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河北省唐山市2017届高三上学期期末考试理数试题 Word版含答案


1. 已知集合 A ? ??2, ?1, 0, 2,3? , B ? y | y ? x 2 ? 1, x ? A ,则 A ? B 中元素的个数是( 2. i 是虚数单位,复数 z ? a ? i ? a ? R ? 满足 z ? z ? 1 ? 3i ,则 z ? (
2

?

?

班级
D.

5 )

姓名


直线 BM 与 y 轴交于点 N ,若 OE ? 2 ON ,则 ? 的离心率为 (
A. 3 B. 2 C.



A. 2

B. 3

C. 4

3 4 D. 2 3 x ?x 2 12. 已知函数 f ? x ? ? ln ? e ? e ? ? x , 则使得 f ? 2 x ? ? f ? x ? 3? 成立的 x 的取值范围是 (
A. ? ?1,3? 13. 曲线 y ? x 3 与 y ? B. ? ??, ?3? ? ? 3, ?? ? C. ? ?3,3? D. ? ??, ?1? ? ? 3, ?? ?



B. 2 或 5 C. 5 D. 5 ? ? ? ? ? 3. 设向量 a 与 b 的夹角为 ? ,且 a ? ? ?2,1? , a ? 2b ? ? 2,3 ? ,则 cos ? ? ( ) A. 2 或 5 A. ?

4. 已知 tan ? ?

1 ?? ? ,则 tan ? ? 2? ? ? ( 2 ?4 ? 1 A. 7 B. ?7 C. 7
B. 6 ? 4 2

3 5

B.

3 5

C. )

5 5

D. ?

2 5 5

. x 所围成的封闭图形的面积为 1 14. 已知 ?an ? 是等比数列, a5 ? , 4a3 ? a7 ? 2 ,则 a7 ? . 2 x2 y 2 F , F 15.设 1 2 为椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点,经过 F1 的直线交椭圆 C 于 A, B 两 a b . 点,若 ?F2 AB 是面积为 4 3 的等边三角形,则椭圆 C 的方程为

D. ?

1 7

5. 《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”, 已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的表面积为 ( ) A. 4 6. 已知数列

? ?? 内的两个零点,则 sin ? x1 ? x2 ? ? ? 2? ? 17. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c .已知
16.已知 x1 , x2 是函数 f ? x ? ? 2sin 2 x ? cos 2 x ? m 在 ? 0, (2)若 b ? 7 a, S ?ABC ? 2 3 ,求 a . a cos A cos B ? b sin 2 A ? c cos A ? 2b cos B .(1)求 B ;

数列”

?an ? , ?bn ? 满足 bn ? an ? an?1 ,则“ 数列 ?an ? 为等差 是“数列 ?bn ? 为 等差数列” 的( )A.充分不必要条件
A. 1
10

C. 4 ? 4 2

D. 2

B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件 7. 执行如图所示的程序框图,则输出的 a ? ( ) B. ?1 C. ?4 D. ?

5 2

8.在 ? x ? 2 ? 展开式中, 二项式系数的最大值为 a ,含 x 7 项的系

数为 b ,则

21 21 80 C. ? D. ? 80 80 21 ?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 2 2 9. 设实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最小值为 ?3 x ? y ? 10 ? 0 ?
B.

b ?( a 80 A. 21

) 18. (本小题满分 12 分) 在某校举行的航天知识竞赛中, 参与竞赛的文科生与理科生人数之比为 1: 3 , 且成绩分布在 ? 40,100? ,分数在 80 以上(含 80 )的同学获奖. 按文理科用分层抽样的方法抽取 200 ( ) 人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图(见下图). (1)填写下面的 2 ? 2 列联表,能否有超过 95 0 0 的把握认为“获奖与学生的文理科有关”? (2)将上述调査所得的频率视为概率,现从参赛学生中,任意抽取 3 名学生,记“获奖”学生人数 为 X ,求 X 的分布列及数学期望. 文科生 获奖 不获奖 合计 理科生 合计

A. 10 B. 10 C. 8 D. 5 10. 现有一半球形原料,若通过切削将该原料加工成一正方体工件,则所得工件体积与原料体积之比 的最大值为 ( ) A.

6 3?

B.

6 6?

C.

3 2 8?

D.

3 2 4?

5

x2 y 2 11. 已知 O 为坐标原点, F 是双曲线 ? : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左焦点, A, B 分别为 ? 的左、 a b PF ? x 右顶点,P 为 ? 上一点, 且 轴, 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M , 与 y 轴交于点 E ,

200

附表及公式:

n ? ad ? bc ? K ? ? a ? b ?? a ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

P?K2 ? k?

,其中 n ? a ? b ? c ? d

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ?

ln x ax ? ? , g ? x ? ? x ? ln x ? ? 1? .(1)求 y ? f ? x ? 的最大 x 2 ? ?

值; (2)当 a ? ? 0, ? 时,函数 y ? g ? x ? , x ? ? 0, e ? 有最小值. 记 g ? x ? 的最小值为 h ? a ? ,求函 e 数 h ? a ? 的值域.

? 1? ? ?

?

?

19. (本小题满分 12 分)在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边

长为 2 的菱形, ?ABC ? 60? , PB ? PC ? PD . (1)证明: PA ? 平面 ABCD ; (2)若 PA ? 2 ,求二面角 A ? PD ? B 的余弦值.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : x ? y ? 4 ,曲线 C2 : ? 极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

? x ? 1 ? cos ? , 以坐标原点 O 为 (? 为参数) ? y ? sin ? (1)求曲线 C1 , C2 的极坐标方程;
OB OA
的最大值.

(2)若射线 l : ? ? ? ? p ? 0 ? 分别交 C1 , C2 于 A, B 两点, 求 20. (本小题满分 12 分)已知抛物线 C : 2 py ? p ? 0 ? ,圆 O : x ? y ? 1 .
2 2

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲已知函数 f ? x ? ? a x ? 1 ? x ? a ? a ? 0 ? . (1)当 a ? 2 时,解不等式 f ? x ? ? 4 ; (2)若 f ? x ? ? 1 ,求 a 的取值范围.

(1)若抛物线 C 的焦点 F 在圆上,且 A 为 C 和圆 O 的一个交点,求 AF ; (2)若直线 l 与抛物线 C 和圆 O 分别相切于点 M , N ,求 MN 的最小值及相应 p 的值.

唐山市 2016~2017 学年高三年级理数期末试题参考答案
唐山市 2016—2017 学年度高三年级期末考试 理科数学参考答案 一、选择题: A 卷:BCADB ACDBA AD B 卷:BCADD ACDBA AB 二、填空题: 5 (13) 12 三、解答题: (17)解: (Ⅰ)由正弦定理得: 2sin Bcos B=sin Acos Acos B-sin Bsin 2A-sin Ccos A =sin Acos (A+B)-sin Ccos A =-sin Acos C-sin Ccos A =-sin (A+C) =-sin B, ∵sin B≠0, 1 2π ∴cos B=- 2 ,B= 3 . 1 (Ⅱ)由 b2=a2+c2-2accos B,b= 7a,cos B=- 2 得 c2+ac-6a2=0,解得 c=2a, 1 3 由 S△ABC= 2 acsin B= 2 a2=2 3,得 a=2. (18)解: (Ⅰ) 获奖 不获奖 合计 文科生 5 45 50 理科生 35 115 150 合计 40 160 200 x2 y2 (15) 9 + 6 =1 2 5 (16) 5 ?10 分 1 3 E(X)=3× 5 = 5 .

P

64 125

48 125

12 125

1 125 ?12 分

(14)1

(19)解: (Ⅰ)证明:连接 AC,则△ABC 和△ACD 都是正三角形. 取 BC 中点 E,连接 AE,PE, 因为 E 为 BC 的中点, 所以在△ABC 中,BC⊥AE, 因为 PB=PC,所以 BC⊥PE, 又因为 PE∩AE=E, 所以 BC⊥平面 PAE,又 PA?平面 PAE, 所以 BC⊥PA. 同理 CD⊥PA, 又因为 BC∩CD=C, 所以 PA⊥平面 ABCD. ?6 (Ⅱ)如图,以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A-xyz, 则 B( 3,-1,0),D(0,2,0),P(0,0,2), → PD =(0,2,-2),→ BD =(- 3,3,0), 设平面 PBD 的法向量为 m=(x,y,z),

?6 分

?10 分 ?12 分

200(5×115-35×45)2 25 k= 50×150×40×160 = 6 ≈4.167>3.841, 所以有超过 95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”. 1 (Ⅱ)由表中数据可知,抽到获奖同学的概率为 5 , 1 将频率视为概率,所以 X 可取 0,1,2,3,且 X~B(3, 5 ). 1 1 - k P(X=k)=C3 ×( 5 )k(1- 5 )3 k(k=0,1,2,3), X 0 1 2

m· n 15 则 cos?m,n?= |m|· = |n| 5 , ?6 分 15 所以二面角 A-PD-B 的余弦值是 5 . (20)解: (Ⅰ)由题意得 F(1,0),从而有 C:x2=4y. ?x2=4y, 解方程组? 2 2 ,得 yA= 5-2,所以|AF|= 5-1. ?x +y =1 x0 (Ⅱ)设 M (x0,y0),则切线 l:y= p (x-x0)+y0, 整理得 x0x-py-py0=0. 2 由|ON|=1 得|py0|= x0 +p2= 2py0+p2, ?12 分

?5 分

3

?6 分

2y0 所以 p= 2 且 y2 ?8 分 0-1>0, y0-1 2 2 所以|MN|2=|OM|2-1=x2 0+y0-1=2py0+y0-1 4y2 4 0 = 2 +y2 -1=4+ 2 +(y2 0 0-1)≥8,当且仅当 y0= 3时等号成立, y0-1 y0-1 所以|MN|的最小值为 2 2,此时 p= 3. (21)解: 1-ln x (Ⅰ)f ′ (x)= x2 (x>0) , 当 x∈(0,e)时,f ′ (x)>0,f (x)单调递增; 当 x∈(e,+∞)时,f ′ (x)<0,f (x)单调递减, 1 所以当 x=e 时,f (x)取得最大值 f (e)= e . ?4 分 ln x (Ⅱ)g′ (x)=ln x-ax=x( x -a),由(Ⅰ)及 x∈(0,e]得: 1 ln x ①当 a= e 时, x -a≤0,g′ (x)≤0,g (x)单调递减, e 当 x=e 时,g (x)取得最小值 g (e)=h (a)=- 2 . ?6 分 1 1 ②当 a∈[0, e ),f (1)=0≤a,f (e)= e >a, 所以存在 t∈[1,e),g′ (t)=0 且 ln t =at, 当 x∈(0,t)时,g′ (x)<0,g (x)单调递减, 当 x∈(t,e]时,g′ (x)>0,g (x)单调递增, 所以 g (x)的最小值为 g (t)=h (a). ?9 分 t ln t 令 h (a)=G (t)= 2 -t, ln t -1 e 因为 G′(t)= 2 <0,所以 G(t)在[1,e)单调递减,此时 G (t)∈(- 2 ,-1]. e 综上,h (a)∈[- 2 ,-1]. ?12 分 (22)解: (Ⅰ)C1:ρ(cos θ+sin θ)=4, C2 的普通方程为(x-1)2+y2=1,所以 ρ=2cos θ. π π (Ⅱ)设 A(ρ1,α),B(ρ2,α),- 4 <α< 2 , 4 则 ρ1= ,ρ2=2cos α, cos α+sin α |OB| ρ2 1 = ρ = 4 ×2cos α(cos α+sin α) |OA| 1 1 1 π = 4 (cos 2α+sin 2α+1)= 4 [ 2cos (2α- 4 )+1], |OB| π 1 当 α= 8 时, 取得最大值 4 ( 2+1). |OA| (23)解: ?12 分

? ?-3x+4,x<1, 1≤x≤2, (Ⅰ)f (x)=2|x-1|+|x-2|=?x, ?3x-4, x>2. ?
所以,f (x)在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增, 8 8 又 f (0)=f ( 3 )=4,故 f (x)≤4 的解集为{x|0≤x≤ 3 }. (Ⅱ) ①若 a>1,f (x)=(a-1)|x-1|+|x-1|+|x-a|≥a-1, 当且仅当 x=1 时,取等号,故只需 a-1≥1,得 a≥2. ②若 a=1,f (x)=2|x-1|,f (1)=0<1,不合题意. ③若 0<a<1,f (x)=a|x-1|+a|x-a|+(1-a)|x-a|≥a(1-a), 当且仅当 x=a 时,取等号,故只需 a(1-a)≥1,这与 0<a<1 矛盾. 综上所述,a 的取值范围是[2,+∞). 解法 2 f (x)≥1?f (1)=|1-a|≥1 且 a>0,解得 a≥2. ? ?-(a+1)x+2a,x<1, 1≤x≤a, 当 a≥2 时,f (x)=a|x-1|+|x-a|=?(a-1)x, ?(a+1)x-2a, x>a. ? 所以,f (x)在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增,则 f (x)≥f (1). f (x)≥1?f (1)=a-1≥1,解得 a≥2. 综上所述,a 的取值范围是[2,+∞). ?4 分

?6 分 ?7 分 ?9 分 ?10 分 ?6 分

?8 分 ?10 分

?4 分

?6 分

?8 分 ?10 分


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