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第九课时 平面向量数量积的坐标表示、模、向量的夹角


临猗中学 zdj

授课时间: 第 9 课时: 教学内容:





(总编第 69 时)
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

教学目标:1、知识与技能
⑴理解并掌握平面向量数量积的坐标表达式,会进行数量积的运算. ⑵理解并掌握向量的模、夹角等公式,能够根

据公式解决两个向量夹角、垂直等问 题.

2、过程与方法
⑴培养学生转化能力,以及利用代数方法研究几何问题的思想方法. ⑵体会数形结合的思想方法.

3、情感、态度和价值观
经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程,体验在此基础上探索 发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣,培养学生的数学探究能力、创 新精神;

教学重点:探究发现公式,应用公式解决问题 教学难点:探究发现公式 教学方法:读、议、讲、练教学法 教 具:

教后反思:

1

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教学过程: 一、温故知新,引入课题
⑴平面向量数量积的定义? ⑵平面向量的数量积的几何意义? ⑶平面向量数量积的运算律?不满足哪些运算律? 上节课,我们利用平面向量的数量积处理了有关向量长度、角度、垂直等问题,今天, 我们从向量坐标的角度来学习平面向量数量积的运算及性质。 【问题引领,自主探究】 ⑴平面向量的数量积的坐标表示? ⑵平面向量模的坐标表示? ⑶两向量垂直的坐标表示? ⑷两向量夹角公式的坐标表示? (学生自学课本 p106?107 ,教师巡视)

二、进行新课
1、平面向量的数量积的坐标表示 ? ? ? ? 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ; 【说明】 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0; 设 i 是 x 轴上的单位向量,j 是 y 轴上的单位向量, 则 i ? i ? 1; j ? j ? 1; i ? j ? j ? i ? 2、向量模的坐标运算 设 a ? ? x, y ? ,则 a ? x2 ? y2 ; 【说明】 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 AB ? ? x1 ? x2 ?2 ?? y1? y2 ?2 称为平面内两点间距离公式; 3、两向量垂直的坐标表示 ? ? ? ? ? ? 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ; 4、两向量夹角公式的坐标表示
?? ? ? ? ? a?b 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , a 与 b 的夹角为 ? ,则 cos ? ? ? ? ? ab x1x2 ? y1 y2 x12 ? y12 ? x22 ? y22

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??? ?



5、例题分析 例 1、 ( p106 例 5) 【说明】向量的数量积是否为 0,是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法; 例 2、 ( p107 例 6) 【说明】求出 cos ? 以后,应先注明 ? ? ?0,? ? ,再得出 ? 的取值; 【课堂练习】 p107 1、2、3; 例 3、已知 ?ABC 中, A ? 2,?1? , B ? 3,2 ? , C ? ?3,?1? , BC 边上的高为 AD ,求 D 点坐标; 【答案】 D ?1,1? ; 【说明】利用坐标处理向量的平行与垂直问题时,可巧记为:垂直对应乘积和为 0,平 行交叉积相等; 例 4、已知点 A ?1,2 ? , B ? 4,?1? ,问在 y 轴上是否存在一点 C ,使得 ?ACB ? 90? ,若不存在, 请说明理由;若存在,求出点 C 的坐标。 【答案】不存在; 【说明】对于存在性问题,一般思路是:先假设其存在,然后根据假设进行推理,从 而肯定或否定假设,据此得出结论; ? ? ? ? 例 5、已知 a ? ? ?2,?1? , b ? ? t ,1? ,且 2 a 与 b 的夹角是钝角,求实数 t 的取值范围是。 【答案】 t ? ?
1 且t ? 2; 2

2

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【说明】 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则
? ? a?b ? 0 夹角为锐角 ? ? ? ? a // b ? ? a?b ? 0 夹角为钝角 ? ? ? ? a // b

?

?

x1 x2 ? y1 y2 ? 0

x1 y2 ? y1x2 x1 x2 ? y1 y2 ? 0
x1 y2 ? y1x2

三、归纳小结,强化思想
通过本节课的学习,同学们要理解要掌握平面向量数量积的坐标表示,能运用平面向 量数量积的坐标表示处理有关长度、角度、垂直等问题. 【梳理整合】

? ? ?? ??坐标运算:设a =? x , y ?, b?? x2 , y2 ?,则a?b ? x1x2 ? y1 y2; 1 1 ? ? ? ? ? b ?? x2 , y2 ?,则a ?b ? x1x2 ? y1 y2 =0; 平面向量 ??垂直:设a =? x1 , y1 ?, ?? ? ? ? x1x2 ? y1y2 a?b ? 数量积 ??夹角:两个非零向量a与b的夹角? 满足 cos? ? ? ; ? 2 2 2 2 ? ab x1 ? y1 ? x2 ? y2 坐标表示 ? ? ? ??向量的模:设a =? x, y ?,则 a = x 2 ? y 2; ?

四、作业设计
习题 2.4:A 组 1---11 题;B 组 1、2、3、4 题; 【课后拓展延伸】 1、已知向量 a ? ?1,2 ? , b ? ? ?2,?4? , c ? 5 , ? a ?b ? ? c ?
? ?
?
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? ? 5 ,则 a 与 b 的夹角是( 2



A、 30? B、 60? C、 120? D、 150? 【答案】C; ??? ? ???? 2、在 ?ABC 中, ?C ? 90? , AB ? ? k ,1? , AC ? ? 2,3? ,则实数 k 的值为(
3 3 A、5 B、 ?5 C、 D、 ? 【答案】A; 2 2 ? ? ? ? 3、已知 a ? ? 4,3? ,向量 b 是垂直于 a 的单位向量,则 b 等于( )



?3 4? ? 4 3? ?3 4? ? 3 4? B、 ? , ? 或 ? ? ,? ? ?5 5? ? 5 5? ?5 5? ? 5 5? ?3 4? ? 3 4? ?3 4? ? 3 4? C、 ? ,? ? 或 ? ? ,? ? D、 ? , ? ? 或 ? ? , ? 【答案】C; ?5 5? ? 5 5? ?5 5? ? 5 5? ? ? ? ? 4、若向量 a ? ? 2,3? , b ? ? ?4,7 ? ,则向量 a 在 b 方向上的投影为( )

A、 ? , ? 或 ? , ?

D、 13 【答案】A; ? ? ? ? 5、已知 a ? ? t ,?1? , b ? ?1,1? ,且 2 a 与 b 的夹角是锐角,则实数 t 的取值范围 B、 ?1,?? ? C、 ? ??,?1? D、 ? ??,?1? 【答案】A; ? ? ? ? b ? ? 2m?1,m?2? , 6、 已知 a ? ? m?2,m?3? , 且 a 与 b 的夹角大于 90? , 则实数 m 的取值范围是 ( A、 m ? 2 或 m ? ?
??? ? ??? ? 7、已知向量 OA ? ? 2,2 ? , OB ? ? 4,1? ,在 x

A、

65 5

B、 65

C、

13 5

是( ) A、 ?1,?? ?



4 3

B、 ?

4 ?m?2 3

C、 m ? 2

D、 m ? 2 或 m ? ?

??? ? ??? ? 轴上取一点 P ,使 AP ? BP

4 3

【答案】B;

有最小值,则点 P 坐标是

( ) A、 ? ?3,0 ? B、 ? 2,0? C、 ? 3,0? D、 ? 4,0? 【答案】C; ??? ? ??? ? ???? 8、已知向量 OA ? ? 3,?4? , OB ? ? 6,?3? , OC ? ? 5?m,?3?m? , ⑴若点 A 、 B 、 C 能构成三角形,求实数 m 的取值范围; ⑵若点 A 、 B 、 C 构成以 ?A 为直角的三角形,求实数 m 的值; 9、已知向量 a ? ? cos x,sin x ? , b ? ? cos ,? sin ? ,且 x ? ?? , ? ; ? 2 2 ? ? 2 2? ? 3 4? ⑴求 a ? b 及 a?b ;
3
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3

3 ?

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x

x?

? ? ??

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⑵若 f ? x ? ? a ? b ? a?b ,求 f ? x ? 的最大值和最小值; 【答案】⑴ a ? b ? cos 2 x ; a?b ? 2 cos x ;
3 ? ? ?? 1? ⑵由题 f ? x ? ? 2 ? ? cos x? ? ? , ? x ? ?? , ?
2

? ?

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? ?

2 ? 3 4? ? 2? 1 3 当c ? 当 cos x ? 时, f ? x ? 的取得最小值为 ? ; o s x1 ? 时, f ? x ? 的取得最大值为 ?1 ; 2 2

?

1 ?c o s x ? 1 2

4


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