当前位置:首页 >> 数学 >> 选修2-2——定积分的简单应用

选修2-2——定积分的简单应用


1.7 定积分的简单应用

1.问题导航 (1)利用定积分求平面图形的面积时,需要知道哪些条件? (2)两条曲线相交围成的平面图形能否用定积分求其面积? (3)变速直线运动的路程如何用定积分表示? (4)求变力 F 做了多少功,需要知道哪些条件?如何用定积分表示变力做功? 2.例题导读 (1)通过 P56 例 1,P57 例 2,学会求两曲线(含一条是直线)围

成图形的面积的具体步骤和 方法. (2)通过 P58 例 3,P59 例 4,学会利用定积分求变速直线运动的路程,变力做功等物理问 题的具体步骤和方法.

1.两曲线 y=f(x),y=g(x)与 x=a,x=b 所围成图形的面积 一般地,如图,如果在公共的积分区间[a,b]上有 f(x)>g(x),那么直线 x=a,x=b 与曲 线 y=f(x),y=g(x)围成的平面图形的面积为 S=?b[f(x)-g(x)]dx.

?a

2.变速直线运动的路程 做变速直线运动的物体所经过的路程 s,等于其速度函数 v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a, b]上的定积分,即 s=?bv(t)dt.

?a

3.变力做功 如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与 F(x)相同的方向从 x=a 移 动到 x=b(a<b),那么变力 F(x)所做的功为 W=?bF(x)dx.

?a

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)曲线 y=x3 与直线 x+y=2,y=0 围成的图形面积为?1x3dx+?2(2-x)dx.( (2)曲线 y=3-x2 与直线 y=-1 围成的图形面积为? ?-
2 2 2 2

(4-x2)dx .(

?0

?1

)

)

(3)一个物体在 2≤t≤4 时, 运动速度为 v(t)=t -4t, 则它在这段时间内行驶的路程为?4

?2

(t -4t)dt.( ) (4)一物体在力 F(x)作用下沿与 F(x)相同的方向从 x=0 运动到 x=10,则该力对物体做 10 F(x)dx 的功为 W=? . ?
0

答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2.物体以速度 v(t)=2t-1 做直线运动,则它在 t=1 到 t=3 这段时间的位移为( A.6 B .5

)

C.-6 答案:A

D.-5 )

π π 3.直线 x=- ,x= ,y=1 与曲线 y=sin x 围成的平面图形的面积为( 2 2 π A. B.π 2 3 C. π D.2π 2 解析:选 B.根据条件画出大致图形如阴影部分所示,

π

则所求的面积为 S=∫ 2 - (1-sin x)dx 2

π

? =(x+cos x)? π=π. ?- 2
1.两条曲线 f(x)和 g(x),直线 x=a,x=b(a<b)所围成的平面图形的面积 (1)若 f(x)>g(x),曲线 f(x),g(x),直线 x=a,x=b 围成的面积 S=?b[f(x)-g(x)]dx.

π 2

?a

(2)若 f(x)>0,g(x)<0,面积 S=? [f(x)-g(x)]dx=? f(x)dx+? |g(x)|dx.

?a

b

?a

b

?a

b

2.对于不规则平面图形面积的处理原则 定积分只能用于求曲边梯形的面积, 对于不规则的曲边梯形, 一般要将其分割或补形为 规则的曲边梯形,再利用定积分的和与差求面积.对于分割或补形中的多边形的面积,可直 接利用相关面积公式求解. 3.变速直线运动物体的路程、位移与定积分的关系 如果做变速直线运动物体的速度—时间函数为 v=v(t),则物体在区间[a,b]上的位移为 定积分?bv(t)dt;物体在区间[a,b]上的路程为?b|v(t)|dt.

?a

?a

4.确立变力做功的策略 首先要确定变力与位移的函数式 F(x), 其次是确定变力作用下物体产生的位移, 求积分 区间上的定积分 W=?bF(x)dx 即可.

?a

定积分在几何中的应用 π (1)(2015· 太原高二检测)由曲线 y=sin x,y=cos x 与直线 x=0,x= 所围成的平 2 面图形(图中的阴影部分)的面积是________.

? ?y=sin x, π [解析] ∵? x∈?0, ?, 2? ? ?y=cos x, ? π 2 ∴两曲线的交点坐标为? , ?, 4 2 ? ?
π

∴阴影部分的面积为 S=∫ 4 0(cos x-sin x)dx+
π

∫ 2 π(sin x-cos x)dx
4 π ?2 ?4 =(sin x+cos x)? +(-cos x-sin x)?π=2 2-2. ? ?0 ?4 π

[答案] 2 2-2 (2)试求由抛物线 y=x2+1 与直线 y=-x+7 以及 x 轴、y 轴所围成图形的面积. [解] 画出图形(如图).

2 ? ? ?y=x +1, ?x=2 ? ?x=-3, ? 解方程组 得? 或? (舍去) ? ?y=-x+7, ? ?y=5 ? ?y=10,

即抛物线与直线相交于点(2,5). 14 25 103 于是所求面积为 S=?2(x2+1)dx+?7(7-x)dx= + = . 3 2 6 ? ?
0 2

求平面图形面积的步骤以及注意事项 (1)步骤:①画函数的图象,联立方程组求出曲线的交点坐标. ②将曲边形的面积转化为求曲边梯形的面积. ③确定被积函数和积分区间,计算定积分,求出面积. (2)注意事项:根据图形特点选择适当的积分变量:若公共积分区间在 x 轴上,选取 x 为积分变量;若公共积分区间在 y 轴上,选取 y 为积分变量,要把函数变形成用 y 表示 x 的 函数. 1.(1)直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A.2 2 B .4 2 C.2 D.4 3 解析: 选 D.由 4x=x , 解得 x=0 或 x=2 或 x=-2(舍去), 根据定积分的几何意义可知, 2 2 1 4?? 3 3 ? 2 直线 y=4x 与曲线 y=x 在第一象限内围成的封闭图形的面积为? (4x-x )dx=?2x -4x ?? ?0 ?
0

=4. (2)求由两条曲线 y=-x2,4y=-x2 及直线 y=-1 所围成的图形的面积. 解:画出简图.(如图所示).

由题中图形的对称性知,所求图形面积为位于 y 轴右侧图形面积的 2 倍. ?y=-x2, ? 由? 得 C(1,-1),同理得 D(2,-1). ? ?y=-1, 故所求图形的面积 2 x2 ? ? ? 1? x 2 ? 2?- -(-1)? ? - -(- x ) d x + dx? ? S=2 ? ? 4 ? 4 ? ? ? ? ?? ?
2 2 ? 13x dx- 2x dx+ 21dx? =2?? 4 ? ? ? ? 4 ? ?? ?

?

0

1

?

x ? 4 ?x ? ?? =2? ? - ? +x = . ?? ? 4 ?0 12?1 ??1 3 定积分在物理中的应用 (1)有一动点 P 沿 x 轴运动,在时间 t 时的速度为 v(t)=8t-2t2(速度的正方向与 x 轴正方向一致).求: ①点 P 从原点出发,当 t=6 时, 求点 P 离开原点的路程和位移; ②点 P 从原点出发,经过时间 t 后又返回原点时的 t 值. (2)一物体在力 F(x)=2x+3(x 的单位:m,F 的单位:N)的作用下,沿着与力 F 相同的 方向,从 x=1 运动到 x=4 处,求力 F(x)所做的功. [解] (1)①由 v(t)=8t-2t2≥0,得 0≤t≤4, 即当 0≤t≤4 时,P 点向 x 轴正方向运动, 当 t>4 时,P 点向 x 轴负方向运动. 故 t=6 时,点 P 离开原点的路程为 s1=?4(8t-2t2)dt-?6(8t-2t2)dt

0 3 1

3

1 2

2

1

?0

2 128 2 2 3?? 4t2- t3?? =? -? ?= 3 . 3 ?4t -3t ?? ? ? ?0 ?4 当 t=6 时,点 P 的位移为 6 2 2 3? ? 2 ? 6 (8t-2t )dt=?4t -3t ?? =0. ? ?0 ? ②依题意?t (8t-2t2)dt=0, 2 即 4t2- t3=0,解得 t=0 或 t=6, 3 而 t=0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况, ∴t=6 是所求的值. (2)力 F(x)从 x=1 运动到 x=4 所做的功为 W=? ?
2 ? =(x2+3x)? =(42+3×4)-(1 +3×1)=24(J). 4 4 1 0

4

?4

6

?0

F(x)dx =?4(2x+3)dx

?1

?1

(1)求变速直线运动的物体的路程(位移) ①用定积分计算做直线运动物体的路程,要先判断速度 v(t)在时间区间内是否为正值, 若 v(t)>0,则运动物体的路程为 s=?bv(t)dt;若 v(t)<0,则运动物体的路程为 s=?b|v(t)|dt=

?a

?a

-?bv(t)dt.

?a

②若已知做直线运动物体的速度—时间图象, 可以先求出速度—时间函数式, 再转化为 定积分计算路程; 也可以直接计算曲边梯形的面积得到路程; 若速度—时间函数是分段函数, 要利用定积分的性质进行分段积分再求和. ③注意路程与位移的区别. (2)求变力做功的方法 ①要明确变力的函数 F(x)=kx,确定物体在力的方向上的位移. ②利用变力做功的公式 W=?bF(x)dx 计算.

?a

③注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米,功的单位才为焦耳. 3t ,t∈[0,2], ? ? 2. (1)一辆汽车做变速直线运动, 其速度函数 v=v(t)=?2t+4,t∈(2,10],(其中时间 ? ?24,t∈(10,58], t 的单位:s,速度 v 的单位:m/s) ①求汽车前 2 s 经过的路程 s1; ②求汽车前 30 s 经过的路程 s2. 解:①当 0≤t≤2 时,v(t)=3t2. ∴s1=?23t2dt=t3? =8(m). ②当 0≤t≤2 时,v=3t2;当 2<t≤10 时,v=2t+4; 当 10<t≤30 时,v=24. ∴s2=?23t2dt+?10(2t+4)dt+?3024dt
2

?0

? ?0

2

?2 10 30 ? ? 3? 2 =t ? +(t +4t)? +24t? ?0 ?2 ?10
2

?0

?10

=8+(140-12)+24×(30-10)=616(m). (2)设有一长 25 cm 的弹簧,若加以 100 N 的力,则弹簧伸长到 30 cm,又已知弹簧伸长 所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比,求使弹簧由 25 cm 伸长到 40 cm 所做的功. 解:设 x 表示弹簧伸长的量(单位:m),F(x)表示加在弹簧上的力(单位:N). 由题意,得 F(x)=kx, 且当 x=0.05 m 时,F(0.05)=100 N, 即 0.05k=100, ∴k=2 000. ∴F(x)=2 000x. ∴将弹簧由 25 cm 伸长到 40 cm 时所做的功为 W=?0.152 000xdx=1 000x2?

?0

? =22.5(J). ?0

0.15

定积分的综合应用 如图,在曲线 C:y=x2,x∈[0,1]上取点 P(t,t2),过点 P 作 x 轴的平行线 l.曲 线 C 与直线 x=0,x=1 及直线 l 围成的图形包括两部分,面积分别记为 S1,S2.

(1)求 t 的值,使 S1=S2; (2)求 t 的值,使 S=S1+S2 的值最小. [解] 根据题意,直线 l 的方程是 y=t2,且 0<t<1. 结合题图,得交点坐标分别是 A(0,0),P(t,t2),B(1,1). t 1 3?? 2 2 ? t 2 所以 S1=? (t -x )dx=?t x-3x ?? ?0 ? 1 2 =t - t3= t3,0<t<1. 3 3 1 1 3 2 ?? x -t x ? S2=?1(x2-t2)dx=? ?3 ??t ?
3 0

1 2? ?1 3 3? =? ?3-t ?-?3t -t ? 2 1 = t3-t2+ ,0<t<1. 3 3 2 2 1 (1)由 S1=S2,得 t3= t3-t2+ , 3 3 3 1 3 ∴t2= .又 0<t<1,∴t= . 3 3 3 ∴当 t= 时,S1=S2. 3 4 1 (2)由 S=S1+S2,得 S=S(t)= t3-t2+ ,0<t<1, 3 3 1 ∴S′(t)=4t2-2t,解方程 4t2-2t=0,得 t1=0(舍去),t2= . 2 当 t 变化时,S′(t)与 S(t)的变化情况如下表: 1 ?0,1? ?1,1? t 2 ? 2? ?2 ? 0 S′(t) - + 1 S(t) ↘ ↗ 4 1 1 由表知,当 t= 时,S(t)取极小值 ,也就是在区间(0,1)上的最小值. 2 4 1 ∴当 t= 时,S=S1+S2 的值最小. 2 解决与曲边图形有关的综合问题,关键是要正确分析题意,先分清是求曲边图形面积, 还是利用曲边图形面积解决其他问题,再正确作出图形,确定积分区间和被积函数,然后根 据条件,建立等量关系或方程,进行求解. 3.若由曲线 y=x2+k2 与直线 y=2kx 及 y 轴所围成的平面图形的面积 S=9,求 k 的值. 2 2 ? ?y=x +k 解:由? ,得 x=k,如图. ?y=2kx ?

t

当 k>0 时,?k(x2+k2-2kx)dx=9, x 2 2?? 即? ? 3 +k x-kx ?? =9.
3

?0

k

?0

k3 故 +k3-k3=9,得 k3=27,k=3. 3 当 k<0 时,?0(x2+k2-2kx)dx=9, x k3 3 3 +k2x-kx2?? 即? = 9 ,- -k +k =9. ? ?3 ?? k 3 ∴k=-3. 综上,k=± 3.
3

?k

0

易错警示
2

因对图形特征认识不清致误

求由抛物线 y =8x(y>0)与直线 x+y-6=0 及 y=0 所围成图形的面积 S. ?y2=8x(y>0) ? [解] 由题意,作出简图(如图)并解方程组? 得 x=2,所以 y2=8x(y>0)与 ?x+y-6=0 ? 直线 x+y-6=0 的交点坐标为(2,4).

法一:所以所求面积为 S=? 40 +(36-18)-(12-2)= . 3

?0

2

1 2 3? 4 2 3 6x- x2?? 8xdx+? (6-x)dx=2 2× x2? +? = ×22 ? 2 ??2 3 ?0 ? 3 ?
6 2

2

6

1 2? 法二:所以所求面积为 S=?4? ?6-y-8y ?dy 1 2 1 3?? 1 40 =? =24-8- ×43= . ?6y-2y -24y ?? 24 3 ?0 [错因与防范] (1)本例易出现两种错误:①S=?6(6-x- 8x)dx,②S=?4(6-x- 8x)dx.
4

?0

?0

?0

(2)应用定积分求平面图形的面积时,正确分析图形特征,将复杂的面积问题分为几部 分来求解,若更换积分变量应相应的被积函数及积分界限均需改变. 1 4.求由曲线 y= x,y=2-x,y=- x 所围成图形的面积 S. 3 解:画出草图,如图所示.

x+y=2, ?y= x, ? ? ?y= x, ? 解方程组? ? 1 得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).所 1 及? y=- x y=- x ? ?x+y=2,? ? 3 3 ? 以

1 1 - x??dx+?3?(2-x)-?- x??dx S=?1? x-? 3 3 ? ? ? ? ? ? ?? ? ?
0 1

1 1 x+ x?dx+?3?2-x+ x?dx =? ? 3 ? 3 ? ?? ??
1 0

1 1 2 1 ? 2x- x2+ x2?? =? x2+ x2?? +? 2 6 ?? 6 ? ?0 ? ?3 ?1 3 1 2 1 2x- x2?? = + +? 3 ?? 3 6 ? ?1
3

1

1

3

5 1 1 13 = +6- ×9-2+ = . 6 3 3 6

1 1 1.由直线 x= ,x=2,曲线 y= 及 x 轴所围图形的面积为( 2 x 15 17 A. B. 4 4 1 C. ln 2 D.2ln 2 2 1 1 解析:选 D.S=∫21 dx=ln 2-ln =2ln 2,故选 D. x 2 2 2.图中阴影部分的面积为( )

)

35 A. 3 32 C. 3

29 B. 3 D.2 3

2 ? ?y=x , ? 解析:选 C.由 求得两曲线的交点为(-1,1)和(3,9),于是阴影部分的面积为 ?y=2x+3 ?

S=? ?-

3

1 32 ? [(2x+3)-x2]dx - x3+x2+3x?? = . =?3 (-x2+2x+3)dx=? 3 ? ? 3 1 ? - ? 1
-1

3

25 (t 1+t 的单位: s, v 的单位: m/s)行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离(单位: m)是________. 8 25 ? 解析:由 v(t)=7-3t+ =0,可得 t=4? ?t=-3舍去?,因此汽车从刹车到停止一共行 1+t 4 25 ? 32 ? ? ? 4 4?7-3t+ 7 t - t + 25ln ( t + 1 ) 驶了 4 s,此期间行驶的距离为? v(t)dt=? =4 2 1+t?dt=? ?? ?0 ? ?? 3.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t)=7-3t+
0 0

+25ln 5. 答案:4+25ln 5 4.求曲线 y=x2,直线 y=2x 和 y=x 围成图形的面积. 解析:画出大致图象,如图.

的面积 S=?1(2x-x)dx+?2(2x-x2)dx x x? x2- ?? = ? +? 3 ?? ? 2 ?0 ?1 8 1 ? ? 1? 7 = -0+? ?4-3?-?1-3?=6. 2
2 1

2 2 ? ?y=x , ? ?y=x , 由? 和? 解出 O,A,B 三点的坐标分别是(0,0),(1,1),(2,4).故所求 ?y=x ?y=2x ? ?

?0

3

2

?1

[A.基础达标] 1.直线 y=1 与曲线 y=x2 围成的面积为( 1 2 A. B. 3 3 4 C.1 D. 3 解析:选 D. )

?y=1 ? 画出草图,由? 2解得交点的横坐标为-1 或 1. ? ?y=x 1 1 3?? 4 2 1 ? ∴围成的面积为 S=? (1-x )dx=?x-3x ?? = .故选 D. ?-1 3 ?
-1

2.曲线 y=sin x,x∈[0,π ]与 x 轴围成的平面图形的面积为( A.1 B .2 C.π D.2π

)

=-(cos π-cos 0)=2. 3.一物体在力 F(x)=3x2-2x+5(力的单位:N,位移单位:m)的作用下沿与力 F(x)相 同的方向由 x=5 m 运动到 x=10 m,则 F(x)做的功为( ) A.925 J B.850 J C.825 J D.800 J 解析:选 C.依题意 F(x)做的功是 W=?10F(x)dx=?10(3x2-2x+5)dx

? 解析:选 B.S=? sin xdx=-cos x? ?0 ?0
π

π

?5

=(x3-x2+5x)? =825(J). 4.一物体沿直线以 v=3t+2(t 单位:s,v 的单位:m/s)的速度运动,则该物体在时间 区间[2,4]行进的路程是( )

? ?5

10

?5

A.20 m C.24 m
4 2

B.22 m D.26 m

32 t +2t?? 解析:选 B.行进的路程为 S=? (3t+2)dt=? 2 ? ?? ?2 ? 3 2 ? ?3 2 ? =? ?2×4 +2×4?-?2×2 +2×2?=22(m). 5.由曲线 y=x2 与直线 y=2x 所围成的平面图形的面积为( ) 16 8 A. B. 3 3 4 2 C. D. 3 3 解析:选 C.如图,画出曲线 y=x2 和直线 y=2x 的图象,则所求面积 S 为图中阴影部分 的面积.

4

? ?y=2x, ? ?x=0,? ?x=2, ? 解方程组? 得? 2 ? ?y=x , ? ?y=0,? ?y=4. ∴A(2,4),O(0,0). 2 2 ? 1 ? ∴S=?22xdx-?2x2dx=x2? - x3? ?0 3 ?0 ? ?

8 ? 4 =4-? ?3-0?=3. 6.图中阴影部分的面积为________.

0

0

解析:

?y=5-x2, ? 由? 得交点坐标为 A(2,1), ? ?y=1, S=?2(5-x2)dx-?21dx=?2(4-x2)dx

?0

1 3?? 8 16 =? =8- = . ?4x-3x ?? 3 3 ?0 16 答案: 3 7.一辆汽车的速度—时间曲线如图,则汽车在 1 分钟内行驶的路程为________.

2

?0

?0

解析:由速度—时间曲线得 3t,0≤t≤10, ? ? v(t)=? 3 ? ?-5t+36,10<t≤60, ∴汽车在 1 分钟内行驶的路程为 3 10 - t+36?dt 3tdt+?60? ? 5 ? ? ? ?
0

3 3 ? - t2+36t?? = t2? +? ?? 2 ?0 ? 10 ?10 =150+750=900 m. 答案:900 m 1 8.由 y= ,y=1,y=2,x=0 所围成的面积为________. x 解析:画出简图:

10

10

60

所求面积即为阴影部分的面积, 2 ? 21 于是 S=? dy=ln y? =ln 2-ln 1=ln 2. ?1 ?y
1

答案:ln 2 9.(1)求由曲线 y=2x-x2,y=2x2-4x 所围成图形的面积. - (2)求由曲线 y=ex,y=e x 及 x=1 所围成图形的面积. ?y=2x-x2, ? 解:(1)由? 得 x1=0,x2=2, 2 ? ?y=2x -4x,

由图可知,所求图形的面积为 2 (2x2-4x)dx? ? S=?2(2x-x2)dx+? ? ? ? =? (2x-x )dx-? (2x2-4x)dx

?0
2

0

?0

2

1 ?2x3-2x2?? x2- x3?? =? - =4. ? 3 ? ??0 ? 3 ?? ?0 x ? ?y=e , ? (2)如图,由 -x ,解得交点为(0,1). ?y=e ?

2

?0

2

2

所求面积为 1 ? S=? (e -e )dx=(e +e )? =e+ -2. e ? ?0 0
1 x
-x

1

x

-x

10.往边长为 e 的正方形 OABC 内任掷一点 P,求 P 点落在阴影部分的概率.

解:

由图可知,曲线 y=ex 与 BC 的交点坐标为(1,e),与 y 轴的交点坐标为(0,1). 曲线 y=ln x 与 AB 的交点坐标为(e,1),与 x 轴的交点坐标为(1,0). 由于 y=ex 与 y=ln x 关于直线 y=x 对称, 所以如图所示可知 SⅠ=SⅡ, 所以阴影部分的面积为 S 阴=S 正方形 OABC-2SⅠ

? =e -2? (e-e )dx=e -2(ex-e )? =e2-2, ?0 ?0
2 1 x 2 x

1

S阴 所以 P 点落在阴影部分的概率为 P= S正方形OABC e2-2 2 = 2 =1- 2. e e [B.能力提升] π π 1.由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( 3 3 1 A. B .1 2 3 C. D. 3 2 解析:选 D.

)

结合图形可得:

π

S=∫ 3

? π - cos xdx=sin x? π 3 ?- 3
)

π 3

π π -sin?- ?= 3. 3 ? 3? 2.如图,阴影部分的面积为( =sin

A.2 3 32 35 C. D. 3 3 解析:选 C.阴影部分面积

B.2- 3

x3 ? 3x- -x2?? S=?1 [(3-x2)-2x]dx=? 3 ? ?

1

?-3

?-3



32 .故选 C. 3

1? 2 3.如图,已知点 A? ?0,4?,点 P(x0,y0)(x0>0)在曲线 y=x 上,若阴影部分面积与△OAP 面积相等,则 x0=________.

1 1 解析:由题意得∫x00x2dx= × ×x0, 2 4 1 3 1 即 x0= x0, 3 8 6 解得 x0= . 4 6 答案: 4 1 ? 4.已知函数 y=f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A(0,0),B? ?2,5?,C(1,0).函数 y= xf(x)(0≤x≤1)的图象与 x 轴所围成的图形的面积为________. 1 10x,0≤x≤ , 2 解析:由题意 f(x)= 1 -10x+10, <x≤1, 2 1 2 10x ,0≤x≤ , 2 则 xf(x)= 1 -10x2+10x, <x≤1. 2

? ? ?

? ? ?

∴函数 y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与 x 轴所围成的图形的面积为∫2010x2dx+∫11(-10x2+
2

1

10 ? 10 1 10 5 10 1 5 10 ?2 5x2- x3??1= × +?5- ?-? - × ?= . 10x)dx= x3? +? 3 ??2 3 8 ? 3 ? ? 4 3 8? 4 3 ? ? 5 答案: 4 5.在曲线 y=x2(x≥0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成的图形的面积 1 为 ,试求切点 A 的坐标及过切点的切线方程. 12 解:设切点 A(x0,x2 0),切线斜率为 k=y′|x=x0=2x0,
0

1

1

∴切线方程为 y-x2 0=2x0(x-x0). x0 令 y=0,得 x= ,如图, 2 ∴S=∫ 2 0x2dx+∫x0x [x2-(2x0x-x2 0)]dx
0

x0

2

1 3 x. 12 0 1 1 ∴ x3 = ,x =1. 12 0 12 0 ∴切点为(1,1),切线方程为 y=2x-1. 6.如图, 直线 y=kx 分抛物线 y=x-x2 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分, 求 k 的值. =

解:抛物线 y=x-x2 与 x 轴两交点的横坐标分别为 x1=0,x2=1, ∴抛物线与 x 轴所围成图形的面积为 1 x2 x3?? 1 1 1 - ?= - = . S=?1(x-x2)dx=? ? 2 3 ??0 2 3 6 ?
2 ? ?y=x-x , ? 又 ? ?y=kx, 0

解得两交点的横坐标分别为 x′1=0,x′2=1-k, S ∴ =?1-k(x-x2-kx)dx 2 ?
0

1-k 2 x3?? 1 =? x - ? =6(1-k)3. 3 ??0 ? 2 1 又 S= , 6 1 1 ∴ (1-k)3= , 6 12 1 ∴(1-k)3= . 2 ∴k=1- 3 3 1 4 =1- . 2 2

1-k


更多相关文档:

选修2-2——定积分的简单应用

选修2-2——定积分的简单应用_数学_高中教育_教育专区。1.7 定积分的简单应用 1.问题导航 (1)利用定积分求平面图形的面积时,需要知道哪些条件? (2)两条曲线...

选修2-2第一章《定积分的简单应用》

学科教师辅导讲义讲义编号 学员编号: 学员姓名: 课题年级:高一 辅导科目:数学 课时数: 3 学科教师: 定积分的简单应用 1.理解定积分与相应平面图形面积的关系; 2...

高二年级理科数学选修2-2定积分的简单应用

高二年级理科数学选修2-2定积分的简单应用 隐藏>> 定边四中高二年级理科数学学科教学案主备人:曹世鹏 选修:2-2 审核人:李秀萍 时间:2013 年月日 个人空间 总第...

高中数学人教版选修2-2教学设计:1.7 定积分的简单应用教案

高中数学人教版选修2-2教学设计:1.7 定积分的简单应用教案_数学_高中教育_教育专区。高中数学人教版选修2-2教学设计 1.7 定积分的简单应用一、教学目标 知识与...

高中数学选修2-2 17 定积分的简单应用导学案及练习题

高中数学选修2-2 17 定积分的简单应用导学案及练习题_数学_高中教育_教育专区。[学习要求] 1.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题. 2....

选修2-2同步练习 1.7 定积分的简单应用

选修2-2同步练习 1.7 定积分的简单应用_高二数学_数学_高中教育_教育专区。选修 2-2 一、选择题 1.7 定积分的简单应用 1.如图所示,阴影部分的面积为( ) ...

高中数学人教版选修2-2教学设计:定积分在几何中的简单应用教学设计

定积分在几何中的简单应用》教学设计设计教师: 教学年级:高二年级 课题名称:定积分在几何中的简单应用 授课时间:40 分钟 教材版本:人教版高中数学选修 2-2 一...

【人教版】数学选修2-2《定积分及其应用》课后练习(2)(含答案)

【人教版】数学选修2-2定积分及其应用》课后练习(2)(含答案)_数学_高中教育_教育专区。定积分及其应用课后练习(二) 主讲教师:纪荣强 北京四中数学教师 题一:...

新人教A版选修2-2《1.7 定积分的简单应用》知能检测及答案

新人教A版选修2-2《1.7 定积分的简单应用》知能检测及答案_数学_高中教育_教育专区。备课大师:免费备课第一站! 【课堂新坐标】 (教师用书)2013-2014 学年...

高中数学(人教A版,选修2-2)备选练习:1.7定积分的简单应用

高中数学(人教A版,选修2-2)备选练习:1.7定积分的简单应用_数学_高中教育_教育专区。高中数学(人教A版,选修2-2)备选练习 选修2-2 第一章 1.7 1.如图是...
更多相关标签:
定积分的简单应用ppt | 定积分的简单应用 | 选修2 2定积分总结 | 定积分简单计算例题 | 简单的定积分计算例题 | 定积分简单例题 | 最简单的定积分计算 | 定积分的应用 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com