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17竞赛辅导-解析几何(二)


竞赛辅导─解析几何(二)
(圆锥曲线)
引入

思考一

思考二

思考三

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竞赛辅导─解析几何(二)
(圆锥曲线)
知识点见教程 这里的问题一个很大的特点那就是 需要较强的计算能力,教程中有许多例题 等待大家去挑战. 我们今天的课也

主要是感受一下这 里的思考,同时也介绍一些方法,希望能 起到抛砖引玉的作用.
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思考一:(挑战教程中的几个问题)
y2 1.(教程 P323 第 9 题)过双典线 x 2 ? ? 1 的右焦点作直线 l 交双曲线 2 于 A,B 两点,若实数 ? 使得 AB ? ? 的直线 l 恰有 3 条,则 ? ? ???

4

2.(教程 P324 第 14 题)已知点 A(0, 2) 和抛物线 y 2 ? x ? 4 上两点 B , C 使得 AB ? BC ,求点 C 的纵坐标的取值范围. ?? , 0 ? 4, ?? x2 3.(教程 P332 第 7 题) F1 , F2 是椭圆 ? y 2 ? 1 的两个焦点, P 是椭圆 4 上任意一点,则 PF1 ? PF2 的最小值是_______.

?

? ?

?

1

4.(教程 P333 第 12 题) P 为等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 上一点, F1 , F2 为 它的左、右焦点,试求
PF1 ? PF2 PO

的取值范围.

? 2, 2
2

2? ?

5.( 教 程 P341 第 5 题 ) 已 知 动 点 P ( x , y ) 满 足 二 次 方 程 3 10 x ? 2 xy ? 2 y ? 1 ? 0 ,此二次曲线的离心率为_______.

思考二:(欣赏几个二次曲线的课外结论) x2 y2 1.过不在椭圆 2 ? 2 ? 1 上的任意一点 P 作两条直线 a b l1 , l 2 分别交椭圆于 A,B 和 C,D 四点,若 l1 , l 2 的倾斜角为 ? ? ? ,且 ? ? ? ? ? ,求证:A,B,C,D 四点共圆. 2.过已知二次曲线的弦 PQ 的中点 O 任作两弦 AB、CD , 求证:过 A,B,C,D 的任意二次曲线被直线 PQ 所截得的线 段均被 O 点所平分. (说明:著名的蝴蝶定理是这一结论的特例) 3.设有等轴双曲线 C1 : x 2 ? y 2 ? a 2 , C 2 为一半径 r 的圆 且 C 2与C1 交于四点 P , Q,R, S . 求证: OP 2 ? OQ2 ? OR2 ? OS 2 ? 4r 2
4

提示

1.用直线的参数方程来计算分析, 巧用参数的几何意义. 2.恰当建立直角坐标系 设二次曲线一般形式来分析, 并恰当运用二次曲线系方程形式.

3. 设圆的 标准方程 和双曲 线方程 联立消去 x ,得四次方程,运用韦达 不定理计算.
5

思考三:(挑战两个最值) 1.椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? a 2 ( a 为常数)的一条切线交 x , y 轴于 A, B 两点,则 S△ AOB 的最小值为( )

D

( A)a

2

2 2 ( B) a 2

(C )2a

2

1 2 a 2

设切线时可运用替换法则
x2 y2 2. 已 知 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 是 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上 a b 的两个动点, O 为坐标原点,且 OA ? OB ,求线段 AB 长的最 小值. 2ab a 2 ? b 2
2 2 恰当设 A, B 的坐标 a ?b 依题意可设 A( r1 cos ? ? r1 sin ? ), B(r2 ? sin ? ? r1 cos ? )
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