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14-15版:3.3.1 几何概型(创新设计)


预习导学 高中数学 · 必修3· 人教A版

3.3.1 几何概型

3.3 几何概型 3.3.1 几何概型

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3.3.1 几何概型

[学习目标]
1.了解几何概型与古典概型的区别. 2.理解几何概型的定义及其特点. 3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率.

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3.3.1 几何概型

[知识链接]
1 ah 1.三角形的面积S=____ 2 (其中底为a,高为h);圆的面积S=

πr2 . ___
1 Sh 2.棱锥的体积V=____ 3 ,棱柱的体积V= Sh,球的体积V= 4 3 πr. _____ 3

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[预习导引]
1.几何概型的定义

3.3.1 几何概型

构成该事件区域的长度(面 如果每个事件发生的概率只与________________________

积或体积)成比例 ,则称这样的概率模型为几何概率模 _______________
型,简称几何概型. 2.几何概型的特点 无限多个 . (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有_________ 相等 . (2)每个基本事件出现的可能性_____

3.几何概型的概率公式
构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) P(A)=_________________________________________
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3.3.1 几何概型

要点一 与长度有关的几何概型
例1 取一根长为5 m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么
剪得两段的长都不小于2 m的概率有多大?
解 如图所示.记“剪得两段绳长都不小于 2 m”为事件 A. 把绳子五等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事 1 件 A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的 ,所以事件 A 5 1 发生的概率 P(A)= . 5

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3.3.1 几何概型

规律方法

1.解答本题的关键是将基本事件的全部及其事件A

包含的基本事件转化为相应的长度,进而求解. 2.在求解与长度有关的几何概型时,首先找到试验的全部结 果构成的区域D,这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲 线段,然后找到事件A发生对应的区域d,在找d的过程中, 确定边界点是问题的关键,但边界点是否取到却不影响事件

A的概率.

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3.3.1 几何概型

跟踪演练1

两根相距6 m的木杆上系一根绳子,并在绳子上

挂一盏灯,求灯与两端距离都大于2 m的概率.
2 1 解 记“灯与两端距离都大于 2 m” 为事件 A, 则 P(A)= = . 6 3

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要点二 与面积有关的几何概型

3.3.1 几何概型

例2 一只海豚在水池中自由游弋,水池为长30 m,宽20 m的
长方形,求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率. 解 如图所示,区域Ω是长30 m、

宽20 m的长方形.图中阴影部分表
示事件A:“海豚嘴尖离岸边不超过 2 m”,问题可以理解为求海豚嘴尖 出现在图中阴影部分的概率.

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3.3.1 几何概型

由于区域 Ω 的面积为 30×20=600(m2),阴影部分的面积为 30×20-26×16=184(m2). 184 23 所以 P(A)= = ≈0.31. 600 75 即海豚嘴尖离岸边不超过 2 m 的概率约为 0.31.

规律方法

解此类几何概型问题的关键是:

(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题. (2)找出或构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何 特征计算相关面积,套用公式从而求得随机事件的概率.

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跟踪演练2 (2013· 陕西高考)如图,在矩形

3.3.1 几何概型

区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基 站,假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他

信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地
点,则该地点无信号的概率是 π π A. 1- B. - 1 4 2 π π C. 2- D. 2 4 答案 A
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(

)

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3.3.1 几何概型

解 析

S图形DEBF 由 几何概 型知所 求的概 率 P= = S矩形ABCD

1 2×1- ×π×12×2 π 4 =1- . 4 2×1

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要点三 与体积有关的几何概型

3.3.1 几何概型

例3 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜
蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1, 称其为“安全飞行”,求蜜蜂“安全飞行”的概率.
解 依题意,在棱长为 3 的正方体内任意取一点,这个点 到各面的距离均大于 1.则满足题意的点区域为:位于该正 方体中心的一个棱长为 1 的小正方体.由几何概型的概率 13 1 公式,可得满足题意的概率为 P= 3= . 3 27

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3.3.1 几何概型

规律方法

如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度

量,我们要结合问题的背景,选择好观察角度,准确找出基 本事件所占的区域体积及事件A所占的区域体积.其概率的

计算公式为
构成事件A的区域体积 P(A)= . 试验的全部结果构成的区域体积

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跟踪演练 3 本例条件不变,求这个蜜蜂飞到正方体某一顶点 1 A 的距离小于 的概率. 3 1 1 解 到 A 点的距离小于 的点,在以 A 为球心,半径为 的球内 3 3 部,而点又必须在已知正方体内,则满足题意的 A 点的区域体 ?1? 3 1 4 π×? ? × ? ? π 4 13 1 3 8 ?3? 积为 π ×? ? × .∴P= = 3 7. 3 8 3 ?3 ? 2× 3

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3.3.1 几何概型

1.下列关于几何概型的说法错误的是 A.几何概型也是古典概型中的一种

(

)

B.几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关
C.几何概型中每一个结果的发生具有等可能性 D.几何概型在一次试验中能出现的结果有无限个 答案 解析 A 几何概型与古典概型是两种不同的概型.

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2.(2013· 南昌高一检测)面积为S的△ABC,D是BC的中点, 向△ABC内部投一点,那么点落在△ABD内的概率为 (
1 A. 3 答案
解析

)

1 B. 2

1 C. 4

1 D. 6

B
向△ABC 内部投一点的结果有无限个,属于几何概

△ABD的面积 型. 设点落在△ABD 内为事件 M,则 P(M)= △ABC的面积 1 = . 2
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3.如图,边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的 阴影区域、在正方形中随机撒一粒豆子,它落在 2 阴影区域内的概率为 ,则阴影区域的面积为 3 ( 4 A. 3 2 C. 3 8 B. 3 D.无法计算 )

答案
解析

B
S阴 2 2 8 由几何概型的概率公式知 = ,所以 S 阴 = ·S 正= . 3 3 S正 3
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3.3.1 几何概型

4.当你到一个红绿灯路口时,红灯的时间为30秒,黄灯的时 间为5秒,绿灯的时间为45秒,那么你看到黄灯的概率是
1 A. 12 3 B. 8 1 C. 16 5 D. 6

(

)

答案

C

解析 由题意可知在 80 秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现 的,可以认为是无限次等可能出现的,符合几何概型的条 件.事件“看到黄灯”的时间长度为 5 秒,而整个灯的变换 时间长度为 80 秒,据几何概型概率计算公式,得看到黄灯的 5 1 概率为 P= = . 80 16
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5.在1 000 mL水中有一个草履虫,现从中随机取出3 mL水
样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是________.
3 答案 1 000
解析 3 由几何概型知,P= . 1 000

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3.3.1 几何概型

1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的 概率模型.

2.几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目.
3.注意理解几何概型与古典概型的区别. 4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题,利用几何概

型公式求解,概率公式为
构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

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再见
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