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人教版高中数学必修1全部说课稿


《集合的含义与表示》
一.教材分析:集合概念及其基本理论,称为集合论,是近、现代数学的一个重要的基础, 一方面,许多重要的数学分支,都建立在集合理论的基础上。另一方面,集合 论及其所反映的数学思想,在越来越广泛的领域种得到应用。 二.目标分析: 教学重点.难点 重点:集合的含义与表示方法. 难点:表示法的恰当选择. 教学目标 l.知识与技能 (1)通过实例,了解集合的含

义,体会元素与集合的属于关系; (2)知道常用数集及其专用记号; (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性; (4)会用集合语言表示有关数学对象; 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程,感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性,增强学习的积极性. 三. 教法分析 1. 教学方法:学生通过阅读教材,自主学习.思考.交流.讨论和概括,从而更好地完成 本节课的教学目标. 2. 教学手段:在教学中使用投影仪来辅助教学. 四.过程分析 (一)创设情景,揭示课题 1.教师首先提出问题:(1)介绍自己的家庭、原来就读的学校、现在的班级。 (2)问题:像“家庭”“学校”“班级”等,有什么共同特征? 、 、 引导学生互相交流. 与此同时,教师对学生的活动给予评价. 2.活动:(1)列举生活中的集合的例子; (2)分析、概括各实例的共同特征 由此引出这节要学的内容。 设计意图:既激发了学生浓厚的学习兴趣,又为新知作好铺垫 (二)研探新知,建构概念 1.教师利用多媒体设备向学生投影出下面 7 个实例: (1)1—20 以内的所有质数; (2)我国古代的四大发明; (3)所有的安理会常任理事国; (4)所有的正方形; (5)海南省在 2004 年 9 月之前建成的所有立交桥; (6)到一个角的两边距离相等的所有的点; (7)国兴中学 2004 年 9 月入学的高一学生的全体. 2.教师组织学生分组讨论:这 7 个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果, 在此基础上, 师生共同概括出 7 个实

例的特征,并给出集合的含义. 一般地,指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合 的元素. 4.教师指出:集合常用大写字母 A,B,C,D,?表示,元素常用小写字母 a, b, c, d ? 表示. 设计意图:通过实例让学生感受集合的概念,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神 (三)质疑答辩,发展思维 1.教师引导学生阅读教材中的相关内容,思考:集合中元素有什么特点?并注意个别辅 导, 解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性, 即:确定性.互异性和无序性.只要构成 两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等. 2.教师组织引导学生思考以下问题: 判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1)大于 3 小于 11 的偶数; (2)我国的小河流. 让学生充分发表自己的建解. 3. 让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子,并说明理由. 教师对学生的学习活动给予及时的评价. 4.教师提出问题,让学生思考 b (1)如果用 A 表示高—(3)班全体学生组成的集合, a 表示高一(3)班的一位同学, 是 用 高一(4)班的一位同学, 那么 a , b 与集合 A 分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的 关系有两种:属于和不属于. 如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A,记作 a ? A . 如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A,记作 a ? A . (2)如果用 A 表示“所有的安理会常任理事国”组成的集合,则中国.日本与集合 A 的关 系分别是什么?请用数学符号分别表示. (3)让学生完成教材第 6 页练习第 1 题. 5.教师引导学生回忆数集扩充过程, 然后阅读教材中的相交内容, 写出常用数集的记号. 并让学生完成习题 1.1A 组第 1 题. 6.教师引导学生阅读教材中的相关内容,并思考.讨论下列问题: (1)要表示一个集合共有几种方式? (2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时,各自有什么特点?适用的对象是什 么? (3)如何根据问题选择适当的集合表示法? 使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。 设计意图:明确集合元素的三大特性, 使学生弄清楚三种表示方式的优缺点, 从而突破难点。 (四)巩固深化,反馈矫正 教师投影学习: (1)用自然语言描述集合{1,3,5,7,9}; (2)用例举法表示集合 A ? {x ? N |1 ? x ? 8} (3)试选择适当的方法表示下列集合:教材第 6 页练习第 2 题. 设计意图:使学生及时巩固所学新知,体会三种表示方式存在的必要性和适用对象

(五)归纳小结,布置作业 小结:在师生互动中,让学生了解或体会下例问题: 1.本节课我们学习了哪些知识内容? 2.你认为学习集合有什么意义? 3.选择集合的表示法时应注意些什么? 设计意图:通过回顾,对概念的发生与发展过程有清晰的认识,回顾集合元素的三大特性及 集合的三种表示方式。 作业: 1.课后书面作业:第 13 页习题 1.1A 组第 4 题. 2. 元素与集合的关系有多少种?如何表示?类似地集合与集合间的关系又有多少种 呢?如何表示?请同学们通过预习教材. 五.板书分析 集合的含义与表示 定义 例1 集合 ××××××× ××××××× ××××××× 元素 ××××××× ××××××× 例2 元素与集合的关系 ××××××× ××××××× ××××××× 作业 ××××××× ×××××××

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课题:§1.2.1 函数的概念
教材分析: 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型. 高中阶段不仅把函数看成变量之 间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,高中阶段更注重函数模型 化的思想. 教学目的: 通过丰富实例, (1) 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型, 在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念 中的作用; (2)了解构成函数的要素; (3)会求一些简单函数的定义域和值域; (4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域; 教学重点:理解函数的模型化思想,用合与对应的语言来刻画函数; 教学难点:符号“y=f(x)”的含义,函数定义域和值域的区间表示; 教学过程: 一、引入课题 1. 复习初中所学函数的概念,强调函数的模型化思想; 2. 阅读课本引例,体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想: (1)炮弹的射高与时间的变化关系问题; (2)南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题; (3) “八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 备用实例: 我国 2003 年 4 月份非典疫情统计:





22 106

23 105

24 89

25 103

26 113

27 126

28 98

29 152

30 101

新增确诊病例数

3. 引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系; 4. 根据初中所学函数的概念,判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系. 二、新课教学 (一)函数的有关概念 1.函数的概念: 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个 数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数(function) . 记作: y=f(x),x∈A. 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域(domain) ;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域(range) . 注意: 1 ○ 2 ○ “y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)” ; 函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值,一个数,而不是 f 乘 x.

2. 构成函数的三要素: 定义域、对应关系和值域 3.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. 4.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 (由学生完成,师生共同分析讲评) (二)典型例题 1.求函数定义域 课本 P20 例 1 解: (略) 说明: 1 ○ 2 ○ 函数的定义域通常由问题的实际背景确定,如果课前三个实例; 如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使

这个式子有意义的实数的集合; 3 ○ 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.

巩固练习:课本 P22 第 1 题 2.判断两个函数是否为同一函数 课本 P21 例 2 解: (略) 说明:

1 ○

构成函数三个要素是定义域、 对应关系和值域. 由于值域是由定义域和对应关系决

定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一 函数) 2 ○ 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致, 而与表示自变量和函数

值的字母无关。 巩固练习: 1 ○ 2 ○ 课本 P22 第 2 题 判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数,说明理由?
0

(1)f ( x ) = (x -1) ;g ( x ) = 1 (2)f ( x ) = x; g ( x ) =
2

x2
2

(3)f ( x ) = x ;f ( x ) = (x + 1) (4)f ( x ) = | x | ;g ( x ) = (三)课堂练习 求下列函数的定义域 (1) f ( x ) ? (2) f ( x ) ?

x2

1 x? | x |

1 1? 1 x

(3) f ( x) ? (4) f ( x ) ? (5) f ( x) ?

? x 2 ? 4x ? 5
4 ? x2 x ?1

x 2 ? 6x ? 10

(6) f (x) ? 1 ? x ? x ? 3 ? 1 三、归纳小结,强化思想 从具体实例引入了函数的的概念,用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概 念,介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目,引入了区间的概念来表示集合。 四、作业布置 课本 P28 习题 1.2(A 组) 第 1—7 题 (B 组)第 1 题

《单调性与最大(小)值》说课稿
一、教材分析 1.教学内容 本节课内容教材共分两课时进行, 这是第一课时, 该课时主要学习函数的单调性的的概 念,依据函数图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性。 2. 教材的地位和作用 函数单调性是高中数学中相当重要的一个基础知识点, 是研究和讨论初等函数有关性质 的基础。 掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础, 还有利于培养学生的抽象思维 能力,及分析问题和解决问题的能力。 3.教材的重点﹑难点﹑关键 教学重点: 函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法。 明确单调性是一个局部概 念. 教学难点:领会函数单调性的实质与应用,明确单调性是一个局部的概念。 教学关键:从学生的学习心理和认知结构出发,讲清楚概念的形成过程. 4.学情分析 高一学生正处于以感性思维为主的年龄阶段, 而且思维逐步地从感性思维过渡到理性思 维,并由此向逻辑思维发展,但学生思维不成熟、不严密、意志力薄弱,故而整个教学环节 总是创设恰当的问题情境,引导学生积极思考,培养他们的逻辑思维能力。从学生的认知结 构来看,他们只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势,所 以在教学中要充分利用好函数图象的直观性, 发挥好多媒体教学的优势; 由于学生在概念的 掌握上缺少系统性、严谨性,在教学中注意加强. 二、目标分析 (一)知识目标: 1.知识目标:理解函数单调性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法;了解 函数单调区间的概念,并能根据函数图象说出函数的单调区间。 2.能力目标:通过证明函数的单调性的学习,使学生体验和理解从特殊到一般的数学 归纳推理思维方式, 培养学生的观察能力, 分析归纳能力, 领会数学的归纳转化的思想方法, 增加学生的知识联系,增强学生对知识的主动构建的能力。 3.情感目标:让学生积极参与观察、分析、探索等课堂教学的双边活动,在掌握知识 的过程中体会成功的喜悦, 以此激发求知欲望。 领会用运动变化的观点去观察分析事物的方 法。通过渗透数形结合的数学思想,对学生进行辨证唯物主义的思想教育。 (二)过程与方法

培养学生严密的逻辑思维能力以及用运动变化、数形结合、分类讨论的方法去分析和 处理问题, 以提高学生的思维品质, 通过函数的单调性的学习, 掌握自变量和因变量的关系。 通过多媒体手段激发学生学习兴趣,培养学生发现问题、分析问题和解题的逻辑推理能力。 三、教法与学法 1.教学方法 在教学中,要注重展开探索过程,充分利用好函数图象的直观性、发挥多媒体教学的优 势。本节课采用问答式教学法、探究式教学法进行教学,教师在课堂中只起着主导作用,让 学生在教师的提问中自觉的发现新知, 探究新知, 并且加入激励性的语言以提高学生的积极 性,提高学生参与知识形成的全过程。 2.学习方法 自我探索、自我思考总结、归纳,自我感悟,合作交流,成为本节课学生学习的主要方 式。 四、过程分析 本节课的教学过程包括:问题情景,函数单调性的定义引入,增函数、减函数的定义, 例题分析与巩固练习, 回顾总结和课外作业六个板块。 这里分别就其过程和设计意图作一一 分析。 (一)问题情景: 为了激发学生的学习兴趣, 本节课借助多媒体设计了多个生活背景问题, 并就图表和图 象所提供的信息,提出一系列问题和学生交流,激发学生的学习兴趣和求知欲望,为学习函 数的单调性做好铺垫。 (祥见课件) 新课程理念认为:情境应贯穿课堂教学的始终。本节课所创设的生活情境,让学生亲近 数学,感受到数学就在他们的周围,强化学生的感性认识,从而达到学生对数学的理解。让 学生在课堂的一开始就感受到数学就在我们身边,让学生学会用数学的眼光去关注生活。 (二)函数单调性的定义引入 1. 几何画板动画演示 , 请学生认真观察, 并回答问题: 通过学生已学过的函数 y=2x+4,

y ? x2 , y ?

1 的图象的动态形式形象出 x、y 间的变化关系,使学生对函数单调性有感性 x

认识。 ,进行比较,分析其变化趋势。并探讨、回答以下问题: 问题 1、观察下列函数图象,从左向右看图象的变化趋势? 问题 2:你能明确说出“图象呈上升趋势”的意思吗? 通过学生的交流、探讨、总结,得到单调性的“通俗定义” : 从在某一区间内当 x 的值增大时, 函数值 y 也增大, 到图象在该区间内呈上升趋势再到 如何用 x 与 f(x)来描述上升的图象? 通过问题逐步向抽象的定义靠拢, 将图形语言转化为数学符号语言。 几何画板的灵活使用, 数形有机结合,引导学生从图形语言到数学符号语言的翻译变得轻松。

设计意图:①通过学生熟悉的知识引入新课题,有利于激发学生的学习兴趣和学习热 情,同时也可以培养学生观察、猜想、归纳的思维能力和创新意识,增强学生自主学习、独 立思考,由学会向会学的转化,形成良好的思维品质。②通过学生已学过的一次 y=2x+4,

y ? x2 , y ?

1 的图象的动态形式形象地反映出 x、y 间的变化关系,使学生对函数单调性 x

有感性认识。 ③从学生的原有认知结构入手,探讨单调性的概念,符合“最近发展区的理 论”要求。④从图形、直观认识入手,研究单调性的概念,其本身就是研究、学习数学的一 种方法,符合新课程的理念。 (三)增函数、减函数的定义 在前面的基础上,让学生讨论归纳: 如何使用数学语言来准确描述函数的单调性?在学 生回答的基础上,给出增函数的概念,同时要求学生讨论概念中的关键词和注意点。 定义中的“当 x1 ? x2 时,都有 f(x1)< f(x2)”描述了 y 随 x 的增大而增大;它刻画了函 数的单调递增的性质,数学语言多么精练简洁,这就是数学的魅力所在! 注意: (1)函数的单调性也叫函数的增减性; (2)注意区间上所取两点 x1,x2 的任意性; (3)函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念。 让学生自已尝试写出减函数概念,由两名学生板演。提出单调区间的概念。 设计意图:通过给出函数单调性的严格定义,目的是为了让学生更准确地把握概念,理 解函数的单调性其实也叫做函数的增减性,它是对某个区间而言的,它是一个局部概念,同 时明确判定函数在某个区间上的单调性的一般步骤。这样处理,同时也是让学生感悟、体验 学习数学感念的方法,提高其个性品质。 (四)例题分析 在理解概念的基础上,让学生总结判别函数单调性的方法:图象法和定义法。 2.例 2.证明函数 f ( x) ? ?3x ? 1 在区间(-∞,+∞)上是减函数。 在本题的解决过程中,要求学生对照定义进行分析,明确本题要解决什么?定义要求是 什么?怎样去思考?通过自己的解决,总结证明单调性问题的一般方法。 变式一:函数 f(x)=-3x+b 在 R 上是减函数吗?为什么? 变式二:函数 f(x)=kx+b (k<0)在 R 上是减函数吗?你能用几种方法来判断。 变式三:函数 f(x)=kx+b (k<0)在 R 上是减函数吗?你能用几种方法来判断。 错误:实质上并没有证明,而是使用了所要证明的结论 例题设计意图:在理解概念的基础上,让学生总结判别函数单调性的方法:图象法和定 义法。例 1 是教材中例题,它的解决强化学生应用数形结合的思想方法解题的意识,进一步 加深对概念的理解,同时也是依托具体问题,对单调区间这一概念的再认识;要了解函数在 某一区间上是否具有单调性,从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法。严格地说,它需

要根据单调函数的定义进行证明。例 2 是教材练习题改编,通过师生共同总结,得出使用定 义证明的一般步骤:任取—作差(变形)—定号—下结论,通过例 2 的解决是学生初步掌握 运用概念进行简单论证的基本方法, 强化证题的规范性训练, 从而提高学生的推理论证能力。 例 3 是教材例 2 抽象出的数学问题。目的是进一步强化解题的规范性,提高逻辑推理能力, 同时让学生学会一些常见的变形方法。 (五)巩固与探究 1.教材 p36 练习 2,3

2.探究:二次函数的单调性有什么规律? (几何画板演示,学生探究)本问题作为机动题。时间不允许时,就为课后思考题。 设计意图:通过观察图象,对函数是否具有某种性质作出一种猜想,然后通过推理的办 法,证明这种猜想的正确性,是发现和解决问题的一种常用数学方法。 通过课堂练习加深学生对概念的理解,进一步熟悉证明或判断函数单调性的方法和步 骤,达到巩固,消化新知的目的。 同时强化解题步骤, 形成并提高解题能力。对练习的思考, 让学生学会反思、学会总结。 (六)回顾总结 通过师生互动,回顾本节课的概念、方法。本节课我们学习了函数单调性的知识,同学 们要切记:单调性是对某个区间而言的,同时在理解定义的基础上,要掌握证明函数单调性 的方法步骤,正确进行判断和证明。 设计意图: 通过小结突出本节课的重点, 并让学生对所学知识的结构有一个清晰的认识, 学会一些解决问题的思想与方法,体会数学的和谐美。 (七)课外作业 1.教材 p43 习题 1.3 A 组 2.判断并证明函数 f ( x) ? 1(单调区间) ,2(证明单调性) ;

x 在 (0, ??) 上的单调性。

3.数学日记:谈谈你本节课中的收获或者困惑,整理你认为本节课中的最重要的知识 和方法。 设计意图:通过作业 1、2 进一步巩固本节课所学的增、减函数的概念,强化基本技能 训练和解题规范化的训练, 并且以此作为学生对本结内容各项目标落实的评价。 新课标要求: 不同的学生学习不同的数学, 在数学上获得不同的发展。 作业 3 这种新型的作业形式是其很 好的体现。 (七)板书设计(见 ppt) 五、评价分析 有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上, ,因此在教学设计过程中注意了: 第一.教要按照学的法子来教;第二在学生已有知识结构和新概念间寻找“最近发展区” ;第 三.强化了重探究、重交流、重过程的课改理念。让学生经历“创设情境——探究概念——

注重反思——拓展应用——归纳总结” 的活动过程, 体验了参与数学知识的发生、 发展过程 , 培养“用数学”的意识和能力,成为积极主动的建构者 。 本节课围绕教学重点,针对教学目标,以多媒体技术为依托,展现知识的发生和形成过 程,使学生始终处于问题探索研究状态之中,激情引趣,并注重数学科学研究方法的学习, 是顺应新课改要求的,是研究性教学的一次有益尝试。

1.3.2《函数的奇偶性》
一、教材分析 1.教材所处的地位和作用 “奇偶性”是人教 A 版第一章“集合与函数概念”的第 3 节“函数的基本性质”的第 2 小节。

奇偶性是函数的一条重要性质,教材从学生熟悉的



入手,从特殊到一般,从具体到抽象,注重信息技术的应用,比较 系统地介绍了函数的奇偶性。从知识结构看,它既是函数概念的拓展和深化,又是后续研究 指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。因此,本节课起着承上启下的重要作用。 2.学情分析 从学生的认知基础看, 学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形, 并且有了一 定数量的简单函数的储备。同时,刚刚学习了函数单调性,已经积累了研究函数的基本方法 与初步经验。 从学生的思维发展看, 高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变, 能够用 假设、推理来思考和解决问题. 3.教学目标 基于以上对教材和学生的分析,以及新课标理念,我设计了这样的教学目标: 【知识与技能】 1.能判断一些简单函数的奇偶性。 2.能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题。 【过程与方法】 经历奇偶性概念的形成过程,提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。 【情感、态度与价值观】 通过自主探索,体会数形结合的思想,感受数学的对称美。 从课堂反应看,基本上达到了预期效果。 4、教学重点和难点 重点:函数奇偶性的概念和几何意义。 几年的教学实践证明,虽然“函数奇偶性”这一节知识点并不是很难理解,但知识点掌 握不全面的学生容易出现下面的错误。他们往往流于表面形式,只根据奇偶性的定义检验

f (? x) ? ? f ( x)或f (? x) ? f ( x) 成立即可,而忽视了考虑函数定义域的问题。因此,在介
绍奇、 偶函数的定义时, 一定要揭示定义的隐含条件, 从正反两方面讲清定义的内涵和外延。

因此,我把“函数的奇偶性概念”设计为本节课的重点。在这个问题上我除了注意概念的讲 解,还特意安排了一道例题,来加强本节课重点问题的讲解。 难点:奇偶性概念的数学化提炼过程。 由于,学生看待问题还是静止的、片面的,抽象概括能力比较薄弱,这对建构奇偶性的 概念造成了一定的困难。因此我把“奇偶性概念的数学化提炼过程”设计为本节课的难点。 二、教法与学法分析 1、教法 根据本节教材内容和编排特点,为了更有效地突出重点,突破难点,按照学生的认知规 律,遵循教师为主导,学生为主体,训练为主线的指导思想,采用以引导发现法为主,直观 演示法、类比法为辅。教学中,精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题,创设问题 情景,诱导学生思考,使学生始终处于主动探索问题的积极状态,从而培养思维能力。从课 堂反应看,基本上达到了预期效果。 2、学法 让学生在“观察一归纳一检验一应用”的学习过程中,自主参与知识的发生、发展、形 成的过程,从而使学生掌握知识。 三、教学过程 具体的教学过程是师生互动交流的过程,共分六个环节:设疑导入、观图激趣;指导观 察、形成概念;学生探索、领会定义;知识应用,巩固提高;总结反馈;分层作业,学以致 用。下面我对这六个环节进行说明。 (一)设疑导入、观图激趣 由于本节内容相对独立,专题性较强,所以我采用了“开门见山”导入方式,直接点 明要学的内容,使学生的思维迅速定向,达到开始就明确目标突出重点的效果。 用多媒体展示一组图片, 使学生感受到生活中的对称美。 再让学生观察几个特殊函数图 象。通过让学生观察图片导入新课,既激发了学生浓厚的学习兴趣,又为学习新知识作好铺 垫。 (二)指导观察、形成概念 在这一环节中共设计了 2 个探究活动。
2 探究 1 、2 数学中对称的形式也很多,这节课我们就以函数 f ( x) ? x 和 f ( x ) =︱x︱

1 以及 f ( x) ? x 和 f ( x) ? 为例展开探究。这个探究主要是通过学生的自主探究来实现的, x
由于有图片的铺垫,绝大多数学生很快就说出函数图象关于 Y 轴(原点)对称。接着学生填 表, 从数值角度研究图象的这种特征, 体现在自变量与函数值之间有何规律? 引导学生先把 它们具体化,再用数学符号表示。借助课件演示(令 式 , 再令 ,得到 ) 比较 得出等

让学生发现两个函数的

对称性反应到函数值上具有的特性, f (? x) ? f ( x) ( f (? x) ? ? f ( x) )然后通过解析式给 出严格证明,进一步说明这个特性对定义域内任意一个 都成立。 最后给出偶函数(奇函 数)定义(板书)。 在这个过程中,学生把对图形规律的感性认识,转化成数量的规律性,从而上升到了理性认 识,切实经历了一次从特殊归纳出一般的过程体验。 (三) 学生探索、领会定义

探究 3 下列函数图象具有奇偶性吗?
y ? x3,y ? [?4, x 3]

y
y ? x 2,x ? [?3, 2]

?4
O

3

x
?3
O

2

x

设计意图:深化对奇偶性概念的理解。强调:函数具有奇偶性的前提条件是——定义域 关于原点对称。 (突破了本节课的难点) (四)知识应用,巩固提高 在这一环节我设计了 4 道题 例 1 判断下列函数的奇偶性

(1) f ( x) ? x 4      f ( x) ? x ? (3) 1 x

(2) f ( x) ? x5    (4) f ( x) ? 1   x2

选例 1 的第(1)及(3)小题板书来示范解题步骤,其他小题让学生在下面完成。 例 1 设计意图是归纳出判断奇偶性的步骤: (1) 先求定义域,看是否关于原点对称; (2) 再判断 f(-x)=-f(x) 还是 f(-x)=f(x)。 例 2 判断下列函数的奇偶性:

f ( x) ? x 2 ? x
例 3 判断下列函数的奇偶性:

f ( x) ? 0
例 2、3 设计意图是探究一个函数奇偶性的可能情况有几种类型? 例 4(1)判断函数 f ( x) ? x 3 ? x 的奇偶性。 (2)如图给出函数图象的一部分,你能根据函数的奇偶性画出它在 y 轴左边的图 象吗? 例 4 设计意图加强函数奇偶性的几何意义的应用。 在这个过程中,我重点关注了学生的推理过程的表述。通过这些问题的解决,学生对函 数的奇偶性认识、理解和应用都能提升很大一个高度,达到当堂消化吸收的效果。 (五)总结反馈 在以上课堂实录中充分展示了教法、学法中的互动模式, “问题”贯穿于探究过程的始 终,切实体现了启发式、问题式教学法的特色。 在本节课的最后对知识点进行了简单回顾,并引导学生总结出本节课应积累的解题经 验。知识在于积累,而学习数学更在于知识的应用经验的积累。所以提高知识的应用能力、

增强错误的预见能力是提高数学综合能力的很重要的策略。 (六)分层作业,学以致用 必做题:课本第 36 页练习第 1-2 题。 选做题:课本第 39 页习题 1.3A 组第 6 题。 思考题:课本第 39 页习题 1.3B 组第 3 题。 设计意图:面向全体学生,注重个人差异,加强作业的针对性,对学生进行分层作业, 既使学生掌握基础知识, 又使学有余力的学生有所提高, 进一步达到不同的人在数学上得到 不同的发展。

《指数函数及其性质》
一、指数函数及其性质教学设计说明 新课标指出: 学生是教学的主体,教师的教应本着从学生的认知规律出发,以学生活动为 主线,在原有知识的基础上,建构新的知识体系。我将以此为基础对教学设计加以说明。 数学本质: 探究指数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决,转而由“形”——图象突破,体会 数形结合的思想。 通过分类讨论, 通过研究两个具体的指数函数引导学生通过观察图象发现 指数函数的图象规律,从而归纳指数函数的一般性质,经历一个由特殊到一般的探究过程。 引导学生探究出指数函数的一般性质,从而对指数函数进行较为系统的研究。 二、教材的地位和作用: 本节课是全日制普通高中标准实验教课书《数学必修 1》第二章 2.1 .2 节的内容,研究指 数函数的定义,图像及性质。是在学生已经较系统地学习了函数的概念,将指数扩充到实数 范围之后学习的一个重要的基本初等函数。 它既是对函数的概念进一步深化, 又是今后学习 对数函数与幂函数 的基础。因此,在教材中占有极其重要的地位,起着承上启下的作用。 此外, 《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系,尤其体现 在细胞分裂、 贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面, 因此学习这部分知识还有着广泛 的现实意义。 三、教学目标分析: 根据本节课的内容特点以及学生对抽象的指数函数及其图象缺乏感性认识的实际情况, 确定 在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和由图象得出的性质为本节教学重点。 本 节课的难点是指数函数图像和性质的发现过程。 为此,特制定以下的教学目标: 1)知识目标(直接性目标) :理解指数函数的定义,掌握指数函数的图像、性质及其简单 应用、能根据单调性解决基本的比较大小的问题. 2)能力目标(发展性目标) :通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力,体会数形 结合和分类讨论思想,增强学生识图用图的能力 。 3)情感目标(可持续性目标) 通过学习,使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的 : 关系,用联系的观点看问题。体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程;体验研 究函数的一般思维方法。引导学生发现数学中的对称美、简洁美。善于探索的思维品质。 教学问题诊断分析: 学生知识储备: 通过初中学段的学习和高中对集合、 函数等知识的系统学习, 学生对函数和图象的关系已经

构建了一定的认知结构。 学情分析: 由于我所教学生数学的理解能力、运算能力、思维能力等方面有一部分是较好的,但整体是 水平参差不齐。 高一这个年龄段的学生思维活跃, 求知欲强, 能够勇于表现自我, 展现自我, 愿意合作交流。但在思维习惯上与方法上还有待教师引导。 可能存在的问题与策略: 问题 1. 学生能够从具体的问题中抽象出数学的模型但对于指数函数的定义中底数的取值范围和指 数函数形式的判断有困难。 教学策略: 类比着二次函数,对于底数的范围的取值,引导学生回顾指数幂中当指数为全体实数时,底 数怎样取值才能一直有意义,以问题的形式引发学生思考底数能否取负数、正数、0、1?从 而得到底数的范围。 学生对: 1)y=-3x 2)y=31/x 3) y=31+x 4) y=(-3)x 5) y=3-x=(1/3) x 几种形式的函数的判断,加强对指数函数形解析式的理解和辨别: 问题 2. 学生初中阶段就接触过函数,但对于学生而言,指数函数是完全陌生的函数。学生列表时, 数值的选取上可能会少取或是数值的选取不能照顾到全体实数, 画图时, 又容易受以前学过 的函数图像的影响,把指数函数的图像画成已经学过的图像的形象。 教学策略: 在列表格时自变量的取值以及如何画出指数函数的图像的问题上, 采用启发 式教学法,类比学过的函数图形的画法,引导学生画图,画完图后,又利用实物投影仪展示 一位同学的图像,由全班同学进行提出意见纠错来补充画图的不足。 另外为了让学生增强识图、 用图的能力可以让学生根据观察到的指数函数的图像, 来画出底 数不同取值范围内的的草图,以便于探究性质。 问题 3. 函数定义给出后,底数 a 如何分类讨论的情况学生难以做到,如果处理不好,这对于指数函 数质探究时的分类讨论有很重要的意义。 教学策略:在定义中对于底数的取值范围的讨论后,得出了底数 a>0 且 a≠1。此时,在数 轴上把 a 的范围表示出来, 这样学生很容易从数轴上的区间图看出底数分为两类情况进行讨 论。这样为指数函数质探究时的分类讨论埋下了伏笔。 问题 4 . 通过两个具体的特殊的指数函数图像, 来探究得出指数函数的性质。 如何使学生能经历从特 殊到一般的过程,这种由特殊到一般再到特殊的思想的领会,如何完成? 教学策略:教师利用几何画板分别画出了底数大于 1 的和底数在 0 到 1 之间的若干个不同 的指数函数的图像, 展现不同的底数的变化时图像的不同情况, 从而让学生经历由特殊到一 般的过程。 问题 5. 指数函数是学生在学习了函数基本概念和性质以后接触到得第一个具体函数, 学生可能找不 到研究问题的方法和方向. 教学策略:在这部分的安排上,我更注意学生思维习惯的养成,即应从哪些方面,哪些角度 去探索一个具体函数。 问题 6.

学生得到的性质特点可能是杂乱的,如何梳理突出主要的性质? 教学策略:在学生识图、用图、合作探究的过程后,利用两个表格的填写,让学生感受由图 象特征来得到函数的性质的过程。表格主要呈现五个方面的性质与特点。 五、教法分析: 为充分贯彻新课程理念, 使教学过程真正成为学生学习过程, 让学生体验数学发现和创造的 历程,本节课拟采用直观教学法、启发发现法、课堂讨论法等教学方法。以多媒体演示为载 体,启发学生观察思考,分析讨论为主,教师适当引导点拨,以动手操作、合作交流,自主 探究的方式来让学生始终处在教学活动的中心。 六、预期效果分析: 1、教学环节环环相扣,层层深入,并充分体现教师与学生的交流互动,在教师的整体调控 下,学生通过动手操作,动眼观察,动脑思考,亲身经历了知识的生成和发展过程,使学生 对知识的理解逐步深入。 2、简单实例的引入,顺利完成了知识的迁移,从得出指数函数的模型,符合学生认知规律 的最近发展区。 3、 而作业中完成指数函数性质的探究报告, 弥补课堂时间有限探究和展示的局限性, 带领学生进入对指数函数更进一步的思考和研究之中,从而达到知识在课堂以外的延伸。 4、在整个教学过程中,由于学生是自觉主动地发现结果,对所学知识应该能够较快 接受。因此,我认为可以达到预定的教学目标。

2.8 对数函数(第二课时)
一、 教材的本质、地位与作用 对数函数(第二课时)是 2006 人教版高一数学(上册)第二章第八节第二课时的内容, 本小节涉及对数函数相关知识, 分三个课时, 这里是第二课时复习巩固对数函数图像及性质, 并用此解决三类对数比大小问题,是对已学内容(指数函数、指数比大小、对数函数)的延 续和发展,同时也体现了数学的实用性,为后续学习起到奠定知识基础、渗透方法的作用, 因此本节内容起到了一种承上启下的作用. 二、 教学目标 根据教学大纲的要求以及本节课的地位与作用, 结合高一学生的认知特点确定教学目标 如下: 学习目标: 1、复习巩固对数函数的图像及性质 2、运用对数函数的性质比较两个数的大小 能力目标: 1、 培养学生运用图形解决问题的意识即数形结合能力 2、学生运用已学知识,已有经验解决新问题的能力 3、 探索出方法,有条理阐述自己观点的能力

德育目标: 培养学生勤于思考、独立思考、合作交流等良好的个性品质 三、 教材的重点及难点 对数比大小发挥的是承上启下的作用,对前一是复习巩固对数函数的图像和性质,二 是对指数中比大小问题的数学思想及方法的再次体现和应用, 对后为解对数方程及对数不等 式奠定基础。所以确定本节课重点:运用对数函数图像性质比较两数的大小 教学中将在以下 2 个环节中突出教学重点: ...... 1、 2、 利用学生预习后的心得交流,资源共享,互补不足 通过适当的练习,加强对解题方法的掌握及原理的理解

另一方面,学生在预习后上课的情况下,对于课本上知识有了一定的认识,但本节课 教师要补充第三类比大小问题———同真异底型, 对于学生以小组为单位自主探究有一定的 挑战性。 所以确定本节课难点:同真异底的对数比大小 ...... 教学中会在以下 3 个方面突破教学难点: 1、 2、 教师调整角色,让学生成为学习的主人,教师在其中起引 导作用即可。

小组合作探索新问题时,注重生生合作、师生互动,适时用语言鼓励学生,增 强学生参与讨论的自信。

3、 四、

本节课采用多媒体辅助教学,节省时间,加快课程进度,增强了直观形象性。

学生学情分析 长处:高一学生经过几年的数学学习,已具备一定的数学素养,对于已学知识或用过 的数学思想、方法有一定的应用能力及应用意识,对于本节课而言,从知识上 .. 说,对数函数的图像和性质刚刚学过,本节课是知识的应用,从数学能力上说, .... 指数比大小问题的解题思想和方法在这可借鉴,另外数形结合能力、小结概括 能力、特殊到一般归纳能力已具备一点。 学生可能遇到的困难:本节课从教学内容上来看,第三类对数比大小是课本以外补充 .... 的内容,没有预习心得,让学生在课堂中快速通过合作探究来完成解题思路的 构建,有一定的挑战性,从学生能力上来看,探索出方法,有条理阐述自己观 .... 点的能力还需加强锻炼,知识之间的联系认识上还显不足。

五、

教法特点 新课程强调教师要调整自己的角色,改变传统的教育方式,在教育方式上,以学生为

中心,让学生成为学习的主人,教师在其中起引导作用即可。基于此,本节课遵循此原则重

点采用问题探究和启发引导式的教学方法。从预习交流心得出发,到探索新问题,再到题后 的回顾总结, 一切以学生为中心,处处体现学生的主体地位, 让学生多说、 多分析、 多思考、 多总结, 引导学生运用自己的语言阐述观点, 加强理解, 在生生合作, 师生互动中解决问题, 为提高学生分析问题、解决问题能力打下基础。本节课采用多媒体辅助教学,节省时间,加 快课程进度,增强了直观形象性。 六、 教学过程分析 1、 课件展示本节课学习目标

设计意图:明确任务,激发兴趣 2、 温故知新(已填表形式复习对数函数的图像和性质)

设计意图:复习已学知识和方法,为学生形成知识间的联系和框架建立平台,并为下 一步的应用打下基础。 3、 预习后心得交流 1) 同底对数比大小 2) 既不同底数,也不同真数的对数比大小 以课本例题为例,交流解题思路,题后总结此类型比大小问题的一般方法,而后通 过练习加强理解巩固 设计意图:通过学生的预习,自己总结方法及此方法适用的题型,有条理的阐述自己的 学习心得,老师只需起引导作用, 引导学生从题目表面上升到题目的实质, 从而找到解决问 题的有效方法。 4、 合作探究——同真异底型的对数比大小

以例 3 为例,学生分组合作探究解题方法,预计两种:一是利用换底公式将此类型转 化为同底异真型, 利用之前总结的方法解决此问题。 二是利用具体对数的大小关系探究出不 同底对数函数在同一直角坐标系中的图像,以此来解决此类型比大小问题。 设计意图:这一部分是本节课的难点,探究中充分发挥学生的主动性,培养主动学习的 意识,同时也锻炼学生各方面能力的很好机会,为以后的探究学习积累经验和方法,充分体 现“授之以鱼,不如授之以渔”的教学理念。另外数学问题的解决仅仅只是一半,更重要的 是解题之后的回顾,即反思,如果没有了反思,他们就错过了解题的一次重要而有效益的方 面。 因此, 本题解决后, 让学生反思明白, 要想利用性质解决问题, 关键要做到 “脑中有图” , 以“形”促“数” 。 5、 小结

以学生自主小结的方式总结本节课得收获,教师可引导小结三个方面:所学内容、 数学思想、数学方法 6、 思考题

以 2009 高考题为例,让学生学以致用,增强数学学习兴趣。 7、 作业 2、下节课前的预习作业

包括两个方面:1、书写作业 七、 教学效果分析

通过本节课的教学实例来看,这种通过课本内容预习,而后课堂交流学习成果的方法 效果不错,既能很好的完成教学任务,又能充分发挥学生学习的主动性。在自主探究时,学 生分组讨论过程中,我参与小组讨论,对有能力的小组,在探究出一种方法后,可鼓励完成 更多的方法探究,对于能力较弱的小组,可给予适当的提示,使学生都能动起来,课堂都有 所收获,增强学生自信。另外,对于学生的总结回答,可能会比较慢,我一定会耐心听,及 时鼓励,给予学生微笑和语言的鼓励,效果很好。在小结环节中,对于高一学生自己小结的 方法,是我一直的教学尝试,由于只训练了半学期,学生只能达到小结知识的程度,在以后 的训练中还会加入数学思想、数学方法的小结内容,使这些数学名词让学生不再觉得抽象, 而是变成具体的,可操作的、具体的解题工具。

3.1.1 方程的根与函数的零点
一、本课数学内容的本质、地位、作用分析 普通高中课标教材必修 1 共安排了三章内容,第一章是《集合与函数的概念》 ,第二章 是《基本初等函数(Ⅰ),第三章是《函数的应用》 》 。第三章编排了两块内容,第一部分是 函数与方程,第二部分是函数模型及其应用。本节课方程的根与函数的零点,正是在这种建 立和运用函数模型的大背景下展开的。 本节课的主要教学内容是函数零点的定义和函数零点 存在的判定依据,这两者显然是为下节“用二分法求方程近似解”这一“函数的应用”服务 的,同时也为后续学习的算法埋下伏笔。由此可见,它起着承上启下的作用,与整章、整册 综合成一个整体,学好本节意义重大。 函数在数学中占据着不可替代的核心地位, 根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛 的联系,而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机 地联系在一起。方程本身就是函数的一部分,用函数的观点来研究方程,就是将局部放入整 体中研究,进而对整体和局部都有一个更深层次的理解,并学会用联系的观点解决问题,为

后面函数与不等式和数列等其他知识的联系奠定基础。 二、教学目标分析 本节内容包含三大知识点: 一、函数零点的定义; 二、方程的根与函数零点的等价关系; 三、零点存在性定理。 结合本节课引入三大知识点的方法,设定本节课的知识与技能目标如下: 1.结合方程根的几何意义,理解函数零点的定义; 2.结合零点定义的探究,掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系; 3.结合几类基本初等函数的图象特征,掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法. 本节课是学生在学习了函数的性质, 具备了初步的数形结合知识的基础上, 通过对特殊 函数图象的分析进行展开的,是培养学生“化归与转化思想”,“ 数形结合思想”, “函 数与方程思想”的优质载体。 结合本节课教学主线的设计,设定本节课的过程与方法目标如下: 1.通过化归与转化思想的引导, 培养学生从已有认知结构出发, 寻求解决棘手问题方法的习 惯; 2.通过数形结合思想的渗透,培养学生主动应用数学思想的意识; 3.通过习题与探究知识的相关性设置, 引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区 间的方法; 4.通过对函数与方程思想的不断剖析,促进学生对知识灵活应用的能力。 由于本节课将以教师引导,学生探究为主体形式,故设定本节课的情感、态度与价值观 目标如下: 1.让学生体验化归与转化、 数形结合、 函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义 与价值; 2.培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯。 3.使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。 三、教学问题诊断 学生具备的认知基础: 1.基本初等函数的图象和性质; 2.一元二次方程的根和相应函数图象与 x 轴的联系;

3.将数与形相结合转化的意识。 学生欠缺的实际能力: 1.主动应用数形结合思想解决问题的意识还不强; 2.将未知问题已知化,将复杂问题简单化的化归意识淡薄; 3.从直观到抽象的概括总结能力还不够; 4.概念的内涵与外延的探究意识有待提高。 对本节课的教学,教材是利用一组一元二次方程和二次函数的关系来引入函数零点的。 这样处理,主要是想让学生在原有二次函数的认知基础上,使其知识得到自然的发生发展。 理解了像二次函数这样简单的函数零点, 再来理解其他复杂的函数零点就会容易一些。 但学 生对如何解一元二次方程以及二次函数的图象早就熟练了,这样的引入过程使学生感到平 淡,激发不起他们的兴趣,他们对零点的理解也只会浮于表面,也无法使其体会引入函数零 点的必要性,理解不了方程根存在的本质原因是零点的存在。 教材是通过由直观到抽象的过程,才得到判断函数 y=f(x)在(a,b)内有零点的一种 条件的,如果不能有效地对该过程进行引导,容易出现学生被动接受,盲目记忆的结果,而 丧失了对学生应用数学思想方法的意识进行培养的机会。 教材中零点存在性定理只表述了存在零点的条件,但对存在零点的个数并未多做说明, 这就要求教师对该定理的内涵和外延要有清晰的把握, 引导学生探究出只存在一个零点的条 件,否则学生对定理的内容很容易心存疑虑。 四、本节课的教法特点以及预期效果分析 本节课教法的几大特点总结如下: 1. 以问题为主线贯穿始终; 2. 精心设置引导性的语言放手让学生探究; 3. 注重在引导学生探究问题解法的过程中渗透数学思想; 4. 在探究过程中引入新知识点,在引入新知识点后适时归纳总结,进行探究阶段性成 果的应用。 由于所设置的主线问题具有很高的探究价值, 所以预期学生热情会很高, 积极性调动起 来,那整节课才能活起来; 由于为了更好地组织学生探究所设置的引导性语言, 重在去挖掘学生内心真实的想法和 他们最真实体会到的困难,所以通过学生活动会更多地暴露他们在基础知识掌握方面的缺 憾,免不了要随时纠正对过往知识的错误理解;

因为在探究过程中不断渗透数学思想,学生对亲身经历的解题方法就会有更深的体会, 主动应用数学思想的意识在上升,对于主线问题也应该可以迎刃而解; 因为在探究过程中引入新知识点,学生对新知识产生的必要性会有更深刻的体会和认 识,同时在新知识产生后,又适时地加以应用,学生对新知识的应用能力不断提高。

用二分法求方程的近似解
一、本节课内容的数学本质 本节课的主要任务是探究二分法基本原理, 给出用二分法求方程近似解的基本步骤, 使 学生学会借助计算器用二分法求给定精确度的方程的近似解。 通过探究让学生体验从特殊到 一般的认识过程,渗透逐步逼近和无限逼近思想(极限思想) ,体会“近似是普遍的、精确 则是特殊的”辩证唯物主义观点。引导学生用联系的观点理解有关内容,通过求方程的近似 解感受函数、方程、不等式以及算法等内容的有机结合,使学生体会知识之间的联系。 所以本节课的本质是让学生体会函数与方程的思想、 近似的思想、 逼近的思想和初步感 受程序化地处理问题的算法思想。 二、本节课内容的地位、作用 “二分法”的理论依据是“函数零点的存在性(定理),本节课是上节学习内容《方程 ” 的根与函数的零点》的自然延伸;是数学必修 3 算法教学的一个前奏和准备;同时渗透数形 结合思想、近似思想、逼近思想和算法思想等。 三、学生情况分析 学生已初步理解了函数图象与方程的根之间的关系, 具备一定的用数形结合思想解决问 题的能力, 这为理解函数零点附近的函数值符号提供了知识准备。 但学生仅是比较熟悉一元 二次方程解与函数零点的关系, 对于高次方程、 超越方程与对应函数零点之间的联系的认识 比较模糊,计算器的使用不够熟练,这些都给学生学习本节内容造成一定困难。 四、教学目标定位 根据教材内容和学生的实际情况,本节课的教学目标设定如下: 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件,了解二分法是求方程近似解的一种方 法,会用二分法求某些具体方程的近似解,从中体会函数与方程之间的联系,体会程序化解 决问题的思想。 借助计算器用二分法求方程的近似解, 让学生充分体验近似的思想、 逼近的思想和程序 化地处理问题的思想及其重要作用,并为下一步学习算法做知识准备. 通过探究、展示、交流,养成良好的学习品质,增强合作意识。 通过具体问题体会逼近过程,感受精确与近似的相对统一。 五、教学诊断分析 “二分法”的思想方法简便而又应用广泛,所需的数学知识较少,算法流程比较简洁, 便于编写计算机程序;利用计算器和多媒体辅助教学,直观明了;学生在生活中也有相关体 验,所以易于被学生理解和掌握。 但“二分法”不能用于求方程偶次重根的近似解,精确 度概念不易理解。 六、教学方法和特点 本节课采用的是问题驱动、启发探究的教学方法。

通过分组合作、互动探究、搭建平台、分散难点的学习指导方法把问题逐步推进、拾级 而上,并辅以多媒体教学手段,使学生自主探究二分法的原理。 本节课特点主要有以下几方面: 1、以问题驱动教学,激发学生的求知欲,体现了以学生为主的教学理念。 2、注重与现实生活中案例相结合,让学生体会数学来源于现实生活又可以解决现实生 活中的问题。 以李咏主持的幸运 52 猜商品价格来创设情境,不仅激发学生学习兴趣,学生也在猜测 的过程中体会二分法思想。 3、注重学生参与知识的形成过程,使他们“听”有所思, “学”有所获。 本节课中的每一个问题都是在师生交流中产生, 在学生合作探究中解决, 使学生经历了 完整的学习过程,培养合作交流意识。 4、恰当地利用现代信息技术,帮助学生揭示数学本质。 本节课中利用计算器进行了多次计算,逐步缩小实数解所在范围,精确度的确定就显得 非常自然,突破了教学上的难点,提高了探究活动的有效性。整个课件都以 PowerPoint 为 制作平台,演示 Excel 程序求方程的近似解,界画活泼,充分体现了信息技术与数学课程有机整合。 七、预期效果分析 以方程的根与函数的零点知识作基础, 通过对求方程近似解的探究讨论, 使学生主动参 与数学实践活动;采用多媒体技术,大容量信息的呈现和生动形象的演示,激发学生学习兴 趣、激活学生思维,掌握二分法的本质,完成教学目标。 另外尽管使用了科学计算器, 但求一个方程的近似解也是很费时的, 学生容易出现计算 错误和产生急躁情绪; 况且问题探究式教学跟学生的学习程度有很大关系, 各小组的探究时 间存在差异,教师要适时指导。

几类不同增长的函数模型
一.内容和内容解析 本节是高中数学必修 1(人教 A 版)第三章《函数的应用》的起始课.该课将经历运用 和选择函数模型解决实际问题的过程, 从而认识在同为增函数的函数模型中, 各种函数存在 增长的差异;理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义;认识研究函数增长(衰减)差异 的方法;感受数学建模的思想. 对不同函数模型在增长差异上的研究, 教材围绕函数模型的应用这一核心, 结合具体实 例展开讨论,让学生在应用函数模型的过程中,体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数 模型在描述客观世界变化规律时各自的特点. 教材运用自选投资方案和制定奖励方案这两个问题,引出函数模型增长情况比较的问 题,接着运用信息技术从数值和图象两个角度比较了指数函数、对数函数、幂函数的增长情 况的差异,说明不同函数类型增长的含义. 在必修 1 前两章, 教材安排了函数的性质以及基本初等函数. 本节内容是几类不同增长 的函数模型,在此之后是研究函数模型的应用,因此,从内容上看,本节课是对前面所学习 的几种基本初等函数以及函数的性质的综合应用, 从思想方法上讲, 是对研究函数的方法的 进一步巩固和深化,同时,也在为后面继续学习各种不同的函数模型的应用举例奠定基 础, .因此本节内容,既是第二章基本初等函数知识的延续,又是函数模型应用学习的基础, 起着承前启后的作用.

本节内容所涉及的数学思想方法主要包括: 由实际问题抽象为函数模型这一过程中蕴涵 的符号化、模型化的思想;在解决问题过程中函数与方程的思想. 二.目标和目标解析 本节课的教学任务为: (1)创设一个投资方案的问题情境,让学生通过函数建模、列数据表、研究函数图象 和性质,体会直线上升和指数爆炸; (2)创设一个选择奖励模型的问题情境,让学生在观察和探究的过程中,体会对数增 长模型的特点; (3)通过建立和运用函数基本模型,让学生初步体验数学建模的基本思想,发展学生 的创新意识和数学应用意识. 根据内容解析和教学任务,本节课的教学目标确定为: (1)通过实例的解决,运用函数表格、图象,比较一次函数、指数型函数以及对数函 数模型等的增长,认识它们的增长差异,体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的 函数模型的意义; (2)通过恰当地运用函数的三种表示方法(解析法、列表法、图象法) ,表达实际问题 中的函数关系的操作,认识函数问题的研究方法:观察—归纳—猜想—证明; (3)经历建立和运用函数基本模型的过程,初步体验数学建模的基本思想,体会数学 的作用与价值,培养分析问题、解决问题的能力. 这部分内容教科书在处理上,以函数模型的应用这一内容为主线,以几个重要的函数 模型为对象, 将前面已经学习过的内容以及处理问题的思想方法紧密结合起来, 使之成为一 个整体.因此教学中应当注意贯彻教材的设计意图,让学生经历函数模型应用的全过程,能 在这一过程中认识不同增长的差异, 认识知晓函数增长差异的作用, 认识研究差异的思想方 法. 结合以上分析本节课的教学重点为:将实际问题转化为数学模型,在比较常数函数、一 次函数、指数函数、对数函数模型增长差异的过程中,体会直线上升、指数爆炸、对数增长 等不同类型函数增长的含义. 三.教学问题诊断 学生在前面已学过函数概念、指数函数、对数函数、幂函数,但由于指数函数、对数函 数和幂函数的增长变化复杂, 这就使得学生在研究过程中可能遇到困难. 因此本节课教学难 点确定为: 如何结合实际问题让学生体会不同函数模型的增长差异, 以及如何利用这种增长 差异来解决一些实际问题. 为了解决这一难点,教科书分三个步骤,创设问题情境,并通过恰点恰时而又层层递进 的问题串,让学生在不断的观察、思考和探究的过程中,弄清几个函数间的增长差异,并培 养分析问题解决问题的能力.第一步,教科书先创设了一个选择投资方案的问题情境,在解 决问题的过程中给出了解析式、数表和图象三种表示,然后提出了三个思考问题,让学生一 方面从中体会直线上升和指数爆炸, 另一方面也学会如何选择恰当的表示形式对问题进行分 析.第二步,教科书又创设了一个选择公司奖励模型的问题情境,让学生在观察和探究的过 程中,体会到对数增长模型的特点.第三步,教科书提出了三种函数存在怎样的增长差异的

问题.先让学生从不同角度观察指数函数和幂函数的增长图象,从中体会二者的差异;再通 过两个探究问题, 让学生对幂函数和对数函数的增长差异, 以及三种函数的衰减情况进行自 主探究.这样的安排内容上层次分明,可以引导学生从不同的方面积极地开展观察、思考和 探究活动,对典型的问题,多视点宽角度地进行了研究.对学生分析问题、解决问题能力的 培养将有积极的推动.由于本节内容比较丰富,而且研究问题的方法和途径也比较多,所以 本节课我们只能重点解决其中的前两个问题. 四.教学支持条件分析 要让学生较为全面地体会函数模型的思想, 特别是本节例题中用函数模型研究实际问题 有许多数据、图象等方面处理上的困难,而利用信息技术工具,就可以在不同的范围观察到 指数函数、对数函数和幂函数的增长差异.这样,就使学生有机会接触到一些过去难以接触 到的数学知识和思想方法. 因此在本节内容教学的处理上, 通过学生收集数据并建立函数模 型, 利用计算器和计算机,比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异;结合实例 体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 五.教学过程设计 一、创设情境,引入课题 1.介绍第三章章头图,提出问题. 问题 1:澳大利亚的兔子为什么能在短短的几十年中由 5 只发展到 5 亿只? 澳大利亚兔子的急剧增长反映了自然界中一种增长现象:指数增长. 问题 2:在生活中,你还能举出其它增长的例子吗? 2.在学生回答问题的基础上引出各种不同类型的函数增长模型. 3.揭示课题:几类不同增长的函数模型. 【设计意图】运用章头图,形成问题情境,产生应用函数的需要,激发学生的学习愿望. 二、分析问题,建立模型 (一)提出问题 例 1.假如你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的 回报如下: 方案一:每天回报 40 元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报 10 元; 方案三:第一天回报 0 .4 元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问:你会选择哪种投资方式? (二)分析问题 1.引导审题,抓住关键词“回报” 问题 3:你选择的是什么样的回报?怎样比较回报资金的大小? 从解决问题的角度看: (1)比较三种方案的每日回报; (2)比较三种方案在若干天内的累计回报. 2.引导分析数量关系,建立函数模型 仅从日回报的角度引导学生根据数量关系, 归纳概括出相应的函数模型, 写出每个方案

的函数解析式. 【设计意图】引发学生思考,经历建立函数基本模型的过程. 【备注】累计回报的本质是数列求和问题,由于学生目前的知识储备还不够,现在仅限 于通过对函数模型通过列表计算、图象观察来作出判断和选择. 三、组织探究,感性体验 1.教师提出问题 问题 4:你会选择哪种投资方案?请用数学语言呈现你的理由. 2.学生分组操作,比较不同增长 从解决问题的方式上: (1)用列表方法来比较; (2)画出函数图象来分析. 【设计意图】保成学生合作探究、动手实践,能借助计算器,利用数据表格、函数图象 对三种模型进行比较、分析,初步感受直线上升和指数爆炸的意义,初步体验研究函数增 长差异的方法. 四、成果交流,阶段小结 (一)学生交流 让学生交流小组探究的成果(表格、图象、结论) (二)师生互动 1.阅读教材上例题解答中的数据表格与图象(突出散点图) ,引导学生关注增长量,感 受增长差异. 2.通过教师多媒体动态演示,让学生进一步体会增长差异. 在不同的函数模型下, 虽然都有增长, 但增长态势各具特点. 他们的增长不在同一个 “档 次”上,当自变量变得很大时,指数型函数比一次函数增长的速度要快得多. (三)归纳小结 1.通过教师的小结,增强学生对增长差异的认识. 常数函数(没有增长) ,直线上升(匀速增长) ,指数爆炸(急剧增长) . 2.上述问题的解决,是通过考虑其中的数量关系,把它抽象概括成一个函数问题,用解 析式、数据表格、图象这三种函数的表达形式来研究的. 【设计意图】分享学生成果,达到生生互动、师生互动;借助多媒体展示,帮助学生理 解不同增长的函数模型的增长差异,并且初步体验数学建模的基本思想,认识函数问题的 研究方法. 五、深入探究,理性分析 (一)提出问题 例 2.某公司为了实现 1000 万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案: 在销售利润达到 10 万元时, 按销售利润进行奖励, 且奖金 y(单位: 万元) 随销售利润 x(单 位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过 5 万元,同时奖金不超过利润的 25%.现有三 个奖励模型: y ? 0.25x 求?

y ? log7 x ? 1

y ? 1.002x .其中哪个模型能符合公司的要

(二)引导分析 问题 5:你能立刻做出选择吗?选择的依据是什么? 问题 6:公司的要求到底意味着怎样的数学关系? 问题 7:我们提供的三个增长型函数哪一个符合限制条件? (三)解决问题 1.通过多媒体演示,发现增长差异; 2.结合限制条件,初步作出选择; 3.通过计算,进一步确认,验证所得结论; 4.体会对数增长模型的增长特征:当自变量变得很大时平缓增长; 5.揭示函数问题的研究方法(观察—归纳—猜想—证明) . 【设计意图】让学生在观察和探究的过程中,学会理性分析,体会对数增长模型的特点. 【备注】对判断模型二 y ? log7 x ? 1 是否满足限制条件“ log7 x ? 1 ? 0.25x ” ,考虑到 学生现在知识储备和接受水平,只能采用了直观教学,通过构造新函数,观察新函数的图象 来解决(因为该函数单调性的判定,必须运用高二数学中的导数知识与方法才能解决) . 六、拓展延伸,创新设计 这个奖励方案实施以后,立刻调动了员工的积极性,企业发展蒸蒸日上,但随着时间 的推移,又出现了新的问题,员工缺乏创造高销售额的积极性. 问题 8:我们的奖励方案有什么弊端? 问题 9:你能否设计出更合理的奖励模型? 【创新设计】为了实现 1000 万元利润的目标,在销售利润达到 10 万元时,按销售利润 进行奖励,且奖金 y(单位:万元)随着销售利润 x (单位:万元)的增加而增加,要求如下: 10 万~ 50 万,奖金不超过 2 万;50 万~ 200 万,奖金不超过 4 万;200 万~ 1000 万,奖金不超过 20 万.请选择适当的函数模型,用图象表达你的设计方案. (四人一组,合 作完成) 【设计意图】 设计开放性问题对例 2 拓展延伸, 既检测了学生对几类不同模型增长差异 的掌握情况,又鼓励学生学以致用,用以致优,使学生的学习过程成为在教师引导下的“再 创造”过程. 七、归纳总结,提炼升华 问题 10:通过本节课的学习,你有哪些收获?请你从知识、方法、思想方面作一个小结. 1.知识:对函数的性质有了进一步的了解,我们体会到同是增长型函数,但其增长差 异却很大:常数函数(没有增长) ;一次函数(直线上升) ;指数函数(爆炸增长) ;对数函 数(平缓增长) . 2.方法:函数有三种表示方法(解析法、列表法、图象法) ;函数问题的一般研究方法 (观察—归纳—猜想—证明) 3.思想:两个例题都体现了数学建模的思想,即把实际问题数学化:面对实际问题, 我们要读懂问题,运用所学知识,将其转化成数学模型,最终得到实际问题的解. 【设计意图】理解几类不同增长的函数模型的增长差异,提炼数学思想方法,认识数学 的应用价值.

八、布置作业,巩固提高 1.课本 98 页课后练习 1,2;课本 107 页习题 3.2(A 组)第 1 题; 2.收集一些社会生活中递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例,对它们的增长 速度进行比较,了解函数模型的广泛应用. 【设计意图】进一步体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规 律需要用不同的函数模型来描述;培养学生对数学学科的深刻认识,体会数学的应用价值.

尊敬的各位专家、评委:下午好! 我的抽签序号是____,今天我说课的课题是《_______》第__课时。 我尝试利用新课标的理念来指导教学,对于本节课,我将以“教什么,怎么教,为什么这样教”为思 路,从教材分析、教法学法分析、教学过程分析和评价分析 4 个方面来谈谈我对教材的理解和教学的设计, 敬请各位专家、评委批评指正。 一、教材分析 (一)地位与作用

数列是高中数学重要内容之一,它不仅有着广泛的实际应用,而且起着承前启后的作用。一方面数列 作为一种特殊的函数与函数思想密不可分; 另一方面学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。 而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上,对 数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。 (二)学情分析 (1)学生已熟练掌握_________________。 (2)学生的知识经验较为丰富,具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力。 (3)学生思维活泼,积极性高,已初步形成对数学问题的合作探究能力。 (4) 学生层次参次不齐,个体差异比较明显。 二、目标分析 新课标指出“三维目标”是一个密切联系的有机整体,应该以获得知识与技能的过程,同时成为学会 学习和正确价值观。这要求我们在教学中以知识技能的培养为主线,透情感态度与价值观,并把这两者充 分体现在教学过程中,新课标指出教学的主体是学生,因此目标的制定和设计必须从学生的角度出发,根 据____在教材内容中的地位与作用,结合学情分析,本节课教学应实现如下教学目标: (一)教学目标(1)知识与技能 使学生理解函数单调性的概念,初步掌握判别函数单调性的方法;。 (2)过程与方法 引导学生通过观察、归纳、抽象、概括,自主建构单调增函数、单调减函数等概念;能 运用函数单调性概念解决简单的问题;使学生领会数形结合的数学思想方法,培养学生发现问题、分析问

题、解决问题的能力。(3)情感态度与价值观 在函数单调性的学习过程中,使学生体验数学的科学价值 和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 (二)重点难点 本节课的教学重点是________________________,教学难 点是_____________________。 三、教法、学法分析 (一)教法

基于本节课的内容特点和高二学生的年龄特征,按照临沂市高中数学“三五四”课堂教学策略,采用 探究――体验教学法为主来完成教学,为了实现本节课的教学目标,在教法上我采取了: 1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题,为概念学习创设情境,拉近数学与现实的距离,激发学生 求知欲,调动学生主体参与的积极性. 2、在形成概念的过程中,紧扣概念中的关键语句,通过学生的主体参与,正确地形成概念. 3、在鼓励学生主体参与的同时,不可忽视教师的主导作用,要教会学生清晰的思维、严谨的推理,并 顺利地完成书面表达. (二)学法 在学法上我重视了:

1、 让学生利用图形直观启迪思维, 并通过正、 反例的构造, 来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃。 2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用,培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的 能力。 四、教学过程分析 (一)教学过程设计

教学是一个教师的“导”,学生的“学”以及教学过程中的“悟”构成的和谐整体。教师的“导”也 就是教师启发、诱导、激励、评价等为学生的学习搭建支架,把学习的任务转移给学生,学生就是接受任 务,探究问题、完成任务。如果在教学过程中把“教与学”完美的结合也就是以“问题”为核心,通过对 知识的发生、发展和运用过程的演绎、解释和探究来组织和推动教学。 (1)创设情境,提出问题。 新课标指出:“应该让学生在具体生动的情境中学习数学”。在本节课的教学中,从我们熟悉的生活 情境中提出问题,问题的设计改变了传统目的明确的设计方式,给学生最大的思考空间,充分体现学生主 体地位。 (2)引导探究,建构概念。 数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要.但概念的高度抽象,造成了难懂、难教 和难学,这就需要让学生置身于符合自身实际的学习活动中去,从自己的经验和已有的知识基础出发,经 历“数学化”、“再创造”的活动过程. (3)自我尝试,初步应用。 有效的数学学习过程,不能单纯的模仿与记忆,数学思想的领悟和学习过程更是如此。让学生在解题 过程中亲身经历和实践体验,师生互动学习,生生合作交流,共同探究. (4)当堂训练,巩固深化。 通过学生的主体参与,使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法,从而实现对知识识的再次深 化。

(5)小结归纳,回顾反思。 小结归纳不仅是对知识的简单回顾,还要发挥学生的主体地位,从知识、方 法、经验等方面进行总结。我设计了三个问题:(1)通过本节课的学习,你学到了哪些知识?(2)通过 本节课的学习,你最大的体验是什么?(3)通过本节课的学习,你掌握了哪些技能? (二)作业设计 作业分为必做题和选做题,必做题对本节课学生知识水平的反馈,选做题是对本节课内容的延伸与, 注重知识的延伸与连贯,强调学以致用。通过作业设置,使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦,看到 自己的潜能,从而激发学生饱满的学习兴趣,促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成. 我设计了以下作业: (1)必做题 (2)选做题 (三)板书设计 板书要基本体现整堂课的内容与方法,体现课堂进程,能简明扼要反映知识结构及其相互联系;能指 导教师的教学进程、引导学生探索知识;通过使用幻灯片辅助板书,节省课堂时间,使课堂进程更加连贯。 五、评价分析 学生学习的结果评价当然重要,但是更重要的是学生学习的过程评价。我采用及时点评、延时点评与 学生互评相结合,全面考查学生在知识、思想、能力等方面的发展情况,在质疑探究的过程中,评价学生 是否有积极的情感态度和顽强的理性精神,在概念反思过程中评价学生的归纳猜想能力是否得到发展,通 过巩固练习考查学生对____是否有一个完整的集训,并进行及时的调整和补充。 以上就是我对本节课的理解和设计,敬请各位专家、评委批评指正。 谢谢!


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