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【数学】江西省九江市七校2013届高三第二次联考(理)


九江市 2013 届高三第二次七校联考 理科数学试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷第 1 至 2 页,第 II 卷第 3 至第 4 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第I卷 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。

>1.若集合 A ? x y ? 2 x ,集合 B ? x y ? A.

?

?

?

x ,则 A ? B ? (
C. ?0,?? ?

?

) D. ?? ?,?? ?

? 0, ?? ?

B. ?1,?? ?

2.给出以下结论: (1)命题“存在 x 0 ? R, 2 (2)复数 z ?
x0 x “不存在 x 0 ? R, 2 0 ? 0 ; ? 0 ”的否定是:

1 在复平面内对应的点在第二象限 1? i

(3) l 为直线, ? , ? 为两个不同平面,若 l ? ? , ? ? ? ,则 l // ? (4)已知 2013 届九江市七校联考(一)的数学考试成绩 ? ~ N 90, ? 统计结果显示 p ?70 ? ? ? 110 ? ? 0.6 ,则 p ?? ? 70 ? ? 0.2 其中结论正确的个数为( A.4 B.3 ) C.2 D.1

?

2

?(? ? 0) ,

3.已知一个棱长为 2 的正方体, 被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示, 则该截面的面积为( A. ) B. 4
2 2

4.已知直线 x ? y ? a 与圆 x ? y ? 2 交于 A、B 两点,O 是原点,C 是圆上 一点,若 OA ? OB ? OC ,则 a 的值为( A. ? 1 B. ? )

3 10 2

C.

9 2

D. 5

2 C. ? 3 D. ? 2 ? x ? y ?1 ? 5.已知 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,若目标函数 z ? ax ? by (a ? 0, b ? 0) 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ?
7,则

3 4 ? 的最小值为( a b

)

A.14

B.7

C.18

D.13

6.将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 个小球放入 3 个不同的盒子中,若每盒放 2 个,则标号 为 1,6 的小球不在同一盒中的概率为( A. ) C.
2

4 5

B.

1 5

2 5
)

D.

3 5

7.若 f ? x ? ? ? A.0

? x 3 ? sin x, ? 1 ? x ? 1 ?2, 1? x ? 2
B.1

,则

? f ?x ?dx ? (
?1

C.2

D.3

8. 若函数 y ? f ? x ? 的导函数为 y ? f ?? x ? , f ?? x ? ? 2 cos? 2 x ? 且 上的单调增区间为( A. ?0, ? ? 6? C. ?0, ? 和 ? , ? ? ? 6? ?3 ? ) B. ? ,? ? ? 3 ?

? ?

??

则 ? , y ? f ? x ? 在 ?0, ? ? 6?

? ??

? 2?

?

? ??

??

?

D. ?0, ? 和 ? ,? ? ? 6? ? 3 ?

? ??

? 2?

?

9.已知 k 为如图所示的程序框图输出的结果,二项式 ? x k ? 含有非零常数项,则正整数 n 的最小值为 ( A. 4 10. 已 知 函 B. 5 数 ) C. 6

? ?

1? ? 的展开式中 x?
D. 7 设

n

x 2 x3 x 4 x 2013 f ? x? ? 1 ? x ? ? ? ??? 2 3 4 2013

F ? x ? ? f ? x ? 4 ? ,且函数 F(x)的零点均在区间 ? a, b ? ? a ? b, a, b ? Z ? 内,
圆 x ? y ? b ? a 的面积的最小值是 (
2 2

) C. 3? D. 4?

A. ?

B. 2?

第Ⅱ卷 注:第Ⅱ卷共 2 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答,答案无 效。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

x3 ?1 ? 0 的解集是 . x2 ? x ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 12. 已知 a ? b ? 2, (a ? 2b) ? (a ? b) ? ?2, 则a与b的夹角为
11.不等式



13.







f ( x) ? 2 x ? cos x



?an ?

是公差为

?
4

的等差数列




f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) = 3? ,则 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ...... f (a10 ) ?
14. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 椭 圆

y 2 x2 ? ? 1(b ? a ) , A 、 B 是 其 下 、 上 a 2 b2

顶点,动点 M 满足 MB ? AB ,连接 AM 交椭圆与点 P ,若 MO ? PB (O 为原点) ,则椭 圆的离心率为 . 三.选做题:请在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按第一题评阅计分.本题共 5 分. 15. 1) ( (坐标系与参数方程选做题) 曲线 C 的极坐标方程为 参数方程为 ? F有 曲线 F 的 ? sin 2 ? ? cos? ,

?x ? 3 ? t ,以极点为原点,极轴为 x 正半轴建立直角坐标系,则曲线 C 与曲线 ?y ?t ?1
个公共点。

15. ( 2 ) 不 等 式 选 做 题 ) 已 知 函 数 f ? x ? ? x ? 1 ? 2 x ? 1 , 若 关 于 x 不 等 式 (

f ( x) ? m ? 1 ? m ? 2 的解集是 R ,则实数 m 的取值范围是



四.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos x ? m 在区间 ? 0,
2

? ?? 上的最大值为 2. ? 2? ?

(1)求常数 m 的值; (2)在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边是 a , b , c ,若 f ( A) ? 1 , sin B ? 3sin C ,

?ABC 面积为

3 3 .求边长 a . 4

17. (本小题满分 12 分) 自“钓鱼岛事件” ,中日关系日趋紧张,不断升级.为了积极响应“保钓行动” ,学校举办了 一场保钓知识大赛,共分两组.其中甲组得满分的有 1 个女生和 3 个男生,乙组得满分的有 2 个女生和 4 个男生.现从得满分的同学中,每组各任选 2 个同学,作为保钓行动代言人. (1)求选出的 4 个同学中恰有 1 个女生的概率; (2)设 X 为选出的 4 个同学中女生的个数,求 X 的分布列和数学期望. 18. (本题满分 12 分)

a 2 , a5 是方程 x 2 ? 12 x ? 27 ? 0 的两根,数列 ?a n ? 是公差为正的等差数列,数列 ?bn ? 的
前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 1 ?

1 bn n ? N ? . 2

?

?

(1)求数列 ?a n ? , ?bn ? 的通项公式;

(2)记 c n = a n bn ,求数列 ?c n ? 的前 n 项和 S n . 19.本小题满分 12 分) ( 已知圆柱 OO1 底面半径为 1, 高为 ? , ABCD 是圆柱的一个轴截面. 动 点 M 从点 B 出发沿着圆柱的侧面到达点 D, 其距离最短时在侧面留下的曲线 ? 如图所示. 将 轴截面 ABCD 绕着轴 OO1 逆时针旋转 ? (0 ? ? ? ? ) 后,边 B1C1 与曲线 ? 相交于点 P. (1) 求曲线 ? 长度; (2) 当 ? ?

?

C1

2

时,求点 C1 到平面 APB 的距离;

D

O1
D1

C

(3) 是否存在 ? ,使得二面角 D ? AB ? P 的大小为

?
4


P
B1

若存在,求出线段 BP 的长度;若不存在,请说明理由. 20. (本小题满分 13 分)设双曲线 C 以椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点为 25 9

A
A1

?

O

B

焦点,且双曲线 C 的焦点到其渐近线的距离为 2 3 . (1)求双曲线 C 的方程; (2) 若 直 线 y ? kx ? m( k ? 0, m ? 0) 与 双 曲 线 C 交 于 不 同 两 点 E、F , 且 E、F 都 在 以

P(0,3) 为圆心的圆上,求实数 m 的取值范围.
21. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? ln

x ?1 1? x ? , (a ? 0) . 2 a( x ? 1)

(1)若函数 f ( x) 在区间 (2, 4) 上存在极值, 求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f ( x) 在 [1, ??) 上为增函数, 求实数 a 的取值范围; (3)求证:当 n ? N * 且 n ? 2 时,

1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ln n . 2 3 4 n

理科数学参考答案
一. 1.C 2.D 二. 3.C 4.A 5.B 6.A 7.C 8.D 9.B 10.A

11. ? ?2,1? ? ?1, ?? ? 三.

12.

?
3

13.

55? 2 2 14. ? 2 2 2

15(1).2 15(2). ? , ? ?4 4? 四. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos 2 x ? m

?3 9?

? 3 sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? m

? 2(sin 2 x ?

3 1 ? cos 2 x ? ) ? m ? 1 2 2

? 2sin(2 x ? ) ? m ? 1 6
∵ x ? ? 0,

?

????????2 分

? ?? ? ? 2?

∴ 2x ?

?

? ? 7? ? ?? , ? 6 ?6 6 ?

∵ 函数 y ? sin t 在区间 ?

?? ? ? ? ? 7? ? , ? 上是增函数,在区间 ? , ? 上是减函数 ?6 2? ?2 6 ?
时,函数 f ( x) 在区间 ? 0,

∴当 2 x ?

?
6

?

?
2

即x?

?
6

? ?? 上取到最大值. ? 2? ?
????????6 分

此时, f ( x) max ? f ( ) ? m ? 3 ? 2 得 m ? ?1

?

6

(2)∵ f ( A) ? 1 ∴ 2sin(2 A ? ∴ sin(2 A ?

?
6

) ?1
????????8 分

1 ? ,解得 A ? 0 (舍去)或 A ? 6 2 3 a b c ∵ sin B ? 3sin C , ? ? sin A sin B sin C )?
∴ b ? 3c ①

?

∵ ?ABC 面积为

3 3 4

∴ S ?ABC ? 即 bc ? 3

1 1 ? 3 3 bc sin A ? bc sin ? 2 2 3 4
…………② ??????????10 分

由①和②解得 b ? 3, c ? 1

∵ a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A ? 32 ? 12 ? 2 ? 3 ? 1? cos ∴ a?

?
3

7

?????????????12 分

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)设“从甲组内选出的 2 个同学均为男同学;从乙组内选出的 2 个同学中,1 个是男 同学,1 个为女同学”为事件 A ,“从乙组内选出的 2 个同学均为男同学;从甲组内选出的 2 个同学中 1 个是男同学,1 个为女同学”为事件 B ,由于事件 A ? B 互斥,且

P( A) ?

1 1 C32C2C4 4 C1C 2 1 ? ,P( B) ? 3 42 ? 2 2 C4 C62 15 C4 C6 5

∴选出的 4 个同学中恰有 1 个女生的概率为

P( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ?

4 1 7 ????????5 分 ? ? 15 5 15

(2) X 可能的取值为 0,1,2,3,
1 7 3 1 P( X ? 0) ? , P( X ? 1) ? , P( X ? 2) ? , P( X ? 3) ? 5 15 10 30

∴ X 的分布列为

X
P

0

1

2

3

1 5

7 15

3 10

1 30
????10 分

∴ X 的数学期望 EX ?

7 3 1 7 ? 2 ? ? 3? ? 15 10 30 6

??????????12 分

18. (本题满分 12 分) 解: (1)由 a 2 ? a5 ? 12, a 2 a5 ? 27 .且 d ? 0 得 a 2 ? 3, a5 ? 9

?d ?

a5 ? a 2 ? 2 , a1 ? 1 ? a n ? 2n ? 1?n ? N ? ? ????????3 分 3

1 2 bn 中,令 n ? 1, 得 b1 ? . 2 3 1 1 当 n ? 2 时,T n = 1 ? bn , Tn ?1 ? 1 ? bn ?1 , 2 2
在 Tn ? 1 ? 两式相减得 bn ?

b 1 1 1 bn ?1 ? bn ,? n ? ?n ? 2 ? bn ?1 3 2 2
? 2 n? N? . n 3
2 4n ? 2 , ? 3n 3n

? bn ?

2?1? ? ? 3 ?3?

n ?1

?

?

??????????6 分

(2) c n ? ?2n ? 1? ?

5 2n ? 1 ? ?1 3 ? S n ? 2? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? , 3 3 ? ?3 3 Sn 3 2n ? 3 2n ? 1 ? ? 1 ? 2? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?1 ? , 3 3 3n 3 ?3 ?

?1 ? 1 2 1 1 ? 2n ? 1 ? ? S n ? 2 ? ? 2? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n ?1 ? 3 3 3 ? 3 ?3 ? 3 ?
? ? 1? 1 ? ? 1 2 ? 9 ?1 ? 3 n ?1 ? 2n ? 1? ? ?? ? =2 ? ? 1 3 n ?1 ? ?3 1? ? ? 3 ? ?
= 2?

? 1 1 1 2n ? 1 ? 4 4n ? 4 ? ? n ? n ?1 ? ? ? n ?1 ,??????????10 分 3 3 ?3 3 3 ? 3
2n ? 2 ????????????12 分 3n

? Sn ? 2 ?

19. (本小题满分 12 分) 解法一: (1)将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边 BA,曲线 ? 就是对角线 BD。由于 AB ? ? r ? ? , AD ? ? ,所以这实际上是一个正方形. 所以曲线 ? 的长度为 BD ? (2)当 ? ?

2? .??????????3 分

?
2

时,点 B1 恰好为 AB 的中点,所以 P 为 B1C1 中点,故点 C1 到平面 APB

的距离与点 B1 到平面 APB 的距离相等。

C1

连结 AP、BP,OP. 由 AB ? B1 P 且 AB ? A1 B1 知: AB ? 平面 APB. 从而平面 A1 B1 P ? 平面 APB。 作 B1 H ? OP 于 H,则 B1 H ? 平面 APB。 所以, B1 H 即为点 B1 到平面 APB 的距离。

D
D1

O1

C

P
H

? 在 Rt ? OB1 P 中, OB1 ? 1, B1 P ? BB1 ?
所以 OP ? 1 ? ( ) ?
2 2

?
2



A
A1

?

B1

O

B

?

?2 ?4
2

2

。于是:

OB ? B P B1 H = 1 1 ? OP

1?

? ? 2 ? 。所以,点 C1 到平面 APB 的距离为 。 ?2 ?4 ?2 ?4 ?2 ?4 2

?

?????????7 分 (3)由于二面角 D ? AB ? B1 为直二面角,故只要考查二面角 P ? AB ? B1 是否为 过 B1 作 B1Q ? AB 于 Q,连结 PQ。 由于 B1Q ? AB , B1 P ? AB ,所以 AB ? 平面 B1 PQ , 所以 AB ? PQ 。 于是 ?PQB1 即为二面角 P ? AB ? B1 的平面角。
D
D1

?
4

即可。
C1
O1

C

? 在 Rt ? PB1Q 中, B1Q ? sin ? , B1 P ? BB1 ? ? 。
,则需 B1 P ? B1Q ,即 sin ? ? ? 。 4 ' 令 f ( x) ? sin x ? x (0 ? x ? ? ) ,则 f ( x) ? cos x ? 1 ? 0 , 故 f ( x) 在 (0, ? ) 单调递减。所以 f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 若 ?PQB1 ?

P
B1

?

A
A1

?

O

Q

B

sin x ? x 在 (0, ? ) 上 (0, ? ) 恒成立。故不存在 ? ? (0, ? ) ,使 sin ? ? ? 。也就是说,不存在

? ? (0, ? ) ,使二面角 D ? AB ? B1 为

?
4

。??????????12 分

解法二:如图,以 O 为原点,OB 所在直线为 x 轴,过 O 与 OB 垂直的直线为 y 轴,建立空

? 间直角坐标系。则 A(?1, 0, 0), B (1, 0, 0) , B1 (cos ? ,sin ? , 0) 。由于 B1 P ? BB1 ? ? ,所以
??? ? ??? ? P(cos ? ,sin ? , ? ) , C1 (cos ? ,sin ? , ? ) ,于是 AP ? (cos ? ? 1,sin ? , ? ) , AB ? (2, 0, 0) 。
z
C1

D
D1

O1

C

P y A
A1
?

B1

O

Q

B

x

(1)同解法一; (2)当 ? ? 个法向量。 又 ,

?
2

时, AB ? (1,1,

??? ?

?

?? ??? ? ? ) , AB ? (2, 0, 0) ,所以 m ? (0, ? ,1) 是平面 APB 的一 2 2

???? ? OC1 ? (0,1,? ) , 所 以 点 C1 到 平 面 APB 的 距 离 为 ?? ???? ? | ?? ?? | | m ? C1O | ? ?? h? ? 2 ? 。 2 |m| ? ?2 ?4 1? 4 ?? ? x(cos ? ? 1) ? y ? sin ? ? z ? ? ? 0 (3)设 m ? ( x, y, z ) 是平面 APB 的一个法向量,则 ? , 2x ? 0 ? 0 ? 0 ? ?? 取 m ? (0, ?? ,sin ? ) 。
又 n ? ?0,1,0 ? 是平面 DAB 的一个法向量。

?? ? ?? ? m?n sin ? 2 ? ? 由 cos ? m, n ?? ?? 得: sin ? ? ? 。以下同解法一。 2 2 | m |?| n | ? ? sin ? 2
20. (本小题满分 13 分) 解:(1)依题双曲线 C 的两个焦点分别为 F1 (-4,0)、 F2 (4,0),? c ? 4 , 又双曲线 C 的焦点到渐近线的距离为 2 3 ,? b ? 2 3 ,? a 2 ? c 2 ? b 2 ? 4 ,

? 双曲线 C 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1 . ?? 5分 4 12

(2)设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) ,

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 y 2 ,消去 y 整理得: (3 ? k ) x ? 2kmx ? (m ? 12) ? 0 , ?1 ? ? ? 4 12
?3 ? k 2 ? 0 ? 依题意得 ? (*) 2 2 2 2 ?? ? 4k m ? 4(3 ? k )(m ? 12) ? 0, ?
设 EF 的中点为 G ( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 又? 点 G 在直线 y ? kx ? m 上,

x1 ? x2 km , ? 2 3? k2

? y0 ? kx0 ? m ?

3m km 3m ,? G ( , ), 2 2 3? k 3? k 3? k2

? E、F 两点都在以 P(0,3) 为圆心的同一圆上,? GP ? EF ,即 kGP ? k ? ?1 ,

3m ?3 9 ? 4m 3? k2 ,代人(*)式得: ? ? k ? ?1 ,整理得 k 2 ? km 3 3? k2
? 9 ? 4m ?3 ? 3 ? 0 16 ? 解得: m ? 0 或 m ? ? , ? 9 ? 4m 3 2 9 ? 4m 2 ? ? ? 4m ? ? 4(3 ? )(m ? 12) ? 0, ? 3 3 ?
9 ? 4m 9 ? 0 ,? m ? , 3 4 16 9 故所求 m 的取值范围是 (??, ? ) ? (0, ) ??13分 3 4
又 k2 ?

21. (本小题满分 14 分) 解: f ?( x) ?

2 1 ?a( x ? 1) ? a (1 ? x) 1 ?2 ? + ? + 2 x?2 2 [a( x ? 1)] x ? 2 a ( x ? 1) 2

2 x ? ( ? 1) a ( x ? 1) ? 2 a ? ? , ( x ? ?1) ?? 2分 2 a ( x ? 1) ( x ? 1) 2
2 2 ? f ( x) 在 (?1, ? 1) 上为减函数,在 ( ? 1, ??) 为增函数, a a 2 ? f ( x) 在 x ? 处取得极小值. ?? 4分 a

2 ? 2 2 ?2 ? ? 1 ? 4 (1)依题: ? ? ? a ? ;?? 6分 a 5 3 ?a ? 0, ? ?2 ? ?1 ? 1 (2)依题: ? a ? a ? 1 ; ?? 8分 ?a ? 0, ?
x ?1 1? x ? , 在 [1, ??) 上为增函数, 2 x ?1 x ?1 1? x ? 当 x ? 1 时,有 f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 ln ?? , ( x ? 1) , 2 x ?1 1? x 1 n ?1 x ?1 n 取? , ? (n ? 2) ,则 x ? ? 1, ? x ?1 n n ?1 2 n ?1
(3)由(2)知:当 a ? 1 时, f ( x) ? ln

n 1 ? , (n ? 2) n ?1 n 1 1 1 1 3 4 n ? ? ? ? ? ? ? ln 2 ? ln ? ln ? ? ? ln ? ln n . ??14分 2 3 4 n 2 3 n ?1
即有: ln


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