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法向量的求法及其空间几何题的解答


状元堂一对一个性化辅导教案
教师 学生 张 敏 董 洲 科目 年级 数 学 高二 时间 学校 立体几何知识点与例题讲解 2013 年 6 月 4 日 德阳西校区

授课内容 难度星级

空间法向量求法及其应用 ★★★★

教学内容

上堂课知识回顾(教师安排) :
1.平面向量的基

本性质及计算方法 2.空间向量的基本性质及计算方法

本堂课教学重点:
1.掌握空间法向量的求法及其应用 2.掌握用空间向量求线线角,线面角,面面角及点面距 3.熟练灵活运用空间向量解决问题

得分:

1

致力于中小学生高分高能全面发展!

平面法向量的求法及其应用
一、 平面的法向量
1、定义:如果 a ? ? ,那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量。平面 ? 的法向量共有两大类(从方向上分) ,无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中,设平面 ? 的法向量 n ? ( x, y,1) [或 n ? ( x,1, z ) ,或 n ? (1, y , z ) ],在 平面 ? 内任找两个不共线的向量 a, b 。由 n ? ? ,得 n ? a ? 0 且 n ? b ? 0 ,由此得到关于 x, y 的方程组,解此方程组 即可得到 n 。
? ?

?

?

?

? ?

?

? ?

? ?

?

二、 平面法向量的应用
1、 求空间角 (1)、求线面角:如图 2-1,设 n 是平面 ? 的法向量,AB 是平面 ? 的一条斜线, A ? ? ,则 AB 与平面 ? 所成的角为: 图 2-1-1: ? ?
?

?
2

? ? n, AB ??
?

?

?

?
2

?

? arccos
?

n? AB
?

?

| n | ? | AB | n? AB
? ? ?

?

.

图 2-1-2: ? ?? n , AB ? ?

?

?
2

? arccos

?

?
2

sin ? ?| cos ? n , AB ?|

?

?

| n | ? | AB |

?

B

n

B

?

α

?
C 图 2-1-1
?

n
A α C

?

A

图 2-1-2
?

(2)、求面面角:设向量 m , n 分别是平面 ? 、 ? 的法向量,则二面角 ? ? l ? ? 的平面角为:
? ?

β

n

β

m

?

n
α

?
图 2-2 2

?

α

?
图 2-3

m

致力于中小学生高分高能全面发展!

? ?? m, n ?? arccos
? ?

? ?

m? n
?

? ? ?

(图 2-2);

| m|?| n |

? ?? m, n ?? ? ? arccos

m? n
?

? ? ?

(图 2-3)
?

| m |?| n |
两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定,在图 2-2 中, m 的方向对平面 ? 而 言向外, n 的方向对平面 ? 而言向内;在图 2-3 中, m 的方向对平面 ? 而言向内, n 的方向对平面 ? 而言向内。我 们只要用两个向量的向量积(简称“外积” ,满足“右手定则” )使得两个半平面的法向量一个向内一个向外,则这两 个半平面的法向量的夹角即为二面角 ? ? l ? ? 的平面角。 2、 求空间距离 (1) 、异面直线之间距离:
? ? ? ? ?

方法指导:如图 2-4,①作直线 a、b 的方向向量 a 、 b ,
?

B n

b a

求 a、b 的法向量 n ,即此异面直线 a、b 的公垂线的方向向量; ②在直线 a、b 上各取一点 A、B,作向量 AB ; ③求向量 AB 在 n 上的射影 d,则异面直线 a、b 间的距离为
?
?

?

A

图 2-4

?

n
M N

d?

| AB? n |
?

?

?

B α A O

,其中 n ? a, n ? b, A ? a, B ? b

?

?

|n|
(2) 、点到平面的距离: 方法指导:如图 2-5,若点 B 为平面α 外一点,点 A 为平面α 内任一点,平面的法向量为 n ,则点 P 到 平面α 的距离公式为 d ?
?

图 2-5
?

n

B

a

| AB? n |
?

?

?

n

α

A 图 2-6
?

|n|
(3) 、直线与平面间的距离: 方法指导:如图 2-6,直线 a 与平面 ? 之间的距离:

??? ? ? AB ? n ? d? ? ,其中 A ?? , B ? a 。 n 是平面 ? 的法向量 |n|
α

n
β A 图 2-7 B

(4) 、平面与平面间的距离: 方法指导:如图 2-7,两平行平面? , ? 之间的距离:

3

致力于中小学生高分高能全面发展!

d?

| AB? n |
?

?

?

,其中 A ?? , B ? ? 。 n 是平面? 、 ? 的法向量。
? ? ?

?

|n|
3、 证明 (1) 、证明线面垂直:在图 2-8 中, m 向是平面 ? 的法向量, a 是直线 a 的方向向量,证明 平面的法向量与直线所在向量共线( m ? ? a ) 。
? ?

m
α

?

a

a

图 2-8 a
?
?

(2) 、证明线面平行:在图 2-9 中, m 向是平面 ? 的法向量, a 是直线 a 的方向向量,证明平 面的法向量与直线所在向量垂直( m? a ? 0 ) 。
? ?

?

?

a
图 2-9 β
?

m

α

?

?

(3) 、证明面面垂直:在图 2-10 中, m 是平面 ? 的法向量, n 是平面 ? 的法向量,证明两平 面的法向量垂直( m? n ? 0 )
? ?

n
?

m
图 2-10

α

(4) 、证明面面平行:在图 2-11 中, m 向是平面 ? 的法向量, n 是平面 ? 的法向量,证明两 平面的法向量共线( m ? ? n ) 。
? ?

?

?

?

β
?

n

α

m
图 2-11

三、高考真题新解
1、 (2005 全国 I,18) (本大题满分 12 分) 已知如图 3-1,四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC,

P M A B

?DAB ? 90 ? , PA ? 底面 ABCD,且 PA=AD=DC=

1 AB=1,M 是 PB 的中点 2

王新敞
奎屯

新疆

(Ⅰ)证明:面 PAD⊥面 PCD; D 图 3-1 C (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小 解:以 A 点为原点,以分别以 AD,AB,AP 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 A-xyz 如图所示.
王新敞
奎屯 新疆

( I ). ? AP ? (0,0,1) , AD ? (1,0,0) ,设平面 PAD 的法向量为 m ? AP? AD ? (0,?1,0) 又 ? DC ? (0,1,0) , DP ? (?1,0,1) ,设平面 PCD 的法向量为 n ? DC ? DP ? (1,0,1)
? m? n ? 0 ,? m ? n ,即平面 PAD ? 平面 PCD。
? ? ? ?
? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

4

致力于中小学生高分高能全面发展!

(II ). ? AC ? (1,1,0) , PB ? (0,2,?1) ,?? AC, PB ?? arccos
?

?

?

?

?

AC? PB | AC | ? | PB |
? ?

?

?

? arccos

10 5

? ? ? ? 1 1 1 (III ). ? CM ? (?1,0, ) , CA ? ( ?1,?1,0) ,设平在 AMC 的法向量为 m ? CM ? CA ? ( ,? ,1) . 2 2 2 ? ? ? ? 1 1 又? CB ? (?1,1,0) ,设平面 PCD 的法向量为 n ? CM ? CB ? (? ,? ,?1) . 2 2

?? m, n ?? arccos

? ?

2 ? arccos(? ) . 3 | m|?| n |
? ?

m? n

?

?

2 2 ?面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小为 arccos(? ) . [或? ? arccos ] 3 3
2、(2006 年云南省第一次统测 19 题) (本题满分 12 分) 如图 3-2,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 已知 AB=AA1=a,BC= 2 a,M 是 AD 的中点。

(Ⅰ)求证:AD∥平面 A1BC; (Ⅱ)求证:平面 A1MC⊥平面 A1BD1; (Ⅲ)求点 A 到平面 A1MC 的距离。
? ?

图 3-2
? ? ?

解:以 D 点为原点,分别以 DA,DC,DD1 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 D-xyz 如图所示.

(I ). ? BC ? (? 2a,0,0) , BA1 ? (0,? a, a ) ,设平面 A1BC 的法向量为 n ? BC? BA1 ? (0, 2a 2 , 2a 2 )
又? AD ? ( ? 2a,0,0) ,? n ? AD ? 0 ,? AD ? n ,即 AD//平面 A1BC.
?

?

?

?

?

(II ). ? MC ? (
?

?

? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 a,0, a ) , MA1 ? (? a, a,0) ,设平面 A1MC 的法向量为: m ? MC? MA1 ? (a 2 , a ,? a ), 2 2 2 2
? ? ? ?

2 2 又? BD1 ? ( ? 2a,? a, a ) , BA1 ? (0,? a, a ) ,设平面 A1BD1 的法向量为: n ? BD1 ? BA1 ? (0, 2 a , 2 a ) ,

? m? n ? 0 ,? m ? n ,即平面 A1MC ? 平面 A1BD1.

?

?

?

?

(III ). 设点 A 到平面 A1MC 的距离为 d,

? m ? MC? MA1 ? (a 2 ,
?

?

?

?

2 2 2 2 a ,? a ) 是平面 A1MC 的法向量, 2 2
? ?

2 | m? MA | 1 a,0,0) ,?A 点到平面 A1MC 的距离为: d ? 又? MA ? ( ? a. ? 2 2 |m|
四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲” (1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线,注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用,建立右 5

致力于中小学生高分高能全面发展!

手系),用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题; (化为向量问题) (2) 、通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题; (进行向量运算) (3) 、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 (回到图形问题)

立体几何知识点和例题讲解 一、知识点
<一>常用结论 1.证明直线与直线的平行的思考途径: (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 2.证明直线与平面的平行的思考途径: (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 3.证明平面与平面平行的思考途径: (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 4.证明直线与直线的垂直的思考途径: (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂 直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 5.证明直线与平面垂直的思考途径: (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直 线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线 与两个垂直平面的交线垂直. 6.证明平面与平面的垂直的思考途径: (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 7.夹角公式 :设 a= ( a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 cos〈a,b〉=

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 2 a ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 2 1

.

r r r r | a ?b | r ? 8.异面直线所成角: cos ? ?| cos a, b | = r | a |?|b |

| x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 |

x12 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2 r r o o b b (其中 ? ( 0 ? ? ? 90 )为异面直线 a, 所成角, a , b 分别表示异面直线 a, 的方向向量) ??? ?? ? AB ? m ?? ? 9.直线 AB 与平面所成角: ? ? arc sin ??? ?? ( m 为平面 ? 的法向量). | AB || m |
10、空间四点 A、B、C、P 共面 ? OP ? xOA ? yOB ? zOC ,且 x + y + z = 1 11.二面角 ? ? l ? ? 的平面角

?? ? ?? ? ?? ? m?n m?n ? ? arc cos ?? ? 或 ? ? arc cos ?? ? ( m , n 为平面 ? , ? 的法向量). | m || n | | m || n |
为 ? 2 ,AO 与 AC 所成的角为 ? .则 cos ? ? cos ?1 cos ? 2 .

12.三余弦定理:设 AC 是α 内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为? 1 ,AB 与 AC 所成的角 13.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

??? ? ??? ??? ? ? d A , B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2 . ??? ?? ? ? ? | CD ? n | ? d 14.异面直线间的距离: d ? ( l1 , l2 是两异面直线, 其公垂向量为 n , 、D 分别是 l1 , l2 上任一点, 为 l1 , l2 C |n|

??? ?? ? ? | AB ? n | ? ? 15.点 B 到平面 ? 的距离: d ? ( n 为平面 ? 的法向量, AB 是经过面 ? 的一条斜线, A ?? ). |n| ? ? ? 2 ? 2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? 16.三个向量和的平方公式: (a ? b ? c) ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2b ? c ? 2c ? a ? 2 ? 2 ?2 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? 2 | a | ? | b | cos a, b ? 2 | b | ? | c | cos b, c ? 2 | c | ? | a | cos c, a
6

间的距离).

致力于中小学生高分高能全面发展!

17. 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分别为 ?1、? 2、? 3 ,则有

l 2 ? l12 ? l22 ? l32 ? cos 2 ?1 ? cos 2 ? 2 ? cos 2 ? 3 ? 1 ? sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? sin 2 ?3 ? 2 .
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).

S' ' 18. 面积射影定理 S ? .(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ,它们所在平面所成锐二面角的 ? ). cos?
19. 球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直 径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 的半径为

6 a ,外接球 12

6 a. 4

20. 求点到面的距离的常规方法是什么?(直接法、体积法) 21. 求多面体体积的常规方法是什么?(割补法、等积变换法) 〈二〉温馨提示: 1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时,你是否注意到它们各自的取值范围及义? ① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次 .

② 直线的倾斜角、 到

的角、 与

的夹角的取值范围依次是 .



③ 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是

二、题型与方法
【例题解析】 考点 1 点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度,其关键在于确定点在平面内的垂足,当然别忘了转化法与等 体积法的应用. 例 1 如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都为 2 , D 为 CC1 中点. (Ⅰ)求证: AB1 ⊥平面 A1BD ; (Ⅱ)求二面角 A ? A1D ? B 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 A1 BD 的距离. 考查目的:本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的 B 大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力. 7 C D A

A1

C1 B1

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解答过程:解法二: (Ⅰ)取 BC 中点 O ,连结 AO .
?△ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC .

? 在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ⊥平面 BCC1 B1 ,
? AD ⊥ 平面 BCC1 B1 .

取 B1C1 中点 O1 , O 为原点, ,OO1 ,OA 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系, B(1, 0) ,D(?11, , 以 则 OB 0, ,0)
0, A1 (0, 3) , A(0, 3) , B1 (1, 0) , 2, 2,
???? ???? ??? ? ? AB1 ? (1, ? 3) , BD ? (?2,0) , BA1 ? (?1, 3) . 2, 2, 1,

??? ?

???? ?

??? ?

z A F C O B x D

A1

???? ??? ? ???? ???? ? AB1 ?BD ? ?2 ? 2 ? 0 ? 0 , AB1 ?BA1 ? ?1 ? 4 ? 3 ? 0 ,
???? ??? ? ???? ???? ? AB1 ⊥ BD , AB1 ⊥ BA1 .
? AB1 ⊥ 平面 A1 BD .

C1
y

B1

(Ⅱ)设平面 A1 AD 的法向量为 n ? ( x,y,z ) .
???? ???? ???? ???? AD ? (?11, 3) , AA1 ? (0, 0) . ? n ⊥ AD , n ⊥ AA1 , ,? 2,

???? ?n?AD ? 0, ?? x ? y ? 3z ? 0, ? y ? 0, ? ? ? ?? ?? ? ? ???? ? x ? ? 3z. ?n?AA1 ? 0, ?2 y ? 0, ? ? ?

令 z ? 1得 n ? (? 3,1) 为平面 A1 AD 的一个法向量. 0, 由(Ⅰ)知 AB1 ⊥平面 A1 BD ,
???? ? AB1 为平面 A1 BD 的法向量.
???? ???? cos ? n , AB ?? n?AB1 ? ? 3 ? 3 ? ? 6 . ???? 1 4 2?2 2 n ? AB1

?二面角 A ? A1D ? B 的大小为 arccos 6 .
4

(Ⅲ)由(Ⅱ) AB1 为平面 A1BD 法向量, ,
??? ? ???? ? BC ? (?2, 0) AB1 ? (1, ? 3) . 0,, 2,

????

?点 C 到平面 A1BD 的距离 d ? BC ?AB1 ? ?2 ? 2 . ????
AB1 2 2 2

??? ???? ?

8

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小结:本例中(Ⅲ)采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法,把不易直接求的 B 点到 平面 AMB1 的距离转化为容易求的点 K 到平面 AMB1 的距离的计算方法,这是数学解题中常用的方法;解法一采用 了等体积法,这种方法可以避免复杂的几何作图,显得更简单些,因此可优先考虑使用这一种方法. 考点 2 异面直线的距离 此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法,考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离. 例 2 已知三棱锥 S ? ABC ,底面是边长为 4 2 的正三角形,棱 SC 的长为 2,且垂直于底面. E、D 分别为 BC、AB 的中点,求 CD 与 SE 间的距离. 思路启迪:由于异面直线 CD 与 SE 的公垂线不易寻找,所以设法将所求异面 直线的距离,转化成求直线与平面的距离,再进一步转化成求点到平面的距离. 解答过程: 如图所示,取 BD 的中点 F,连结 EF,SF,CF,

? EF 为 ?BCD 的中位线,? EF ∥ CD,? CD ∥面 SEF ,

? CD 到平面 SEF 的距离即为两异面直线间的距离.
又? 线面之间的距离可转化为线 CD 上一点 C 到平面 SEF 的距离,设其为 h,由题意知, BC ? 4 2 ,D、E、F 分别是 AB、BC、BD 的中点,

? CD ? 2 6 , EF ?
?VS ?CEF ?

1 CD ? 6 , DF ? 2 , SC ? 2 2

1 1 1 1 2 3 ? ? EF ? DF ? SC ? ? ? 6 ? 2 ? 2 ? 3 2 3 2 3

在 Rt ?SCE 中, SE ? 在 Rt ?SCF 中, SF ? 又? EF ?

SC 2 ? CE 2 ? 2 3 SC 2 ? CF 2 ? 4 ? 24 ? 2 ? 30

6, ? S ?SEF ? 3
1 2 3 2 3 1 ,解得 h ? ? S ?SEF ? h ,即 ? 3 ? h ? 3 3 3 3
2 3 . 3

由于 VC ? SEF ? VS ?CEF ?

故 CD 与 SE 间的距离为

小结:通过本例我们可以看到求空间距离的过程,就是一个不断转化的过程. 9

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考点 3 直线到平面的距离 此类题目再加上平行平面间的距离,主要考查点面、线面、面面距离间的转化. 例 3. 如图,在棱长为 2 的正方体 AC1 中,G 是 AA1 的中点,求 BD 到平面 GB1 D1 的距离. 思路启迪:把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解. 解答过程: 解析一 ? BD ∥平面 GB1 D1 ,

D1 O1 B1
H

C1

A1
G D O A

? BD 上任意一点到平面 GB1 D1 的距离皆为所求,以下求
点 O 平面 GB1 D1 的距离,

C B

? B1 D1 ? A1C1 , B1 D1 ? A1 A ,? B1 D1 ? 平面 A1 ACC1 ,
又? B1 D1 ? 平面 GB1 D1

?平面 A1 ACC1 ? GB1 D1 ,两个平面的交线是 O1G ,
作 OH ? O1G 于 H,则有 OH ? 平面 GB1 D1 ,即 OH 是 O 点到平面 GB1 D1 的距离. 在 ?O1OG 中, S ?O1OG ? 又 S ?O1OG ?

1 1 ? O1O ? AO ? ? 2 ? 2 ? 2 . 2 2

1 1 2 6 . ? OH ? O1G ? ? 3 ? OH ? 2 ,? OH ? 2 2 3
2 6 . 3

即 BD 到平面 GB1 D1 的距离等于 解析二 ? BD ∥平面 GB1 D1 ,

? BD 上任意一点到平面 GB1 D1 的距离皆为所求,以下求点 B 平面 GB1 D1 的距离.
设点 B 到平面 GB1 D1 的距离为 h,将它视为三棱锥 B ? GB1 D1 的高,则

VB ?GB1D1 ? VD1 ?GBB1 ,由于S ?GB1D1 ?

4 2 6 1 1 1 4 ? , ? 2 2 ? 3 ? 6,VD1 ?GBB1 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? , ? h ? 3 2 3 2 3 6

即 BD 到平面 GB1 D1 的距离等于

2 6 . 3

小结:当直线与平面平行时,直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当 的点,转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离;解析二是等体积法求出点面距离. 10

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考点 4 异面直线所成的角 此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角,然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点. 例 4、如图,在 Rt△AOB 中, ?OAB ? π ,斜边 AB ? 4 . Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以直线 AO 为轴旋转得到,且二
6

面角 B ? AO ? C 的直二面角. D 是 AB 的中点. (错误!未找到引用源。 )求证:平面 COD ? 平面 AOB ; (错误!未找到引用源。 )求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小. 思路启迪: (错误!未找到引用源。 )的关键是通过平移把异面直线转化到一 解答过程: 解法 1: 错误! ( 未找到引用源。 由题意, ) CO ? AO ,BO ? AO ,

A

D

个三角形内.

??BOC 是二面角 B ? AO ? C 是直二面角,
?CO ? BO ,又? AO ? BO ? O ,
O C
z
A

E

B

?CO ? 平面 AOB ,
又 CO ? 平面 COD .

?平面 COD ? 平面 AOB .

(错误!未找到引用源。 )作 DE ? OB ,垂足为 E ,连结 CE (如图) ,则, DE ∥ AO
??CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角.

D

在 Rt△COE 中, CO ? BO ? 2 , OE ? 1 BO ? 1 ,
2
? CE ? CO 2 ? OE 2 ? 5 .

O

又 DE ? 1 AO ? 3 .
2

x

B y

C

?在 Rt△CDE 中, tan CDE ? CE ? 5 ? 15 .
DE 3 3

?异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arctan 15 .
3

解法 2: (错误!未找到引用源。 )同解法 1. (错误!未找到引用源。 )