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步步高 2014届高三数学(理)二轮专题突破课件 专题七 第2讲《数形结合思想》


思想方法概述

专题七 第2讲

第2讲

数形结合思想

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1.数形结合的数学思想:包含“以形助数”和“以数辅形” 两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的 生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段, 数作为目的,比如应用函数的图象来直观

地说明函数的性 质;二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些 属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程 来精确地阐明曲线的几何性质.

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2.运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则: (1)等价性原则.在数形结合时,代数性质和几何性质的
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转换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞.有时,由于 图形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的 性质只能是一种直观而浅显的说明,要注意其带来的负面 效应. (2)双方性原则.既要进行几何直观分析,又要进行相应 的代数抽象探求,仅对代数问题进行几何分析容易出错.

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(3)简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运 用时,一要考虑是否可行和是否有利;二要选择好突破口, 恰当设参、用参、建立关系、做好转化;三要挖掘隐含条 件,准确界定参变量的取值范围,特别是运用函数图象时应
本 设法选择动直线与定二次曲线. 讲 栏 3.数形结合思想解决的问题常有以下几种: 目 开 (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围. 关

(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围. (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系. (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证 明不等式. (5)构建立体几何模型研究代数问题.

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(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值 问题. (7)构建方程模型,求根的个数.
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(8)研究图形的形状、位置关系、性质等. 4.数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技 巧,特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效,这就 要求我们在平时学习中加强这方面的训练,以提高解题能 力和速度.具体操作时,应注意以下几点: (1)准确画出函数图象,注意函数的定义域.

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(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一
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种行之有效的方法,值得注意的是首先要把方程两边的代数 式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于 作图),然后作出两个函数的图象,由图求解.

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专题七 第2讲

类型一
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利用数形结合思想讨论方程的根、函数的零点

例1

(2012· 辽宁)设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),f(x)=f(2

-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos(πx)|,则 ? 1 3? 函数h(x)=g(x)-f(x)在?-2,2?上的零点个数为 ( ) ? ? A.5 B. 6 C.7 D.8
解析 根据题意,函数y=f(x)是周期为2的偶函数且0≤x≤1 时,f(x)=x3,

则当-1≤x≤0时,f(x)=-x3,且g(x)=|xcos(πx)|,

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所以当 x=0 时,f(x)=g(x).

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1 当 x≠0 时,若 0<x≤ ,则 x3=xcos(πx), 2 即 x2=cos πx. ? 1 3? ? ? 本 再根据函数性质画出?-2,2?上的图象,
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在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象, 如图所示,有5个根.所以总共有6个.

答案 B

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用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对 数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方
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法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函 数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函 数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点 个数即为方程解的个数.

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2 ? ?x +bx+c,x≤0 设函数f(x)= ? ? ?2, x>0

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,若f(-4)=f(0), ( C )

f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为
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A.1

B. 2

C.3

D.4

解析 由f(-4)=f(0),f(-2)=-2,
2 ? ?x +4x+2,x≤0 解得b=4,c=2,∴f(x)=? ? ?2, x>0

? ?x>0 ∴方程f(x)=x?? ? ?x=2

? ?x≤0 或? 2 ? ?x +4x+2=x

解得x=2或x=-1或x=-2,均合题意.

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类型二

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利用数形结合思想解不等式或求参数范围

例2 (1)(2012· 福建)对于实数a和b,定义运算“*”:a*b= 2 ? ?a -ab,a≤b, ? 2 设f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于x的方程 ? ?b -ab,a>b.
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f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则 x1x2x3的取值范围是________.
解析
? ??2x-1?x,x≤0, 由定义可知,f(x)=? ? ?-?x-1?x,x>0.

作出函数f(x)的图象,如图所示. 1 由图可知,当0<m<4时, f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数
根x1,x2,x3.

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不妨设x1<x2<x3, 易知x2>0, 1 且x2+x3=2× =1, 2 1 ∴x2x3<4.

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1 ? ??2x-1?x= , 1- 3 1+ 3 4 令? 解得x= 或x= (舍去). 4 4 ? ?x<0, 1- 3 1- 3 ∴ 4 <x1<0,∴ 16 <x1x2x3<0.
答案
? 1- ? ? 16 ?

3 ? ? ,0?
?

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(2)已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R},且在(0,+∞) 上单调递增,若f(1)=0,则满足x· f(x)<0的x的取值范围是
本 讲 解析 作出符合条件的一个函数图象草图即可, 栏 目 f(x)<0的x的取值范围是 开 由图可知x· 关

( -1,0)∪(0,1). ___________

(-1,0)∪(0,1).

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专题七 第2讲

求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象,
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根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利 用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问 题,往往可以避免繁琐的运算,获得简捷的解答.

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专题七 第2讲

(1)使log2(-x)<x+1成立的x的取值范围是______. |lg x|, 0<x≤10, ? ? (2)已知函数f(x)= ? 1 - x+6,x>10, ? ? 2 等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是 若a,b,c互不相 ( )

本 讲 A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24) 栏 目 解析 (1)在同一坐标系中,分别作出y=log (-x),y=x+1的 2 开 关 图象,

由图可知,x的取值范围是(-1,0).

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(2)作出f(x)的大致图象.

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由图象知,要使f(a)=f(b)=f(c),不妨设a<b<c,则 1 -lg a=lg b=- c+6. 2 ∴lg a+lg b=0,∴ab=1,∴abc=c. 由图知10<c<12,∴abc∈(10,12).
答案 (1)(-1,0)
(2)C

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类型三 例3 利用数形结合思想求最值

专题七 第2讲

若a,b,c均为单位向量,且a· b=0,(a-c)· (b-c)≤0, ( C. 2 D.2 ) B. 1

则|a+b-c|的最大值为
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A. 2-1
解析

设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),

则x2+y2=1,
a-c=(1-x,-y),b-c=(-x,1-y),
则(a-c)· (b-c)=(1-x)(-x)+(-y)(1-y)=x2+y2-x-y=1 -x-y≤0,即x+y≥1.

又a+b-c=(1-x,1-y),

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∴|a+b-c|= ?1-x?2+?1-y?2

= ?x-1?2+?y-1?2,
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如图 c=(x,y)对应点在 上,
上点的距

而①式的几何意义为P点到 离,其最大值为1.

答案 B

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专题七 第2讲

在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三 点:①要彻底弄清一些概念和运算的几何意义以及曲线的代
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数特征,对数学题目中的条件和结论,既分析其几何意义又 分析其代数意义.②要恰当设立参数,合理建立关系,由数 思形,以形思数,做好数形转化.③要正确确定参数的取值 范围.

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?x-y+1≤0, ? 若实数x,y满足 ?x>0, ?y≤2, ? ________ . 2
本 解析 画可行域如图所示. 讲 y 栏 目 又x的几何意义是可行域内的点与坐标原 开 关 点连线的斜率k.

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y 则 x 的最小值是

由图知,过点A的直线OA的斜率最小.
? ?x-y+1=0, 联立? ? ?y=2

得A(1,2),

2-0 y ∴kOA= =2.∴x的最小值为2. 1-0

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1.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面
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区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助 数的途径,当试题中涉及这些问题的数量关系时,我们可 以通过图形分析这些数量关系,达到解题的目的. 2.有些图形问题,单纯从图形上无法看出问题的结论,这就 要对图形进行数量上的分析,通过数的帮助达到解题的目 的.

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3.利用数形结合解题,有时只需把图象大致形状画出即可, 不需要精确图象.
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4.数形结合思想是解决高考数学试题的一种常用方法与技 巧,特别是在解选择题、填空题时更方便,可以提高解题 速度. 5.数形结合思想常用模型:一次、二次函数图象;斜率公 式;两点间的距离公式(或向量的模、复数的模);点到直 线的距离公式等.

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1.已知0<a<1,则方程a|x|=|logax|的实根个数为 A.1
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( B )

B. 2

C.3

D.4

解析 作出函数y=a|x|,y=|logax|的图象, 由图象可知,两图象只有两个交点, 故方程有2个实根.

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5π 2π 2π 2.设a=sin ,b=cos ,c=tan ,则 7 7 7 A.a<b<c C.b<c<a
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( D )

B.a<c<b

D.b<a<c ? 2π? 5π 解析 a=sin =sin?π- 7 ? 7 ? ? 2π π 2π π =sin 7 ,又4< 7 <2,
2π 2π 如图所示,cos 7 =OA,sin 7 =AB, 2π tan 7 =MN, 2π 2π 2π ∴cos 7 <sin 7 <tan 7 ,即b<a<c.

可通过单位圆中的三角函数线进行比较:

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1 3.当0<x≤ 时,4x<logax,则a的取值范围是 2 ? ? 2 ? 2? ? ? ? A.?0, ? B.? ,1? ? 2? ? ? 2 ? C.(1, 2)
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( B )

D.( 2,2)

解析 利用指数函数和对数函数的性质及图象求解.
1 ∵0<x≤2,∴1<4x≤2,∴logax>4x>1, ∴0<a<1,排除答案C,D; 1 1 1 log 取a=2,x=2,则有 4 =2, 1 =1, 2 2 显然4x<logax不成立,排除答案A;故选B.
1 2

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4.若不等式 9-x2≤k(x+2)- 2的解集为区间[a,b],
2 且 b-a=2,则 k=________.

解析 令y1= 9-x2,
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y2=k(x+2)- 2,在同一个坐标系中 作出其图象,
因 9-x2≤k(x+2)- 2的解集为[ a,b] 且b-a=2.
结合图象知b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,2 2).

2 2+ 2 ∴k= = 2. 1+2

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1 5.若不等式|x-2a|≥ x+a-1对x∈R恒成立,则a的取值范 2 ? 1? ?-∞, ? 2? . 围是?________
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1 解析 作出y=|x-2a|和y=2x+a-1的简图, 1 依题意知应有2a≤2-2a,故a≤ . 2

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6.设函数 f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a,b∈R),已知它 们在 x=1 处的切线互相平行. (1)求 b 的值;
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? ?f?x?,x≤0, F(x)=? ? ?g?x?,x>0,

(2)若函数

且方程 F(x)=a2 有且仅有

四个解,求实数 a 的取值范围.
解 函数g(x)=bx2-ln x的定义域为(0,+∞),

(1)f′(x)=3ax2-3a?f′(1)=0, 1 g′(x)=2bx-x ?g′(1)=2b-1, 1 依题意2b-1=0,所以b=2.

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1 (2)x∈(0,1)时,g′(x)=x-x<0, 1 x∈(1,+∞)时,g′(x)=x-x >0,
本 讲 当a=0时,方程F(x)=a2不可能有四个解; 栏 目 开 当a<0,x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0, 关

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1 所以当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=2;

x∈(-1,0)时,f′(x)>0, 所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=2a, 又f(0)=0,所以F(x)的图象如图所示:

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从图象可以看出F(x)=a2不可能有四个解.
当a>0,x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0, x∈(-1,0)时,f′(x)<0,
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所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a. 又f(0)=0,所以F(x)的图象如图: 从图象看出方程F(x)=a2有四个解, 1 2 则2<a <2a, ? 2 ? ? 所以实数a的取值范围是? ,2? ?. 2 ? ?


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