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1.3.2 函数的奇偶性(人教A版必修1)


1.3.2 函数的奇偶性

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偶函数定义:
2和y=|x|的图像,有什么共 思考:观察图像 y=x 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个 同特征?

x,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x) 就叫做偶函
数.
y

5 4 3 2 1 -3 -2 -1

y

形:
关于y轴对称
1 2 3

3

?? x, f ?? x ??
-3 -2 -1

2

1

?x, f ?x ??
1

o
-1

x

f ?? 1? ? f ?1? ? 1
f ?? 2? ? f ?2? ? 4
f ?? 3? ? f ?3? ? 9

数:
f ?? x ? ? f ?x ?

o
-1

2

3

x

f ?? 1? ? f ?1? ? 1
f ?? 2? ? f ?2? ? 2

f ?? 3? ? f ?3? ? 3

偶函数定义: 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个 x,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x) 就叫做偶函 数. 思考:定义中“任意一个x,都有f(-x)=f(x) 成立”说明了什么?

说明-x、x必须同时属于定义域,

f(-x)与f(x)都有意义, 因此偶函数的定义域关于原点对称。

奇函数定义:
1 ? ? f x ? y ? x 一般地 , 如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x, 思考:函数 与 x 有什么共同特征?

都有f(-x)=-f(x), 那么函数f(x) 就叫做奇函数.
y
y

形:
3 2 1 -1o -1

3 2 1 1 2

关于原点对称 (-x,f(-x))
1 2 3

?x, f ?x ??
3

x

数:

-3 -2 -1 o ?? x, f ?? x ?? -1

x

f ?? 1? ? ? f ?1? f ?? 2 ? ? ? f ?2 ? f ?? 3? ? ? f ?3?

f ?? x ? ? ? f ?x ?

f ?? 1? ? ? f ?1? f ?? 2 ? ? ? f ?2 ? f ?? 3? ? ? f ?3?

奇函数定义: 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x), 那么函数f(x) 就叫做奇函数.
如何判断 函数的奇 偶性?

(1)函数具有奇偶性的前提是:定义域关于 原点对称。 o
[-b,-a] a b [a ,b] x

(2) 若f(x)为奇函数, 则f(-x)=-f(x)成立。 若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。

偶函数定义: 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个

x,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x) 就叫做偶函
数.

例 1、判断下列函数的奇偶性:

?1? f ?x ? ? x

3

?x

(2) f ?x ? ? x 2 ? 1
解: 定义域为R

f ?? x ? ? ?? x ? ? x
3

解: 定义域为R

? ? f ?x ?

? ??x 3 ? x ?

f ?? x ? ? ?? x ? ? 1
2

? x ?1
2

? f ?x ?

∴f(x)为奇函数

∴f(x)为偶函数

小结:用定义判断函数奇偶性的步骤:
⑴先求定义域,看是否关于原点对称;

⑵再判断f(-x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否恒成立。

例 、判断下列函数的奇偶性:

?3? f ?x ? ? x ? 1
f ?? x ? ? ? x ? 1 f ?? x ? ? f ?x ?且f ?? x ? ? ? f ?x ?
∴f(x)为既不是奇函数 也不是偶函数

?4? f ?x ? ? 0
解: 定义域为R

解: 定义域为R

f ?? x ? ? 0 ? f ?x ?

f ?? x ? ? 0 ? ? f ?x ?

∴f(x)为既是奇函数

又是偶函数

?奇函数 ? 根据函数的奇偶性 ?偶函数 ? 函数可分为四大类: ?既奇又偶函数 ?非奇非偶函数 ?

练习:判断函数的奇偶性
1 ?1? f ?x ? ? x ? x

(2) f ?x ? ? 2 ? x
偶函数
2

奇函数

?3? f ?x ? ?
?5? f ? x ? ?

x ?1 ? 1? x
2

x ?4 ? f ? x ? ? x ?1

既奇又偶函数
3x x2 ? 3

非奇非偶函数

?6? f ?x? ? x ? 1 ? x ? 1
偶函数

奇函数

偶函数的图像特征
y=x2

如果一个函数是偶 函数,则它的图象 关于y轴对称。 反过来, 如果一个函数的图 象关于y轴对称, 则这个函数为偶函 数。

奇函数的图像特征
y=x3

如果一个函数是奇 函数,则它的图象 关于原点对称。
0

反过来, 如果一个函数的图 象关于原点对称, 则这个函数为奇函 数。

已知函数 y=f(x) 是偶函数,它在y轴右边的图象 如下图所示,画出函数 y=f(x) 在y轴左边的图象。

y
C1 C E D1 A1 O H

E1 B1

D
A

B x

已知函数 y=f(x) 是奇函数,它在y轴右边的图象 如下图所示,画出函数 y=f(x) 在y轴左边的图象。 y B1 A1 x O D

C1 E1 D1

A
B

C

E

(1)图1为奇函数的局部图像,求f(-2) (2)图2为偶函数的局部图像,求f(1)
y g (x) f(x) 2 3 4 x 4 3 2 1 -1 -2 -3 0 1 2 3

y 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 -1 -2 -3

-3 -2 -1

x

(2) (1)

练习1. 下列图象是函数图象且具备奇偶性的是( )

B

?2a, a ? 3?, 求a值? 练习2.如果偶函数的定义域是
因为定义域关于原点对 称 所以2a ? a ? 3 ? 0,即a ? ?1

P36 练习1,2

P39.A-6


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