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复数的扩充和复数的概念备课


《数的扩充和复数的概念》教学设计

一 : 学习目标分析
学习目标是教学中最先要考虑的因素,明晰学习目标,做到有的放矢,是课堂教学的第一 要素。我从以下几个方面考虑来制定本节课的学习目标: (1)明确《课程标准》要求; (2)分析教材; (3)分析学情。 1、本节课的《课程标准》要求: (1)在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛

盾(数的运算规则、 方程求根)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及与现实世界的联系。 (2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。 2、分析教材 复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充. 本节课的学习, 一方面让学生回忆数 系扩充的过程,体会虚数引入的必要性和合理性.另一方面,让学生理解复数的有关概念, 掌握复数相等的充要条件,为今后的学习奠定基础.因此,本节课具有承前启后的作用,是 本章的重点内容. 3、分析学情 在学习本节之前,学生对数的概念已经扩充到实数,也已清楚各种数集之间的包含关系 等内容,但知识是零碎、分散的,对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考, 知识体系还未形成。 另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行, 缺乏严谨的思 维习惯。 4、考情分析

从近几年的高考试题来看, 复数部分是高考必考内容之一,主要考查复数的有
关概念和运算.复数在高考中题型多为选择题和填空题,均为容易题 基于以上分析,本节课的学习目标如下:

教学目标:
1.知识与技能:使学生了解学习复数的必要性,掌握复数有关概念、复数分类,初步掌握虚 数单位的概念和性质。 2.过程与方法:通过类比引入、化归与转化等数学思想方法的使用,培养学生分析问题、解 决问题的能力。 3.情感、态度与价值观:感受人类理性思维对数学发展所起的重要作用,进行历史唯物主义
-1-

教育与辩证唯物主义教育。

教学重点:虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用 教学难点:复数的概念;虚数与纯虚数的区别。
重点、难点分析: 本节课是第四章第一课时, 复数的概念为学生学习复数的表示、 复数的运算及后继知识奠 定了坚实的基础,因此,复数的概念是本节课学习的重点。 象 x =-1 这样的方程没有实数解在学生心目中已成定论, 负数不能开平方是学生固有的思 维模式,而虚数单位 i 的引入会引起学生认知上的冲突、心理上的排斥。故虚数单位 i 的引 入是学生学习中的难点。
2

二: 教法设计
在教学设计中,主要采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法,轻松获取知识, 增强学生学习数学的兴趣,真正做到既关注学习的结果,又关注学习的过程.在相互交流、互 相讨论过程中,学生认识了自我,建立了信心,同时也构建了和谐的课堂气氛.

三:学法指导:
让学生观察、思考、计算,通过自我探索、相互讨论直到最终掌握概念,发现规律,解 决问题.

四: 教学设计流程
从建构主义的角度来看, 数学学习是指学生自己建构数学知识的活动. 在数学活动过程 中,学生与教材及教师产生交互作用,形成了数学知识、技能和能力,发展了情感态度和思 维品质.基于这一理论,我把这一节课的教学程序分成下面几个环节来进行。 1、 知识回顾 (3 分钟)

数的概念是从实践中产生和发展起来的。 随着生产和科学的发展, 数的概念也被不断的 扩大和充实。那么我们从小学到现在都依次学习过哪些数集呢? 我们可以从下面 一组方程来形象的说明数系的发展变化过程。

x ? 4 ? 0 ? x ? 24 ? 0 ? 3 x ? 2 ?
2、 新知引入

x

2

?2?

x

2

?1 ? 0
(1 分钟)

-2-

一元二次方程

x

2

? 1 ? 0 在实数集内没有根。

那么我们能否将实数集进行扩充,使得在新的数集中,该问题能够圆满的解决呢? 3、 知识建构 (3 分钟) 因此,我们引入一个新的数 i, 满足

i

2

? ?1 。引入的 i 叫虚数单位。并规定:

i

2

? ?1 ,

i 可以和任意实数进行四则运算,并且原有的加法、乘法运算律仍然成立。
⊙ i与实数b相乘得bi ,并且规定 0 乘以 i 等于 0. ⊙ bi与实数a相加得a ? bi 于 是 , 数 系 的 范 围 得 到 扩 充 , 出 现 了 a ? bi 的 形 式 , 我 们 把 它 称 为 复 数 。 ( a, b是实数,i是虚数单位) 全体复数的集合叫做复数集,通常用 C 表示。 4、 师生互动 问题 1:复数集 C 和实数集 R 之间有什么关系呢? 对于复数 a ? bi(a, b ? R) , 当_____ _______时,复数 a+bi(a、b∈R)是实数 a; 当___ ____________时,复数 z=a+bi 叫做虚数; 当________________时,z=bi 叫做纯虚数; 当且仅当 a=b=0 时,z 就是实数 0. 问题 2:复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间是什么关系呢? 5、 合作探究 (15 分钟)

(3 分钟)

1、请说出复数 2 ? 3i,?3 ?

1 1 i,? i,? 3 ? 5i 的实部和虚部,有没有纯虚数? 2 3

引导:考虑复数的有关概念.对于复数 z ? a ? bi ? a, b ? R ? ,a 叫实部,b 叫虚部. (小组讨 论后,口答) 2、 实数 m 分别取什么值时,复数 z ? m ? 1 ? ?m ? 1?i 是 (1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数? 引导:因为 m ? R ,所以 m ? 1 ,m ? 1 都是实数,由复数 z ? a ? bi ? a, b ? R ? 是实数、 虚数、 纯虚数的条件可以确定实数 x 的值. (小组讨论后,在黑板上展示,并总结经验) 3、 已知 (2 x ? 1) ? i ? x ? (3 ? y)i ,其中, x, y ? R ,求 x 与 y .

引导:因为 x, y ? R ,所以由两个复数相等的定义,可列出关于 x , y 的方程组,解这个方 程组,可求出 x , y 的值. (小组讨论后,在黑板上展示,并总结经验)
-3-

6、 当堂达标: 当堂检测(分组讨论,小组讲解) 1.判断下列命题是否正确: (1)若 a 、 b 为实数,则 z ? a ? bi 为虚数; ( (2)若 b 为实数,则 z ? bi 必为纯虚数; ( (3)若 a 为实数,则 z ? a 一定不是虚数; (
2 3

(15 分钟)

) ) ) )

2.(2010 高考) ,设 i 是虚数单位,计算 i ? i ? i ? ( A-1 B 1 C -i D i

3.指出下列各数中,哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数?

2 2 ? 7 , 0.618 , i ,0, i , i 2 , 5i ? 8 , 3 ? 9 2i 7
实数: 虚数: 纯虚数: 4.若复数 m 2 ? 5m ? 6 ? m 2 ? 3m i 为纯虚数,试求实数 m 的值. 提示:由复数 z ? a ? bi ? a, b ? R ? 是纯虚数的条件可以确定实数 m 的值. 5.若 x , y 为实数,且 ( x ? y) ? ? y ? 1?i ? ?2 x ? 3 y ? ? ?2 y ? 1?i ,求 x 与 y . 提示:由复数相等即可得关于 x 、 y 的一个方程组,解方程组即可. 6、课堂小结 (7 分钟)

?

? ?

?

1.虚数单位 i 的引入; 2.复数的概念及分类; 3.复数的代数形式: z ? a ? bi(a, b ? R) ; 4.复数相等的判定

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