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高二(上)数学理科期末复习试卷(二)


培元中学高二(上)数学(理科)期末复习试卷(二)
班级 一、选择题 号数 姓名

x2 y 2 x2 y 2 ) ? ? 1, C2 : ? ? 1, 则( 12 4 16 8 A、 C1 与 C2 顶点相同 B、 C1 与 C2 长轴长相同 C、 C1 与 C2 短轴长相同
1.已知曲线 C1 : 2. 如果 a ? b ? 0 ,那么下

列不等式成立的是( A. ) C. ?ab ? ?a 2 )

D、 C1 与 C2 焦距相同 D. ?

1 1 ? a b

B. ab ? b 2

1 1 ?? a b

1 1 3. 已知 x>1,y>1,且 lnx, ,lny 成等比数列,则 xy( 4 4 A.有最大值 e B.有最小值 e C.有最大值 e

D.有最小值 e )

4. 已知双曲线的渐近线为 y ? ? 3x ,焦点坐标为(-4,0)(4,0) , ,则双曲线方程为(

A.

x2 y 2 ? ?1 8 24

B.

x1 y 2 ? ?1 12 4
2

C.

x2 y2 ? ?1 24 8

D.

x2 y 2 ? ?1 4 12
) )

5. 过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y =4x 仅有一个公共点,这样的直线有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条
2

6. 如果不等式 (m ? 1) x ? 2mx ? m ? 1 ? 0 对任意实数 x 都成立,则实数 m 的取值范围是( A. m ? ?1 B. ?1 ? m ? ?

1 2

C. m ? ?

1 2

D. m ? ?1 或 m ? ?

1 2

?x ? y ? 2 ??? ???? ? ? ? OA · OM 7. 已知 O 是坐标原点, (-1,1) 点A 若点 M (x ,y) 为平面区域 ? x ? 1 上的一个动点, 则 ?y ? 2 ?
的取值范围是( A.[-1.0] ) B.[0.1]
?

C.[0.2]

D.[-1.2] )

8. 各项均为正数的数列 ? an ? 中, 对任意 m, n ? N 都有 am? n ? a m ?an . a6 ? 64 , a9 等于 若 则 ( A. 1024 B.512 C.510 9. 给出如下四个命题:其中不正确的命题的个数是( ... ①若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题; ②命题“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ”的否命题为“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ”; ③“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ” ; ④在△ ABC 中,“ A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的充要 条件. A.4 B.3 C.2 D.256 )

D.1

10. 若正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 AA1 ? 2 AB ,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于( )

A.

2 3

B.

3 3
?

C.

2 3
?

D.

1 3

11. 已知 a,b 为非零向量,则“函数 f ( x) ? ( ax ? b) 2 为偶函数”是“ a ? b ”的(

?

?



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12. 设圆锥曲线 Γ 的两个焦点分别为 F1,F2.若曲线 Γ 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶ 3∶2,则曲线 Γ 的离心率等于( ) 1 3 A. 或 2 2 二、填空题
2 13、已知命题 p : ?x ? ?1, 4? , x ? a ,命题 q : ?x ? R, x ? 2ax ? 2 ? a ? 0, 若命题“ p且q ”是真

2 B. 或 2 3
2

1 C. 或 2 2

2 3 D. 或 3 2

命题,则实数 a 的取值范围为

.

2 14. 设抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 M 在 C 上, MF ? 5 ,若以 MF 为直径的圆过

点 (0,2) ,则抛物线 C 的方程为 15. 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,点 P 在线段 D1E 上,点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为_______.

D1

C1
P
?

A1

B1

x2 16. 如图, F1 , F2 是椭圆 C1 : ? y 2 ? 1 与双曲线 C 2 的公共焦 4
点, A, B 分别是 C1 , C 2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1 BF2 为矩形,则 C 2 的离心率是 17. 如图,互不相同的点 A1 , A2 ?, X n ,? 和 B1 , B2 ?, Bn ,? 分别在角 O 的两条边上,所有 An Bn 相互平行,且所有梯形 An Bn Bn ?1 An ?1 的面积均 相等.设 OAn ? an . 若 a1 ? 1, a2 ? 2, 则数列 ? an ? 的通项公式是_________.

D

A
y A F1 O

B

E

C

F2 B

x

(第 16 题图)

18 、 若 P 为 双 曲 线

x2 y 2 ? ?1 的 右 支 上 一 点 , M , N 分 别 是 圆 9 16

( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 和 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 1 上的点,则 PM ? PN 的最大值为

三、解答题: 19. 在等差数列 ?a n ?中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 ?bn ? 的各项均为正数, b1 ? 1 ,公 比为 q ,且 b2 ? S 2 ? 12 , q ?

S2 1 1 1 2 1 . (Ⅰ)求 a n 与 bn ; (Ⅱ)证明: ≤ ? ??? ? b2 Sn 3 3 S1 S 2

20. (本小题满分 12 分)如图,已知点 F (1 0) ,直线 l : x ? ?1 , P 为平面上的动点,过 P 作直 ,

QF ? FP?FQ . 线 l 的垂线,垂足为点 Q ,且 QP?
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A,B 两点,交直线 l 于点 M ,已知

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

l

y

F

???? ??? ???? ? ??? ? MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,求 ?1 ? ?2 的值.

?1 O

1

x

21.如图,在四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB / / DC , AA1 ? 1 , 侧棱 AA1 ? 底面ABCD ,

AB ? 3k , AD ? 4k , BC ? 5k , DC ? 6k (k ? 0) ,且 E 为 DC 的中点.
(1)求证: CD ? 平面ADD1 A1 ; (2)若直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值为

6 ,求 k 的值; 7

(3)试问在线段 B1C 是否存在点 P,使得 AP⊥A1E ?若存在,求

B1 P 的值;若不存在,请说明理由. B1C

22. 2008 年 5 月 12 日四川省汶川县发生了 8.0 级大地震,牵动了全国各地人民的心.为了安置广 大灾民,抗震救灾指挥部决定建造一批简易房(每套长方体状,房高 2.5 米),前后墙用 2.5 米高的 彩色钢板,两侧用 2.5 米高的复合钢板,两种钢板的价格都用长度来计算(即钢板的高均为 2.5 米, 用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格), 每米单价: 彩色钢板为 450 元, 复合钢板为 200 元. 房 顶用其他材料建造,每平方米材料费为 200 元.每套房材料费控制在 32000 元以内,试计算: (1)设房前面墙的长为 x,两侧墙的长为 y,所用材料费为 P,试用 x,y 表示 P; (2)求简易房面积 S 的最大值是多少?并求 S 最大时,前面墙的长度应设计为多少米?

x2 y2 3 23. 如图,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,以椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T: a b 2 2 2 2 (x+2) +y =r (r>0),设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N. (1)求椭圆 C 的方程;
(2)求 TM · TN 的最小值,并求此时圆 T 的方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M,N 的任意一点,且直线 MP,NP 分别与 x 轴交于点 R, , 为坐标原点, S O 求证: OR|·|OS|为定值. |

????

??? ?

培元中学高二(上)数学(理科)期末复习试卷(二)
一、选择题: 小题,每小题 5 分,共 60 分) (8 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 B 9 B 10 B 11 C 12 A

答案 D D B A C B D 二、填空题:(本题有6小题,每小题4分,共24分)
13、 a ? 1 或 a ? ?2 14、 y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 16 x

15、

2 5 5

16、 三、解答题 19、

6 2

17、 a n ?

3n ? 2 , n ? N *

18、

QF ? FP?FQ 得: 20.解法一: (Ⅰ)设点 P( x,y ) ,则 Q(?1 y) ,由 QP? ,

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

( x ? 1, ? , y) ? ( x ? 1,y)? ?2,y) ,化简得 C : y 2 ? 4 x . 0) (2 ? (
(Ⅱ)设直线 AB 的方程为: x ? my ? 1(m ? 0) .

, 设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,又 M ? ?1 ?

? ?

2? ?, m?

? y 2 ? 4 x, ? y1 ? y2 ? 4m, 2 2 联立方程组 ? , 消去 x 得: y ? 4my ? 4 ? 0 ,? ? (?4m) ? 12 ? 0 , ? 故 ? y1 y2 ? ?4. ? x ? my ? 1, ???? ??? ???? ? ??? ? 由 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF 得:

y1 ?

2 2 2 2 , ?2 ? ?1 ? , ? ??1 y1 , y2 ? ? ??2 y2 ,整理得: ?1 ? ?1 ? my1 my2 m m

2?1 1 ? 2 y1 ? y2 2 4m ? ?2 ? ? ?0. ? ? ? ? ?2 ? ? m ? y1 y2 ? m y1 y2 m ?4 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? QF ? FP?FQ 得: FQ? PQ ? PF ) ? 0 , ( 解法二: (Ⅰ)由 QP? ? ?1 ? ?2 ? ?2 ?
??? ? ??? ? ??? 2 ??? 2 ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ( PQ ? PF )? PQ ? PF ) ? 0 ,? PQ ? PF ? 0 ,? PQ ? PF . (
所以点 P 的轨迹 C 是抛物线,由题意,轨迹 C 的方程为: y ? 4 x .
2

???? ??? ? MA ?1 AF ???? ??? ???? ? ??? ? (Ⅱ)由已知 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,得 ?1 ? 2 ? 0 .则: ???? ? ? ? ??? .????① ? MB ?2 BF ???? ???? ??? ? MA AA1 AF 过点 A,B 分别作准线 l 的垂线,垂足分别为 A1 , B1 ,则有: ???? ? ???? ? ??? .????② ? MB BB1 BF ??? ? ??? ? ?1 AF AF 由①②得: ? ??? ? ??? ,即 ?1 ? ?2 ? 0 . ? ? ?2 BF BF
21、 【答案】解:(Ⅰ)取 CD 中点 E ,连接 BE

Q AB / / DE , AB ? DE ? 3k ? 四边形 ABED 为平行四边形 ? BE / / AD 且 BE ? AD ? 4k
在 VBCE 中, Q BE ? 4k , CE ? 3k , BC ? 5k

? BE 2 ? CE 2 ? BC 2

??BEC ? 90? , 即 BE ? CD , 又 Q BE / / AD , 所 以 CD ? AD
Q AA1 ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD ? AA1 ? CD ,又 AA1 I AD ? A , ? CD ? 平面 ADD1 A1
(Ⅱ)以 D 为原点, DA, DC , DD1 的方向为 x, y, z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系

uuu uuu uuur r r

A(4k , 0, 0) , C (0, 6k , 0) , B1 (4k ,3k ,1) , A1 (4k , 0,1)
所以 AC ? (?4k , 6k , 0) , AB1 ? (0,3k ,1) , AA1 ? (0, 0,1)

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r ? AC ? n ? 0 ? 设平面 AB1C 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则由 ? uuu r ? AB1 ? n ? 0 ?
得?

??4kx ? 6ky ? 0 取 y ? 2 ,得 n ? (3, 2, ?6k ) ? 3ky ? z ? 0

uuu r uuu r AA1 , n r 设 AA1 与平面 AB1C 所成角为 ? ,则 sin ? ?| cos? AA1 , n? |? uuu | AA1 | ? | n |
? 6k 36k ? 13
2

?

6 ,解得 k ? 1 .故所求 k 的值为 1 7

22、 【解析】1 P=2 x ? 450+2 y ? 200+xy ? 200 ??

=900 x+400 y+200 xy, 即P=900 x+400 y+200 xy.

? 2 ? 依题意,S=xy,且P ? 32000,
则可得P=200S+900 x+400 y ? 200S+2 900 ? 400S,

得200 S+1200 S ? P ? 32000, 即( S ) 2+6 S-160 ? 0,? S ? 10,得S ? 100, 0 ?900 x ? 400 y 20 当且仅当 ? ,即x ? 时,S 取最大值. 3 ? xy ? 100 答:简易房面积S的最大值为100平方米, 此时前面墙的长度应设计为
c a

20 米. 3
3 , 2

23、解:(1)依题意,得 a=2,e= = ∴c= 3,b= a -c =1.
2 2

故椭圆 C 的方程为 +y =1. 4 (2)易知点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M(x1,y1),N(x1,-y1),不妨设 y1>0. 由于点 M 在椭圆 C 上,∴y =1- .(*) 4
2 1

x

2 2

x2 1

由已知 T(-2,0),则 TM ,=(x1+2,y1), TN ,=(x1+2,-y1), ∴ TM ,· TN ,=(x1+2,y1)·(x1+2,-y1)=(x1+2) -y1 2 8?2 1 5? ? x1? 5 2 2 =(x1+2) -?1- ?= x1+4x1+3= ?x1+ ? - . 5? 5 4? ? 4? 4 ???? ??? ? 8 1 由于-2<x1<2,故当 x1=- 时, TM ,· TN ,取得最小值- . 5 5 8 3 13 ? 8 3? 2 把 x1=- 代入(*)式,得 y1= ,故 M?- , ?,又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得 r = . 5 5 25 ? 5 5? 13 2 2 故圆 T 的方程为(x+2) +y = . 25 y0-y1 (3)设 P(x0,y0),则直线 MP 的方程为:y-y0= (x-x0), x0-x1 x1y0-x0y1 x1y0+x0y1 x2y2-x2y2 1 0 0 1 令 y=0,得 xR= ,同理:xS= ,故 xR·xS= 2 2 .(**) y0-y1 y0+y1 y0-y1 2 2 2 2 又点 M 与点 P 在椭圆上,故 x0=4(1-y0),x1=4(1-y1), 代入(**)式, 2 2 2 2 2 2 4? 1-y1? y0-4? 1-y0? y1 ?y0-y1? 得 xR·xS= =4? 2 2?=4. 2 y0-y2 1 ?y0-y1? 所以|OR|·|OS|=|xR|·|xS|=|xR·xS|=4 为定值.

????

??? ?

????

??? ?

2

2


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