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【一本通】2014届高考数学一轮复习 第8章 直线与圆、圆与圆的位置关系 理


2014 届高考数学(理)一轮复习 8 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、选择题 1.直线 x+y=1 与圆 x +y -2ay=0(a>0)没有公共点 ,则 a 的取值范围是 A.(0, 2-1) C.(- 2-1, 2+1)
2 2 2 2

(

)

B.( 2-1, 2+1) D.(0, 2+1)

解析:由圆 x +y -2ay=0(a>0)的圆心(0,a)到直线 x+y=1 的距离 大于 a,且 a>0 可得 a 的取值范 围. 答案:A 2 . 设 两 圆 C1 、 C2 都 和 两 坐 标 轴 相 切 , 且 都 过 点 (4,1) , 则 两 圆 心 的 距 离 |C1C2| = ( ) A.4 C.8 B.4 2 D.8 2
2 2

解析:依题意,可设圆心坐标为(a,a)、半径为 r,其中 r=a>0,因此圆方程是(x-a) + (y-a) =

a2,由圆过点(4,1)得(4-a)2+(1-a)2=a2,即 a2-10a+17=0,则该方程的两根分别是圆心 C1,C2 的横
坐标,|C1C2|= 2× 10 -4×17=8. 答案:C 3.设直线 x+ky- 1=0 被圆 O:x +y =2 所截弦的中点的轨迹为 M,则曲线 M 与直线 x-y-1=0 的 位置关系是 A.相离 C. 相交 B.相切 D.不确定
2 2 2 2 2

(

)

解析:∵直线 x+ky-1=0 过定点 N(1,0),且点 N(1,0)在圆 x +y =2 的内部,∴直线被圆所截弦的 1 1 中点的轨迹 M 是以 ON 为直径的圆,圆心为 P( ,0),半径为 , 2 2 1 2 1 ∵点 P ( ,0)到直线 x-y-1=0 的距离为 < , 2 4 2 ∴曲线 M 与直线 x-y-1=0 相交. 答案:C 4.在圆 x +y -2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面 积为 A.5 2 C.15 2 B.10 2 D.20 2 ( )
2 2

解析:由题意可知,圆的圆心坐标是(1,3),半径是 10,且点 E(0,1)位于该圆内,故过点 E(0,1)的

1

最短弦长|BD|=2 10-? 1 +2 ? =2 5(注:过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦),过点 E(0,1) 1 1 的最长弦长等于该圆的直径,即|AC|=2 10,且 AC⊥BD,因此四边形 ABCD 的面积等于 |AC|×|BD|= 2 2 ×2 10×2 5=10 2. 答案:B 5.直线 x+7y-5=0 截圆 x +y =1 所得的两段弧长之差的绝对值是( A. π 4 B. D. π 2 3π 2
2 2

2

2

)

C.π

|0+0-5| 2 解析:圆心到直线的距离 d= = . 2 1+49 又∵圆的半径 r=1, ∴直线 x+7y-5=0 截圆 x +y =1 的弦长为 2. π ∴劣弧所对的圆心角为 . 2 3 π ∴两段弧长之差的绝对值为 π - =π . 2 2 答案:C 6.若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 4x-x 有公共点,则 b 的取值范围是 A.[1-2 2,1+2 2] C.[-1,1+2 2] B.[1- 2,3] D.[1-2 2,3]
2 2 2 2

(

)

解析: 在平面直角坐标系内画出曲线 y=3- 4x-x 与直线 y=x, 坐标系内平移该直线,结合图形分析可知,当直线沿左上方平移到过 过程中的任何位置相应的直线与曲线 y=3- 4x-x 都有公共点;当 方平移到与以点 C(2,3)为圆心、2 为半径的圆相切的过程中的任何位
2 2

在平面直角 点 (0,3) 的 直线沿右下 置相应的直

线与曲线 y=3- 4x-x 都有公共点.注意与 y=x 平行且过点(0,3)的直线方程是 y=x+3;当直线 y=x |2-3+b| +b 与以点 C(2,3)为圆心、2 为半径的圆相切时,有 =2,b=1±2 2.结合图形可知,满足题意 2 的 b 的取值范围是[1-2 2,3]. 答案:D 二、填空题 7.两圆(x+1) +(y-1) =r 和(x-2) +(y+2) =R 相交于 P,Q 两点,若点 P 坐标为(1,2),则点 Q 的坐标为________. 解析:由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为(-1,1),(2,-2),
2
2 2 2 2 2 2

x-? -1? y-1 则过它们圆心的直线方程为 = , 2-? -1? -2-1
即 y=-x,根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称,故由 P(1,2)可得它关 于直线 y=-x 的对称点即 Q 点的坐标为(-2,-1). 答案:(-2,-1) 8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x +y =4 上有且只有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1, 则实数 c 的取值范围是________. 解析:因为圆的半径为 2,且圆上有且仅有四个点到 直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,即要圆心到直 线的距离小于 1,即 答案:(-13,13) 9.已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x-1 被该圆所截得的弦长为 2 2, 则圆 C 的标准方程为____________. |a-1| 解析:设圆心坐标为(a,0)(a>0),则圆心到直线 x-y-1=0 的距离为 . 2 |a-1| 2 2 因为圆截直线所得的弦长为 2 2,根据半弦、半径、弦心距之间的关系有( ) +2=(a-1) ,即 2 (a-1) =4,所以 a=3 或 a=-1(舍去),则半径 r=3-1=2,圆心坐标为(3,0).所以圆 C 的标准方程为 (x-3) +y =4. 答案:(x-3) +y =4 三、解答题 10.已知点 A(1,a),圆 x +y =4. (1)若过点 A 的圆的切线只有一条,求 a 的值及切线方程; (2)若 过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为 2 3,求 a 的值. 解:(1)由于过点 A 的圆的切线只有一条,则点 A 在圆上,故 1 +a =4,∴a=± 3. 当 a= 3时,A(1, 3),切线方程为 x+ 3y-4=0; 当 a=- 3时,A(1,- 3),切线方程为 x- 3y-4=0, ∴a= 3时,切线方程 为 x+ 3y-4=0,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

|c| 12 +?
2

-5?

2

<1,解得-13<c<13.

a=- 3时,切线方程为 x- 3y-4=0.
(2)设直线方程为 x+y=b, 由于直线过点 A,∴1+a=b,a=b-1. |b| 又圆心到直线的距离 d= , 2 |b| 2 2 3 2 ∴( ) +( ) =4. 2 2
3

∴b=± 2.∴a=± 2-1. 11.已知圆 C:x +y -2x+4y-4=0,问是否存在斜率为 1 的直线 l,使 l 被圆 C 截得的弦为 AB,以
2 2

AB 为直径的圆经过原点.若存在,写出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.
解:依题意,设 l 的方程为 y=x+b①

x2+y2-2x+4y-4=0②
联立①②消去 y 得: 2x +2(b+1)x+b +4b-4=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有
2 2

?x1+x2=-? b+1? , ? ? b2+4b-4 x1x2= , ? 2 ?



∵以 AB 为直径的圆过原点, ∴ OA ⊥ OB ,即 x1 x2+y1y2=0, 而 y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b ∴2x1x2+b(x1+x2)+b =0, 由③得 b +4b-4-b(b+1)+b =0, 即 b +3b-4=0,∴b=1 或 b=-4. ∴满足条件的直线 l 存在,其方程为
2 2 2 2 2

??? ?

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x-y+1=0 或 x-y-4=0.
12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x +y -12x+32=0 的圆心为 Q,过点 P(0,2)且斜率为 k 的直 线与圆 Q 相交于不同的两点 A,B. (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在常数 k,使得向量 OA + OB 与 PQ 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明 理由. 解:(1)圆的方程可化为(x-6) +y =4,其圆心为 Q(6,0).过点 P(0,2)且斜率为 k 的直线方程为 y =kx+2.代入圆的方程得 x +(kx+2) -12x+32=0, 整理得(1+k )x +4(k-3)x+36=0.① 直线与圆交于两个不同的点 A,B,所以 Δ =[4(k-3)] -4×36(1+k )=4 (-8k -6k)>0, 3 3 解得- <k<0,即 k 的取值范围为(- ,0). 4 4 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 OA + OB =(x1+x2,y1+y2). 4? 由方程①,得 x1+x2=-
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

??? ?

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k-3? ,② 2 1+k
4

又∵y1+y2=k(x1+x2)+4.③ 而 P(0,2),Q(6,0), PQ =(6,-2), 所以 OA + OB 与 PQ 共线等价于(x1+x2)=-3(y1+y2), 3 将②③ 代入上式,解得 k=- . 4 3 由(1)知 k∈(- ,0),故没有符合题意的常数 k. 4

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