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重庆一中高2014级12-13学年(上)半期试题——数学理


秘密★启用前

2012 年重庆一中高 2014 级高二上期半期考试

数 学 试 题 卷(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.抛物线 x ? 2 y 的焦点到准线的距离为
2

2012.11

( C.



A.1



B.

1 2

1 4

D.

1 8


2.双曲线 y ?
2

x2 ? 1 的渐近线方程为 2
B. y ? ? 2 x
2 2



A. y ? ?2 x

C. y ? ?

2 x 2

D. y ? ? (

1 x 2
) D. ?4

3. 直线 x ? y ? a ? 0 与圆 x ? y ? 2 相切,则 a 的值为 A. ? 2 B. ?2
?

B. ?2 2

4. 三角形 ABC 中, ?B ? 90 , AB ? 3, BC ? 1 ,以边 AB 所在直线为旋转轴,其余各边 旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( A. ) .D.

?

B. 2?

C. 3?

? 3
( )

5. 已知直线 m, n 和平面 ? , ? 满足 m ? n, m ? ? , ? ? ? ,则

A. n ? ?

B.n // ? , 或 n ? ?

C.n / /? 或 n ? ?

D.n ? ?

6. 设 a ? R , 则 “ a ? 1” 是 “直线 l1 : ax ? 2 y ? 0 与直线 l2 : x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平行的 ( ) A.充分不必要条件 C .充分必要条件
2

B. 必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件

7. 已知点 P( x, y ) 在椭圆 A.

x 3 ? y 2 ? 1 上,则 x 2 ? 2 x ? y 2 的最大值为( 4 4
-1 C. 2 D.7 )



?2

B.

8. 方程 x ? 1 lg x ? y ? 1 ? 0 所表示的曲线的图形是(
2 2

y

?

y

?

y

y

O

1 x

O

1

2 x

O

1

2x

1

2 x

A.

B.
第1页

C.

D.

9. 记动点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 上一点,记

D1 P ? ? .当 D1 B

?APC 为钝角时,则 ? 的取值范围为( 1 A. (0,1) B. ( ,1) 3
10. 过双曲线

) C. (0, )

1 3

D. (1,3)

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F (?c,0) 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点为 2 a b 延长 FE 交抛物线 y 2 ? 4cx 于点 P , 若 E 为线段 FP 的中点, 则双曲线的离心率为 ( ) E,
A. 5 B.

5 2

C. 5 ? 1

D.

5 ?1 2

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)

11. 已知向量 a ? (1, 2,3) , b ? (1, x, 0) ,且 a ? b ,则 x ?
2

?

?

?

?



12. 双 曲 线

x ? y 2 ? 1 (a ? 0 ) 的右焦点到它的渐近线的距离 2 a
.

为 。 13. 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是

2 14. 过抛物线 y ? 4 x 焦点的直线与抛物线交于 A, B 两点, AB ? 8 ,则

线段 AB 的中点横坐标为 15. 椭圆



x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,过焦点 F1 的直线交该椭圆于 A, B 两点,若 16 9

? ABF2 的内切圆面积为 ? , A, B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 的值
为 。

三、解答题(共 75 分) 16. 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PA ⊥底面 ABCD ,且 PA ? AD ,点 M 、 N 分别为侧棱 PD 、 PC 的中点 (1)求证: CD ∥平面 AMN ; (2)求证: AM ⊥平面 PCD .
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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第2页

17. 已 知 抛 物 线 C : y ? 2 px 的 焦 点 为 圆 x ? y ? 2 x ? 3 ? 0 的 圆 心 , 直 线
2
2 2

1 l : y ? ( x ? 2) 与 C 交于不同的两点 A, B . 2 (1) 求 C 的方程;
(2) 求弦长 | AB | 。

x2 18.已知椭圆 C : ? y 2 ? 1 ,左右焦点分别为 F1 , F2 , 4
(1)若 C 上一点 P 满足 ?F1 PF2 ? 90 ,求 ?F1 PF2 的面积;
?

(2)直线 l 交 C 于点 A, B ,线段 AB 的中点为 (1, ) ,求直线 l 的方程。

1 2

19. 如图所示,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 1 , AA1 ? 2 , M 是棱 CC1 上 一点, (1)若 M 为 CC1 的中点,求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值; (2)是否存在这样的 M ,使得平面 ABM⊥平面 A1B1M,若存在,求出 CM 的值;若不 存在,请说明理由。

20. 已知离心率为

3 x2 y 2 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 M ? 2,1? , O 为坐标原点,平 2 a b

行于 OM 的直线 l 交椭圆于 C 不同的两点 A, B 。 (1)求椭圆的 C 方程。 (2) 证明: 若直线 MA, MB 的斜率分别为 k 1 、k 2 , 求证: k 1 + k 2 =0。

第3页

21. 设双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1 的左、右顶点分别为 A1、A2,垂直于 x 轴的直线 m 与双曲 2

线 C 交于不同的两点 P, Q 。 (1)若直线 m 与 x 轴正半轴的交点为 T,且 A1 P ? A2 Q ? 1 ,求点 T 的坐标; (2)求直线 A1P 与直线 A2Q 的交点 M 的轨迹 E 的方程; (3)过点 F (1,0)作直线 l 与(Ⅱ)中的轨迹 E 交于不同的两点 A、B,设 FA ? ? FB , 若 ? ? [?2,?1], 求 | TA ? TB | (T 为(1)中的点)的取值范围。

第4页

2012 年重庆一中高 2014 级高二上期半期考试(本部)

数 学 试 题 卷(理科)
1—10ACBAC 11. ? 16. ADDBD 13. 16( 2 ? 1) 14.3 15.

2012.11

1 2

12.1

8 7 7

( 1 ) 证 明 : ? M 、 N 分 别 为 侧 棱 PD 、 PC 的 中 点 ,

? ? ? CD ? 面AMN ? ? CD ? 面AMN MN ? 面AMN ? ? CD ? MN
(2)?

PA ? AD ? ? ? AM ? PD M 为PD中点?

PA ? CD ? ? ? ? CD ? DA ? ? CD面PAD ? ? ? CD ? AM ,又 PD ? CD ? D ,? AM ? 平面 PCD PA ? AD ? A? ? ? ? AM ? PAD ? p 2 2 2 17. 解:(1) ( x ? 1) ? y ? 4 ,圆心 (1, 0) , ? 1, p ? 2 ,所以 C 的方程为 y ? 4 x 。 2
? y2 ? 4x ? 2 (2) ? ,消去 y , x ? 20 x ? 4 ? 0 , 1 ? y ? ( x ? 2) ? 2
| AB |? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4 30 。
18. 解: (1)由第一定义, PF1 ? PF2 ? 2a ? 4 ,即 PF1 ? PF2 ? 2 PF1 PF2 ? 16 由勾股定理, PF1 ? PF2
2 2 2 2

? (2c ) 2 ? 12 ,所以 PF1 PF2 ? 2 , S?F1PF2 ?

1 PF1 PF2 ? 1 . 2

x, 1 y ) ,B 2 (x , ( 2 ) 设 A( 1 满 )足 2y

x12 x2 ? y12 ? 1 , 2 ? y2 2 ? 1 , 两 式 作 差 4 4

( x1 ? x2 ) ( x ? 1 4

x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ( y ? 1

y ? 0 将 x1 ? x2 ? 2 , y1 ? y2 ? 1 代 入 , 得 2) ,

y ?y 1 ( x1 ? x2 ) 1 ? ( y1 ? y2 ) ? 0 ,可得 k AB ? 1 2 ? ? ,直线方程为: y ? ? x ? 1 。 x1 ? x2 2 2 2
19. 解: (1)∵C1D1∥A1B1 ∴∠B1A1M 即为直线 A1M 和 C1D1 所成的角
第5页

∴ tan ?B1A1M ?

B1M ? 2。 A1B1

(2)建立坐标系: A(0,0,0) , B(1, 0, 0) , A1 (0, 0, 2) , B1 (1, 0, 2) , M (1,1, ? ) 在平面 ABM 上选择向量 AB ? (1, 0, 0) , AM ? (1,1, ? ) ,设法向量 n1 ? ( x, y, z )

??? ?

???? ?

??

??? ? ?? ? ? x?0 ? ? AB?n1 ? 0 由 ? ???? ,解得 ? ,取 z ? 1,得 n2 ? (0, ?? ,1) ? ?x ? y ? ? z ? 0 ? ? AM ?n1 ? 0 ???? ? ????? ?? ? 在平面 A1 B1M 上选择向量 A1 B1 ? (1, 0, 0) , A1M ? (1,1, ? ? 2) ,设法向量 n2 ? ( x, y, z ) ???? ? ?? ? ? x?0 ? ? A1B1 ?n2 ? 0 由 ? ????? ,解得 ? ,取 z ? 1,得 n2 ? (0, ?(? ? 2),1) , ? x ? y ? (? ? 2) z ? 0 ? ? A1M ?n2 ? 0 ?? ?? ? 由 n1 ?n2 ? 0 , ? (? ? 2) ? 1 ? 0 ,解得 ? ? 1 ,所以 CM ? 1.
20. 解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a 2 b2

?c 3 2 ? , a ? b2 ? c2 2 ? ? ?a ?a ? 8 2 ?? 2 由题意得: ? ? ? 4 ? 1 ?1 ?b ? 2 2 2 ? b ?a
( Ⅱ ) 由 直 线 l // OM , 可 设 l : y ?

∴ 椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 8 2

1 x?m , 将 式 子 代 入 椭 圆 C 得 : 2

x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0
2 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m ? 4

设直线 MA 、 MB 的斜率分别为 k 1 、 k 2 ,则 k1 ?

y1 ? 1 x1 ? 2

k2 ?

y2 ? 1 x2 ? 2

1 1 x1 ? m ? 1 x2 ? m ? 1 下面只需证明: k1 ? k 2 ? 0 ,事实上, k1 ? k 2 ? 2 ?2 x1 ? 2 x2 ? 2

? 1 ? m(

x1 ? x2 ? 4 1 1 ? ) ? 1? m ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

1? m ?

? 2m ? 4 ? 0。 2m ? 4 ? 2(?2m) ? 4
2

第6页

21. 解: (1)由题,得 A1 (? 2 ,0), A2 ( 2 ,0) ,设 P( x0 , y 0 ), Q( x0 ,? y 0 ) 则 A1 P ? ( x0 ?

2 , y 0 ), A2 Q ? ( x0 ? 2 ,? y 0 ).
2 2 2 2

由 A1 P ? A2 Q ? 1 ? x0 ? y 0 ? 2 ? 1, 即x0 ? y 0 ? 3. 又 P( x0 , y 0 ) 在双曲线上,则 联立①、②,解得
2 x0 2 ? y0 ? 1. 2

??①

??②

x0 ? ?2 由题意, x0 ? 0, ? x0 ? 2.

∴点 T 的坐标为(2,0) (2)设直线 A1P 与直线 A2Q 的交点 M 的坐标为(x,y) 由 A1、P、M 三点共线,得

( x0 ? 2 ) y ? y 0 ( x ? 2 )
由 A2、Q、M 三点共线,得

??③

( x0 ? 2 ) y ? ? y 0 ( x ? 2 )

??④ 联立③、④,解得 x0 ?

2 , y0 ? x

2y . x

2 ( )2 ∵ P( x0 , y 0 ) 在 双 曲 线 上 , ∴ x ? ( 2 y )2 ? 1, ∴ 轨 迹 2 x

E 的 方 程 为

x2 ? y 2 ? 1 ( x ? 0, y ? 0). 2
(3)容易验证直线 l 的斜率不为 0。

,代入 故可设直线 l 的方程为 x ? ky ? 1
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), y1 ? 0且y 2 ? 0

x2 ? y 2 ? 1 中,得 (k 2 ? 2) y 2 ? 4ky ? 2 ? 0. 2

则由根与系数的关系,得 y1 ? y 2 ? ? 2k k2 ? 2 ∵ FA ? ? FB,∴有 y1 ? ?,且? ? 0.
y2

??⑤ y1 y 2 ? ?

2 . k ?2
2

??⑥

将⑤式平方除以⑥式,得

y1 y 2 4k 2 1 4k 2 ? ?2?? 2 ??? ?2?? 2 y2 y2 ? k ?2 k ?2

由 ? ? [?2, ?1] ? ?

5 1 1 1 ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? 2 ? 0 2 ? 2 ?

??

1 4k 2 2 2 ?? 2 ? 0 ? k2 ? ? 0 ? k2 ? 2 7 7. k ?2

第7页

∵ TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x 2 ? 2, y 2 ),? TA ? TB ? ( x1 ? x 2 ? 4, y1 ? y 2 ). 又 y1 ? y 2 ? ?
2

2k 4(k 2 ? 1) , ? x ? x ? 4 ? k ( y ? y ) ? 2 ? ? . 1 2 1 2 k2 ? 2 k2 ? 2
2 2

故 | TA ? TB | ? ( x1 ? x 2 ? 4) ? ( y1 ? y 2 )

?

15(k 2 ? 1) 2 4k 2 16(k 2 ? 2) 2 ? 28(k 2 ? 2) ? 8 ? ? (k 2 ? 2) 2 (k 2 ? 2) 2 (k 2 ? 2) 2

? 16 ?
令t ?

28 8 ? 2 k ? 2 (k ? 2) 2
2

7 1 1 7 1 ? 2 ? ,即 t ? [ , ]. 16 k ? 2 2 16 2 7 2 17 2 2 ∴ | TA ? TB | ? f (t ) ? 8t ? 28t ? 16 ? 8(t ? ) ? . 4 2
2

1 2 .? 0 ? k 2 ? 7 k ?2



而 t ?[

13 2 7 1 169 ]. , ] , ∴ f (t ) ? [4, ]. ∴ | TA ? TB |? [2, 8 16 2 32

第8页


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