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9.9 圆锥曲线综合问题选讲(二)


2011届高考热点专题讲座

授课人:李福国

题型一 圆锥曲线中定值问题
在圆锥曲线中,有一类曲线系方程,对其参 数取不同值时,曲线本身的性质不变;或形态发 生某些变化,但其某些固有的共同性质始终保持 着,这就是我们所指的定值问题. 圆锥曲线中的几何量,有些与参数无关, 这就构成了定值问题.它涵盖两类问题,一是动 曲线经过定点

问题;二是动曲线的某些几何量 的斜率、长度、角度、距离、面积等为常数问 题.
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题型一 定点、定值问题
例1.已知A(1, ,B(?1, ,P是平面上一动点,且满足 0) 0) ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? PA ? BA ? PB ? AB. (1)求点P的轨迹C的方程; (2)已知点M (m, 在曲线C上,过点M 作直线l1、l2 2) 与C交于D、E两点,且l1、l2的斜率k1、k2满足k1k2 ? 2, 求证:直线DE过定点,并求此定点. y
M
O

D 主页 E

x

??? ? ??? ? (1)解: P( x,y),则 PA ? (1? x, y), ? (?1? x, y), 设 ? PB ?

??? ? ??? ? AB ? (?2,, ? (2,. 0) BA 0)
??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 因为 PA ? BA ? PB ? AB,
2 2

y
P
B
O

A

x

所以 (1 ? x) ? y ? 2 ? 2( x ? 1),

即y ? 4 x.
2

?

所以点P的轨迹C的方程为y ? 4x.
2

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2 y12 y2 (2)证明:由(1)知M (1, ,设D( ,y1 ),E ( ,y2 ), 2) 4 4

y1 ? 2 y2 ? 2 所以k1k2 ? 2 ? 2 ? 2, 整理得 ( y ? 2)( y ? 2) ? 8. ① 1 2 y1 y2 ?1 ?1 4 4 y1 ? y2 kDE ? 2 ? 4 ? k,? y1 ? y2 ? 4 . ② 2 y1 y2 y1 ? y2 k ? y 4 4 M 8

由①②知 y1 y2 ? 4 ? .

y12 所以直线DE的方程为y ? y1 ? 4 ( x ? ), y1 ? y2 4

k

O

D
E

x

整理得 4x ? y1 ? y2)y ? y1 y2 ? 0, (

亦即4 x ? 4 y ? 4 ? 8 ? 0, 即( x ? 1)k ? ( y ? 2) ? 0. k k

所以直线DE过定点(?1, ? 2).
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y2 【1】已知椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分 a b 别为 F1、F2,短轴端点分别为 A、B,且四边形 F1AF2B 是
2

边长为 2 的正方形. (I)求椭圆的方程; (II)若 C、D 分别是椭圆长轴的左、右端点,动点 M ???? ??? ? ? ???? ??? ? ? 满足 MD ? CD ? 0 ,连结 CM 交椭圆于 P,证明 OM ? OP 为 定值(O 为坐标原点) ; (III)在(II)的条件下,试问在 x 轴上是否存在异 于点 C 的定点 Q, 使得以线段 MP 为直径的圆恒过直线 DP、 MQ 的交点,若存在,求出 Q 的坐标,若不存在,说 明理 由. (此问选作)
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解: (1)如图,由题知 2b ? 2c ? 2 2,

?b ? c ? 2, a ? 2,
y

y2 ? 1. 所以椭圆的方程为 x ? 4 2
2

C

F1

o

F2

D x

B

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(2)由(1)知 C (?2,0), D(2,0) , 则可设 lCM : y ? k( x ? 2), P( x1 , y1 ). C ? MD ? CD, ? M (2, 4k ).

y P M

o

D x

? x2 y2 ? ? ?1 B 2 2 2 2 由? 4 2 , 得(1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 4 ? 0, ? y ? k ( x ? 2) ?
2 2

???? ??? ? ? 2 4(1 ? 2k 2 ) ? OM ? OP ? 2 ? 2 ? 4k 2 ? 4k ? 4k 2 ? ? 4, 2 1 ? 2k 1 ? 2k ???? ??? 1 ? 2k ? ?

??2 x1 ? 8k ? 4 ,即x1 ? 2 ? 4k2 . 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 y1 ? k ( x1 ? 2) ? 4k 2 ,? P ( 2 ? 4k 2 , 4k 2 ). 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k
所以 OM ? OP 为定值.

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y M P

C

o Q

2

D

x

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(3)设 Q( x0 ,0)且x0 ? ?2 , ???? ??? ? ? 由题知 MQ ? DP,?QM ? DP ? 0 成立.

??? ???? ? ? 由DP ? QM

y M P

?8k 2 ? 4k ? 4k ? 0, ? (2 ? x0 ) ? 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k

即 8k 2 x0 ? 0恒成立, 1 ? 2k 解之,得 x0 ? 0.
的交点.
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2

C

o Q

2

D

x

所以 存在Q(0,0) 使得以 MP 为直径的圆恒过 DP、MQ

【2】(本小题满分 12 分) 以 F1 (0, ?1) , F2 (0,1) 为焦点的椭圆 C 过点 P( 2 ,1) . 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 S (? 1 , 0) 的动直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点, 3 试问:在坐标平面上是否存在一个定点 T,使得无论 l 如何转 动,以 AB 为直径的圆恒过点 T ? 若存在,求出点 T 的坐标; 若不存在,请说明理由.
F2 S O F1

y

x

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y 2 x2 解: (Ⅰ)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , a b
由已知 c=1,

2 ) 2 ? 22 ? ( 2 ) 2 ? 02 ? 2 2 . y 又 2a= ( 2 2 F2
所以 a= 2 , b2 ? a 2 ? c2 ? 1 .
S O F1

x

y2 椭圆 C 的方程是 + x2 =1. (4 分) 2
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(Ⅱ)若直线 l 与 x 轴重合,则以 AB 为直径的圆是 x2+y2=1, 若直线 l 垂直于 x 轴,则以 AB 为直径的圆是

( x ? 1 )2 ? y 2 ? 16 . 3 9
? x 2 ? y 2 ? 1, ? x ? 1, ? 由? 1 2 16 解得 ? 2 ?y ? 0 ?( x ? ) ? y ? , 3 9 ?
即两圆相切于点(1,0). 因此所求的点 T 如果存在,只能是(1,0). 证明如下: 分) (7
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y
F2 S O A F1

B

x

当直线 l 垂直于 x 轴时,以 AB 为直径的圆过点 T(1,0). 若直线 l 不垂直于 x 轴,可设直线 l: y ? k ( x ? 1 ) . 3

1 ? ? y ? k ( x ? 3 ), ? 由? 2 y ? x2 ? ? 1. ? ? 2

2 2 即 (k 2 ? 2) x 2? 2 k x ? 1 k ? 2 ? 0 . 3 9 y

记点 A(x1,y1),

? ? 2 k2 ?x ? x ? 3 , ? 1 2 k2 ? 2 B(x2,y2), 则 ? 1 k2 ? 2 ? ? x1 x2 ? 9 2 . k ?2 ?

F2 S O A F1

B

x

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??? ??? 又因为 TA ? ( x1 ?1, y1 ) , TB ? ( x2 ? 1, y2 ) ,

??? ??? TA · ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 TB

? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? k 2 ( x1 ? 1 )( x2 ? 1 ) 3 3

k 2 ? 1)( x ? x ) ? 1 k 2 ? 1 ? (k ? 1) x1 x2 ? ( 1 2 3 9
2

1 k2 ? 2 ? 2 k2 2 9 k 2 ? 1) 3 ? 1 k 2 ? 1 ? 0 (11 分) ? (k ? 1) 2 ?( . 2 3 9 k ?2 k ?2

所以 TA⊥TB,即以 AB 为直径的圆恒过点 T(1,0). 所以在坐标平面上存在一个定点 T(1,0)满足条件.
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【3】已知两点 A(0, ?1) 、 B(0,1) ,点 P 为坐标平面内的
??? ? ??? ??? ??? ? ? ? 动点,满足 | AB | ? | BP |? AB?AP .

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若点 C 是直线 y ? 2 x ? 5 上任意一点,过点 C 作点 P 的轨迹的两切线 CM、CN,M、N 为切点,D 为 MN 的中点.求证:CD// y 轴或 CD 与 y 轴重合; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,直线 MN 是否恒过定点? 若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.
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(Ⅰ)解:设 P( x, y) , ??? ? ??? ? ??? ? 则 AB ? (0, 2) , BP ? ( x, y ?1) , AP ? ( x, y ? 1) .
??? ? ??? ??? ??? ? ? ? 由 | AB | ? | BP |? AB ? AP ,

得 2 ( x ? 1) ? y ? 2( y ? 1) ,
2 2

y

化简得 x2 ? 4 y .
所以动点 P 的轨迹方程为 x2 ? 4 y .

o

x

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(Ⅱ)解:设切点坐标为 ( x0 , 1 x0 2 ) ,则过该切点的切线斜 4 率是 1 x0 ,该切线方程是 y ? 1 x02 ? 1 x0 ( x ? x0 ). y 2 4 2

又设点 C 的坐标是 (t , 2t ? 5) , N 2 ? 切线过点 C,有 2t ? 5 ? 1 x0 ? 1 x0 (t ? x0 ). 4 2 M 2 o 化简,得 x0 ? 2tx0 ? 8t ? 20 ? 0. 1 x 2 ) 、 (x , 1 x 2 ) , C 设 M、N 两点的坐标分别是 ( x1 , 1 2 4 4 2 则 x1 、 x2 为方程 x 2 ? 2tx ? 8t ? 20 ? 0 的两根.

x

? x1 ? x2 ? 2t , x1x2 ? 8t ? 20, 得 xD ? x1 ? x2 ? t.
2

因此,当 t ? 0 时,直线 CD 与 y 轴重合; 当 t ? 0 时,直线 CD 与 y 轴平行.
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(3)? yD ? 1 ( 1 x12 ? 1 x22 ) ? 1 [( x1 ? x2 )2 ? 2 x1 x2 ] 2 4 4 8 y ? 1 [4t 2 ? 2(8t ? 20)] ? 1 t 2 ? 2t ? 5 . 8 2

1 t 2 ? 2t ? 5) ? 点D的坐标为(t , 2
又k MN 1x2?1x 2 4 1 4 2 ? x1 ? x2 ? 1 ? 2t ? 1 t , ? 4 4 2 x1 ? x2
M

N

o
C

x

所以直线 MN 的方程为 y ? ( 1 t 2 ? 2t ? 5) ? 1 t ( x ? t ) , 2 2

即(x ? 4) ? 10 ? 2 y ? 0. t
此方程恒过定点(4,5). 所以对任意实数t,直线MN 恒过定点(4,5).
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y 2 x2 【4】设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的两 a b ? ? ? x y ? x y 点, s ? ( 1 , 1 ), t ? ( 2 , 2 ) ,且 s ? t ? 0 ,椭圆的离心率 e ? 3 , 短轴 2 b a b a 长为 2. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)O 为坐标原点, 试问 ?ABC 的面积是否为定值?若是, 求出该定值;若不是,说明理由.

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? ? x x y1 y2 y1 y2 1 2 (2) 由已知 s ? t ? ? ? ? ? x1 x2 ? ? 0. b b a a 4

y
B

F1

o

F2 A

x

? y ? kx ? m , ? 由 ? y2 ,得 (k 2 ? 4) x 2 ? 2kmx ? m2 ? 4 ? 0 , ? x2 ? 1 ? ?4 2km , x x ? m 2 ? 4 . ? x1 ? x2 ? ? 2 k ? 4 1 2 k2 ? 4
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? ? x y x 2 y2 y1 y2 1 1 由 s ? t ? ( , ) ? ( , ) ? x1 x2 ? b a b a 4

2km , x x ? m 2 ? 4 x1 ? x2 ? ? 2 k ? 4 1 2 k2 ? 4

y
B F1

1 k 2 x x ? 1 km( x ? x ) ? 1 m 2 ? 0, ? x1 x2 ? 1 2 1 2 4 4 4 得 2m 2 ? k 2 ? 4.
△? 4k 2m2 ? 4(k 2 ? 4)(m2 ? 4) ? 16(k 2 ? m2 ? 4) ? 16m2 ? 0. ? S△ ABC ? 1 | m || x1 ? x2 | ? 1 | m | ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 2 2
| m | 4k 2 ? 4m 2 ? 16 4m 2 ? 1, ? ? 2 2m k ?4

? x1 x2 ? 1 (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 4

o
A

F2

x

所以 △ ABC 的面积为定值 1.
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2km , x x ? m 2 ? 4 x1 ? x2 ? ? 2 k ? 4 1 2 k2 ? 4 | AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |
? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ,

y
B F1

o

A k ?1 |m| ? S△ ABC ? 1 d | AB | ? 1 ? ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 , 2 2 k2 ? 1 ? 1 | m | ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 2
2

O到AB的距离 d ?

|m|

F2

x

,

| m | 4k 2 ? 4m 2 ? 16 4m 2 ? 1, ? ? 2 2m k ?4

所以 △ ABC 的面积为定值 1.
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【5】(本小题满分 14 分)

x2 y 2 如图, 已知直线 l : x ? my ? 1过椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 的右焦点 F , a b 抛物线:x2 ? 4 3 y 的焦点为椭圆 C 的上顶点, 且直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点,点 A 、 F 、 B 在直线 g : x ? 4 上的射影依次为点 D 、 K、E . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; ???? ??? ???? ? ??? ? (Ⅱ)若直线 l 交 y 轴于点 M ,且 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,当

m 变化时,探求 ?1 ? ?2 的值是否为定值?若是,求出 ?1 ? ?2 的值,
否则,说明理由; (Ⅲ)连接 AE 、 BD ,试探索当 m 变化时,直线 AE 与 BD 是 否相交于定点?若是,请求出定点的坐标,并给予证明;否则, 说明理由.(此问选作)
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解: (Ⅰ)易知椭圆右焦点 F (1,0), ∴c ? 1.
2

抛物线 x ? 4 3 y 的焦点坐标 0, 3 ,

?

?

?b ? 3, ?b ? 3. 2 2 2 ? a ? b ? c ? 4. x2 y 2 ? 1. ? 椭圆 C 的方程 ? 4 3
2

???3 分

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(Ⅱ)易知 m ? 0 ,且 l 与 y 轴交于 M (0, ? 1 ) , m 设直线 l 交椭圆于 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

? x ? my ? 1, ? 2 2 由?x , 得 ? 3m2 ? 4 ? y 2 ? 6my ? 9 ? 0. y ?1 ? ? 3 ?4 2 ? ? ? ? 6m ? ? 36 3m 2 ? 4 ? 144 m 2 ? 1 ? 0.

?

?

?

?

m ? y1 ? y2 ? ? 62 , y1 ? y2 ? ? 9 . 2 3m ? 4 3m ? 4 ???? ??? ? 又由 MA ? ?1 AF, ( x1 , y1 ? 1 ) ? ?1 ?1 ? x1 , ? y1 ? , ? m
? ?1 ? ?1 ? 1 . my1

同理

?2 ? ?1 ? 1 .
my2

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? ?1 ? ?2 ? ?2 ? 1 ( 1 ? 1 ). m y1 y2
1 ? 1 ? y1 ? y2 ? ? 6m ? ( ? 3m 2 ? 4 ) ? 2m . ? y1 y2 y1 y2 9 3 3m 2 ? 4

? ?1 ? ?2 ? ?2 ? 1 ( 1 ? 1 ) ? ?2 ? 1 ? 2m ? ? 8 . m y1 y2 m 3 3
所以当 m 变化时, ?1 ? ?2 的值为定值 ? 8 . 3 ??10 分

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y2 x2 【6】如图,已知曲线 C1: 2 + 2 =1 (a>b>0,y≥0)与抛 a b 物线 C2:x2=2py(p>0)的交点分别为 A,B.曲线 C1 和抛物线 C2 在点 A 处的切线分别为 l1 和 l2, l1 和 l2 的斜率分别为 k1 和 k2. 且 (1)当曲线 C1 的离心率 e ? 1 时,证明 k1·2 为定值,并求出 k 2 这个定值; (2)若直线 l2 与 y 轴的交点为 D(0, ?2) ,当 a2+b2 取得最小值 9 时,求曲线 C1 和 C2 的方程.

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1 a2 , 即 a 2 ? 4 . ?a ? b ? 4 b2 3
2 2

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题型一 圆锥曲线中定值问题

点评对于圆锥曲线的最值问题,有两条求解思
路:一是直接根据题设条件,进行一般性的计 算或证明,得到所求结论与参数无关;二是运 用辩证的观点去思考分析,在动点的变化中寻 求定值的不变性,利用特殊取值、极端位置、 特殊图形等先确定出定值,然后寻求方法进行 一般性的论证. 与圆锥曲线有关的定点问题的探求一般途 径是恰当引入参变量,将题设转化为坐标关系 式,然后通过分析参变量取符合题设条件的任 何一个值时,坐标关系式恒成立的条件,而获 得定点坐标.
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题型二、最值与范围问题
【例2】(07 陕西)

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【例2】(07 陕西)

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1? 3 ? 3 ? 3. 此时S ? 2 2 4

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?| AB |2 ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 )2

? (1 ? k )
2

S ? 1 ? 2? 3 ? 3 . 2 2 2
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x2 y 2 【1】已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 a b 2 a 2 的距离为 3. ,且右焦点 F 到直线 x ? ? e? c 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)又已知点 A 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一点,直 线 FA 与椭圆 C 的交点 B 在 y 轴的左 侧 ,且满足 ??? ? ??? ? AB ? 2FA, 求p 的最大值.

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x2 y 2 解: (1)? 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的离心率e ? 2 , a b 2

c 2 ? ? . ① a 2 2 a2 ? 3. ② 右焦点到直线 x ? ? a 的距离 d ? c ? c c 由①②解之得 a ? 2, c ? 1, 从而b ? 1.
x2 从而所求椭圆方程为 ? y 2 ? 1. 2

2 设 c ? 2k , a ? 2k ? k ? 2
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( 2 ) 椭 圆 的 右 焦 点 为 F(1,0), 点 B 在 椭 圆 x2 ? y 2 ? 1( x ? 0) 上, 2

设B( x0 , y0 ), 其中 ? 2 ≤ x0 ? 0. ??? ? ??? ? 由AB ? 2FA, 得 ( x0 ? xA , y0 ? yA ) ? 2 ( xA ?1, yA ),
2 y0 x0 ? 2 2 由点A在抛物线y ? 2 px上, 得 ? 2 p ? . 9 3 2 2

x0 ? 2 y0 ? xA ? , yA ? . 3 3

x0 2 ? x0 又 y ? 1 ? , ?12 p ? . 2 x0 ? 2
2 0

令t ? x0 ? 2, 则2 ? 2 ≤ t ? 2.
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1 2 即 p ? ? [( x0 ? 2) ? ? 4] 12 x0 ? 2 1 2? 2 ≤? (2 2 ? 4) ? . 12 6 2 ( ? 2 ≤ x0 ? 0), 当且仅当 x0 ? 2 ? x0 ? 2
1 2 . 即 x0 ? 2 ? 2 时取“=”. ? p ≤ ? 3 6
[来源:学_科_网]

1 2 故 p 的最大值为 ? . 3 6
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x2 y 2 【2】 (14 分)已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长为 4 , a b 离心率为 1 , F1 , F2 分别为其左右焦点.一动圆过点 F2 ,且与直线 2 x ? ?1 相切. (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)求动圆圆心轨迹 C 的方程; (Ⅲ) 在曲线 C 上有两点 M,N, 椭圆 C1 上有两点 P,Q, 满足

MF2 与 NF2 共线, PF2 与 QF2 共线,且 PF2 ? MF2 ? 0 ,求四边形 PMQN 面积的最小值.

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?2a ? 4, ? 解: (Ⅰ)由已知可得 ? c?1 , ?e ? a 2 ?
?a ? 2, ?? ?c ? 1.
? b2 ? a 2 ? c 2 ? 3.

x2 y2 ? ?1. 则所求椭圆方程 C1 : 4 3

--------3 分

(Ⅱ)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线,且抛物线 C 的焦点 为 (1,0) ,准线方程为 x ? ?1 , 所以动圆圆心轨迹方程为 C : y 2 ? 4 x . --------6 分

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(Ⅲ)当直线 MN 的斜率不存在时, | MN |? 4 , 此时 PQ 的长即为椭圆长轴长, | PQ |? 4 . 从而 SPMQN ? 1 | MN | ? | PQ |? 1 ? 4 ? 4 ? 8 2 2 设直线 MN 的斜率为 k, 则 k≠0,
则直线 MN 的方程为: y ? k ( x ? 1) , 直线 PQ 的方程为 y ? ? 1 ( x ? 1), k 设 M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ), P( x3 , y3 ), Q( x4 , y4 )

---8 分

? y ? k ( x ? 1) 由? 2 , 消去 y 可得 k 2 x 2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 . ? y ? 4x

由抛物线定义可知:
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由抛物线定义可知:
2k 2 ? 4 ? 2 ? 4 ? 4 . | MN |?| MF2 | ? | NF2 |? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? k2 k2
? y ? ? 1 ( x ? 1), k ? 由? 2 y2 ?x ? ? 1. 4 3 ?
消去 y 得 (3k 2 ? 4) x 2 ? 8x ? 4 ? 12k 2 ? 0 ,

12(1 ? k 2 ) 从而| PQ |? 1 ? ( ? 1 )2 | x ? x |? . 3 4 2 k 3k ? 4 12(1 ? k 2 ) ? S PMQN ? 1 | MN | ? | PQ |? 1 (4 ? 42 ) 2 2 k 3k 2 ? 4 (1 ? k 2 ) 2 ? 24 4 3k ? 4k 2 2 令 1 ? k ? t , ∵ k ? 0, 则 t ? 1 .
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24t 2 则 SPMQN ? 1 | MN | ? | PQ | ? 2 3(t ? 1) 2 ? 4(t ? 1) 24t 2 24 ? 2 ? . 3t ? 2t ? 1 3 ? 2 ? 1 t t2 ? 3 ? 2 ? 1 ? 4 ? (1 ? 1 )2 ? (0,3). t t2 t 24 ? S PMQN ? ? 8. 3? 2 ? 1 t t2
所以四边形PMQN面 积的最小值为8. ---14分
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题型二、最值与范围问题
y2 【3】 (09 济宁)椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 a b ??? ???? ? x ? y ? 1 ? 0 相交于 P 、 Q 两点,且 OP ? OQ ( O 为坐标 原点).
2

1?1 (Ⅰ)求证: 2 2 等于定值; a b
(Ⅱ)当椭圆的离心率 e ? [ 3 , 2 ] 时, 求椭圆长轴长 3 2 的取值范围.

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?b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 证明: (Ⅰ) ? 消去 y 得 ? x ? y ?1 ? 0

(a ? b ) x ? 2a x ? a (1 ? b ) ? 0, 2 2 4 2 2 2 2 则 ? ? 4a ? 4(a ? b )a (1 ? b ) ? 0, ? a ? b ? 1. 设 P( x1, y1), Q( x2 , y2 ),
2 2 2 2 2 2

由 OP ? OQ ? 0,则 x1x2 ? y1 y2 ? 0, 即 x1x2 ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 0.
2a 2 (1 ? b 2 ) 2a 2 ? 1 ? 0, 则 ? 2 2 2 a ?b a ? b2

a 2 (1 ? b2 ) 则 x1 ? x2 ? 22a 2 , x1 x2 ? 2 . 2 a ?b ??? ????a ? b ?
2

化简得 2 x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0.
2 2 2 2

即 a ? b ? 2a b ,

? 12 ? 12 ? 2. a b

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c , b2 ? a 2 ? c 2 , a 2 ? b2 ? 2a 2b2 , (Ⅱ)解:由 e ? a

2 ? e2 ? 1 ? 1 a ? . 化简得 2 2 2(1 ? e ) 2 2(1 ? e )
2

3 2 5 3 2 , ] ,得 a ? [ , ] , 由 e ?[ 3 2 4 2 55 66 即 a ? [[ , , ] ]. 即a? 22 22
故椭圆的长轴长的取值范围是 [ 5, 6].

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题型二、最值与范围问题
2

x 【例3】设F1、F2分别是椭圆 ? y 2 ? 1的左、右焦点. 4 ???? ???? (1)若P是该椭圆上的一动点,求 PF1 ? PF2的取值范围; (2)设过定点M (0, 的直线l与椭圆交于不同的两点 2) A、B,且?AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜 率k的取消范围.

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解: 由方程易知 a ? 2,b ? 1 c ? (1) ,

3.

所以F (?3,,F2 (3, 设P( x,y), 0) 0). 1
??? ???? ? 则PF ? PF2 ? (? 3 ? x, y) ? ( 3 ? x, y) ? ? 1

? x ? y ?3 2 2 ? x ?1? x ? 3 4 2 ? 3x ? 2. 4 ? x ?[?2, 2], 0 ≤ x2 ≤ 4, ?
2 2

??? ???? ? ? PF ? PF2 ?[?2,1]. 1
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(2) 显然直线x ? 0不满足题设条件,

可设直线 l:y ? kx ? 2,A( x1,y1),B( x2,y2 ).
? y ? kx ? 2, 联立方程组 ? x 2 ,消去y, ? ? y2 ? 1 ? ?4

1 ) x2 ? 4kx ? 3 ? 0. 整理得 (k ? 4 ? x1 ? x2 ? ? 4k ,x1x2 ? 3 . 2 2 1 k ? k ?1 4 4 2 2 1 ) ? 3 ? 4k 2 ? 3 ? 0, 由? ? (4k ) ? 4(k ? 4 解得 k ? 3 或k ? ? 3 . ① 2 2
2

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??? ??? ? ? 又 0? ? ?AOB ? 90?, OA ? OB ? 0, ? ??? ??? ? ? ? OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0.
又y1 y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2)
2
2 2

? k x1x2 ? 2(x1 ? x2) 4 k ?

? 3k ? ?8k ? 4 ? ?k ? 1 2 2 1 k2 ? 1 k ? k ?1 4 4 4
2

3 ? ? k 2 ? 1 ? 0, ? 2 即k ? 4. 2 1 k2 ? 1 k ? 4 4



3 3 结合① ②知,k的取值范围是(?2, ? ) ? ( ,2). 2 2
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【1】已知定点F ?1,0 ? , 动点P在y轴上运动,过点P ???? ??? ? ? 作PM 交x轴于点M,并延长MP到点N,且 PM · ? 0, PF ???? ???? ? PM ? PN .

(1)求点N的轨迹方程; (参考学案P.210T9) ??? ??? ? ? (2)直线l与点N的轨迹交于A,B不同两点,若OA ? OB ? ?4,

(考虑判别式) 求直线l的斜率k的取值范围.
(3)在 (2)成立的条件下,若4 6 ≤ AB ≤ 4 30 ,求直 线l的斜率k的取值范围. (此问选做)
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???? ? ??? ? 解: )由于 PM ? PN , (1

则P为线段MN的中点,

y 设N ? x, y ?,则M ? ? x, 0 ? , P (0, ), 2 ???? ??? ? ? y y 由PM · ? 0, 得(? x, ? ) ? (1, ? ) ? 0, PF 2 2

y y ?? ? x ?·? (? ) ? (? ) ? 0, 1 2 2

? y ? 4 x.
2

所以点N的轨迹方程为y ? 4 x.
2

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? 2? 设直线l的方程是y ? kx ? m ? k ? 0? 2 2 与y ? 4 x联立消去y 得: ? m ? ? 4 x, ? kx 2 2 2 整理得k x ? ? 2km ? 4? x ? m ? 0. 设A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,
? y1 y2 ? ? kx1 ? m?? kx2 ? m?
2

2km ? 4 m 则 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 2 . 2 k k
2

? k x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m
2

2

4m km (2km ? 4) 2 ?m ? ?m ? 2 . 2 k k
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??? ??? ? ? 得 由OA· ? -4, x1 x2 ? y1 y2 ? ?4, OB 2 ? m2 ? 4m ? ?4, 即 ( m ? 2)2 ? 0, k k k

? m ? ?2k .
由于直线l与点N的轨迹交于不同的两点,

则? ? ? 2km ? 4 ? ? 4k m ? 0,即km ? 1.
2 2 2

把m ? ?2k 代入上式得 ? 2k 2 ? 1. 2 ? k ? ? 1 , 解得k ? 0. 2 所以当 k ? 0时,直线l与点N的轨迹有两个不同的交点.
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(3) AB ? ( ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 1

(2km ? 4)2 4m2 ? ? ( ? k 2 )[ 1 ? 2 ] 4 k k

( ? k )(16 ? 16km ) 1 4 k
2

?

( ? k )(16 ? 32k ) ? 4 ( ? k 2 )(2k 2 ? 1). 1 1 4 2 k k
2 2

? 4 6 ≤ AB ≤ 4 30,
( ? k 2 )(2k 2 ? 1) 1 2 ?6 ≤ ≤ 30 ? 1 ≤ k ≤ 1. , 4 k4

解得 ? 1 ≤ k ≤ ? 1 或 1 ≤ k ≤ 1. 2 2 综上,k的取值范围是{k | ?1 ≤ k ≤ ? 1 或 1 ≤ k ≤ 1}. 2 2
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【2】 (本小题满分 12 分) 如图所示,已知圆 2 2 C : ( x ? 1) ? y ? 8, 定点A(1,0), M 为圆上一动点,点 P 在 AM 上,点 N 在 CM 上,且满足

AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0,点N 的轨迹为 曲线 E. (I)求曲线 E 的方程; (II)若过定点 F(0,2)的直线交曲线 E 于不同

的两点 G、 H (点 G 在点 F、 之间)且满足 FG ? ? FH , H , 求 ? 的取值范围.

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???? ? ??? ??? ???? ? ? ? 解: (I)? AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0. ∴NP 为 AM 的垂直平分线,∴|NA|=|NM|. 又? CN | ? | NM |? 2 2,? CN | ? | AN |? 2 2 ? 2. | | 所以动点 N 的轨迹是以点 C(-1,0),A(1,0)为焦点的 椭圆.且椭圆长轴长为 2a ? 2 2 , 焦距 2c=2. ? a ? 2, c ? 1, b2 ? 1.

x 2 ? y 2 ? 1. 所以曲线 E 的方程为 2

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(II)当直线GH斜率存在时, x 2 ? y 2 ? 1, 设直线GH方程为 y ? kx ? 2, 代入椭圆方程 2

得 ( 1 ? k 2 ) x 2 ? 4kx ? 3 ? 0. 由? ? 0得k 2 ? 3 . 2 2
则 x1 ? x2 ? ?4k , x1x2 ? 3 . 1 ? k2 1 ? k2 2 2 ??? ? ???? 又 FG ? ? FH , ?( x1 , y1 ? 2) ? ? ( x2 , y2 ? 2).
2 2

设G( x1, y1), H ( x2 , y2 ),

x1 ? x2 2 x1 x2 2 ?( ) ? x2 ? . 1? ? ?

? x1 ? x2 ? (1 ? ?) x2 , x1x2 ? ? x .
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? x1 ? ? x2 .

3 ( ?4k )2 1 ? k2 1 ? k2 (1 ? ? )2 16 ? 2 ? 2 ,整理得 ? . 2 ? ? (1 ? ? ) 3( 1 2 ? 1) 2k

? k ? 3 , ? 4 ? 16 ? 16 . 2 3 ?3 3 2k 2
2

? 4 ? ? ? 1 ? 2 ? 16 ,解得 1 ? ? ? 3. 3 ? 3 又 ? 0 ? ? ? 1,? 1 ? ? ? 1. 3 又当直线GH斜率不存在,方程为 x=0, ??? ? ???? 1 FH , ? ? 1 . ? 1 ≤ ? ? 1. FG ? 3 3 3 即所求?的取值范围是[ 1 ,1). 3
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【3】 (本小题满分 12 分)
x2 y2 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,倾斜角为 45 ? 的直线 l a b 过椭圆的右焦点且交椭圆于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点. (Ⅰ)若椭圆的左顶点为( ? 2,0 ) ,离心率 e ? 1 ,求椭圆 C 2 的标准方程; ??? ? ??? ??? ? ? (Ⅱ)设向量 OP ? ? (OA ? OB) (? ? 0) ,若点 P 在椭圆上,求 ? 的取值范围.

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21. (Ι)由已知 a ? 2, e ? c ? 1 , a 2 2 2 2 ?c ? 1, b ? a ? c ? 3.
x y ………… ?1. 所以椭圆的方程是 ? 4分 4 3 (Ⅱ)直线 l 的方程是 y ? x ? c , ?y ? x ? c ? 2 2 由?x y ? 2 ? 2 ?1 b ?a 得 (b2 ? a 2 ) x 2 ? 2a 2cx ? a 2 (c 2 ? b2 ) ? 0 …6 分
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2 2

2a 2 c ?2b 2c ? x1 ? x2 ? 2 2 , 从而y1 ? y2 ? 2 2 . a ?b a ?b
??? ??? ? ? 2a 2c ?2b 2c ? OA ? OB ? ( 2 2 , 2 2 ), a ?b a ?b

??? ? ??? ??? ? ? 2? a 2c ?2? b2c OP ? ? (OA ? OB ) ? ( 2 , 2 ). 2 2 a ?b a ?b

因为P 在椭圆C上,
2? a 2c 2 ?2?b2c 2 ( 2 ) ( 2 ) 2 2 a ?b ? a ?2b ? 1. 2 a b

…… …… ……

9分

2? ac 2 ?2?bc 2 即( 2 ) ?( 2 ) ? 1. 2 2 a ?b a ?b
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?4? a c ? 4? b c ? (a ? b ) .
2 2 2 2 2 2 2 2 2

…………10分

a ? b ? 2a 2 ? c 2 ?? ? 4c 2 4c 2 ? 12 ? 1 ? 1 . 2e 4 4 ?? ? 1 . 2
2 2 2

1 即 ? 的取值范围是 ( , ??) . 2
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…………12分

【4】 (本小题满分 13 分) x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 1 ,以 2 a b 原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 P(4, 0) , A , B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的 任意两个不同的点,连结 PB 交椭圆 C 于另一点 E ,证明 直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q ; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点 Q 的直线与椭圆 C 交 ???? ???? ? 于 M , N 两点,求 OM ? ON 的取值范围.
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解: (Ⅰ)由题意知 e ? c ? 1 , a 2 c2 a 2 ? b2 1 ? . 所以 e2 ? 2 ? 2 a a 4 4 2 2 即a ? b . 3 6 又因为 b ? ? 3, 1?1 所以 a 2 ? 4 , b2 ? 3 . x2 y 2 ? 1 .???4 分 故椭圆 C 的方程为 ? 4 3
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(Ⅱ)由题意知直线 PB 的斜率存在,设直线 PB 的方 程为 y ? k ( x ? 4) . ? y ? k ( x ? 4), ? 2 由 ? x y2 得 (4k 2 ? 3) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ?12 ? 0 . ① ? ? ? 1. ?4 3 设点 B( x1 , y1 ) , E( x2 , y2 ) ,则 A( x1 , ? y1 ) . y2 ? y1 直线 AE 的方程为 y ? y2 ? ( x ? x2 ) .y x2 ? x1 y2 ( x2 ? x1 ) B 令 y ? 0 ,得 x ? x2 ? . E y2 ? y1 O P

将 y1 ? k ( x1 ? 4) , y2 ? k ( x2 ? 4) 代入,

x

A

2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) 整理,得 x ? . x1 ? x2 ? 8
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将 y1 ? k ( x1 ? 4) , y2 ? k ( x2 ? 4) 代入, 2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) 整理,得 x ? . ② x1 ? x2 ? 8
32k 2 64k 2 ? 12 由①得 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? , 2 4k ? 3 4k ? 3
y

代入②,整理得

x ? 1.

E O

B P x A

所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q(1, 0) .?9 分
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(Ⅲ)①当过点 Q 直线 MN 的斜率存在时, 设直线 MN 的方程为 y ? m( x ? 1) , 且 M ( x3 , y3 ) , N ( x4 , y4 ) 在椭圆 C 上.

y M O x

? y ? m( x ? 1), N ? 由 ? x2 y 2 得 (4m2 ? 3) x2 ? 8m2 x ? 4m2 ?12 ? 0 . ? 1. ? ? 3 ?4 易知 ? ? 144(m2 ? 1) ? 0.
8m 2 9m 2 4m 2 ? 12 ? x 3 ? x4 ? , x x ? . , y3 y4 ? ? 2 2 3 4 2 4m ? 3 4m ? 3 4m ? 3 ???? ???? ? 33 5m 2 ? 12 ? ? 5 ? . ?OM ? ON ? x3 x4 ? y3 y4 ? ? 2 2 4 4(4m ? 3) 4m ? 3

33 ? ? 0, ? m2 ≥ 0, ? 11 ≤ ? 2 4 4(4m ? 3)
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33 ? ? 0, ? m2 ≥ 0, ? 11 ≤ ? 2 4 4(4m ? 3)
11 5 33 5 ?? ≤ ? ? ?? . 2 4 4 4(4m ? 3) 4
y M O N x

②当过点 Q 直线 MN 的斜率不存在时, 其方程为 x ? 1 .解得 M (1, ? 3 ) , N (1, ? 3 ) . 2 2 ???? ???? ? 5 此时 OM ? ON ? ? . 4 ???? ???? ? 5 所以 OM ? ON 的取值范围是 [ ?4, ? ] .?14 分 4
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???? ???? ? 5 ? OM ? ON ? [?4, ? ). 4

题型二、最值与范围问题
x2 y2 【5】设 F1 , F2 分别是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 a b
3 右焦点,且椭圆上一点 P (1, ) 到 F1 , F2 两点距离之和等于 4. 2
(Ⅰ)求此椭圆方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆交于不同的两点

M 、 N ,且线段 MN 的垂直平分线过定点 G( 1 ,0) ,求 k 的取值

8

范围.

2010年4月12号
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? 2a ? 4 ? a?2 ? ? 解: (Ⅰ)由题意有 ? 1 9 ? 1 ,解得 ? ?b ? 3 ? ? a 2 ? 4b 2 ?

y M G O Q x

N ? x2 y 2 ?1 ? ? (Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,由 ? 4 3 ? y ? kx ? m ? 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 .

x y ? ? 1. ∴椭圆的方程为 4 3

2

2

∵直线 y ? kx ? m 与椭圆有两个交点,

∴ ? ? (8km)2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) ? 0 ,即 m2 ? 4k 2 ? 3 .
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又 x1 ? x2 ? ? 8km 2 , 3 ? 4k
? MN 中点 Q 的坐标为 (? 4km 2 , 3m 2 ) . 3 ? 4k 3 ? 4k 设 MN 的垂直平分线方程: y ? ? 1 ( x ? 1 ) ,

k

8

(4k 2 ? 3)2 ? 4k 2 ? 3 , 将上式代入 m ? 4k ? 3 ,得 64k 2 y
2 2

? Q 在垂直平分线上,? 3m 2 ? ? 1 (? 4km 2 ? 1 ), k 3 ? 4k 8 3 ? 4k 化简,得 4k 2 ? 8km ? 3 ? 0, 即 m ? ? 1 (4k 2 ? 3) . 8k

1 ,即 k ? 5 或 k ? ? 5 . ?k ? 10 10 20 k 的取值范围为 ( ?? , ? 5 ) ? ( 5 , ?? ) . 所以 10 10
2

M G O N Q x

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设 M ? x1 , y1 ?、N ? x2 , y2 ? , MN 的中点为 Q( x0 , y0 ) ,

? x12 y12 ?1 ? ? y0 3 1 42 32 则? 整理得: ② ?? ? x0 4 k ? x2 ? y2 ? 1 3 ?4 y0 1 又 MN ? GQ ∴ ③?9 分 ?? 1 k y x0 ? 8 M 1 ? ? x0 ? 2 G 由②、③解得 ? O 3 Q ? y0 ? ? N 8k ?
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x

由 Q( x0 , y0 ) 在椭圆内部,得:

y M G O N Q x

3 2 1 2 ( ) (? ) 2 ? 8k ? 1 4 3
1 整理得: k ? , 20
2

5 即 | k |? 10

5 ) ? ( 5 , ?? ) ? k ? ( ?? , ? 10 10
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【6】已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆,离 2 心率 e= ,且经过抛物线 x2=4y 的焦点. 2 (1)求椭圆的标准方程; (2)若过点B(2,0)的直线l(斜率不等于零)与椭圆交于 不 同 的 两 点 E 、 F(E 在 B 、 F 之 间 ) , 试 求 △ OBE 与 △OBF面积之比的取值范围.

【思路点拨】把面积比表示为坐标之间的 关系,然后根据根与系数的关系,找出面积比 与k2的关系,最后根据k2的范围求面积比的范 围.
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x 2 y2 解:(1)设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 2 c 则 e=a= ① 2 ∵抛物线 x2=4y 的焦点为(0,1), 02 12 ∴ 2+ 2=1② a b 由①②解得 a2=2,b2=1. 2 x ∴椭圆的标准方程为 +y2=1. 2

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(2)如图,由题意知直线 l 的斜率存在且不为零, 设 l 的方程为 y=k(x-2)(k≠0)③ x2 2 将③代入 +y =1 整理得 2 (2k2+1)x2-8k2x+(8k2-2)=0, 1 2 由 Δ>0 得 0<k < . 2 设 E(x1,y1),F(x2,y2),
? 8k2 ?x1+x2= 2 2k +1 ? 则? 8k2-2 ? x ?x1·2=2k2+1 ? S△



→ |BE| OBE 令 λ= ,则 λ= . S△OBF → |BF|
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→ → → x1 1-2 → =λBF,∴λ=x-2 且 0<λ<1. 由此可得BE 由此可得BE=λBF,∴λ= x2-2 0<λ<1. 且 x2-2 -4 -4 , 由④知(x1-2)+(x2-2)= 2 由④知(x1-2)+(x2-2)= 2k2+1 , 2k +1 22 . (x1-2)(x2-2)=x1 2 2-2(x1+x2)+4= 2 (x1-2)(x2-2)=x1xx-2(x1+x2)+4= 2k2+1 . 2k +1 2 2k +1 4λ 1 λ 2 ∴ ,即 k = 2= 2- . 8 (1+λ) (1+λ) 2 1 4λ 1 1 2 ∵0<k < ,∴0< 2- < . 2 (1+λ) 2 2 解得 3-2 2<λ<3+2 2. 解得 3-2 2<λ<3+2 2. 解得 3-2 2<λ<3+2 2.
又∵0<λ<1,∴3-2 2<λ<1. 又∵0<λ<1,∴3-2 2<λ<1. 又∵0<λ<1,∴3-2 2<λ<1. 所以两三角形面积之比的取值范围是(3-2 2,1). 所以两三角形面积之比的取值范围是(3-2 2,1). 所以两三角形面积之比的取值范围是(3-2 2,1).
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题型二、最值与范围问题
【07】

(智能综合检测五十四T12)
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y
D M

o
N

x

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题型二、最值与范围问题

点评解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有
两种:几何法和代数法.若题目的条件和结论能明显 体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决, 这就是几何法.若题目的条件和结论能体现一种明确 的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函 数的最值,这就是代数法.

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在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下 五个方面考虑: 1.利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的 取值范围;(如本题第(2)问) 2.利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这 类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系;(如 本题第(1)问) 3.利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数 的取值范围; 4.利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数 的取值范围; 5.利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.
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题型三、探索性问题
探索性问题包含两类题型: 一是无明确结论,探索结论问题(即只给出 条件,要求解题者论证在此条件下,会不会出 现某个结论.) 二是给定明确结论,探索结论是否存在问 题.(解答这类问题,一般要先对结论作出肯定 存在的假设,然后由此肯定的假设出发,结合 已知条件进行推理论证,若导致合理的结论, 则存在性也随之解决;若导致矛盾,则否定了 存在性.)
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存在性问题,其一般解法是先假设结论存在,用 待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标,再根据 合理的推理,若能推出题设中的结论,则假设存在的 结论成立;否则,不成立.

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题型三、存在性、探索性问题
例4. (08陕西)已知抛物线C:y ? 2 x 2,直线 y ? kx ? 2交C于A、B两点,M 是线段AB的中点, 过M 作x轴的垂线交C于点N .

(1)证明:抛物线C在点N 处的切线与AB平行; ??? ??? ? ? (2)是否存在实数k 使 NA ? NB ? 0.若存在,求出k 值; 若不存在,请说明理由.

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(1) 证明:设A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ?,中点M ? x0 , y0 ? ,
2 2 ? y1 ? y2 ? 2( x1 ? x2 ), y1 ? y2 k AB ? ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 x0 . x1 ? x2 因为点N的横坐标为x0 , 而y? ? 4x,

所以过点N的切线的斜率 k ? 4x0 ,
? k ? k AB .
即抛物线C在点N处的切线与AB平行.

? 2? 将y ? kx ? 2代入C中得,2 x
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2

? kx ? 2 ? 0.

k k , k 2 ). ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? ?1, ? N ( 4 8 2

??? ??? ? ? k) x ? k)( x 2 ? k 2 ) 2 x 2 ? k 2 ) ? NA· ? x1 ? ( 2 NB ( · ? 2 1 ( 2 ? 4 4 8 8
? ( x1 ? k ) ? ( x2 ? k ) ? [1 ? 4( x1 ? k ) ? ( x2 ? k )] 4 4 4 4 k ? x ? x ? ? k 2 ] ? [1 ? 4 x x ? k ? x ? x ? ? k 2 ] ? [ x1 x2 ? 1 2 1 2 4 1 2 16 4 k2 3 2 ? ?1? ) ? 3 ? k ) 0 ( ( ? ? 16 4

k2 2 ? ?1 ? ? 0, ??3 ? 3 k ? 0, 4 16

解得k ? ?2.
??? ??? ? ? 所以存在k ? ?2,使NA· ? 0. NB
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y2 ∶ 【01】 (09· 全国)已知椭圆 C x 2 + 2 =1? a>b>0 ? 的 a b 离心率为 3 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两 3 2 . 点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 2 (Ⅰ) 求 a,b 的值; (Ⅱ) C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置 ??? ??? ??? ? ? ? 时,有 OP=OA OB 成立?若存在,求出所有的 P 的坐标 + 与 l 的方程;若不存在,说明理由.
2

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解: 因为(c,0), (c ? 0且a -b =c ), (1) F
2 2 2

所以当直线l斜率为 时,l方程为 y ? x ? c. 1
c 2 依题意有 ? , 得c ? 1. 2 2

c ? 3 ,? a ? 3. 又c ? a 3

b ? 3 ? 1 ? 2.
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x y (2) ① 椭圆 C 的方程为 ? ? 1. 3 2 2 3 2 3 若直线l垂直于x轴, 则点A(1, ), B(1, ? ), 3 3 此时点 P(2,0)不在椭圆上,
所以此种情况下满足条件的点 P不存在.

2

2

②当斜率k 存在时,直线l的方程为y=k(x-1),

??? ??? ??? ? ? ? 若存在点P( x0 , y0 ) ?C, 则由OP OA OB, = +

设点(x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), A

可得x0 ? x1 ? x2 , y0 ? y1 ? y2 .
由椭圆C和直线l两个方程联立消y得,
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(2+3k ) x ? 6k x ? 3k ? 6 ? 0. 显然? ? 0.
2 2 2 2

4k . 2 2 ? 3k 将x0 , y0代入椭圆方程并整理得 3k 4 ? 4k 2 ? 4 ? 0,

6k 2 从而有x0 ? x1 ? x2 ? , 2 2 ? 3k y0 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? ?

解得k ? ? 2.

所以当直线l不垂直于x轴时,满足条件的点P存在. 3 2 且当k ? 2时点P( , ? ), 直线l : y ? 2 x ? 2; 2 2 3 2 当k ? ? 2时, 点P( , ), 直线l : y ? ? 2 x ? 2. 2 2
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方法二 :

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设点 A x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), (

显然 ? ? 0.
y1 ? y2 ? ?4m , 2m 2 ? 3
?4 m 2 ? 2 ? 6 . ? x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2 ? 2m 2 ? 3 2m 2 ? 3
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?2? (

)2 ? 3( ?4m )2 ? 6, 2m 2 ? 3 2m 2 ? 3 6

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【03】 已知点 A( ?1, 0) , B(1, 0), 动点 C 满足条件: △ABC 的周长为 2 ? 2 2 .记动点 C 的轨迹为曲线 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ) 经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与曲线 W 有两个不同的交点 P 和 Q,求 k 的取值范围; (Ⅲ)已知点 M( 2,0) ,N(0, 1) ,在(Ⅱ)的条件下, ???? ? ??? ???? ? 是否存在常数 k,使得向量 OP ? OQ 与 MN 共线?如果存 在,求出 k 的值;如果不存在,请说明理由.

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解: (Ⅰ) 设 C(x, y), ∵ AC ? BC + AB ? 2 ? 2 2 , AB ? 2 , ∴ AC ? BC ? 2 2 ? 2 , 所以动点 C 的轨迹是以 A、B 为焦点,长轴长 为 2 2的椭圆除去与 x 轴的两个交点. 2 2 2 ?a ? 2, c=1,故 b ? a ? c ? 1 .
x 2 ? y 2 ? 1 ( y ? 0) . ?W: 2

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(Ⅱ) 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,

x2 ? (kx ? 2)2 ? 1 . 代入椭圆方程,得 2
整理,得 ( 1 ? k ) x ? 2 2kx ? 1 ? 0 .
2 2

2

因为直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q,

?? ? 8k 2 ? 4( 1 ? k 2 ) ? 4k 2 ? 2 ? 0 , 2 解得 k ? ? 2 或k ? 2 . 2 2
所以满足条件的 k 的取值范围为 k ? ? 2 或k ?

2

2. 2

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(Ⅲ)假设存在常数 k 满足题意 ??? ???? ? 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 OP ? OQ =(x1+x2,y1+y2), 由(Ⅱ)得 x1 ? x2 ? ? 4 2k2 . 1 ? 2k

???? ? 因为 M ( 2, 0),N (0, 1) , 所以 MN ? (? 2, 1) .

y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2 x1 ? x2 ? 2 2 2 , 1 ? 2k

? ??? ??? ? ? ???? 由 OP ? OQ 与 MN 共线, x1 ? x2 ? ? 2( y1 ? y2 ) ,

4 2k 2 2 ? ? 2? , 解得 k ? 2 . 即? 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k ???? ? ??? ???? ? 所以不存在常数 k,使得向量 OP ? OQ 与 MN 共线.
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【4】椭圆的对称中心在坐标原点,一个顶点为 A ( 0 , 2 ) ,右焦点 F 与点 B( 2 , 2) 的距离为 2 . (1)求椭圆的方程; (2)是否存在斜率 k ? 0 的直线 l : y ? kx ? 2 ,使直 线 l 与椭圆相交于不同的两点 M , N 满足

| AM | ? | AN | ,若存在,求直线 l 的倾斜角 ? ; 若不存在,说明理由.

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y2 解: (1)依题意,设椭圆方程为 x2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) , a b
2

则其右焦点坐标为 F (c , 0 ) , c ? a 2 ? b 2 . 由 | FB |? 2 ,得 (c ? 2)2 ? (0 ? 2)2 ? 2 , 即 (c ? 2)2 ? 2 ? 4 ,解得 c ? 2 2 . 又 ∵ b ? 2 ,∴ a 2 ? c 2 ? b 2 ? 12 , 2 y2 ? 1. 所以椭圆的标准方程为 x ? 12 4

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y

A
2

x ? 3 y ? 12
2 2
N x

o
P
M

x ? ( y ? 2) ? 16
2

N (?2 3,0)

?

y ? kx ? 2 ? (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 0 x 2 ? 3 y 2 ? 12
2

N ( 12k 2 , 6k ? 2 ) 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 ???? ???? ? ? ( 12k 2 )2 ? ( 6k ? 2 ? 2)2 ? 42 | AN |?| AM |? 4 2 1 ? 3k 1 ? 3k ? 3k 4 ? k 2 ? 0
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(2)由 | |AM | |??| |AN | 知,点 A 在线段 MN 的垂直平分线上, (2)由 AM (2)由 | AM | | | AN | 知,点 A 在线段 MN 的垂直平分线上, AN | 知,点 在线段 MN 的垂直平分线上, (2)由 | AM | ?? AN | 知,点 AA 在线段 MN 的垂直平分线上,

??yy? kx ? 22 ?? ?? kx2 ? y 2 kxy?? ?? y2 2? kx2 222 消去 y 得 x 2 2? 3(kx ? 2)2 2? 12 , 2 2 ??xx 2 y 2 由 ?? 2 2 由 消去 y 得 x ?? 3(kx ? 2) ?? 12 , 由 ? x ? y y ? 1消去 y y 得 x 2 ? 3(kx ? 2)2 ? 12 , 消去 得 x 2 3(kx ? 2)2 12 , 由?x ? ?? 12 ? 44 ?? 1 ?? ? 12 1 ? 12 44 ? 1 ?? ? 12 2 2 2 2

即 (1 ? 33k 2 ) x 2? 12kx ? 00 .(*) .(*) k x 即 (1 ? kk))xx 2 ? 12kx ? 0 .(*) (1 ? 3 2 2 ) 2 ?? 12kx ? .(*) 即 即 (1 ? 3 12kx ? 0 2 由 kk? 00 ,得方程(*)的 ?? ((?12k22 2? 144kk 2? 00, ,得方程(*)的 ? ? ?12k )2 2 ? 144 22 2 ? , 由 由 ?? ,得方程(*)的 ? ? ( ( 12k ) ) 144k 0 , 由 kk ? 0 ,得方程(*)的 ? ? ??12k ) ?? 144k ?? 0 , 0 即方程(*)有两个不相等的实数根. 即方程(*)有两个不相等的实数根. 即方程(*)有两个不相等的实数根. 即方程(*)有两个不相等的实数根. 设 M (( x, ,yy )) ,N (( x , ,yy )) ,线段MN 的中点 P (( x , ,yy )) , x1 1 x2 2 ,线段 x0 0 , 设 Mxx,1 ,y y) ,) N ( xx,2 ,y y2 ,线段 MN 的中点 PP xx,0 y y) , M ( 1 1 1 , , N ( 2 2 ) ) ,线段 MN 的中点 P ( 0 , 0 0 ) , MN 的中点 ( 0 0 0 0 设 设 M( 1 1 1 1 N 2 2 2 2 x1 k 2 12kk ,? x ? xx1??xx2 ? 66k , 12 2 x? xx 则 xx ? xx ? 12kk2 ,? x ? 11 1 ? 22 2 ? 6kk 2 , 6 2 , 0 2 则 x?? x ?? ?12k ,? xx 1 则 11 1 ? 22 2 ?11 ?33k 2 ,? 00 0?? 22 ??11 ?33k 2, ? k2 2 则x 1 x 2 0 22 2 2 11 ? kk ? 33 11 ? kk 2 2 ? 33 2 2 22 66k 2? 2(1 ? 33k 2 ) k2 ? 2(1 ? k2 ) ?2 ? yy ? kx0 ? 22? 6kk ?? 2(1 ? kk) )? ??2 2 , , 6 2(1 ?233 0 ? y ? kx ?? ?? ?1 ? ?2 2 2, , 2 0 2 ? 00 0?? kx0 ? 2 ? ? y 0 kx0 0 2 ?? 1 ?23k 2 11 ?33k 2 ? k2 3k2 11 ? kk ? 33 11 ? kk ? 33
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6k 即 P (( 66k2 , , ?2?2) .. ?? 0 , , 即P kk6k, 1 ???2 2 ) ? kkk?? 0 2 即 PP11(?6k2 2 ,1,?2 22 2 .)? ? k ? 0 , (( 即 PP? 33k 2 2 3? ? )2 ) . ? k ? 0 , 即 ( 6k , k k ) . ? k ? 0 , 即 1 ? 3k 2 1 ? 33 2 2 . 0 , 11 3k 11 k k ? 33 ?33 3 1 ??k k 1 ??k k ?2?2? 2 ?k?2 2?? 2?2 ? 2 ? ? 3k 2 ) k 2 ) 1 ? 3 222 22 ? ? 2?? 2(1 2(1 ? 3,2 2 1 ?? ? 2 22 2 ? 2 ? ? 2(1 ?k 2 )2 ), ∴直线 AP 的斜率为 k1k1 ?1 ? 33k ? 2 ?2 2 ? 2(1 ? k k ) AP ∴直线AP 的斜率为 ? 1 1 ? 23k ? ? 2(1 ? 3 3 3 ) ?k k 3k ?2 ? 2(1 ?y3k , , ∴直线 AP 的斜率为1k? ? ? 6k3 ∴直线 AP 的斜率为 1 ? , ? ∴直线 的斜率为 k ∴直线 AP 的斜率为 k1k1 1 ?662k 2 ? ? ? 6k66k A , k6 kkk 66 6k 6k 1 ?13k6k2k2 2 ?3 2 1 1 ? 23k2k ?1 ? k 3 1 k k) 3 ?3 ?2 ? 2(1 ? 3 3k 2) 2 由 AP ??MN ,得 ??2 ? 2(1 ? ? 232k? k?? , , o N x AP MN 由AP ? MN ,得 2 2 2 k 2(1 k k)k) ? ?1??1 ?2 ? 2(1 ? 3 ? ) k 2(1 ? 2(1 3 ) ? ? ? ?6? ? 3 k ? ?? k ? , , 由 由 AP ? MN ,得 6 k ,得 k ? ?11 ?? , 由 AP ? MN ,得 ?k ? 11, M P 由 AP ? MN ,得 6k k k 66 6k ? 3 3 33 ? 2 ? 6 6k 22 6 6 ,解得: k ? 3 ,即 ∴ 22 ? 2 ? k 22 ? ? ,解得: k ? ? ? 33 3 tan ? ? ? ? ? ,3 , ∴ 2 ? 2 ? 6k ? 26 3 ?33 ,即 tan ??3? ?33 , ∴ ∴ 2 2 ? 2 ? k 2 ? ? 6 ,解得: k?? 3 ,即 tan ? ? ? , , 6 ,解得: ? ∴ ? 2 ? 6 6 ,解得: k k ? ? ,即 tan ? ? ,即 ? ∴ 2 ? 2 ? 6 k k ? 6 ,解得: k ? ?3 3,即 tantan ? ?3 3 3 , 3 3 ? ? ? ? 5? 5?3 ≤ 又 00 ≤ ??? ? ,故? ? ??,或 ? ?5? ? . 又 ≤ ? ? ? ,故 ? 6 ?? ,或 6 . ? 又 0 0 0?????,故 ??? ?,或 ??? ? ? . 又 0 ≤≤ ? ? ? ,故? ? 6 ,或 ? ?65 5 . ,故 ,或 ? 6 又 又 ≤ ? ? ? ,故 ? ? ? 6 ,或 ? 56. . 66 6 6 ? 6? ? ? 5? . 所以存在直线 l 满足题意,其倾斜角 ? ? ?? ? ,或 ? ?55? . 所以存在直线 l 满足题意,其倾斜角 ?6 ,或 ? 所以存在直线 l 满足题意,其倾斜角 ??? ?,或 ,或6 ? ? ?. . ? ? ? ,或 ? ? ? 5 . ?? 5 l 满足题意,其倾斜角 ? ? 6 ,或 ?? 5??. 6 所以存在直线 l 满足题意,其倾斜角 6 所以存在直线 l 满足题意,其倾斜角 所以存在直线 666 6 6 66
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【5】已知动圆 M 过定点 P(0, m)(m ? 0) ,且与定直线

l1 : y ? ?m 相切,动圆圆心 M 的轨迹为 C ,直线 l2 过点 P 交 曲线 C 于 A, B 两点. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; SP SP (Ⅱ)若 l2 交 x 轴于点 S ,且 求 ? ? 3 , l2 的方程; SA SB
(Ⅲ) 若 l2 的 倾 斜 角 为 30 , 在 l1 上 是 否 存 在 点 E 使 △ ABE 为正三角形? 若能,求点 E 的坐标;若不能,说明理 由. (青岛二模)
?

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解:(Ⅰ)依题意,曲线 C 是以点 P 为焦点, 直线 l1 为准线的抛物线, 所以曲线C的方程为 x2 ? 4my .……3分 (Ⅱ)由题意知 k 存在且 k ? 0 y 设 l2 方程为 y ? kx ? m ,

代入 x2 ? 4my 由消去 y 得, x2 ? 4mkx ? 4m2 ? 0 . 设 A ? x1 , y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? , S 则 x1 ? x2 ? 4mk, x1x2 ? ?4m2 .

A

P

B

l2

o

x

l1 SP SP m m m( y1 ? y2 ) m[k ( x1 ? x2 ) ? 2m] ? ? ? ? ? SA SB y1 y2 y1 y2 ( kx1 ? m )(kx2 ? m )
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SP SP m[k ( x1 ? x2 ) ? 2m] ? ? SA SB ( kx1 ? m )(kx2 ? m )

y
P B

m[k ( x1 ? x2 ) ? 2m] ? 2 2 k x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m

l2

A
S

m(2m ? 4mk ) 2 ? 2 ? 4k ? 3. ? 2 m
2

o

x

所以 k ? ? 1 , l2 方程为 y ? ? 1 x ? m .· ··9分 2 2
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3 2 3 m m, ), B(2 3m, 3m ). x ? m ? A(? 直线 l2 方程为 y ? 3 3 3

16 2 3 5m AB中点F ( m, ), | AB |? m . 3 3 3
5m 2 3 AB的中垂线方程:y ? ? ? 3( x ? m) 3 3
14 3 ? E( m , ? m ). 9 8 21 ① | EA |? m ?| AB | 9 16 3 3 S ② | EF |? m? | AB | 9 ??? 2 ? ? ??? EA ? EB 1 1 ? ? ③ cos ?AEB |? ??? ??? ? ? . | EA | ? | EB | 7 2
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y
B A F

l2

o
E

x
l1

3 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 l2 方程为 y ? x ? m 代入 x2 ? 4my , 3 y 4 3 2 mx ? 4m2 ? 0 , 消去 y 得: x ? B 3 P

l2

2 3 ? x1 ? ? m, x2 ? 2 3m. 3

A

S

o
E

x
l1

2 3 m 即 A(? m, ), B(2 3m,3m). 3 3

假设存在点 E ? x0 , ?m? ,使 △ ABE 为正三角形,
则 BE ? AB ? AE .

16 | AB |? y1 ? y2 ? 2m ? m . 3
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由 BE ? AE ,
2 3 m 2 即 (? m ? x0 ) ? ( ? m )2 ? ( 2 3m ? x0 )2 ? (3m ? m )2, 3 3 y

14 3 化简得, x0 ? m. 9 14 3 ? E( m, ?m). 9

B A S P

l2

o
E

x
l1

448 则 AE ? m ? AB . 27

因此,直线 l 上不存在点 E ,使得 △ ABE 是正三角形.
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x2 y 2 【06】(09 山东)设椭圆 E: 2 ? 2 ? 1 (a, b ? 0) 过 a b M (2, 2) , N ( 6,1) 两点,O 为坐标原点. (I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意 ??? ??? ? ? 一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A, B ,且 OA ? OB ? 若存在,写出该圆的方程,并求 | AB | 的取值范围,若 不存在说明理由.

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x ? y ? 1 (a, b ? 0) 过 M , 解: (Ⅰ)因为椭圆 E: 2 a b2 N 两点, ? 4 ? 2 ? 1, ? 1 ? 1, ? a 2 b2 ? a2 8 所以 ? 解得 ? ? 12 ? 1 . ? 62 ? 12 ? 1, 4 ?b ?a b 2 2 ? a 2 ? 8, x y ?? 2 ? 1. 所以椭圆 E 的方程为 ? 8 4 ?b ? 4.
2

2

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(Ⅱ)假设存在圆心在原点的圆满足题意,设该圆的一条 (Ⅱ)假设存在圆心在原点的圆满足题意,设该圆的一条 (Ⅱ)假设存在圆心在原点的圆满足题意,设该圆的一条

切线 AB 和椭圆交于 1 B x 2 y2 ) 两点. 切线 AB 和椭圆交于 A((x1A(y1),, B1(x22,,(y22),两点. 切线 AB 和椭圆交于 A x1,, yx1), y (), B yx) 两点. ①当直线 AB 的斜率存在时,设方程为 y ? m ①当直线 AB 的斜率存在时,设方程为 y ? kx ? kx .? m . ①当直线 AB 的斜率存在时,设方程为 y ? kxy? m . x ? y ? kx??m ? m ?y B ? y ? kx?km ? 2 ? 2 22 2 ? 由方程组 ,得 由方程组 ? x 2? xy y ,得 由方程组 ? x y ?? 1 ,得 ? O x ? 8 ??84 ?4 ? 1 ? 8? 4 1 ? ? A 2 2 2 22 22 22 k ? ?4 ?2 ? m ?8 (1 ? 2k?)2x ?x4kmx? 2m 2?8 ? 0 ,,? 0 , (1 ?(1k )x ) 4kmxkmxm ? 8 ? 0 2 则 ?则 16? 22mk 2? 4(1 ? 2k?)(2m)(2?8)??8) ?k8(8km2?? 4) ? 4),,? 0 , m2 ? 4(1 2 2k 2 ?8) ? 8(8 k? ? 22 2 ? ? 0 0 m2 ? ? ? k 16 22 ? 4(1 ? 2k22)(2m222?m2 ?8(8k 2 22 ? m? 4)4)? 0 则 ? ? 16k m 4(1 ? ? 16 )(2m 8) 8(8 m ? x ? xx ??x? ?4? 4km , ? x ? x12 ? ? 4km ,, ? 2 2 km22 2 ? 11 ? 2 22 2 22 1 ? 21k 2k 1 ? 2k? ?4? ? 即 8 m ?m ? 0 ,且 ? 即 8k ? km ??4 ? 0 ,且0?,且 ? 4 即 8k ? m 2m 222?82. ? 8 . ? x?x22x?x2m ? 22 . 2 x1 x ? 2 ? 8 ? 1 1 1 ? 21k 2k ? ? 1 ? 2k? ? m 2 ? 8k 2 . y1 y2 ? ( kx1 ? m )( kx2 ? m ) ? 1 ? 2k 2
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??? ??? ? ??? ???? ? ? ?OA ? OB 则 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ?OA ? OB ,, 则 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,, 2 2m 22 ? 8 ? m 22 ? 8k 22 ? 0 ,化简,得 k2 ? 3m2 ? 8 . m ? 8 m ? 8k 3m2 ? 8 . 即 即2 2 ? 2 ? 0 ,化简,得 k ? 2 2 8 1 ? 2k 1 ? 2k 8 1 ? 2k 1 ? 2k 代入8k 22 ? m22 ? 4 ? 0 得, m 22 ? 2 . 代入 8k ? m ? 4 ? 0 得, m ? 2 . ? m 22 ? 2 ? m ?2 2 6 m≤? 2 6 . m≥ 2 6 或 m ≤ ? 2 6 . ≥ 所以 ? 解之得 或 所以 ? 22 ,, 解之得 m 3 3 3 3 3m ≥ 8 ?3m ≥ 8 ? |m |m| | 圆心在原点的圆的半径为 ? , 圆心在原点的圆的半径为 r r ? , 2 1? k2 1? k y 2 2 m m 22 m 2 ?? m2 B ? r ?? ?88 r r ?22 66 , ?r ? ,,? 3 , 3 1 ? k 2 11 ? m 2 2 ? 8 33 1? k2 33m ? 8 ? O 88 A 2 所求的圆的方程为 x 2 ? 2 2 ? 8 . 所求的圆的方程为 x ? y y ? 8 . 33
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x

②而当切线的斜率不存在时,
y2 2 6 与椭圆 x ? ? 1 的两个交点为 切线为 x ? ? 3 8 4 ??? ??? ? ? 2 6 , ? 2 6 ) 或 ( ? 2 6 , ? 2 6 ) 满足 OA ? OB . ( y 3 3 3 3 B
2
O

x
A

综上, 存在圆心在原点的圆 x2 ? y 2 ? 8 , 使得该 3 圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 ??? ??? ? ? OA ? OB .
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8(8k 2 ? m2 ? 4) | AB |? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? k 2 ) (1 ? 2k 2 )2

32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? ? 4 ? [1 ? 4 ] 2 2 3 4k ? 4k ? 1 3 4k ? 4k ? 1 1 ①当 k ? 0 时 | AB |? 32 [1 ? ] 32 [1 ? 2 1 1 ①当 k ? 0 时 | AB |? 3 4k 2 21? 4 ] ? 3 4k ? 2 ? 4 k k 1 2 11 k ? 4 ≥ 8 所以 0 ? ≤ 11 因为 44k 2 ? 21?? 4 ≥ 8 所以 0 ? , ≤ , 因为 kk 2 4k 2 ??121? ? 4 8 8 4k 2 k 2 4 k ] ≤ 12 , , 所以 32 ??32 [1 ?? 32 32 [1 2 11 所以3 33 11? 4 ] ≤ 12 44k 2 ? 2 ? 4 k ? 3 kk 2 所以 4 6 ?| AB |≤ 2 3 当且仅当 k ? ? 2 时取”=”. 2 3
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② 当 k ? 0 时, | AB |? 4 6 . 3 ③ 当 AB 的斜率不存在时,
2 6 , ? 2 6 ) (? 2 6 , ? 2 6 ) 两个交点为 ( 或 , 3 3 3 3

4 6 所以此时 | AB |? . 3

综上, |AB |的取值范围为 4 6 ≤| AB |≤ 2 3 . 3

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题型三、存在性、探索性问题

这类 题 型常以适合某种条件 的结 论 “存 在”、“不存在”、“是否存在”等语句表 述.解答这类问题,一般要先对结论作出肯定 存在的假设,然后由此肯定的假设出发,结合 已知条件进行推理论证,若导致合理的结论, 则存在性也随之解决;若导致矛盾,则否定了 存在性.

点评

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题型四、抛物线轨迹、过定点问题
例 4. 已知 A, B 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的两点, OA ? OB . 且 求证: (1)求 AB 两点的横坐标之积和纵坐标之积; (2)直线 AB 恒过定点; (3)求弦 AB 中点 P 的轨迹方程; y (4)求 △ AOB 面积的最小值; A (5) O 在 AB 上的射影 M 轨迹方程.

o

x

B

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例 4. 已知 A, B 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的两点, OA ? OB . 且 求证: (1)求 AB 两点的横坐标之积和纵坐标之积; (2)直线 AB 恒过定点; y A

o

x

B

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y

A

o

M
B

x

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例 4. 已知 A, B 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的两点, OA ? OB . 且 求证: (3)求弦 AB 中点 P 的轨迹方程;

(3)设P( x, y ), 直线 OA:y ? kx
y

A

? x ? p( k 2 ? 1 ) ? k2 ?? ? y ? p( 1 ? k ) k ?

o

P
x

B

x ? ( y )2 ? 2, 即 y 2 ? px ? 2 p2 . ? p p
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例 4. 已知 A, B 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的两点, OA ? OB . 且 求证: (3)求弦 AB 中点 P 的轨迹方程;

x1 ? x2 y1 ? y2 (3)设P( x, y ), 则x ? ,y? . 2 2 2 2 由y1 ? 2 px1 , y2 ? 2 px2 , 得

( y1 ? y2 ) ? 2 y1 y2 ? 2 p( x1 ? x2 ),
2
y

? (2 y ) ? 2( ?4 p ) ? 2 p ? 2 x,
2 2

A

即 y ? px ? 2 p .
2 2

P
o x

B

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x1 ? x2 y1 ? y2 (3)设P( x, y ), 则x ? ,y? . 2 2
2p ( x ? 2 p), 因为直线AB方程为 y ? y1 ? y2

2p ? y1 ? ( x1 ? 2 p), ① y1 ? y2 2p y2 ? ( x2 ? 2 p), ② y1 ? y2 2p ①+②得,y1 ? y2 ? ( x1 ? x2 ? 4 p), y1 ? y2 2p 2y ? (2 x ? 4 p), 即 y 2 ? px ? 2 p2 . 2y
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y

A

P
o x

B

y

? 1 ? 2 p(| y1 | ? | y2 |) 2 ≥ 2 p | y1 | ? | y2 |

A

o

2p M
B

x

? 2p 4p ? 4p .
2

2

S△ AOB ? 1 | OA | ? | OB | ? 1 x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 2 2 ? 1 x12 ? 2 px1 ? x2 2 ? 2 px2 2 1 32 p4 ? 8 p3 ( x ? x ) ≥ 1 64 p4 ? 4 p 2 . ? 1 2 2 2
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1.若探究直线或曲线过定点,则直线或曲线的表示一定含有 参变数,即直线系或曲线系,可将其方程变式为 (x,y) f (x,y) 0 f ? 由 确定定点坐标. ? ? g x,y) (其中?为参变数), ( ?0 ( g x,y) 0 ?
2.在几何问题中,有些几何量与参变数无关,即定值问题, 这类问题求解策略是通过应用赋值法找到定值,然后将问题 转化为代数式的推导、论证定值符合一般情形. 3.解析几何中的最值问题,或数形结合,利用几何性质求得 最值,或依题设条件列出所求最值关于某个变量的目标函数, 然后应用代数方法求得最值. 主页

解析几何的五大基本问题:直线与圆锥 曲线位置关系问题、轨迹问题、定点和定值 问题、最值问题、参变量的取值范围问题是 高考考查的重点和热点问题,常常以解答题、 难题的形式出现,呈现知识网络交汇的特殊, 着重考查学生的运算变式能力、转化化归能 力和思维能力.

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作业纸:

完成:学案:P.114-116

聪 明 在 于 勤 奋 ,

天 才 在 于 积 累华 。罗 庚

——

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一 腔 热 血 万 丈 豪 情 我 辈 英 才 夺 桂 冠 主页

十 载 寒 窗 百 日 苦 练 何 人 健 步 登 金 榜

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已知定点F ?1,0 ? , 动点P在y轴上运动,过点P 【06】 ???? ??? ? ? 作PM 交x轴于点M,并延长MP到点N,且 PM · ? 0, PF ???? ???? ? PM ? PN . (1)求点N的轨迹方程;(参考学案P.210T9) ??? ??? ? ? (2)直线l与点N的轨迹交于A,B不同两点,若OA ? OB ? ?4, 求直线l的斜率k的取值范围.

(3)在 (2)成立的条件下,若4 6 ≤ AB ≤ 4 30 ,求直 线l的斜率k的取值范围. (此问选做)

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???? ? ??? ? 解: )由于 PM ? PN , (1

则P为线段MN的中点,

y 设N ? x, y ?,则M ? ? x, 0 ? , P (0, ), 2 ???? ??? ? ? y y 由PM · ? 0, 得(? x, ? ) ? (1, ? ) ? 0, PF 2 2

y y ?? ? x ?·? (? ) ? (? ) ? 0, 1 2 2

? y ? 4 x.
2

所以点N的轨迹方程为y ? 4 x.
2

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? 2? 设直线l的方程是y ? kx ? m ? k ? 0? 2 2 与y ? 4 x联立消去y 得: ? m ? ? 4 x, ? kx 2 2 2 整理得k x ? ? 2km ? 4? x ? m ? 0. 设A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,
? y1 y2 ? ? kx1 ? m?? kx2 ? m?
2

2km ? 4 m 则 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 2 . 2 k k
2

? k x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m
2

2

4m km (2km ? 4) 2 ?m ? ?m ? 2 . k k2
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??? ??? ? ? 得 由OA· ? -4, x1 x2 ? y1 y2 ? ?4, OB 2 ? m2 ? 4m ? ?4, 即 ( m ? 2)2 ? 0, k k k

? m ? ?2k .
由于直线l与点N的轨迹交于不同的两点,

则? ? ? 2km ? 4 ? ? 4k m ? 0,即km ? 1.
2 2 2

把m ? ?2k 代入上式得 ? 2k 2 ? 1. 2 ? k ? ? 1 , 解得k ? 0. 2 所以当 k ? 0时,直线l与点N的轨迹有两个不同的交点.
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(3) AB ? ( ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 1

(2km ? 4)2 4m2 ? ? ( ? k 2 )[ 1 ? 2 ] 4 k k

( ? k )(16 ? 16km ) 1 4 k
2

?

16 ? 32k 2 ) ? 4 ( ? k 2 )(2k 2 ? 1). ( ? k )( 1 1 2 4 k k
2
2 2

? 4 6 ≤ AB ≤ 4 30,
( ? k )(2k ? 1) 1 ?6 ≤ ≤ 30 , 4 k

解得 ? 1 ≤ k ≤ ? 1 或 1 ≤ k ≤ 1. 2 2 综上可知,k的取值范围是{k | ?1 ≤ k ≤ ? 1 或 1 ≤ k ≤ 1}. 2 2
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例3.如图O是直角坐标原点,A, B是抛物线y 2 ? 2 px ( p ? 0)上异于顶点的两动点,且OA ? OB, OM ? AB 并于AB相交于点M,求点M的轨迹方程.

解:设点M,A,B的坐标分别为 ( x, y),(2 pt12 , 2 pt1 ), B(2 pt22 ,2 pt2 ),(t1 ? t2 , t1 ? t2 ? 0).
O ???? ? ??? ? 则 OM ? ( x, y), OA ? (2 pt12 ,2 pt1 ), ??? ?

y

A M
x

??? ? 2 2 AB ? (2 p(t2 ? t1 ),2 p(t2 ? t1 )).
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OB ? (2 pt2 , 2 pt2 ),
2

B

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 解: ?OA ? OB,?OA ? OB ? 0. 2 2 ?(2 pt1t2 ) ? (2 p) t1t2 ? 0,

y

A M
O x

? 2 px(t2 ? t1 ) ? 2 py(t2 ? t1 ) ? 0,
2 2

???? ??? ???? ??? ? ? ? ? ? OM ? AB,? OM ? AB ? 0.

? t1t2 ? ?1.

B

???? ? 2 ? AM ? ( x ? 2 pt1 , y ? 2 pt1 ), ???? MB ? (2 pt22 ? x, 2 pt2 ? y),

? x(t2 ? t1 ) ? y ? 0,

y ? t2 ? t1 ? ? . x

且A,M,B三点共线,
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解: ?( x ? 2 pt1 )(2 pt2 ? y) ? ( y ? 2 pt1 )(2 pt2 ? x),
2 2

化简,得 ? y(t1 ? t2 ) ? 2 pt1t2 ? x ? 0.
把(1),(2)代入(3),得
y ? y(? ) ? 2 p ? x ? 0. x
即x 2 ? y 2 ? 2 px ? 0( x ? 0).
O

y

A M
x

B

x 2 ? y 2 ? 2 px ? 0( x ? 0). 所以,点M的轨迹方程为
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【6】如图,P 是抛物线 C: y ? 1 x 2 上一点,直线 2 l 过点 P 并与抛物线 C 在点 P 的切线垂直,l 与抛物线 C 相交于另一点 Q. (Ⅰ)当点 P 的横坐标为 2 时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)当点 P 在抛物线 C 上移动时,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程,并求点 M 到 x 轴的最短距离.

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法一

? y ? 1 x2 ? 2 ? x 2 ? 2 x ? x0 2 ? 2 ? 0 ? 2 x0 y ? 1 x0 ? ? 1 ( x ? x 0 ) ? 2 x0 ?
x0 ? x1 ? x? ?? 1 , ? 2 x0 ? ? 2 x0 ? y ? ? 1 ( ? 1 ? x ) ? 1 x 2 ? 1 ? ? 1. 2 ? x0 x0 0 2 0 x0 2 ?

? y ? x2 ? 1 2 ? 1 2x
y ? x 2 ? 1 2 ? 1 ≥ 2 x 2 ? 1 2 ? 1 ? 2 ? 1. 2x 2x
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法二
?y ? 1 x 2 ? 1 2 1 ? y1 ? y2 ? 1 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2 ? y2 ? 1 x 2 2 ? 2

y1 ? y2 ? ? x ? x1 ? ? 1 x x1 ? x2

y ? 1 x12 ? ? 1 ( x ? x1 ) 2 x1

? y ? x ? 12 ?1 2x
2

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x2 y 2 5.(2010? 山东卷)如图,已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ?的离心 a b 2 率为 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点 2 的三角形的周长为4( 2 ? 1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆 的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF1和PF2 与椭圆的交点分别为A、B和C、D.

?1? 求椭圆和双曲线的
标准方程;

? 2 ? 设直线PF1、PF2的
斜率分别为k1、k2, 证明:k1 ?k2 ? 1.

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c 2 解析: ?由题意知,椭圆的离心率为 ? ,得a ? 2c. ?1 a 2 又2a ? 2c ? 4( 2 ? 1), 所以可解得a ? 2,c ? 2,所以b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4, x2 y 2 所以椭圆的标准方程为 ? ? 1, 8 4 所以椭圆的焦点坐标为(?2,0). 因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点, x2 y2 所以该双曲线的标准方程为 ? ? 1. 4 4
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y0 y0 ,k2 ? , ? 2 ? 证明:设点P( x0,y0 ),则k1 ? x0 ? 2 x0 ? 2
2 y0 y0 y0 所以k1 ? k2 ? ? ? 2 . x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4

又点P( x0,y0 )在双曲线上,
2 2 x0 y0 2 2 所以有 ? ? 1,即y0 ? x0 ? 4, 4 4 2 y0 所以k1 ? k2 ? 2 ? 1. x0 ? 4

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