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第6章 数列学案


读和写是学生最必要的两种学习方法,也是通向周围世界的两扇窗口。

授课章节名称:§6.1



列 (1)

【知识梳理】 1.数列的定义:按一定的_______排列的一列______叫做数列;数列中的 每一个______称为数列的_______;数列中第一个位置的项叫第 1 项(或首 项) ,在第

二个位置的项叫第 2 项, ,序号为______的项叫第_______ 项(也叫通项)记作____________。 2、数列的表示: 数列的一般形式为 a1, a2 , a3 ,

an

,简记为_________。

注意:① ?an ? 表示_________; an 表示数列中的__________。 ②数列的项与项数是不同的概念,数列的项是指这个数列中的某个 具体的数,项数是指这个数在数列中的位置 ③数列中的数是有序的,但可以重复出现。 3、数列的通项公式:如果一个数列 ?an ? 的第______项______与项数______ 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公 式。即:通项 an 是一个以项数 n 为自变量的函数 an ? f (n)(n ? N ? ) 说明:①由通项公式 an ? f (n)(n ? N ? ) ,随着 n 的取值,可以求出数列中 的任意一项。 ②判断一个具体的数 m 是否是数列 ?an ? 中的项, 只需要令 an ? m , 解出 n , 若 n ? N ,则 m 是数列 ?an ? 中的第 n 项,否则 m 不是数列 ?an ? 中的项。
?

【典型例题】 【例 1】分别写出下列数列的首项和第 4 项

(1)1,3,7,9,11 (2)0, 2, 4,5,7 (3)1, ?1,1, ?1,1???
【例 2】根据数列的通项公式,写出数列的前五项

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读和写是学生最必要的两种学习方法,也是通向周围世界的两扇窗口。

(1)an ?

n n ?1

(2)bn ?

(?1)n 2n

【练习】已知数列的通项公式为 a n ?

(?1) n ? 1 ,写出这个数列的前五项。 2

【变式 1】 已知数列 ?an ? 的通项公式 a n ? (?1)
n

1 ,求 a3 , a10 , a2n?1 2n ? 1

【课内外练习】

n?3 ,则 a5 =____________ 2n?1 n 1 5 5 2. 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? , , , 三个数中,________是该数 n ?1 3 6 8
1.数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (?1)
n ?1

列中的项。 3. 已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? n 2 ? n ? 50 ,求 -8 是这个数列的第几 项?

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读和写是学生最必要的两种学习方法,也是通向周围世界的两扇窗口。

4.已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n 2 ? n , 试问 45 是否为数列 ?an ? 的项? 3 是否为数列 ?an ? 的项?

5.已知数列 ?an ? 的通项公式 a n ?

2n ,这个数列的第 10 项是_______, n?2

14 ________(填是或否)这个数列的项。 9

【回顾反思】这节课我学到了什么?

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授课章节名称:§6.1 数
【知识梳理】



(2)

1、数列的通项公式:如果一个数列 ?an ? 的第______项______与项数______ 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公 式。即:通项 an 是一个以项数 n 为自变量的函数 an ? f (n)(n ? N ? ) 说明:①由通项公式____________,随着 n 的取值,可以求出数列中的任 意一项。 ②判断一个具体的数 m 是否是数列 ?an ? 中的项, 只需要令______, 解出 n , 若 n ? N ,则 m 是数列 ?an ? 中的第 n 项,否则 m 不是数列 ?an ? 中的项。
?

2、数列的递推公式:若已知数列 ?an ? 中的第 1 项(或前几项) ,且任一项 _____与它的前一项_______(或前几项)间的关系可以用一个公式表示, 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 【典型例题】 【例 3】根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:

1 1 1 1 (1)1, , , , ,... 2 3 4 5 (3)1, 4,9,16, 25,... 3 8 15 24 (5) ? , , ? , ,... 2 3 4 5

(2)1,3,5, 7,9... (4)2, ?4, 6, ?8,... (6)1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001...

【练习】写出下列数列的一个通项公式 (1) 1, ? , , ? ,

1 1 2 3

1 4

(2)-1,1,-1,1,-1,…

(3)3,5,9,17,33,… (4) (5)

1 3 7 15 31 , , , , , 2 4 8 16 32
(6)1,1,1,1. …

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【例 4】已知数列?an ?中,a1 ? 1, an ? 1 ?

1 , 求数列的前5项 an?1

【变式】

数列?an ?中,a1 ? 1, 且an?1 ?

an , n ? 1,2,3,...试求前5项,并猜想其通项公式 an ? 1

【练习】 :

1、数列?an?中,a1 ? 0, 且an?1 ? an ? (2n ?1)(n ? N? )试求前5项,并猜想其通项公式

2、 数列?an ?中,a1 ? 1, 且an?1 ?

2an (n ? N? )试求前5项,并猜想其通项公式 an ? 2

【课内外练习】 1.数列 ?an ? 满足 an ? 4an?1 ? 3 且 a1 ? 0 ,则数列的第 5 项是 ( A.15 B.255 C.16
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D.63

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2. 数列 ?an ? 的递推公式为 an?1 ? 2an ?1 , 且 a5 ? 63 , 则 a3 =____________ 3. 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 为 an ? ?2n2 ? 29n ? 3 , 则 ?an ? 的 最 大 值 为 ___________。 4. 数列 ?an ? 中, an?1 ? 2an ,且 a2 ? 3 ,则 a5 =____________ 5. 若 9 为 3 3, 3 9, 3 15, 3 21 中的一项,则它为第______项

6. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? pan ? q ,a2 ? 3 ,a3 ? 15 ,求的 p, q 值。 7. 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n2 ?12n ? 34 (1)解不等式 an ? an?1 (2)当 n 为何值时, an 有最小值?求出最小值。

8.数列的通项公式分别为(1) an ? 别写出前 3 项,并判断

2 1 2 17 13 n ? ,分 (2) bn ? n ? n ?n 4 12 6
2

1 是否为数列中的项?若是,为第几项? 10

【课后作业】 【回顾反思】这节课我学到了什么?

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授课章节名称:§6.1 数
【知识梳理】

列(3)

1、数列的递推公式:若已知数列 ?an ? 中的第 1 项(或前几项) ,且任一项 _____与它的前一项_______(或前几项)间的关系可以用一个公式表示, 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 2、数列的前 n 项和 S n (1) a1 ? a2 ? ... ? an叫做数列的前n项和,用Sn表示 (2)数列的前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式________________ 说明:这个关系式对一切数列都适用。 【典型例题】 【例 5】已知数列?an ?的前n项和Sn (n ? N? ), 求数列?an ?的通项公式

() 1 Sn ? 2n2 ? n

(2)Sn ? n2 ? n ?1

练习、已知数列?an ?的前n项和Sn (n ? N? ), 求数列?an ?的通项公式
(1) Sn ? n2 ? 3n (2) Sn ? 3n2 ? n ? 1 (3) Sn ? 3 ? 2
n

【例 6】数列{an}的前 n 项的和 Sn ? 2n ? n
2

(1)求数列 {an } 的通项;

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读和写是学生最必要的两种学习方法,也是通向周围世界的两扇窗口。

(2)求 a10 ? a11 ? a12

a20

【练习】数列{an}的前 n 项的和 Sn ? 2n2 ? n ? 3 (1)求数列 {an } 的通项; (2)求 a10 ? a11 ? a12

a20

【变式】数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n2 ?11n ? 28 求: (1)数列中有几项为负数?分别是? (2)当 n 为何值时, an 有最小值?求出最小值。

【练习】 (0920)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,对一切 n ? N? ,点 ( n, 均在函数 f ( x) ? 3x ? 2 的图象上。 (1)求 a1 , a2 及数列 {an } 的通项公式; (2)解不等式 f (n) ? Sn ? 22 。

Sn ) n

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【课内外练习】 1.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? n2 ? 2n ,则 a4 =____________ 2. 数列 ?an ? 的通项公式为 an ?

1 1 ? ,则 S5 =____________ n n ?1

3. 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn ? 3n?1 ? 2 , 则 通 项 ?an ? 的 通 项 公 式 为 ________________
2 4. 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn ? n ? 2 n , 则 a5 =_______ ;

a6 ? a7 ? a8 =___________
5. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? n2 ? pn, 数列 ?bn? 的前 n 项和为

Tn ? 3n2 ? 2n ,
若 a10 ? b10 ,求 p

6.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,求下列数列的通项 an (1) Sn ? n2 ? 1 (2) Sn ? 10n ?1

【课后作业】 : 【回顾反思】这节课我学到了什么?

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授课章节名称:§6.2 等差数列(1)
【知识梳理】 1 、等差数列:一般地,如果一个数列从 _______ 项起 ,______ 与 ______ 的 _____等于同一个_______,那么这个数列就叫做等差数列,这个 ________ 叫做等差数列的公差,常用字母_______表示,符号表示:_____________ 2、等差数列的通项公式为 (1)______________ (2)_______________(体现等差数列中任意两项间的关系) 【典型例题】 【例 1】下列哪些数列是等差数列,若是等差数列,请求出首项和公差 (1)2, 5, 8, 11,… (2)-9, -9, -9, -9,… (3)-0.70, -0.71, -0.72, -0.73,… (4)-1, 0, 1, 0, -1, 0, -1, 0,…

【变式】下列数列是等差数列,求未知项

() 1 3, a,5

(2)3, b, c, ?9

【例 2】已知一个数列 ?an ? 的首项是 2,公差是 3,求第 12 项

【变式 1】求等差数列 8,5,2,…的第 20 项

【变式 2】-401 是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?若是,是第几项?

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【例 3】 在等差数列?an ?中,若a5 ? 10, a12 ? 31, 求a1, d , a19 以及数列 的通项公式。

下列数列是否为等差数列?若是,证明;若不是,请说明理由。 (1) an

? 3n ? 2

(2) bn ?

1 n

【课内外练习】 1. 数列 ?an ? 中, an?1 ? an ? 3 且 a1 ? 4 ,则 100 是数列的第____项。 2. 等差数列 ?an ? 中, a4 ? a10 ? 15 ,则 a3 ? a5 ? a8 ? a12 ? _________ 3. 在 等 差 数 列 {an } 中 , 已 知 a1 ? ?17 , a10 ? 41 , 则

a3 ? a8 =____________。
4. 已 知 三 个 数 成 等 差 数 列 , 其 和 为 15 , 平 方 和 为 83 , 则 三 个 数 为 ______________ 5.在等差数列 {an } 中,已知 an ? 2n ? 28 ,则从第________项起为正值。 6. 在 等 差 数 列 {an } 中 , 已 知 a2 ? 40 , a14 ? 124 , 则

a1 ? ______, d ? _______
7. 在 ?1 与 8 之 间 插 入 两 个 数 a , b 能 使 这 四 个 数 为 等 差 数 列 , 则

a1 ? ___, d ? ___
8. 在等差数列 {an } 中,a15 ? 33 ,a45 ? 153 , 则 217 是这个数列的第_____
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读和写是学生最必要的两种学习方法,也是通向周围世界的两扇窗口。

项 9. 等差数列 {an } 中, a3 ? a11 ? 40 ,则 a6 ? a7 ? a8 ? ______ 10. 在等差数列 {an } 中, 已知 a1 ?

1 , a ? a ? 4 ,an ? 33 则 n ? ______ 3 2 5

11. 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? bn ? c ,其中 b, c 为常数,则下列判断正 确的是( ) B. 数列 {an } 不一定是等差数列 D. 数列 {an } 是公差 c 为等差数

A. 数列 {an } 一定不是等差数列 C.数列 {an } 是公差 b 为等差数列 列

12. 等差数列 {an } 中, a3 ? a6 ? a9 ? 12, a3 ? a6 ? a9 ? 28 ,则 an ? ______ 13. 在等差数列 {an } 中,已知公差 d ? ?2 ,且 a1 ? a2 ? 则 a2 ? a3 ?

? a5 ? 36 ,

? a6 ? _______

14. 在等差数列 {an } 中, a3 ? 7 , a10 ? a5 ? 15 ,则 an ? ______ 15. 在等差数列 {an } 中, a4 ? 8 , a10 ? 5 ,则 a17 ? ______

【回顾反思】这节课我学到了什么?

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授课章节名称:§6.2 等差数列(2)
【知识梳理】 3、等差中项:如果 a, A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。 即: a, A, b 成等差数列 ? _________________ 注意: (1)任何两个数都有等差中项,且等差中项唯一存在。 (2)在等差数列中,从第 2 项起,每一项均为相邻两项的等差中项。 即:若数列 ?an ? 等差数列,则一定满足 2an ? an?1 ? an?1 4、等差数列的性质:对于等差数列 ?an ? 性质 1:等差数列任意两项间的关系为: an ? am ? (n ? m)d 性质 2:若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则 am ? an ? ap ? aq 性质 3:等差数列中的下标成等差的各项组成一个新数列,这个新数列仍为 等差数列。 性质 4: 等差数列的判定方法: 数列 ?an ? 为等差数列 ? _____________________(基本方法:通项已知或 可求) 【典型例题】 【例 4】求: 101 与 ?21 的等差中项。

【练习】在 ?1 与 8 之间插入两个数 a , b 能使这四个数为等差数列,求首项 与公差。

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【例 5】(1) 已知等差数列?an ?中,a2 ? 2, a100 ? 36, 求a51, a3 ? a99 (2) 在7和35之间插入6个数,使其成等差数列,求这6个数

【例 6】 若三个数成等差数列,其和为9,积为15,求这三个数

【练习】 (1) 已知等差数列?an ?中,a4 ? 2, a12 ? 8, 求a8 , a3 ? a13 (2) 在4和9之间插入3个数,使其成等差数列,求这3个数 (3) 若三个数成等差数列,其和为12,积为28,求这三个数

【课内外练习】 1. 数列 ?an ? 中, an?1 ? an ? 3 且 a1 ? 4 ,则 100 是数列的第____项。 2. 等差数列 ?an ? 中, a4 ? a10 ? 15 ,则 a3 ? a5 ? a8 ? a12 ? _________ 3. 在 等 差 数 列 {an } 中 , 已 知 a1 ? ?17 , a10 ? 41 , 则

a3 ? a8 =____________。
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4. 已 知 三 个 数 成 等 差 数 列 , 其 和 为 15 , 平 方 和 为 83 , 则 三 个 数 为 ______________ 5.在等差数列 {an } 中,已知 an ? 2n ? 28 ,则从第________项起为正值。 6. 在 ?1 与 8 之 间 插 入 两 个 数 a , b 能 使 这 四 个 数 为 等 差 数 列 , 则

a1 ? ___, d ? ___
7. 在等差数列 {an } 中,a15 ? 33 ,a45 ? 153 , 则 217 是这个数列的第_____ 项 8. 等差数列 {an } 中, a3 ? a11 ? 40 ,则 a6 ? a7 ? a8 ? ______ 9. 在等差数列 {an } 中, 已知 a1 ?

1 ,a2 ? a5 ? 4 ,an ? 33 则 n ? ______ 3

10. 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? bn ? c ,其中 b, c 为常数,则下列判断正 确的是( ) B. 数列 {an } 不一定是等差数列 D. 数列 {an } 是公差 c 为等差数

A. 数列 {an } 一定不是等差数列 C.数列 {an } 是公差 b 为等差数列 列

11. 等差数列 {an } 中, a3 ? a6 ? a9 ? 12, a3 ? a6 ? a9 ? 28 ,则 an ? ______ 12. 在等差数列 {an } 中,已知公差 d ? ?2 ,且 a1 ? a2 ? 则 a2 ? a3 ?

? a5 ? 36 ,

? a6 ? _______

13. 在等差数列 {an } 中, a3 ? 7 , a10 ? a5 ? 15 ,则 an ? ______ 14. 在等差数列 {an } 中, a4 ? 8 , a10 ? 5 ,则 a17 ? ______

【课后作业】 : 【回顾反思】这节课我学到了什么?

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授课章节名称:§6.2 等差数列(3)
【知识梳理】 5、等差数列 ?an ? 前 n 项和 Sn 公式 (1)_________________ (2)_________________

6、等差数列的性质:对于等差数列 ?an ? 性质 1:等差数列任意两项间的关系为: an ? am ? (n ? m)d 性质 2:若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则 am ? an ? ap ? aq 性质 3:等差数列中的下标成等差的各项组成一个新数列,这个新数列仍为 等差数列。 性质 4:对于等差数列 ?an ? , Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n 也成等差数列。 性质 5:等差数列的判定方法: (1) 数列 ?an ? 为等差数列 ? _____________ (基本方法: 通项已知或可求) (2)数列 ?an ? 为等差数列 ? ______________(选择、填空使用) (3)数列 ?an ? 为等差数列 ? ______________(选择、填空使用) 【典型例题】 【例 7】已知等差数列?an ? 满足下列条件,求和

(1)a1 ? 2, a7 ? 8, 求S7 (2)已知a2 ? a5 ? a12 ? a15 ? 36, 求S16 (3)已知a6 ? 20, 求S11

【练习】 1. 等差数列 ?an ? 中, Sn ? 3n2 ? 2n ,则 a8 ? ______, d ? _______

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2. 等差数列 ?an ? 中, a3 , a10 为方程 x ? 3x ? 5 ? 0 的两根,则 S12 ? __
2

3. 等差数列 ?an ? 中, S12 ? 72 ,则 a6 ? a7 ? ________ 4. 等差数列 ?an ? 中, a4 ? 15 ,则 S7 ? ________ 5. 等差数列 ?an ? 中, S12 ? 72 ,则 a6 ? a7 ? ________ 【例 8】 在等差数列?an ?中:

1 (1)已知a1 ? 4, d ? ? , 求S20 2 (2)它的通项公式是an ? 2n ? 3, 求S10

【例 9】 设等差数列?an ?的公差d ?

1 3 15 , an ? , Sn ? ? , 求a1和n 。 2 2 2

【练习】 设等差数列?an ?的公差d ? 2, an ? 11, Sn ? 35, 求a1和n 【变式】已知等差数列 {an } 中,前 n 项和为 Sn ,且 a4 ? ?3 , S10 ? 0 求(1)通项公式 (2)当 n 取何值时,前 n 项和 Sn 最小?并求出最小值

【练习】在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 50 , d ? ?0.6 , 求: (1)从第几项起有 an ? 0 ? (2)当 n 取何值时,前 n 项和 Sn 有最大值,并求出最大值。
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【例 10】已知数列?an ?的前n项的和为Sn =n2 ? 7n,

(1)证明数列?an ?是等差数列

(2)求当n取何值时,Sn取得最小值

【变式 1】数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? (1)求证:数列 {an } 为等差数列 (2)求数列 an 的前 30 项和

3n(41 ? n) 2

? ?

【变式 2】在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 25 , S9 ? S17 ,求数列前多少项和 最大?并求最大值。

【例 11】 数列?an ?是等差数列,S10 ? 370, S20 ? 1340, 求Sn , an

计算:在例6中,S30 ? ?

如: 在等差数列?an ?中,S4 ? 6, S8 ? 15, 求S12

性质:若数列?an ?是等差数列,Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n成等差数列

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【课内外练习】 1. 等差数列 {an } 中, a2 ? a3 ? a98 ? a99 ? 20 ,则 a5 ? a96 ? __, S100 ? __ 2. 在等差数列 {an } 中,已知 a3 ? 7 , a8 ? 12 ,则 S10 ? ___, d ? ___ 3. 数列 {57 ? 4n} 的前 n 项和 Sn ? 0 ,则 n 的最小值为____________ 4. 在等差数列 {an } 中, 前四项和为 28, 末四项和为 110, 所有项之和为 187, 则 n ? ______ 5. 在等差数列 {an } 中, a1 ? 17 , S3 ? S15 ,则 n ? ____ 时, Sn 有最大值 为_________ 6. 在等差数列 {an } 中, S10 ? 10 , S20 ? 30 ,则 S30 ? ____ 7.已知等差数列 {an } 中,前 n 项和为 Sn ? 4n2 ? n (1)求证:数列 {an } 为等差数列 (2)试求 n 取何值时,前 n 项和 Sn 有最大值

8. (1)求正奇数1 , 3, 5,的前 ... 80项的和

(2)求第101个正奇数到第150个正奇数之和

【回顾反思】这节课我学到了什么?

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授课章节名称:§6.3 等比数列(1)
【知识梳理】 1 、等比数列:一般地,如果一个数列从 _______ 项起 ,______ 与 ______ 的 _____等于同一个_______,那么这个数列就叫做等比数列,这个 ________ 叫做等比数列的公比,常用字母_______表示,符号表示:_____________ 注意:等比数列的每一项均不等于 0,因此公比也不为 0. 2、等比数列的通项公式为 (1)______________ (2)_______________(体现的等比数列中任意两项间的关系) 3、等比中项:如果 a, G, b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。 即: a, G, b 成等比数列 ? _________________ 注意: (1)两个符号相同的非零实数,才有等比中项,且都有_____个等比 中项。 (2)三个数 a, G, b 成等比数列是 G ? ab 的_____________条件。
2

【典型例题】 【例 1】判断以下数列是不是等比数列,如果是等比数列,请写出其首项 与公比: (1)-1, 4, -16, 64, …; (2)2, 2, 2, 2, …; 1 1 1 1 2 3 4 (3)1, , , , , …; (4)0, 1, 2, 2 , 2 , 2 , … . 8 2 4 6

总结:等比数列中,公比与每一项都不能为 0 【例 2】求出下列等比数列中的未知项: (1) 2, a,8,(a ? 0) ; (2) 4, b,

1 ,c 2

第 20 页

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【例 3】已知等比数列{an}:2, 6, 18, 54, …,求其公比 q, a5 和 an 。

【变式】已知等比数列 an ?

1 ? 10n ,求其公比 q , a1 和 a5 。 4

【例 4】在等比数列{an}中,a2= 6,a5 =48,求其通项 an,a11.

【课内外练习】 1. 等比数列 ?an ? 中,则 ak ? ak ?2 ( A.必为正数
2

) D.不确定

B.必为负数

C.可能为正数、负数、零 )

2. b ? ac 是 a, b, c 为等比数列的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条 D.既不充分也不必要条 3. 在等比数列 ?an ? 中, an ? 3 ? 2n 则首项 a1 及公比 q 分别为 ( A.2,3 B.6,2 C.6, )

1 2

D.3,2 )

4. 下列三个命题,其中真命题的个数为(

①若数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? q ,则 ?an ? 为等比数列。 ②常数列 a , a , a 是公比为 1 的等比数列。 D.0 ③公比为 1 的等比数列为常数列。 A.3 B.2 C.1

5. 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 9, a3 ? 4 ,则公比 q ? ______ 6. 在等比数列 ?an ? 中, a6 ? 6, a9 ? 9 ,则 a3 ? _______ 7. 2 ? 3 与 2 ? 3 的等比中项为___________

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读和写是学生最必要的两种学习方法,也是通向周围世界的两扇窗口。

8. 等比数列 ?an ? 中,首项 a1 ?

n ? _______

9 1 2 ,末项为 an ? ,公比 q ? ,则项数 8 3 3

9. 数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 2an ,则 a4 ? _______ 10. 设数列 ?an ? 的通项公式是关于 n 的一次函数 (n ? N ? ) ,已知 a8 ? 15 , 且 a2 , a5 , a4 成等比数列。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式 (2)求 a3 ? a6 ? a9 ?

? a36

【回顾反思】这节课我学到了什么?

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读和写是学生最必要的两种学习方法,也是通向周围世界的两扇窗口。

授课章节名称:§6.3 等比数列(2)
【知识梳理】 4、等比数列 ?an ? 前 n 项和 Sn 公式 (1)_________________(公比 q ? 1 )————采用错位相减法 (2)_________________(公比 q ? 1 ) 说明: (1)注意求和公式中是 q n ,通项公式中是 q n?1 ,不要混淆。 (2)应用求和公式时,必要时还应讨论 q ? 1 的情况。 (一定要记住这一点, 防止在解题时漏解) 5、等比数列的性质:对于等比数列 ?an ? 性质 1:等差数列任意两项间的关系为: an ? am ? q n?m 性质 2:若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq 性质 3:等比数列中的下标成等差的各项组成一个新数列,这个新数列仍为 等比数列。 性质 4:对于等比数列 ?an ? , Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n 也成等比数列。 性质 5:等比数列的判定方法: 数列 ?an ? 为等比数列 ? _____________________(基本方法:通项已知或 可求) 【典型例题】 【例 5】在等比数列{an}中, (1)已知 a1=2, q=-2,求前 10 项的和 S10; (2)已知 a4=128, q=4,求前 4 项的和 S4; (3)已知 an=(

1 n ) ,求前 8 项的和 S8; 2

【变式 1】求等比数列 1,3,9, 27 ,…的前 n 项和.
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, q ? 3 , 求 Sk ; 【练习】 (1)等比数列: a1 ? 1, a k ? 243
(2)等比数列: a2=5, a5=40, 求 S7

【变式 2】求下列各式的值 (1)求和 (2)已知

1 1 1 1 1 ? 3 ? 5 ? …+(2n-1)+ n 2 4 8 2

Sn ? 3n ? 2 ,求 an

【例 6】等比数列 ?an ? 中 (1) 若 a1 ? a3 ? 30, a4 ? a6 ?

10 ,求 Sn 及 an 9

(2) 若 a3 ? a7 ? 20, a1 ? a9 ? 64 ,求 an

【练习】1. 在等比数列 ?an ? 中, a1, a10 是方程 2 x ? 5 x ? 1 ? 0 的两根,则
2

a5 ? a6 等于_________
2. 在等比数列 ?an ? 中, a2 ? a5 ? 18, a3 ? a4 ? 45 ,求 an 【例 7】 (1) 若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 10n ?1 ,求证:数列 ?an ? 为 等比数列。 (2)若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2an ? 1 ,求证:数列 ?an ? 为等比数列, 并求通项公式。

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【变式】若数列 ?an ? 中, a1 ? 1,2an?1 ? an ? 2(n ? N ? ) (1)求证:数列 ?an ? 2? 为等比数列 (2)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn

【课内外练习】 1. 在等比数列 ?an ? 中, a4 ? a7 ? ?512 ,则 (?1) A.256 B.-256 C.1
a3?a8

?(



D.-1

2. 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2, q ? 3 ,则公比 S6 ? ______ 3. 在等比数列 ?an ? 中,其中 Sn ? 48, S2n ? 60 ,则 S3n =____________ 4. 若等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 3n ? a ,则 a ? _______ 5. 等比数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 8 ,公比 q ?
2

1 ,则 S5 ? _______ 2

6. 等比数列 ?an ? 中, a3 , a5 是方程 x ? kx ? 5 ? 0 的两根,则 a2 ? a4 ? a6 等 于______ 7. 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列

?an?

中 , a4 ? 2 ,

log4 a1 ? log4 a2 ?

? log4 a7 ? _____

8. 在正数等比数列 ?an ? 中,若 S2 ? 7, S6 ? 91 ,则 S4 ? _____

15 , S4 ? ?5 ,则 q ? ____, a4 ? ____ 2 7 1 1 ? 10. 在数列 ?an ? 中, a1 ? , an?1 ? an ? (n ? N ) 6 2 3
9. 等比数列 ?an ? 中, a1 ? a5 ? ? (1)求证:数列 ? an ? ? 为等比数列 ;(2)求数列 ?an ? 的通项公式

? ?

2? 3?

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11. 已知数列 {an } , 其中 an ? 0 。Sn 为前 n 项和, 对于任意的自然数 n ? 1 ,

an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项。
(1)求 a1 , a2 的值; (2)证明:数列 {an } 是等差数列。

12.已知数列 ?an ? 满足 2 Sn ? an ? 1(n ? N? ) 且 an ? 0 。 (1)求 a1 , a2 , a3 的值。 式 an 。 (2)证明数列 ?an ? 为等差数列并求通项公

13.已知函数 f ( x) ? ab ( b ? 0, a ? R )的图象过点 A(2,1)和 B(4,9),设
x

an ? log 3 f ( n)( n ?N ? ) ,
(1)求函数 f ( x ) 的表达式; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和; (3)解不等式 an (n ? 6) ? 0

【回顾反思】这节课我学到了什么?
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授课章节名称:§6.4 数列的综合应用
【知识梳理】 特殊数列求和的常用方法: 1、公式法:适用于等比、等差数列。 2、裂项相消法:如果数列 ?an ? 的通项公式 an ? 其中: ① ?bn? 是各项均不为 0 的等差数列

c bn ? bn?1
② c 为常数

3、重组法:如果数列 ?an ? 的通项公式 an ? Abn ? Bcn 其中: ?bn? 为等差数列, ?cn? 为等比数列 4、错位相减法:如果数列 ?an ? 的通项公式 an ? bn ? cn 其中: ?bn? 为等差数列, ?cn? 为等比数列 (类似于等比数列前 n 项和公式的推导方法) 5、倒序相加法:类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法 【典型例题】 【例 1】求下列数列的前 n 项和 (1)若数列 ?an ? 的通项公式为 an ?

1 n(n ? 1)

(2)若数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 2n ?1 (3)若数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (2n ?1) ? 2n

2 【例 2】 (2012)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ? n ? n , n ? N? .

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(1)求数列{ an }的通项公式; (2)设 bn ? 2
an

?1 ,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn .

【例 4】 (2010)已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? 2n, n ? N? . (1)求证: a2 是 a1 , a3 的等比中项; (2)求数列 {an } 的通项公式。

【例 5】 (0722) (本题满分 14 分)随着人们生活水平的不断提高,私家车 也越来越普及.某人购买了一辆价值 15 万元的汽车, 每年应交保险费、 养路 费及消耗汽油费合计 12000 元,汽车的维修费为:第一年 3000 元,第二年 6000 元,第三年 9000 元,依此逐年递增(成等差数列) 。 若以汽车的年平 均费用最低报废最为合算。 (1)求汽车使用

n 年时,年平均费用 yn (万元)的表达式;

(2) 问这种汽车使用多少年报废最为合算?此时, 年平均费用为多少?

【课内外练习】 1.在等差数列 {an } 中, S10 等于( )

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A.10a1

B.10(a1 ? a10 )

C.10a1 ? 90d

D.10a1 ? 45d

2. 在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? ?17 ,a10 ? 41,则 a3 ? a8 =_________。 3. 在等差数列 {an } 中, an ? 2n ? 3 ,求此数列自第 100 项到第 200 项之 和 S 的值为____________。 4. 已知 a, b, c, d 是公比为 3 的等比数列,则 A.1 B.

1 3

a ? 2b 等于( ) c ? 2d 1 1 C. D. 9 27

5. 在等比数列 {an } 中, a5 ? 3 , a7 ? 1 ,则 a9 =__________ 6. 在 等 比 数 列 {an } 中 , a1 ? 4 , a4 ? 108 , 则 等 比 数 列 {an } 的 公 比

q =_____。
7. 在公差不为 0 的等差数列 {an } 中, a1 , a2 为方程 x 2 ? a3 x ? a4 ? 0 的 根,则 {an } 的通项公式为 an =__________。 8. 已知等比数列 {an } 中,a9 ? ?2 , 则此数列前 17 项的积等于_________。 9. 设 Tn 表示等比数列{an}中前 n 项的积,已知 T5=32,则 a3= 10. 若数列 ?an ? 的通项为 an ? A. .

1 n(n ? 1)
C.

,则其前 10 项的和 S10 等于( )

9 10

B.

11 10

10 9

D.

10 11

11. 已知 ?an ? 为等比数列 (1)若 a1 ? 4 , q ? ?2 ,求 a5 , S 5 ; (2)若 a 2 , 公比 q .

1 a 3 , a1 成等差数列,求 2

12. 若 S n 是公差不为 0 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和, 且 S1 , S2 , S4 成等比数 列
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(1)求数列 S1 , S2 , S4 的公比

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(2)若 S2 ? 4 ,求 ?an ? 的通项公式.

13.已知函数 f ( x) ? ab x ( a , b 为常数)的图象过点 A(1,2), B(4,16) 。 (1)求 f ( x ) 的表达式; (2)设 n ? N ,证明数列 { f ( n)} 为等比数列 (3)设 an ? 3log 2 f (n), n ? N ? ,求数列 {an } 的前 n 项和 Sn
?

14. (8 分)在数列﹛ an ﹜中, a1 ? (1)求: ?an ? 的通项公式;

7 1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 3 6
(2)求 ?an ? 的前 n 项和 Sn 。

15. 设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 ,

a3 ? b5 ? 21, a5 ? b3 ? 13。
①求{an}的通项公式;②求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Sn 。

16.(1121)已知数列 {an } 是公比为 q,(q ? 0) 的等比数列,其中 a4 ? 1 ,且

a2 ,a3 ,a3 ?2 成等差数列。
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记数列 {an } 的前 n 项和为 Sn 求证: Sn ? 16(n ? N ) . 【回顾反思】这节课我学到了什么?
?

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