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2014年黄冈中学预录考试数学模拟试题A卷


2014 年黄冈中学预录数学模拟试题 A 卷
时间 120 分钟,满分 120 分
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.每小题恰有一个正确的答案,请将正确 答案的代号填入题中相应的括号内 1、计算 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 3 2010

的结果是( C.

)<

br />
A. 2

2011

?1

B. 2

2011

?1

1 2011 (2 ? 1) 2

D.

1 2011 (2 ? 1) 2

?BAC ? 90? ,OA ? 1 ,BC ? 6 . 2、 如图, ⊙O 过点 B、 C, 圆心 O 在等腰 Rt△ABC 的内部,
则⊙O 的半径为( A. 6 B. 13 ). C.

13

D. 2 13

3、如图,表示阴影区域的不等式组为( ). 2x +.y ≥5, 2x + y ≤5, 2x +.y ≥5, (A) 3x + 4y≥9, (B) 3x + 4y ≤9, (C) 3x + 4y≥9, y≥0 y≥0 x≥0

(D)

2x + y ≤5, 3x + 4y ≤9, x≥0

4、已知点 P 的坐标是( 2 +a, 2 +b),这里 a、b 都是有理数,PA、PB 分别是点 P 到 x 轴和 y 轴的垂线段, 且矩形 OAPB 的面积为 2 .那么, 点 P 可能出现在的象限有 ( (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 ) .

5、已知 AC⊥ BC 于 C,BC=a,CA=b,AB=c,下列选项中⊙ O 的半径为

ab 的是( a?b

).

6、如图,∠MON=90°,矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM,ON 上,当 B 在边 ON 上运动时, A 随之在边 OM 上运动, 矩形 ABCD 的形状保持不变, 其中 AB=2, BC=1, 运动过程中,点 D 到点 O 的最大距离为( A. 2 ? 1 B. 5 C. ) D.

145 5 5

5 2

7、点 C 是半径为 1 的半圆弧 AB 的一个三等分点,分别以弦 AC、 BC 为直径向外侧作 2 个半圆,点 D、E 也分别是 2 半圆弧的三等 分点,再分别以弦 AD、DC、CE、BE 为直径向外侧作 4 个半圆。则图中阴影部分(4 个新 月牙形)的面积和是( )

1

A.

3 4

B.

3 2

C.

3 3 4

D. 3

8、 平面直角坐标系中, 如果把横坐标、 纵坐标都是整数的点叫做整点, 那么函数 y ?

x ? 12 2x ? 1

的图象上整点的个数是 ( ) (A)2 个 (B)4 个 (C)6 个 (D)8 个 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将正确答案填在各小题后的横线 上) 9、若 x ?

1 x2 ? 4 ,则 4 2 ? _____________________. x x ?x ?1
ax ? 1 ? 1 ? 0 的解为正数,则 a 的取值范围是______________. x ?1

10、若关于 x 的方程

11、有一组数满足 a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? a1 ? 0, a4 ? a2 ? 2, a5 ? a3 ? 0, a6 ? a4 ? 2, ?, 按此规律进行下去,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? _____________________. 12、二次函数 y ? x 2 ? 2ax ? a 在 ? 1 ? x ? 2 上有最小值 ? 4 ,则 a 的值为___________.

13、已知实数 a,b,c 满足 a+b+c=10,且 1 ? 1 ? 1 ? 14 ,则 a ? b ? c 的
a?b b?c c?a 17

b?c

c?a

a?b

值是



14、已知抛物线 y ?

1 2 x ? bx 经过点 A(4,0)。设点 C(1,-3) ,请在抛物线的对称轴上确 2

定一点 D,使得 AD ? CD 的值最大,则 D 点的坐标为_______ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 64 分.请写出解答过程) 15、 (12 分) 已知关于 x 的一元二次方程 (m ?1) x ? 3(3m ?1) x ? 18 ? 0 有两个正整数根 (m
2 2
1 为整数) ,?ABC 的三边 a, b, c 满足:c ? 2 3 ,m2 ? a2m ? 8a ? 0, m2 ? b2m ? 8b ? 0 .求:○ 2 ?ABC 的面积. m 的值; ○

2

16、 (10 分) 如图,已知圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 N,点 M?在对角线 BD 上,且满足∠BAM=∠DAN,∠BCM=∠DCN. 求证: (1)M 为 BD 的中点; (2)

AN AM ? . CN CM

17、 (10 分)阅读下面材料: 小伟遇到这样一个问题: 如图 1, 在△ ABC (其中∠ BAC 是一个可以变化的角) 中, AB=2, AC=4,以 BC 为边在 BC 的下方作等边△ PBC,求 AP 的最大值. 小伟是这样思考的: 利用变换和等边三角形将边的位置重新组合. 他的方法是以点 B 为 旋转中心将△ ABP 逆时针旋转 60° 得到△ A′BC,连接 A′A,当点 A 落在 A′C 上时,此题 可解(如图 2) . 请你回答:AP 的最大值是 参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题: 如图 3,等腰 Rt△ ABC.边 AB=4,P 为△ ABC 内部一点,求 AP+BP+CP 的最小值?

18、 (10 分)随着经济的发展,尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工 资。尹进 2008 年的月工资为 2000 元,在 2010 年时他的月工资增加到 2420 元,他 2011 年的月工资按 2008 到 2010 年的月工资的平均增长率继续增长. (1)尹进 2011 年的月工资为多少?
3

(2)尹进看了甲、乙两种工具书的单价,认为用自己 2011 年 6 月份的月工资刚好购买若 干本甲种工具书和一些乙种工具书, 当他拿着选定的这些工具书去付书款时, 发现自 己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了,故实际付款比 2011 年 6 月份的月工 资少了 242 元,于是他用这 242 元又购买了甲、乙两种工具书各一本,并把购买的这 两种工具书全部捐献给西部山区的学校.请问,尹进总共捐献了多少本工具书?

19、 (12 分)已知某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料 200 千克,配料 的价格为 1.8 元/千克,每次购买配料除需支付运输费 236 元外,还需支付保管费用,其 标准如下: 7 天以内(含 7 天) ,无论重量多少,均按 元 /天支付 ;超出 7 天以外的天 ..10 . . . . ... 数,根据实际剩余配料的重量,以每天 元 /千克支付 . ...0.03 . . . . . . .... (1)当 9 天购买一次配料时,求该厂的配料保管费用 P 是多少元? (2)当 x 天购买一次配料时,求该厂在这 x 天中用于配料的总支出 ...y (元)关于 x 的函数 关系式; (3)求多少天购买一次配料时,才能使该厂平均每天的总支出 最少? ........ (总支出=购买配料费+运输费+保管费)

20、 (10 分)如图,点 A 为 y 轴正半轴上一点, A,B 两点关于 x 轴对称,过点 A 任作直线 交抛物线 y ?

2 2 x 于 P , Q 两点. 3

(Ⅰ)求证:∠ ABP =∠ ABQ ; (Ⅱ)若点 A 的坐标为(0,1) , 且∠ PBQ =60? ,试求所有满足条件的 直线 PQ 的函数解析式.

4

答案
一、DCDCCABB 二、 9、

1 ; 19

10、 a ? 1 且 a ? ?1 ; 11、2600;

12、5 或

89 1 ? 17 ; 13、 2 17

14、 (2,-6)

三、15、 (1)m=2,(2)s=1 或 9 ? 12 2 16、解:根据同弧所对的圆周角相等,得∠DAN=∠DBC,∠DCN=∠DBA. 又因为∠DAN=∠BAM,∠BCM=∠DCN, 所以,∠BAM=∠MBC,∠ABM=∠BCM. 有△BAM∽△CBM,则

BM AM ? ,即 BM2=AM·CM. CM BM



又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB, ∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM, 有△DAM∽△CDN,则

DM AM ? ,即 DM2=AM·CM. CM DM



由式①、②得 BM=DM,即 M 为 BD 的中点. (2)如图,延长 AM 交圆于点 P,联结 CP.则 ∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC. 知 PC∥BD. 故

AN AM ? . NC PM



又∠MCB=∠DCA=∠ABD,∠DBC=∠PCB, 所以,∠ABC=∠MCP. 而∠ABC=∠APC,则∠APC=∠MCP,有 MP=CM. 由式③、④得 ④

AN AM ? . CN CM

17、解: (1)如图 2,∵ △ ABP 逆时针旋转 60° 得到△ A′BC, ∴ ∠ A′BA=60°,A′B=AB,AP=A′C ∴ △ A′BA 是等边三角形,
5

∴ A′A=AB=BA′=2, 在△ AA′C 中,A′C<AA′+AC,即 AP<6, 则当点 A′、A、C 三点共线时,A′C=AA′+AC,即 AP=6,即 AP 的最大值是:6; 故答案是:6. (2)如图 3,∵ Rt△ ABC 是等腰三角形,∴ AB=BC. 以 B 为中心,将△ APB 逆时针旋转 60° 得到△ A'P'B.则 A'B=AB=BC=4,PA=P′A′,PB=P′B, ∴ PA+PB+PC=P'A+P'B+PC. ∵ 当 A'、P'、P、C 四点共线时, (P'A+P'B+PC)最短,即线段 A'C 最短, ∴ A'C=PA+PB+PC,

∴ A'C 长度即为所求 过 A'作 A'D⊥ CB 延长线于 D. ∵ ∠ A'BA=60° (由旋转可知) , ∴ ∠ 1=30° . ∵ A'B=4,



∴ A'D=2,BD=2 3 ∴ CD=4+2 3 在 Rt△ A'DC 中 A'C= A' D 2 ? DC 2 ? 2 2 ? (4 ? 2 3 ) 2 ? 32 ? 16 3 ? 2 2 ? 2 6 ∴ AP+BP+CP 的最小值是 2 2 ? 2 6

18、 (1) 设尹进 2008 到 2010 年的月工资的平均增长率为 x,则,2000 (1+x)=2420. 解 得 , x1=-2.1 , x2=0.1, (2 分 ) x1=-2.1 与题意不合,舍去. (2)设甲工具书单价为 m 元,

2

∴尹进 2011 年的月工资为 2420×(1+0.1)=2662 元.

第一次选购 y 本.设乙工具书单价为 n 元,第一次选购 z 本.则由题意, 可列方程:m+n= 242, ① ny+mz=2662, ② my+nz=2662-242. ③ 由①,∴242 (y+z) =2×2662

由②+③, 整理得, (m+n) (y+z) =2×2662-242,

-242,∴ y+z=22-1=21. 答:尹进捐出的这两种工具书总共有 23 本. 19、 (1)第 8 天剩余配料 200 ? 9 ? 200 ? 7 ? 400 (千克) , 第 9 天剩余配料 200 ? 9 ? 200 ? 8 ? 200 (千克) , (2)当 9 天购买一次时,该厂用于配料的保管费用

6

P=70+ 0.03? 200? (1 ? 2) =88(元) (3) (1)当 x≤7 时 y=360x+10x+236=370x+236 (2)当 x>7 时 y=360x+236+70+6[( x ? 7 )+( x ? 6 )+……+2+1] = 3x ? 321x ? 432
2

∴y??

?370x ? 236, x ? 7
2 ?3x ? 321x ? 432, x ? 7

∴设该厂 x 天购买一次配料平均每天支付的费用为 W 元

? 370 x ? 236 ,x ? 7 ? x ? W ?? 2 ? 3x ? 321x ? 432 ,x ?7 ? x ?
当 x≤7 时

W ? 370 ?
当 x>7 时

236 2826 ? 404 (元); , 当且仅当 x=7 时,W 有最小值 x 7

3x 2 ? 321x ? 432 144 12 2 W? ) ? 321 ? 3( x ? ) ? 393 , = 3( x ? x x x
∴当 x=12 时 W 有最小值 393 元

Q 作 y 轴的垂线,垂足分别为 C,  D. 20、解: (Ⅰ)如图,分别过点 P, 
设点 A 的坐标为(0, t ) ,则点 B 的坐标为(0,- t ). 设直线 PQ 的函数解析式为 y ? kx ? t , 并设 P,Q 的坐标分别为(xP,yP) , . (xQ,yQ)

由?

? y ? kx ? t, 2 ? 得 x2 ? kx ? t ? 0 , 2 2 3 y? x, ? 3 ?

于是 xP xQ ? ? t ,即 t ? ? xP xQ .于是,

3 2

2 3

7

2 2 2 2 2 2 x ?t xP ? xP xQ xP ( xP ? xQ ) BC yP ? t 3 P x 3 ? ? ? 3 ? 3 ?? P. 2 2 2 2 BD yQ ? t 2 x 2 ? t xQ xQ ? xP xQ xQ ( xQ ? xP ) Q 3 3 3 3
又因为

…………5 分

x PC BC PC ? ? P ,所以 ? . BD QD QD xQ

因为∠ BCP ? ∠ BDQ ? 90? ,所以△ BCP ∽△ BDQ . 故∠ ABP =∠ ABQ . (Ⅱ)解法一 由(Ⅰ)可知 ∠ ABP =∠ ABQ ? 30? , BC = 3a , BD = 3b , 所以 AC = 3a ? 2 , AD = 2 ? 3b . 因为 PC ∥ DQ ,所以△ ACP ∽△ ADQ . …………………………………………………………10 分

设 PC ? a , DQ ? b ,不妨设 a ≥ b >0,

于是

a 3a ? 2 PC AC ? ,即 ? .所以 a ? b ? 3ab . DQ AD b 2 ? 3b

由(Ⅰ)中 xP xQ ? ? t ,即 ?ab ? ? ,所以 ab ? 于是,可求得 a ? 2b ? 3 . 将b ?

3 2

3 2

3 3 3 , a?b ? , 2 2

3 3 1 2 代入 y ? x2 ,得到点 Q 的坐标( , ). 2 2 3 2

…………………15 分

再将点 Q 的坐标代入 y ? kx ? 1 ,求得 k ? ? 所以直线 PQ 的函数解析式为 y ? ? 根据对称性知, 所求直线 PQ 的函数解析式为 y ? ? 解法二

3 . 3

3 x ? 1. 3 3 3 x ? 1 ,或 y ? x ? 1 . ………………20 分 3 3

设直线 PQ 的函数解析式为 y ? kx ? t ,其中 t ? 1 .

由(Ⅰ)可知,∠ ABP =∠ ABQ ? 30? ,所以 BQ ? 2DQ .

8

故 2 xQ ? 将 yQ ?

2 xQ ? ( yQ ? 1)2 .

2 2 xQ 代入上式,平方并整理得 3
4 2 2 2 4xQ ?15xQ ? 9 ? 0 ,即 (4xQ ? 3)( xQ ? 3) ? 0 .

所以 xQ ?

3 或 3. 2
3 2 3 2 3 k. 2

又由(Ⅰ) ,得 xP xQ ? ? t ? ? , xP ? xQ ? 若 xQ ?

3 2 3 , 代入上式得 xP ? ? 3,从而 k ? ( xP ? xQ ) ? ? . 3 3 2 3 2 3 ,从而 k ? ( xP ? xQ ) ? . 3 3 2

同理,若 xQ ? 3,可得 xP ? ? 所以,直线 PQ 的函数解析式为

y??

3 3 x ? 1 ,或 y ? x ? 1 . ……………………………………19、 3 3

9


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