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高中-解三角形-知识点与典型例题


解三角形
一、 知识点回顾 1.1、基本公式 ①、 sin( x ? y) ? sin x cos y ? cos x sin y ②、 cos( x ? y) ? cos x cos y ? sin x sin y ③、 tan( x ? y ) ? ⑤、 tan x ?

tan x ? tan y 2 2 ④、 cos x ? sin x ? 1 1 ? tan x tan y

sin x cos x

(注:以上各式为三角函数中的基本表达式,其余所有公式均可由以上公式推导得出。 ) 1.2、导出公式 1.2.1、诱导公式

sin( x ?

?
2

) ? cos x cos( x ?

?
2

) ? ? sin x ??

sin( x ? ? ) ? ? sin x cos( x ? ? ) ? ? cos x ??
(注:以上诱导公式记忆法则为:奇变偶不变,符号看象限。 其中, “奇”指与自变量相加的角度为

2k ? 1 ? ,k ? Z 的形式; “偶”指形如 k ? ,k ? Z 的 2

角; “变”指变名,即: cos x 变成 sin x , sin x 变成 cos x ;”符号看象限“指:假定 x 是锐角 (第一象限角) ,然后,计算 x ?

?

2

等角度是第几象限,则等式右边正负号与等

号左边函数在此象限的符号保持一致。 或者,由基本公式中①、②等直接计算即得) 1.2.2、倍角公式 由基本公式中和角公式,令 x ? y ,得:

sin 2 x ? 2sin x cos x

cos 2 x ? cos2 x ? sin 2 x ? 1 ? 2sin 2 x ? 2cos2 x ?1

tan 2 x ?

2 tan x 1 ? tan 2 x

1.2.3、降幂公式 由余弦的倍角公式得:

sin 2 x ?

1 ? cos 2 x 1 ? cos 2 x cos 2 x ? 2 2

1.2.4、万能公式 由倍角公式和基本公式中④、⑤得:

sin 2 x ? 2sin x cos x ?

2sin x cos x 2 tan x ? 2 2 cos x ? sin x 1 ? tan 2 x

cos 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ?

cos 2 x ? sin 2 x 1 ? tan 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x 1 ? tan 2 x

1.2.5、半角公式

x x x sin 2sin cos x 2 ? 2 2 ? sin x ? 1 ? cos x tan ? x 2 cos x 1 ? cos x sin x 2cos 2 2 2
? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? (1 ? sin x)(1 ? sin x) ?
1.2.6、积化和差 由基本公式中同名三角函数的和角与差角公式(基本公式中①、②)得:

sin x 1 ? cos x ? 1 ? cos x sin x

2sin x cos y ? sin( x ? y) ? sin( x ? y) 2cos x cos y ? cos( x ? y) ? cos( x ? y) 2sin x sin y ? cos( x ? y) ? cos( x ? y)
(注:此式不需要死记硬背,不常用;只需记住:同名三角函数相乘与余弦和角、差角公 式有关;异名三角函数相乘与正弦和角、差角公式有关;万一要用时,可以依 据此来推导。 ) 1.2.7、和差化积 由于有 x ?

( x ? y) ? ( x ? y) ( x ? y) ? ( x ? y) y? ,再结合基本公式中①、②,即得: 2 2 x? y x? y sin x ? sin y ? 2sin cos 2 2 x? y x? y x? y x? y cos x ? cos y ? 2 cos cos cos x ? cos y ? ?2sin sin 2 2 2 2

1.2.8、其它常用式

? 1 ? tan x tan x ? tan y ? tan( x ? y)(1 ? tan x tan y) tan( ? 1) ? 4 1 ? tan x
tan x tan y ? 1 ? tan x ? tan y tan x ? tan y ? ?1 tan( x ? y ) tan( x ? y )

x? y tan sin x ? sin y 2 (由和差化积即得) (此式在解三角形中可能有用) ? sin x ? sin y tan x ? y 2

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b2 sin( x ? ? ) (其中 sin ? ?
1 ? tan 2 x ? 1 (此式由基本公式中④、⑤即得) cos 2 x

b a 2 ? b2

cos ? ?

a a 2 ? b2



1.3、解三角形中基本公式 设 ?ABC 中各角分别为 A, B, C , 相对应的各边分别为 a, b, c ; 设此三角形外接圆半径为 R ; 三角形面积为 S ;

正弦定理:

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

余弦定理: cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 2 a ? b2 ? c2 ? 2bc cos A (其余类推) 2bc

内角和定理: A ? B ? C ? ?

1 1 ah ? ab sin C (其余类推) 2 2 射影定理: a cos B ? b cos A ? c (其余类推)
面积公式: S ? (此式由正弦定理与内角和定理( ? sin( A ? B) ? sin C )即得;或者直接作 图即得(非常直观) 。 ) 二、 精讲习题 ).

1、如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值,则( A.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是锐角三角形 B.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形 C.△A1B1C1 是锐角三角形,△A2B2C2 是钝角三角形 D.△A1B1C1 是钝角三角形,△A2B2C2 是锐角三角形

2、已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (1)求 A (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c 。
a , b, c 分别是内角 A , B , C 所对的边, 3、 在△ABC 中, 若 c cos A ? b , 则△ABC 形状为 ( A. 一定是锐角三角形 B . 一定是钝角三角形



C . 一定是直角三角形 D . 可能是锐角三角形, 也可能是钝角三角形

4、在△ABC 中,根据下列条件解三角形,则其中有二个解的是( A、 b ? 10, A ? 45 , C ? 70
? ?


?

B、 a ? 60, c ? 48, B ? 60 D、 a ? 14, b ? 16, A ? 45
?

C、 a ? 7, b ? 5, A ? 80

?

5、设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ;则下列命题正确的是 _____
2 ①若 ab ? c ;则 C ?

? ? ②若 a ? b ? 2c ;则 C ? 3 3
? ? ④若 (a ? b)c ? 2ab ;则 C ? 2 2

3 3 3 ③若 a ? b ? c ;则 C ?

⑤若 (a2 ? b2 )c2 ? 2a2b2 ;则 C ? 正确的是 _____ 三、 随堂练习题

? 3

1、 已知 ?ABC 的内角 足

A,B, C满足 sin 2 A ? sin( A ? B ? C ) ? sin(C ? A ? B) ?

1 2, 面积满

1 ? S ? 2,记a, b, c分别为A, B, C 所对的边,则下列不等式成立的是()
A.

bc(b ? c) ? 8

B.

ac(a ? c)

C. 6 ? abc ? 12

D. 12 ? abc ? 24

2、、△ABC 的内角的对边分别为 a, b, c, 已知 a sin B ? b cos C ? c cos B (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b =2,求△ABC 的面积的最大值。

?ABC 中, ?C ? 900 , M 是 BC 的中点, 3、 若 sin ?BAM ?

1 , 则 sin ?BAC ? ________。 3

4、在 ?ABC ,内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c. a sin B cos C ? c sin B cos A ?

1 b, 2

且a ? b, 则?B ?
A.

?
6

B.

?
3

C.

2? 3

D.

5? 6

5 、 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 设 S 为 ?ABC 的 面 积 , 满 足

4S ? 3(a2 ? b2 ? c2 )
(I)求角 C 的大小; (II)若边长 c ? 2 ,求 ?ABC 的周长的最大值.

四、

课后练习题

1、设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的 形状为 (A)锐角三角形 (B) 直角三角形 (C)钝角三角形 (D) 不确定

2、设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cosB=

7 . 9

(Ⅰ)求 a,c 的值; (Ⅱ)求 sin(A-B)的值. 五、 备选题

解三角形 1、如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值,则( A.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是锐角三角形 B.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形 C.△A1B1C1 是锐角三角形,△A2B2C2 是钝角三角形 D.△A1B1C1 是钝角三角形,△A2B2C2 是锐角三角形

).

2 、 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 设 S 为 ?ABC 的 面 积 , 满 足

4S ? 3(a2 ? b2 ? c2 )
(I)求角 C 的大小; (II)若边长 c ? 2 ,求 ?ABC 的周长的最大值.
a , b, c 分别是内角 A , B , C 所对的边, 3、 在△ABC 中, 若 c cos A ? b , 则△ABC 形状为 ( A. 一定是锐角三角形 B . 一定是钝角三角形



C . 一定是直角三角形 D . 可能是锐角三角形, 也可能是钝角三角形

4、在△ABC 中,根据下列条件解三角形,则其中有二个解的是( A、 b ? 10, A ? 45 , C ? 70
? ?


?

B、 a ? 60, c ? 48, B ? 60 D、 a ? 14, b ? 16, A ? 45
?

C、 a ? 7, b ? 5, A ? 80

?

5、 已知 ?ABC 的内角 足

A,B, C满足 sin 2 A ? sin( A ? B ? C ) ? sin(C ? A ? B) ?

1 2, 面积满

1 ? S ? 2,记a, b, c分别为A, B, C 所对的边,则下列不等式成立的是()
A.

bc(b ? c) ? 8

B.

ac(a ? c)

C. 6 ? abc ? 12

D. 12 ? abc ? 24

6、 (本题满分14分) 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 已知 a ? b , c ? 3,

cos2 A ? cos2 B ? 3 sin A cos A ? 3 sin B cos B
(1)求角 C 的大小 (2)若 sin A ?

4 ,求 ?ABC 的面积 5

7、设 ? ? (0,

?

1 ? sin ? ? ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ? ,则 2 2 cos ?

A . 3? ? ? ?

?
2

B . 2? ? ? ?

?
2

C . 3? ? ? ?

?
2

D . 2? ? ? ?

? 2

8、已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a =2,且

(2 ? b)(sin A ? sin B) ? ( c ? b)sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为.
9、 在 D ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c .已知 b - c = 则 cos A 的值为_______. 10、在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? tan A ,当 A ? 11、若函数 f ( x) ? cos 2 x ? a sin x 在区间 (

1 a ,2sin B = 3sin C , 4

??? ? ??? ?

?
6

时, ?ABC 的面积为.

? ? , ) 是减函数,则 a 的取值范围是. 6 2
a ?。 b

12、 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c , 已知 b cos C ? c cos B ? 2b , 则 13、设函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) , A ? 0, ? ? 0 ,若 f ( x) 在区间 [

? ?

, ] 上具有单调性,且 6 2

?? ? f? ?? ?2?

? 2? f? ? 3

? ?? ? ? ? ? f ? ? ,则 f ( x) 的最小正周期为________. ? ?6?

14、设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A=2B. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 sin ? A ?

? ?

??

? 的值 4?
1 , 则 sin ?BAC ? ________。 3

?ABC 中, ?C ? 900 , M 是 BC 的中点, 15、 若 sin ?BAM ?

16、△ABC 的内角的对边分别为 a, b, c, 已知 a sin B ? b cos C ? c cos B (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b =2,求△ABC 的面积的最大值。 17、在 △ ABC 中, ?ABC =90° , AB ? 3 , BC ? 1 ,

P 为 △ ABC 内一点, ?BPC =90°
1 ,求 PA ; 2 (Ⅱ)若 ?APB =150° ,求 tan ?PBA
(Ⅰ)若 PB ? 18、设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的 形状为 (A)锐角三角形 (B) 直角三角形 (C)钝角三角形 (D) 不确定

19、设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cosB= (Ⅰ)求 a,c 的值; (Ⅱ)求 sin(A-B)的值.

7 . 9

20、设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac 。 (I)求 B ; (II)若 sin A sin C ?

3 ?1 ,求 C 4

21、在 ?ABC ,内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c. a sin B cos C ? c sin B cos A ?

1 b, 2

且a ? b, 则?B ?
A.

?
6

B.

?
3

C.

2? 3

D.

5? 6

a , in A 5s ?in , B 22、 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c 。 若 b ?c ? 2 则 3s
则角 C ? _____ 23、设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos A ?

3 5 , cos B ? , b ? 3, 则 c ? 5 13

24、已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (1)求 A (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c 。 25、在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形
2 2 2

D.不能确定

B、 ?ABC 的内角 A 、 C 的对边分别为 a 、 a ? 2c , b、 26、 已知 cos( A ? C ) ? cos B ? 1 , c,
求C 。 27 、 在 △ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a , b , c 。 已 知 A ?

?
4

,。

bsin ( ? C) - csin ( ? B) ?a 4 4
(1)求证: B ? C ?

?

?

?

2

(2)若 a= 2 ,求△ABC 的面积。 28、在△ABC 中,若 a =2,b+c=7,cosB= ?

1 ,则 b=_______。 4

29、设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ;则下列命题正确的是 _____
2 ①若 ab ? c ;则 C ?

? ? ②若 a ? b ? 2c ;则 C ? 3 3
? ? ④若 (a ? b)c ? 2ab ;则 C ? 2 2

3 3 3 ③若 a ? b ? c ;则 C ?

⑤若 (a2 ? b2 )c2 ? 2a2b2 ;则 C ? 正确的是 _____ 30、如图,在 ?ABC 中, ?B ? (1)求 sin ?BAD (2)求 BD, AC 的长

? 3
, AB ? 8 ,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2, cos ?ADC ? 1 7

?
3

31 、 在 ? ABC 中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 是 a, b, c , 且
2 a2 ? b2 ? 2 a b? 。 c

(1)求 C ; (2)设 cos A cos B ?

3 2 cos ?? ? A? cos ?? ? B ? 2 ,求 tan ? 的 , ? 2 5 cos ? 5

值。 32、在 ?ABC 中,角 A.B.C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 sin A ? sin C ? p sin B ? p ? R? , 且 ac ?

1 2 b . 4

(Ⅰ)当 p ?

5 , b ? 1 时,求 a , c 的值; 4

(Ⅱ)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围;

33、在 ? ABC 中, B ? 60? , AC ? 3 ,则 AB ? 2 BC 的最大值为。 34、设函数 f ( x) ?| x ? a | ?3x ,其中 a ? 0 . (I)当 a=1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集. (II)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为{x| x ? ?1} ,求 a 的值. 35、在 ? ABC 中. sin ? sin B ? sin C ? sin B sin C .则 A 的取值范围是
2 2 2

(A)(0,

?
6

]

(B)[

?
6

, ? ) (c)(0,

?
3

] (D) [

?
3

,? )

36、叙述并证明余弦定理。 37、在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知

cos A-2 cos C 2c-a = . cos B b

sin C 的值; sin A 1 (II)若 cosB= ,b=2, ?ABC 的面积 S。 4
(I)求 38、在 V ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知 sin C ? cos C ? ?? sin (1)求 sin C 的值; (2)若 a ? b ? ?(a ? b) ?? ,求边 c 的值.
? ?

C . ?

39、 在△ABC 中, D 为边 BC 上一点, BD= 则 ? BAC=_______

1 DC, AD=2, 若△ADC 的面积为 3 ? 3 , ? ADB=120°, 2

40、 在△ABC 中, 内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 若 a ? b ? 3bc ,sin C ? 2 3 sin B ,
2 2

则 A= (A) 30
0

(B) 60

0

(C) 120

0

(D) 150

0

41、 (Ⅰ)①证明两角和的余弦公式 C? ?? : cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin? sin ? ; ②由 Ca ? ? 推导两角和的正弦公式 S a?? : sin(a ? ? ) ? sin a cos ? ? cosa sin ? . . (Ⅱ)已知△ABC 的面积 S ?

? ??? ? 1 ??? AB ? AC 2

? 3 ,且 cos B ? ,求 cos C .

3 5

42、某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为

1 1 1 , , ,则此人能 13 11 5

()

(A)不能作出这样的三角形 (C)作出一个直角三角形

(B)作出一个锐角三角形 (D)作出一个钝角三角形

43、平面上 O,A,B 三点不共线,设 OA=a, OB ? b ,则△OAB 的面积等于
2 2 b) 2 (A) |a | | b | ?( a ? 2 2 b) 2 (B) |a | | b | ? ( a ?

(C)

1 |a |2 | b |2 ?(a ? b) 2 2

(D)

1 |a |2 | b |2 ?(a? b) 2 2

44 、 设 ?ABC 是 锐 角 三 角 形 , a, b, c 分 别 是 内 角 A , B , C 所 对 边 长 , 并 且

sin 2 A ? sin(

?
3

? B) sin(

?
3

? B) ? sin 2 B.

(Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 AB ? AC ? 12, a ? 2 7 ,求 b, c (其中 b ? c ) 45、△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , tan C ?

sin A ? sin B , cos A ? cos B

sin( B ? A) ? cos C .
(1)求 A, C ; (2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a , c 46、 已知 ?ABC 中, 求

| AC |? 1 , ?BAC ? ? , ?ABC ? 1200 , 记 f (? ) ? AB ? BC , (Ⅰ)

f (? ) 关于 ? 的表达式; f (? ) 的值域.
A, B 为锐角,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且

(Ⅱ)求

47、在 ?ABC 中,

sin A ?

2 2 ,

sin B ?

1 2.
sin( A ? B) 的值;

(Ⅰ)求

a, b, c 的值. (Ⅱ)若 a ? b ? 2 ? 2 ,求
48、在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A

(Ⅰ)确定角 C 的大小

3 3 (Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为 2

,求 a+b 的值。

a, b, c . 49、 △ABC 中, 已知 3 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 3 , 记角 A, B, C 的对边依次为
(1)求∠C 的大小;
2 2 (2)若 c ? 2 ,且△ABC 是锐角三角形,求 a ? b 的取值范围.

tan A ? tan B ?? 3 (1)依题意: 1 ? tan A tan B ,即 tan( A ? B) ? ? 3 ,又 0 ? A ? B ? ? ,
A? B ?



? 2? C ?? ? A? B ? 3 ,??????7 分 3 ,∴

? ? A? ? ? 2 ? ? ?B ? ? 2 (2)由三角形是锐角三角形可得 ?

? ? ? A? 6 2 。????9 分 ,即

a b c c 4 a? ? sin A ? sin A b ? 4 sin B ? 4 sin( 2? ? A) ? ? sin C 3 sin A sin B sin C 3 3 3 由正弦定理得 ∴ , 16 2? a 2 ? b2 ? [sin 2 A ? sin 2 ( ? A)] ? f ( A) 3 3 ∴ ,????11 分

a 2 ? b2 ?
?

16 [sin 2 A ? sin 2 C ] ? 16 [ 1 (1 ? cos 2 A) ? 1 (1 ? cos 2C )] ? 16 ? 8 (cos 2 A ? cos 2C ) 3 2 2 3 3 3
? 16 8 1 3 ? [cos 2 A ? (? ) cos 2 A ? (? )sin 2 A] 3 3 2 2

16 8 4? ? [cos 2 A ? cos( ? 2 A)] 3 3 3

?

16 8 1 3 ? [ cos 2 A ? sin 2 A] 3 3 2 2 16 8 ? ? ? ? ? 5? ? ? sin(2 A ? ) ? A? ? 2A ? ? 3 3 6 ∵6 2 ,∴ 6 6 6 ,

1 ? 20 ? sin(2 A ? )≤1 ? a 2 ? b 2 ≤8 3 2 6 ∴ 即 。
50、已知向量 (1)求函数 (2) 在 且 ,求 , 的最小正周期和值域; 中, 的值.
5 4 , sin B ? . 13 5

,函数



分别是角

的对边, 且







51、在 ?ABC中, cos A ? ?

(Ⅰ)求 cos C 的值; (Ⅱ)设 BC ? 15 ,求 ?ABC的面积.

52、已知△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,其中 c ? 2 , 又向量 m ? (1 , cosC ) ,n ? ( cosC , 1) ,m·n=1. (1)若 A ? 45? ,求 a 的值; (2)若 a ? b ? 4 ,求△ ABC 的面积. 53、在△ABC 中,已知 A+C=2B,tanA·tanC=2+ 3 . (1)求 A、B、C 的值; (2)若顶点 C 的对边 c 上的高等于 4 3 ,求△ABC 各边的长. cos2A cos2B 1 1 54、在△ABC 中,求证: a2 - b2 =a2 -b2 . 55、在△ABC 中,C=2B,则 A.

sin 3B 等于( sin B

)

a b a c B. C. D. b a c a

56、在△ABC 中, AB ? 60、在△ABC 中,求证:

6 ? 2 , C ? 300 ,则 AC ? BC 的最大值是________。
a b cos B cos A ? ? c( ? ) b a b a

61、在△ABC 中,设

a ? c ? 2b, A ? C ?

?

, 3 求 sin B 的值。

62、在锐角△ABC 中,求证: sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C 。

63、在△ABC 中,若

tan

A? B a ?b ? 2 a ? b ,则△ABC 的形状是()
D.等腰三角形或直角三角形

A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形

?A ? 600 , b ? 1, S?ABC ? 3, 则 sin A ? sin B ? sin C =_______。 64、若在△ABC 中,
65、在△ABC 中,若 sin A ? 2 cos B cosC, 则 tan B ? tanC ? _________。 66、在△ABC 中,若 a ? 9, b ? 10, c ? 12, 则△ABC 的形状是_________。

a?b?c

67、

在△ABC 中,若

a ? 3, b ? 2 , c ?

6? 2 则A ? 2 _________。

68、在锐角△ABC 中,若 a ? 2, b ? 3,则边长 c 的取值范围是_________。 69、在△ABC 中,

A ? 1200 , c ? b, a ? 21, S? ABC ? 3 ,求 b, c 。

70、在锐角△ABC 中,求证: tan A ? tan B ? tan C ? 1 。

71、在△ABC 中,求证:

sin A ? sin B ? sin C ? 4 cos

A B C cos cos 2 2 2。

a b ? ?1 A ? B ? 120 b ? c a ? c 72、在△ABC 中,若 ,则求证: 。
0

73、在△ABC 中,若

a cos 2

C A 3b ? c cos 2 ? 2 2 2 ,则求证: a ? c ? 2b

tan A a 2 ? 74、在△ABC 中,若 ,则△ABC 的形状是() tan B b 2
A.直角三角形 B.等腰或直角三角形 C.不能确定 D.等腰三角形

75、在△ABC 中,若 cos2 A ? cos2 B ? cos2 C ? 1, 则△ABC 的形状是______________。 76、在△ABC 中,∠C 是钝角,设 x ? sin C, y ? sin A ? sin B, z ? cos A ? cos B, 则 x, y , z 的大小关系是___________________________。

o s A?c o s C ?c o s Ac o s C? 77、 在△ABC 中, 若 a ? c ? 2b , 则c

1 s in A s in C ? ______。 3

78、在△ABC 中,若 2 lg tan B ? lg tan A ? lg tanC, 则 B 的取值范围是_______________。 79、在△ABC 中,若 b ? ac ,则 cos(A ? C ) ? cos B ? cos2B 的值是_________。
2

80、在△ABC 中,若 (a ? b ) sin( A ? B) ? (a ? b ) sin( A ? B) ,请判断三角形的形状。
2 2 2 2

81、如果△ABC 内接于半径为 R 的圆,且 2R(sin 2 A ? sin 2 C) ? ( 2a ? b) sin B, 求△ABC 的面积的最大值。 82、已知△ABC 的三边 a ? b ? c 且 a ? c ? 2b, A ? C ?

?
2

,求 a : b : c

83、在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ac ,且 tan A ? tan C ? 3 ? 3 , AB 边上的 高为 4 3 ,求角 A, B, C 的大小与边 a, b, c 的长 84、在△ABC 中, A ? 120 , c ? b, a ? 21, S? ABC ? 3 ,求 b, c 。
0

85、如图:D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C,D 两点测得 A 点仰角分别是β , α (α <β ),则 A 点离地面的高度 AB 等于 A. () A

a sin ? sin ? sin(? ? ? )

B.

a sin ? ? sin ? cos(? ? ? )

?

?

B

C.

a sin ? cos ? sin(? ? ? )

D.

a cos? sin ? cos(? ? ? )

D

C

7 , 则Δ ABC 是______三角形. 12 31 87、在Δ ABC 中,a =5,b = 4,cos(A-B)= ,则 cosC=_______. 32
86、A 为Δ ABC 的一个内角,且 sinA+cosA= 88、设 A、B、C 为三角形的三内角,且方程(sinB-sinA)x2+(sinA-sinC)x +(sinC-sinB)=0 有等根,那 么角 B A.B>60° B.B≥60° C.B<60° D.B ≤60° ()

89、在 ?ABC 中, sin A ? cos A ?

2 , AC ? 2 , AB ? 3 ,求 tgA 的值和 ?ABC 的面积. 2

90、△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边.如果 c-b=b-a,∠B=30°,△ABC 的 面积为

3 ,那么 b=( 2



A.

1? 3 2

B. 1 ? 3

C.

2? 3 2

D. 2 ? 3

91、在 ?ABC 中,已知 tan ① tan A ? cot B ? 1

A? B ? sin C ,给出以下四个论断: 2
② 0 ? sin A ? sin B ?
2 2

2
2

③ sin A ? cos B ? 1
2 2

④ cos A ? cos B ? sin C (B)②④ (C)①④ (D)②③

其中正确的是 (A)①③

B?C 92、 ? ABC 的三个内角为 A、B、C,求当 A 为何值时,cosA+cos 取得最大值,并求出这 2
个最大值


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