ? ?3 . 69、已知 f ( x) ? ln x ?

a ? 2. g ( x) ? ln x ? 2 x . x

(Ⅰ)求 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)试问过点 (2,5) 可作多少条直线与曲线 y ? g (x) 相切?请说明理由.

解析: (1) f ?( x) ?

x?a ( x ? 0) . x2

(ⅰ)当 a ? 0 时,? f ?( x) ? 0 、? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增; (ⅱ) a ? 0 时, 0 ? x ? a, 则 f ?( x) ? 0 ; x ? a , f ?( x) ? 0 ? f ( x) 在 ? 0, a ? 上单调递减, (a, ??) 当 若 若 则 在

- 18 -

上单调递增; (2)设切点为 ? x0 , ln x0 ? 2 x0 ? 、? g ?( x) ?

1 1 ? 2 、切线方程为 y ? ? ln x0 ? 2 x0 ? ? ( ? 2)( x ? x0 ) x0 x

?切线过点 (2,5) ,? 5 ? ? ln x0 ? 2 x0 ? ? (

1 ? 2)(2 ? x0 ) 、即 x0 ln x0 ? 2 x0 ? 2 ? 0 ??(*) x0

令 ?( x) ? x ln x ? 2 x ? 2 , ??( x) ? ln x ? 1 、? 当 0 ? x ? e 时, ??( x) ? 0 ;当 x ? e 时, ??( x) ? 0

??( x) 在 ? 0, e ? 上单调递减,在 (e, ??) 上单调递增、又

1 2e ? 3 ?1 ? ? ?(e) ? ?e ? 2 ? 0, ?( ) ? ? 0, ?(e2 ) ? 2 ? 0 ??( x) ? 0 在 ? , e 2 ? 上有两个零点,即方程(*)在 e e ?e ?

? 0, ?? ? 上有两个根,?过点 ? 2,5 ? 可作两条直线与曲线 y ? g ( x) 相切.
70、已知函数 f ( x) ?

x (2 ? x)e x , g ( x) ? . ex e2
(Ⅱ) 求证:当 x ? 1 时, f ( x) ? g ( x) ;

(Ⅰ) 求函数 f ( x) 的极值;

(Ⅲ) 如果 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求证: f ( x1 ) ? f (2 ? x2 ) .

解析:⑴∵ f ( x) =

x 1? x ,∴ f ?( x) = x .令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . x e e

x
f ?( x) f ( x)

(??,1)
+ ↗

1 0 极大值

(1, ??)


1 e



∴当 x ? 1 时, f ( x) 取得极大值 f (1) = ⑵ 令F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1 . e

x (2 ? x)e x 1 ? x e x (1 ? x) (1 ? x)(e 2 ? e 2 x ) ? ? , 则 F ?( x) = x ? . 当 x ?1 时 , ex e2 e e2 e x?2

1 ? x ? 0 , 2x ? 2 ,从而 e2 ? e2 x ? 0 ,∴ F ?( x) >0, F ( x) 在 (1, ??) 是增函数.
∴F ( x) ? F (1) ?

1 1 ? ? 0 ,故当 x ? 1 时, f ( x) ? g ( x) e e

⑶∵ f ( x) 在 (??,1) 内是增函数,在 (1, ??) 内是减函数.∴当 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时, x1 、 x2 不可能 在同一单调区间内.∴ x1 ? 1 ? x2 ,由⑵的结论知 x ? 1 时, F ( x) ? f ( x) ? g ( x) >0,∴ f ( x2 ) ? g ( x2 ) . ∵ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴ f ( x1 ) ? g ( x2 ) .又 g ( x2 ) ? f (2 ? x2 ) ,∴ f ( x1 ) ? f (2 ? x2 ) .
- 19 -

71、已知函数

f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R且a ? 0) .

(Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 y ? f (x) 的图像在点 (2, f (2)) 处的切线的斜率为1 ,问: m 在什么范围取值时,对于任意的

m ? f ?( x)] 在区间 (t ,3) 上总 存在极值? 2 a(1 ? x) 解析: )由 f ?( x) ? (Ι 知;当 a ? 0 时,函数 f (x) 的单调增区间是 (0,1) ,单调减区间是 (1,??) ; x 当 a ? 0 时,函数 f (x) 的单调增区间是 (1,??) ,单调减区间是 (0,1) ; 2 a (Ⅱ)由 f ?(2) ? ? ? 1 得 a ? ?2 ,∴ f ( x) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3 , f / ( x) ? 2 ? 、 x 2 m m g ( x) ? x3 ? x 2 [ ? f / ( x)] ? x3 ? (2 ? ) x 2 ? 2 x 、 g / ( x) ? 3x 2 ? (4 ? m) x ? 2 、∵函数 g (x) 在区间 (t ,3) 上 2 2 总存在极值,∴ g ?( x) ? 0 有两个不等实根且至少有一个在区间 (t ,3) 内,又∵函数 g ?(x) 是开口向上的二次函 ? g ?(t ) ? 0 2 2 / 数,且 g ?(0) ? ?2 ? 0 ,∴ ? 、由 g (t ) ? 0 得 m ? ? 3t ? 4 ∵ H (t ) ? ? 3t ? 4 在 [1,2] 上单调 t t ? g ?(3) ? 0
t ? [1,2] ,函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 [
递减,所以 H (t ) min ? H (2) ? ?9 ,∴ m ? ?9 ,由 g ?(3) ? 27 ? 3(4 ? m) ? 2 ? 0 ,解得 m ? ? 综上得: ?

37 ; 3

37 37 ? m ? ?9 ,所以当 m 在 (? ,?9) 内取值时,对于任意 t ? [1,2] ,函数 3 3 m g ( x) ? x 3 ? x 2 [ ? f ?( x)] 在区间 (t ,3) 上总存在极值. 2
3 2

72、已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c .,且曲线 y ? f (x) 上的点 P(1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 3x ? 1 . (1)若 y ? f (x) 在 x ? ?2 时有极值,求 f (x) 的表达式; (2)若函数 y ? f (x) 在区间 [?2,1] 上单调递增,求 b 的取值范围.

解析: (1)由 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c 求导数得 f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b 、过 y ? f (x) 上点 P(1, f (1)) 处的切
线方程为 y ? f (1) ? f ' (1)( x ? 1) , y ? (a ? b ? c ? 1) ? (3 ? 2a ? b)( x ? 1) , 即 而过 y ? f (x) 上的点 P(1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 3x ? 1 ,故 ?

() ?3 ? 2a ? b ? 3 ?2a ? b ? 0 ?? 1 ,即 ? ,因为 y ? f (x) 在 x ? ?2 时有极值, ( ?? a ? c ? 2 ? 1 ??a ? c ? 3?? 2)

故 f '(?2) ? 0 , ?4a ? b ? ?12 ?(3) 、由(1) (3)联立解得 a ? 2, b ? ?4, c ? 5 ,所以 (2)

f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 5 ;
2 ⑵ y ? f (x) 在区间 [?2,1] 上单调递增,又 f ' ( x) ? 3x ? 2ax ? b ,由(1)知 2a ? b ? 0 ,

? f ' ( x) ? 3x 2 ? bx ? b ,依题意 f '( x) ? 0 在 [?2,1] 上恒成立即 3x 2 ? bx ? b ? 0 在 [?2,1] 上恒成立
①在 x ?

b ? 1 时, f '( x)min ? f '(1) ? 3 ? b ? b ? 0 , ? b ? 6 ; 6
- 20 -

②在 x ?

b ? ?2 时, f '( x)min ? f '(?2) ? 12 ? 12b ? b ? 0 , b ?? ; 6
12b ? b 2 b ? 0 则 0 ? b ? 6. ? 1 时, f ' ( x) min ? 12 6

③在 ? 2 ?

综合上述讨论可知,所求参数 b 的取值范围是 b ? 0 .

1 3 x ? bx 2 ? cx ? bc ,其导函数 f ?( x) . 3 4 (1)如果函数 f ( x) 在 x ? 1 处有极值 ? ,试确定 b 、 c 的值; 3
73、已知关于 x 的函数 f ( x) ? ? (2)设当 x ? (0,1) 时,函数 y ? f ( x) ? c( x ? b) 的图象上任一点 P 处的切线斜率为 k ,若 k ? 1,求实数

b 的取值范围.
? f '(1) ? ?1 ? 2 b ? c ? 0 4 ? 解析: (1) f '( x) ? ? x ? 2bx ? c 、 因为函数 f ( x) 在 x ? 1 处有极值 ? 、 所以 ? 1 4 3 ? f (1) ? ? 3 ? b ? c ? bc ? ? 3 ?
2

解得 ?

?b ? 1 ?b ? ? 1 或? ; ? c ? ?1 ? c ? 3
2

(i)当 b ? 1, c ? ?1 时, f '( x) ? ?( x ? 1) ? 0 、所以 f ( x) 在 R 上单调递减,不存在极值; (ii)当 b ? ?1, c ? 3 时, f '( x) ? ?( x ? 3)( x ? 1) 、 x ? (?3,1) 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递增、

x ? (1, ??) 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减、所以 f ( x) 在 x ? 1 处存在极大值,符合题意,
综上所述,满足条件的值为 b ? ?1, c ? 3 ; (2)当 x ? (0,1) 时,函数 y ? f ( x) ? c( x ? b) ? ?

1 3 x ? bx 2 、设图象上任意一点 P( x0 , y0 ) ,则 3

2 2 k ? y ' |x ? x0 ? ? x0 ? 2bx0 , x0 ? (0,1) 、因为 k ? 1 ,所以对任意 x0 ? (0,1) , ? x0 ? 2bx0 ? 1 恒成立,所以对任
2 x0 ? 1 x2 ? 1 ( x ?) 1 ? 1 x ( ) 恒成立、 g ( x) ? 设 , g(' )x ? 则 2 x0 2x 2 x2

意 x0 ? (0,1) , 不等式 b ?

、 x ? (0,1) 时,g '( x) ? 0 当

故 g ( x) 在区间 (0,1) 上单调递减、所以对任意 x0 ? (0,1) , g ( x0 ) ? g (1) ? 1 ,所以 b ? 1 . 74、已知函数 f ( x) ? ( x ? k )e .
x

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (III)设 g ( x) ? f ( x) ? f ' ( x) ,当 范围.

(Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [1,2] 上的最小值;

3 5 ? k ? 时,对任意 x ? [0,1] ,都有 g (x) ? ? 成立,求实数 ? 的取值 2 2

- 21 -

解析: (I) f ( x) 的单调递增区间为 (k ? 1,??) ,单调递减区间为 (??, k ? 1) ;
(II) k ? 2 时, f ( x) 的最小值为 (1 ? k )e ; k ? 3 时, f ( x) 的最小值为 (2 ? k )e ; 2 ? k ? 3 时, f ( x) 当 当 当
2

的最小值为 ? e k ?1 ; (III) ? ? ?2e
2 k ?3 2 .

75、已知函数 f ( x) 是定义在实数集 R 上的奇函数,当 x >0 时, f ? x ? ? ax ? ln x ,其中 a ? R . (1)已知函数 f ( x) 的解析式; (2)若函数 f ( x) 在区间 ?? ?,?1? 上是单调减函数,求 a 的取值范围; (3)试证明对 ?a ? R ,存在 ? ? (1, e) ,使 f

/

?? ? ?

f ? e ? ? f ?1? e ?1

.
?ax ? ln x, x ? 0 ?ax ? ln(? x), x ? 0 ?

解析: (1) f (0) ? 0 、 x ? 0 时, f ( x) ? f (? x) ? ax ? ln(? x) 、所以 f ( x) ? ?0, x ? 0 ?

(2)函数 f (x) 是奇函数,则 f (x) 在区间 (??,?1) 上单调递减,当且仅当 f (x) 在区间 (1,??) 上单调递减, 当 x ? 0 时, f ( x) ? ax ? ln x, f ' ( x) ? a ? 1 、由 f ??x ? ? a ? <0 得 a < ? 、 ? 在区间 (1, ??) 的取值范围 x x x x

1

1

1

为 ?? 1,0? 、所以 a 的取值范围为 ?? ?,?1?; (3)

1 1 f ?e? ? f ?1? ?qe ? 1? 1 、解 f ??? ? ? a ? ? a ? 、因为 1 ? e ? 1 ? e , ? ? e ? 1 为所求. ? ?a? ? e ?1 e ?1 e ?1 e ?1

76、某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 m 元( 3 ? m ? 5 )的 管理费,预计当每件产品的售价为 x 元( 9 ? x ? 11 )时,一年的销售量为 (12 ? x) 万件.
2

(1)求分公司一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 x (元)的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大?并求出 L 的最大值 Q(m) .
2 解析: (1)分公司一年的利润 L (万元)与售价 x 的函数关系式为: L ? ( x ? 3 ? m)(12 ? m) , x ?[9,11] 2 2 (2) L?( X ) ? (12 ? x) ? 2( x ? 3 ? m) ? (12 ? x)(18 ? 2m ? 3x). 令 L? ? 0 得 x ? 6 ? m 或 x ? 12 (不合 3 2 28 2 题意,舍去) ∵ 3 ? m ? 5 ,∴ 8 ? 6 ? m ? 、 . 在 x ? 6 ? m 两 侧 L? 的 值 由 正 变 负 . 所 以 ( 1 ) 当 3 3 3 2 9 8 ? 6 ? m ? 9 即 3 ? m ? 时, Lmax ? L(9) ? (9 ? 3 ? m)(12 ? 9) 2 ? 9(6 ? m). 3 2 28 2 9 (2)当 9 ? 6 ? m ? 即 ? m ? 5 时, 3 3 2 2 2 2 1 Lmax ? L(6 ? m) ? (6 ? m ? 3 ? m)[12 ? (6 ? m)]2 ? 4(3 ? m) 3 , 3 3 3 3

- 22 -

9 ? ?9(6 ? m),3 ? m ? 2 , ? 所以 Q (m) ? ? ?4(3 ? 1 m) 3 , 9 ? m ? 5 ? 3 2 ?
9 ,则当每件售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(m) ? 9(6 ? m) (万元) ; 2 9 2 1 若 ? m ? 5, 则当每件售价为 (6 ? m) 元时, 分公司一年的利润 L 最大, 最大值 Q(a) ? 4(3 ? m) 3 (万元) . 2 3 3 1 77、设函数 f ( x) ? (2 ? a) ln x ? ? 2ax. x 1 (1)当 a ? 0 时,求 f (x) 的极值; (2)设 g ( x) ? f ( x) ? ,在 [1,??) 上单调递增,求 a 的取值范围; x (3)当 a ? 0 时,求 f (x) 的单调区间. 1 2 1 2x ?1 解析: (1)函数 f (x) 的定义域为 (0,??). 当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 ln x ? ,∴ f ?( x) ? ? 2 ? . x x x x2 1 由 f ?( x) ? 0 得 x ? . f ( x), f ?( x) 随 x 变化如下表: 2 1 1 1 (0, ) ( ,?? ) x 2 2 2 — 0 + f (x)
答:若 3 ? m ?

f ?(x)

减函数

极小值

增函数

1 2 2?a (2)由题意, g ( x) ? (2 ? a) ln x ? 2ax ,在 [1,??) 上单调递增, g ?( x) ? ? 2a ? 0 在 [1,??) 上恒成立 x 设 h( x) ? 2ax ? 2 ? a ? 0 在 [1,??) 上恒成立,当 a ? 0 时, 2 ? 0 恒成立,符合题意;
故 f ( x) 极小值 ? f ( ) ? 2 ? 2 ln 2 ,没有极大值; 当 a ? 0 时,h(x ) 在 [1,??) 上单调递增,h(x ) 的最小值为 h(1) ? 2a ? 2 ? a ? 0 ,得 a ? ?2 ,所以 a ? 0 ; 当 a ? 0 时, h(x ) 在 [1,??) 上单调递减,不合题意; 所以 a ? 0 ; (3)由题意 f ?( x) ?

2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 1 1 、令 f ?( x) ? 0 得 x1 ? ? , x 2 ? . 2 x a 2 1 1 若 a ? 0 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? (0, ] ;由 f ?( x) ? 0 得 x ? [ ,??). 2 2 1 1 1 1 1 1 若 a ? 0 ,①当 a ? ?2 时, ? ? , x ? (0,? ] 或 x ? [ ,??) , f ?( x) ? 0 ; x ? [? , ] , f ?( x) ? 0, a 2 a 2 a 2 ②当 a ? ?2 时, f ?( x) ? 0 1 1 1 1 1 1 ③当 ? 2 ? a ? 0 时, ? ? , x ? (0,? ] 或 x ? [ ,??) , f ?( x) ? 0 ; x ? [? , ] , f ?( x) ? 0. a 2 a 2 a 2 1 1 综上,当 a ? 0 时,函数的单调递减区间为 (0, ] ,单调递增区间为 [ ,?? ) ; 2 2 1 1 1 1 当 a ? ?2 时,函数的单调递减区间为 (0,? ], [ ,??) ,单调递增区间为 [ ? , ] ; a 2 a 2 1 1 1 1 当 ? 2 ? a ? 0 时,函数的单调递减区间为 (0, ], [? ,??), 单调递增区间为 [? ,? ] . 2 a 2 a
- 23 -

78、已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? bx 2 ? cx ? d ,设曲线 y ? f (x) 在与 x 轴交点处的切线为 y ? 4 x ? 12 , f ?( x) 为 3 f ( x) 的导函数,满足 f ?(2 ? x) ? f ?( x) .
f ?( x) , m ? 0 ,求函数 g ( x) 在 [0, m] 上的最大值;

(1)求 f ( x) ; (2)设 g ( x) ? x

(3)设 h( x) ? ln f ?( x) ,若对一切 x ? [0, 1] ,不等式 h( x ? 1 ? t ) ? h(2 x ? 2) 恒成立,求实数 t 的取值范围.
2 解析: (1) f ?( x) ? x ? 2bx ? c ,? f ?(2 ? x) ? f ?( x) ,? 函数 y ? f ?( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,则

b ? ?1 .?直线 y ? 4 x ? 12 与 x 轴的交点为 (3, 0) 、? f (3) ? 0 ,且 f ?(3) ? 4 ,
1 3 x ? x2 ? x ? 3 . 3 2 ? x ? x, x ? 1, ? 2 2 2 (2) f ?( x) ? x ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) , g ( x ) ? x ( x ? 1) ? x x ? 1 ? ? 2 ? x ? x , x ? 1. ?
即 9 ? 9b ? 3c ? d ? 0 ,且 9 ? 6b ? c ? 4 ,解得 c ? 1 , d ? ?3 .则 f ( x) ?

1? 2 1 其图像如图所示.当 x ? x ? 时, x ? ,根据图像得: 2 4
2

y

2 1
?1

(ⅰ)当 0 ? m ?

1 2 时, g ( x) 最大值为 m ? m ; 2

(ⅱ)当

1 1? 2 1 时, g ( x) 最大值为 ; ?m? 2 2 4 1? 2 2 时, g ( x) 最大值为 m ? m . 2
2

O

1

1? 2 2

2 x

(ⅲ)当 m ?

(3) 方法一:h( x) ? ln( x ? 1) ? 2 ln x ? 1 ,h( x ? 1 ? t ) ? 2 ln x ? t ,h(2 x ? 2) ? 2ln 2 x ? 1 , 当 x ? [0, 1] ?

x 时 , 2 x ? 1 ? 2x ? 1, ? 不 等 式 2 ln x ? t ? 2 ln 2 ? 1 成 立 等 价 于 x ? t ? 2 x ? 1 且 x ? t 恒 成 立 , 由 恒 x ? t ? 2 x ? 1 恒成立,得 ? x ?1 ? t ? 3x ?1 恒成立,? 当 x ? [0, 1] 时, 3x ? 1? [1, 4], ? x ? 1?[?2, ?1] 、

? ?1 ? t ? 1,又?当 x ? [0, 1] 时,由 x ? t 恒成立,得 t ? [0,1] ,因此,实数 t 的取值范围是 ?1 ? t ? 0 . y
方法二: (数形结合法)作出函数 y ? 2 x ? 1, x ? [0, 1] 的图像, 其图像为线段 AB (如图) ,

? y ? x ? t 的图像过点 A 时, t ? ?1 或 t ? 1 ,

4B 3 2 A 1

? 2 ?1O 1 2 3 4 x ?要使不等式 x ? t ? 2 x ? 1 对 x ? [0, 1] 恒成立,必须 ?1 ? t ? 1,又?当函数 h( x ? 1 ? t ) 有意义时, x ? t ,

?当 x ? [0, 1] 时,由 x ? t 恒成立,得 t ? [0,1] ,因此,实数 t 的取值范围是 ?1 ? t ? 0 .

- 24 -

2 方法三:? h( x) ? ln( x ? 1) , h( x ) 的定义域是 {x x ? 1} ,?要使 h( x ? 1 ? t ) 恒有意义,必须 t ? x 恒成立,

? x ? [0, 1] ,?t ?[0,1] ,即 t ? 0 或 t ? 1.????①
由 h( x ? 1 ? t ) ? h(2 x ? 2) 得 ( x ? t ) ? (2 x ? 1) ,即 3x ? (4 ? 2t ) x ? 1 ? t ? 0 对 x ? [0, 1] 恒成立,令
2 2 2 2

? 2?t ? 0, 2?t ?? ? ( x) ? 3x ? (4 ? 2t ) x ? 1 ? t , ? ( x) 的对称轴为 x ? ? ,则有 ? 3 3 ?? (0) ? 0 ?
2 2

2?t ? ? 2?t ? 1, ? 1, ?0 ? ? ?? 或? 或? 、解得 ?1 ? t ? 1.???② 3 3 ?? ? (4 ? 2t ) 2 ? 4 ? 3 ? (1 ? t 2 ) ? 0 ?? (1) ? 0 ? ?
综合①、②,实数 t 的取值范围是 ?1 ? t ? 0 . 79、已知函数 f ( x) ? x 2 ln(ax)(a ? 0) . (Ⅰ)若 f ' ( x) ? x 2 对任意的 x ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a ? 1 时,设函数 g ( x) ?

f ( x) 1 ,若 x1 , x2 ? ( ,1), x1 ? x 2 ? 1 ,求证 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) 4 . x e

解析: (Ⅰ) f ' ( x) ? 2 x ln(ax) ? x 、 f ' ( x) ? 2 x ln(ax) ? x ? x 2 ,即 2 ln ax ?1 ? x 在 x ? 0 上恒成立、
2 ? 1 ? 0, x ? 2 , x ? 2 时,单调减, x ? 2 单调增,所以 x ? 2 时, u (x ) x e 有最大值 u ( 2) 、 u(2) ? 0,2 ln 2a ? 1 ? 2 ,所以 0 ? a ? ; 2 f ( x) 1 1 1 (Ⅱ)当 a ? 1 时, g ( x) ? ? x ln x , g ( x) ? 1 ? ln x ? 0, x ? ,所以在 ( ,??) 上 g (x) 是增函数, (0, ) 上 x e e e 1 是减函数、因为 ? x1 ? x1 ? x 2 ? 1 ,所以 g ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ln( x1 ? x2 ) ? g ( x1 ) ? x1 ln x1 e
设 u( x) ? 2 ln ax ? 1 ? x 、 u ' ( x) ? 即 ln x1 ?

x1 ? x 2 x ? x2 ln( x1 ? x 2 ) 、同理 ln x 2 ? 1 ln( x1 ? x 2 ) x1 x2 x1 ? x 2 x1 ? x 2 x x x x ? ) ln(x1 ? x 2 ) ? (2 ? 1 ? 2 ) ln(x1 ? x 2 ) 、又因为 2 ? 1 ? 2 ? 4, 当且仅 x2 x1 x 2 x1 x 2 x1

所以 ln x1 ? ln x 2 ? (

1 当“ x1 ? x 2 ”时,取等号,又 x1 , x2 ? ( ,1), x1 ? x 2 ? 1 , ln( x1 ?x 2 ) ? 0 ,所以 e
(2 ? x1 x 2 ? ) ln( x1 ? x 2 ) ? 4 ln( x1 ? x 2 ) 、所以 ln x1 ? ln x2 ? 4 ln( x1 ? x2 ) 、所以: x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) 4 x 2 x1

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