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指数函数第二课时


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一.复习回顾
1.指数函数的一般形式: y=ax (a>0 且 a=1) 定义域: x ? (??,??) 图象 y
(0,1)

值域:y ? (0,??)
y=ax

y=ax

y
(0,1)

o
(a>

;1时)

x
(0<a<1时)

o

x
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例1、判断下列函数是否是指数函数:

(1) y ? 0.2 , (2) y ? ? ?2 ? , (3) y ? e
x x x

x

?1? x x (4) y ? ? ? , (5) y ? 1 , (6) y ? 3 ? x ?3?

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[例 1]

比较下列各组数的大小:

(1)1.82.2,1.83; (2)0.7-0.3,0.7-0.4; (3)1.90.4,0.92.4; [思路点拨] (1)(2)利用指数函数的单调性比较

(3)借助中间量 1 进行比较

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解: 数值.

(1)1.82.2,1.83可看做函数y=1.8x的两个函

∵1.8>1,∴y=1.8x在R上为增函数. ∴1.82.2<1.83.

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(2)∵y=0.7x在R上为减函数,
又∵-0.3>-0.4,∴0.7-0.3<0.7-0.4. (3)∵1.90.4>1.90=1,0.92.4<0.90=1,

∴1.90.4>0.92.4.

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[一点通]

比较幂的大小的方法

(1)对于底数相同,但指数不同的幂的大小比较, 可以利用指数函数的单调性来判断. (2)对于底数不同,指数相同的幂的大小比较,可 利用指数函数的图象的变化规律来判断. (3)对于底数不同且指数不同的幂的大小比较,则

应通过中间值来比较.

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1.下列判断正确的是 A.2.52.5>2.53 C.π 2<π 2 B.0.82<0.83 D.0.90.3>0.90.5

(

)

解析:函数y=0.9x在R上为减函数,所以

0.90.3>0.90.5.
答案:D 返回

3.比较下列各组数的大小: 5 2.3 4 2.3 (1)(4) 和(5) ; 4 ?2 -2 (2)0.6 和(3) 3 .

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4 2.3 5 -2.3 解:(1)( ) =( ) . 5 4 5 2.3 5 -2.3 5 2.3 4 2.3 ∵2.3>-2.3,∴( ) >( ) ,即( ) >( ) . 4 4 4 5 (2)由指数函数的性质知 0.6-2>1,
2 ? 4 ?2 4 ( ) 3 <1,∴0.6-2>( ) 3 . 3 3

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1,(1)求使不等式4x>32成立的x的集合;
4 5

(2)已知 a ? a

2

,求数

a 的取值范围。

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(1)若a ? b ? 0,则 2 a ,2b ,1 的大小关系是 _____
1 3 x ?1 ( ) ?2 (2)解不等式: 2

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2.不等式2x<22-3x的解集是________.
解析:由 2 <2
x 2-3x

1 1 得 x<2-3x,即 x<2,解集为{x|x<2}.

1 答案:{x|x<2}

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3.如果a-5x>ax+7(a>0,且a≠1),求x的取值范围.
解:①当 a>1 时,∵a-5x>ax+7, 7 ∴-5x>x+7,解得 x<- . 6 ②当 0<a<1 时,∵a
-5x

>ax 7,


7 ∴-5x<x+7,解得 x>- . 6 7 综上所述,当 a>1 时,x∈(-∞,- ); 6 7 当 0<a<1 时,x∈(- ,+∞). 6

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1,判断

?1?x2-2x f(x)=?3? 的单调性,并求其值域. ? ?

解:令 u=x2-2x, ∵u=x2-2x=(x-1)2-1 在(-∞,1]上递减, 1 在[1,+∞)上递增,又∵ <1, 3 ?1?x -2x ∴y=?3? 在(-∞,1]上递增,在[1,+∞)上递减.? ? ?
2

∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
?1?u ∴y=?3? ,u∈[-1,+∞). ? ? ?1?u ?1?-1 ∵0<?3? ≤?3? =3, ? ? ? ?

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[一点通]

指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单

调性由两点决定:一是底数a>1还是0<a<1;二是f(x) 的单调性.

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2.函数

?1?1-x y=?2? 的单调递增区间为( ? ?

)

A.(-∞,+∞) C.(1,+∞)

B.(0,+∞) D.(0,1)

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解析:法一:定义域为 R.设 u=1-x,则
?1?u y=?2? .∵u=1-x ? ?

在 R 上为减函数,

?1?u 又∵y=?2? 在(-∞,+∞)上为减函数, ? ? ?1?1-x ∴y=?2? 在(-∞,+∞)上是增函数. ? ? ?1?1-x 法二:∵x∈R,y=?2? =2x-1, ? ? ?1?1-x ∴y=?2? 在(-∞,+∞)上是增函数. ? ?

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1.解简单的指数不等式的方法
? ?f(x)>g(x),a>1, f(x) g(x) a >a ?? ? ?f(x)<g(x),0<a<1.

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2.形如y=af(x)的函数的单调性:令u=f(x),x∈[m, n],如果两个函数y=au与u=f(x)的单调性相同,则函

数y=af(x)在[m,n]上是增函数;如果两者的单调性相异
(即一增一减),则函数y=af(x)在[m,n]上是减函数.

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