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第十二讲:不定方程的整数解


上海市中学生数学业余学校讲义 第十二讲 不定方程的整数解
【例题】 例 1、求方程 5x-9y=18 整数解的通解.

例 2、求方程 6 x ? 22 y ? 90 非负整数解.

例 3、求方程 7 x ? 19 y ? 213 的所有正整数解.(练习:求方程 37 x ? 107 y ? 25 的整数解)

/>例 4、将所有分母不大于 99 的最简分数从小到大排列,求与 数.

17 76

相邻且排在

17 76

之前的一个

例 5、求方程 100 x ? 52 y ? 28 z ? 16 的整数解.

例 6、某校举行数学竞赛,优胜者分一、二、三等奖三种,奖品为数学课外读物。如果一等 奖每人奖 5 本,二等奖每人奖 3 本,三等奖每人奖 2 本,就共奖了 34 本。如果一等奖每人 奖 6 本,二等奖每人奖 4 本,三等奖每人奖 1 本,就共奖了 28 本,求获得各奖的人数.

例 7、求不定方程 29 a ? 30 b ? 31 c ? 2196 正整数解的组数.

【练习】 1、下列方程中没有整数解的是哪几个?答: (填编号) ① 4x+2y=11, ②10x-5y=70, ③9x+3y=111, ④18x-9y=98, ⑤91x-13y=169, ⑥120x+121y=324. 2、求方程 5x+6y=100 的正整数解.

3、甲种书每本 3 元,乙种书每本 5 元,38 元可买两种书各几本?

4、一张试巻有 20 道选择题,选对每题得 5 分,选错每题反扣 2 分,不答得 0 分,小军同学 得 48 分,他最多答对几道题? (答案:最多答对 12 题)

5、第五世纪末,我国古代数学家张丘建在他编写的《算经》里提出了一个世界数学史上有 名的“百鸡问题”.
? x ? 4 ? x ? 12 ? x ? 0 ? x ?8 ? ? ? ? (答案: ? y ? 25 或 ? y ? 18 或 ? y ? 11 或 ? y ? 4 ) ? z ? 78 ? z ? 84 ? z ? 75 ? z ? 81 ? ? ? ?

上海市中学生数学业余学校讲义 第十二讲 不定方程的整数解(教师用)
我们知道,如果未知数的个数多于方程的个数,那么,一般来说,它的解往往是不确定 的。例如方程 x ? 2 y ? 3 ,或 方程组

?2 x ? 3 y ? z ? 4 ,它们的解都是不确定的。象这类的方程或方程组就称为不定方程或方程 ? ?5 x ? y ? 3 z ? 2

组。 如何求解整系数二元一次方程 ax ? by ? c 的整数解? 一、二元一次方程整数解存在的条件:在整系数方程 ax ? by ? c 中, 若 a , b 的最大公约数能整除 c,则方程有整数解。即如果(a,b)|c 则方程 ax ? by ? c 有 整数解,显然 a , b 互质时一定有整数解。例如方程 3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6 都有整

数解。返过来也成立,方程 9x+3y=10 和 4x-2y=1 都没有整数解,∵(9,3)=3,而 3 不 能整除 10; (4,2)=2,而 2 不能整除 1。 一般我们在正整数集合里研究公约数, (a,b)中的 a,b 实为它们的绝对值。 二、二元一次方程整数解的求法: 若方程 ax ? by ? c 有整数解,一般都有无数多个,常引入整数 t 来表示它的通解(即所 有的解) 叫做参变数。整数解的通解的表达方式不是唯一的。 。t 方法一,整除法:求方程 5x+11y=1 的整数解 解:x=
1 ? 11 y 5 1? y 5

=

1 ? y ? 10 y 5

?

1? y 5

? 2 y (1) ,



? k ( k 是整数) ,则 y=1-5k (2) ,

把(2)代入(1)得 x=k-2(1-5k)=11k-2 ∴原方程所有的整数解是 ? 方法二,公式法: 设 ax ? by ? c
? x ? x 0 ? bt ? y ? y 0 ? at
? x ? 11 k ? 2 ? y ? 1 ? 5k

(k 是整数)



有整数解,其中 a , b 互质,且方程有一组整数解 ?

? x ? x0 ? y ? y0

,则通解

是?

其中 t 为整数

证 明 : 因 为 x 0 , y 0 是 方 程 ① 的 整 数 解 , 当 然 满 足 ax 0 ? by 0 ? c ② , 因 此
a ( x 0 ? bt ) ? b ( y 0 ? at ) ? ax 0 ? by 0 ? c , y 这表明 x ? x 0 ? bt , ? y 0 ? at 也是方程①的解。

反过来,若 x ' , y ' 是方程①的解,则有 ax '? by ' ? c ③,③-②得
a ( x '? x 0 ) ? ? b ( y '? y 0 ) ④, 由于 ( a , b ) ? 1 , 所以 a | y '? y 0 , y ' ? y 0 ? at , 即 其中 t 为整数,

代入④得 x ' ? x 0 ? bt ,因此 x ' , y ' 都可以表示为 x ? x 0 ? bt , y ? y 0 ? a 的形式,所以
? x ? x 0 ? bt 表示方程①的一切整数解。 ? ? y ? y 0 ? at

用公式法求解二元一次方程组的关键是找到一组特殊解。 例 1、求方程 5x-9y=18 整数解的通解 解:特解 x 0 ? 0 , y 0 ? ? 2 ,所以通解为 ? 例 2、求方程 6 x ? 22 y ? 90 非负整数解 解:因为 ( 6 , 22 ) ? 2 ,所以方程两边均除以 2 得 3 x ? 11 y ? 45 ,特解
? x ? 4 ? 11 t x 0 ? 4 , y 0 ? 3 ,所以通解为 ? ( t 为整数) ? y ? 3 ? 3t ? x ? 9t ? y ? ? 2 ? 5t

( t 为整数)

由?

? x ? 4 ? 11 t ? 0 ? y ? 3 ? 3t ? 0

( t 为整数) ,得 ? 1 ? t ? 0

当 t ? 0 时, x ? 4 , y ? 3 ;当 t ? ? 1 时, x ? 15 , y ? 0

例 3、求方程 7 x ? 19 y ? 213 的所有正整数解。 分析:这个方程的系数较大,用观察法去求其特殊解比较困难,碰到这种情况我们可用逐步 缩小系数的方法使系数变小,最后再用观察法求得其解。 解:用方程 7 x ? 19 y ? 213
x ? 213 ? 19 y 7 ? 30 ? 2 y ?

①的最小系数 7 除方程中的各项,并移项得
3 ? 5y 7

,因为 x , y 为整数,故

3 ? 5y 7

? u 也是整数,于是有

5 y ? 7 u ? 3 。再用 5 除以此式的两边得

y ?

3 ? 7u 5

? ?u ?

3 ? 2u 5

此 时 , 由 观 察 知 u ? ? 1, y ? 2 是 方 程 的 解 。 从 而 x ? 25 。 于 是 方 程 ① 有 一 组 解
? x ? 25 ? 19 t x 0 ? 25 , y 0 ? 2 ,所以它的一切解为 ? ? y ? 2 ? 7t

由于 x , y 为正整数,所以 t ? 0 ,1 ,因此原方程的正整数解为
? x ? 25 ? ?y ? 2 ?x ? 6 ? ?y ? 9



(课内练习:求方程 37 x ? 107 y ? 25 的整数解) (答案: x ? ? 8 ? 107 t , y ? 3 ? 37 t , t 为整数) 例 4、将所有分母不大于 99 的最简分数从小到大排列,求与 数。 解:设
q p

17 76

相邻且排在

17 76

之前的一个

是与符合条件的数,且

q p

?

17 76

,其中 p , q , m , n 为正整数,则 17 p ? 76 q ? 0 ,

于是 17 p ? 76 q ? 1 ,先考虑 17 p ? 76 q ? 1 中满足 p ? 99 且使 p 最大的正整数解。为此需 先找到它的一个特解 p ? 9 , q ? 2 , 于是不定方程的通解为 p ? 9 ? 76 t , q ? 2 ? 17 t ,t 为整 数。这时在条件 p ? 99 下,
17 76 p q 17 p ? 76 q 76 p

p 最大为 85 ,此时 q ? 19 。另一方面

?

?

,可知,

若 17 p ? 76 q ? 2 ,则
17 76 p q 2 76 p 1 38 p 1 38 ? 99 1 76 ? 85 17 76 19 85

?

?

?

?

?

?

?

所以在所给条件下,比

17 76

小且最接近它的数为

19 85



例 5、求方程 100 x ? 52 y ? 28 z ? 16 的整数解。 解:原方程化简为 25 x ? 13 y ? 7 z ? 4 , (1)
? 25 x ? 13 y ? u ? u ? 7z ? 4 (2) (3)

把方程①分为两个方程 ?

对于方程(2) ,由观察得 25 ? ( ? u ) ? 13 ? 2 u ? u
? x ? ? u ? 13 t 1 ? y ? 2 u ? 25 t 1

于是方程(2)的解为 ?

(I)

对于方程(3) ,不难看出 1 ? ( ? 3 ) ? 7 ? 1 ? 4
?u ? ? 3 ? 7 t 2 ? y ? 1 ? t2

于是方程(3)的解为 ?

(II)

? x ? 3 ? 13 t 1 ? 7 t 2 ? 由(I) (II)消去 u 得 ? y ? ? 6 ? 25 t 1 ? 14 t 2 ( t 1 , t 2 为整数) ? z ? 1 ? t2 ?

例 6、某校举行数学竞赛,优胜者分一、二、三等奖三种,奖品为数学课外读物。如果一等 奖每人奖 5 本,二等奖每人奖 3 本,三等奖每人奖 2 本,就共奖了 34 本。如果一等奖每人 奖 6 本,二等奖每人奖 4 本,三等奖每人奖 1 本,就共奖了 28 本,求获得各奖的人数。 解:设获得一、二、三等奖的人数分别为 x , y , z 人,于是由题意有
? 5 x ? 3 y ? 2 z ? 34 ? ? 6 x ? 4 y ? z ? 28 (1) (2)

从(1)(2)中消去 z ,得 ,

7 x ? 5 y ? 22

(3)

由观察可得 x ? 1, y ? 3 是方程(3)的一组特解,所以(3)的解为
? x ? 1 ? 5u ? ? y ? 3 ? 7u

(4) ,将(4)代入(2)得 z ? 2 u ? 10

(5)

而 u ? 0 , z ? 10 是方程(5)的一组特解,所以(5)的解为
? x ? 1 ? 5t ? z ? 10 ? 2 t ? ,将 u ? t 代入(4) ,得 ? y ? 3 ? 7 t ( t 为整数) ? ?u ? t ? z ? 10 ? 2 t ?

由于 x , y , z 都是正整数,所以 t 只能取 0,于是得 x ? 1, y ? 3 , z ? 10 , 因此获得一、二、三等奖的人数分别为 1 人,3 人,10 人。 例 7、求不定方程 29 a ? 30 b ? 31 c ? 2196 正整数解的组数。 解:将原方程变为 ?
? 29 ( a ? b ? c ) ? ( b ? 2 c ) ? 2196 ? 31 ( a ? b ? c ) ? ( 2 a ? b ) ? 2196 (1) (2)

因为 a , b , c 是正整数,由方程(1)得 29 ( a ? b ? c ) ? 2196 ? ( b ? 2 c )
? 2196 ? (1 ? 2 ? 1) ? 2193 ,所以 a ? b ? c ? 75

18 29

(3)

由方程(2)得 31 ( a ? b ? c ) ? 2196 ? ( 2 a ? b ) ? 2196 ? ( 2 ? 1 ? 1) ? 2199

所以, a ? b ? c ? 70

29 31



由(3) (4)得 a ? b ? c ? 71 或 72 或 73 或 74 或 75 当 a ? b ? c ? 71 时,与原方程组合,解得 b ? 5 ? 2 a , c ? a ? 66 , 由 b ? 1 ,得 5 ? 2 a ? 1 , 解得 a ? 1 或 2。此时原方程有 2 组正整数解。同理,当 a ? b ? c ? 72 , 73 , 74 , 75 时,分别 可 得 出 原 方 程 有 17 , 33 , 24 , 10 组 正 整 数 解 。 因 此 , 原 方 程 的 正 整 数 解 共 有 2 ? 17 ? 33 ? 24 ? 10 ? 86 组。

练习 1、下列方程中没有整数解的是哪几个?答: (填编号) ② 4x+2y=11, ②10x-5y=70, ③9x+3y=111, ④18x-9y=98, ⑤91x-13y=169, ⑥120x+121y=324. 2、求方程 5x+6y=100 的正整数解。 3、甲种书每本 3 元,乙种书每本 5 元,38 元可买两种书各几本? 4、一张试巻有 20 道选择题,选对每题得 5 分,选错每题反扣 2 分,不答得 0 分,小军同学 得 48 分,他最多答对几道题? (答案:最多答对 12 题) 5、第五世纪末,我国古代数学家张丘建在他编写的《算经》里提出了一个世界数学史上有 名的“百鸡问题” 。
? x ? 4 ? x ? 12 ? x ? 0 ? x ?8 ? ? ? ? (答案: ? y ? 25 或 ? y ? 18 或 ? y ? 11 或 ? y ? 4 ) ? z ? 78 ? z ? 84 ? z ? 75 ? z ? 81 ? ? ? ?


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