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2.1.2指数函数(二)


指数函数图象 及其性质

指数函数的定义: 函数 y?

a (a ? 0且a ? 1)
x

叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是R。 指数函数的特点:

y ? 1? a
系数为1

x

自变量仅有 这一种形式
底数为

正数且不为1

y?a

kx

(k ? 0) (a ? 0且a ? 1)
(3) y ? 3
x2

下列函数中,哪些y是x的指数函数?

(1) y ? 2? x√
(4) y ? 3
?2 x ?1

(2) y ? 3 √
2x

X

X

(5) y ? (2 x )3√

经验交流

例1 函数 y ? (a ? 3a ? 3)a 是指数
2 x

函数, 求a的值.

复习引入
指数函数的图象和性质:

a>1
图 象

0<a<1

性 在 R 上是增函数 质 x

定义域 R;值域(0,+∞) 过点(0,1),即x=0时,y=1
在 R 上是减函数

x>0时,a >1; x<0时,0<ax<1

复习引入
指数函数的图象和性质:

a>1
图 象
y y=ax (a>1) x

0<a<1

O

性 在 R 上是增函数 质 x

定义域 R;值域(0,+∞) 过点(0,1),即x=0时,y=1
在 R 上是减函数

x>0时,a >1; x<0时,0<ax<1

复习引入
指数函数的图象和性质:

a>1
图 象
y y=ax (a>1) x

0<a<1
y=ax (0<a<1) y

O

O

x

性 在 R 上是增函数 质 x

定义域 R;值域(0,+∞) 过点(0,1),即x=0时,y=1
在 R 上是减函数

x>0时,a >1; x<0时,0<ax<1

复习引入
指数函数的图象和性质:

a>1
图 象
y y=ax (a>1) x

0<a<1
y=ax (0<a<1) y

O

O

x

性 在 R 上是增函数 质 x

定义域 R;值域(0,+∞) 过点(0,1),即x=0时,y=1
在 R 上是减函数

x>0时,a >1; x<0时,0<ax<1

复习引入
指数函数的图象和性质:

a>1
图 象
y y=ax (a>1) x

0<a<1
y=ax (0<a<1) y

O

O

x

性 在 R 上是增函数 质 x

定义域 R;值域(0,+∞) 过点(0,1),即x=0时,y=1
在 R 上是减函数

x>0时,a >1; x<0时,0<ax<1

复习引入
指数函数的图象和性质:

a>1
图 象
y y=ax (a>1) x

0<a<1
y=ax (0<a<1) y

O

O

x

性 质

定义域 R;值域(0,+∞) 过点(0,1),即x=0时,y=1
在R上是增函数 x>0时,ax>1; x<0时,0<ax<1 在 R 上是减函数

复习引入
指数函数的图象和性质:

a>1
图 象
y y=ax (a>1) x

0<a<1
y=ax (0<a<1) y

O

O

x

性 质

定义域 R;值域(0,+∞) 过点(0,1),即x=0时,y=1
在R上是增函数 x>0时,ax>1; x<0时,0<ax<1 在R上是减函数

复习引入
指数函数的图象和性质:

a>1
图 象
y y=ax (a>1) y=1 x

0<a<1
y=ax (0<a<1) y

O

O

x

性 质

定义域 R;值域(0,+∞) 过点(0,1),即x=0时,y=1
在R上是增函数 x>0时,ax>1; x<0时,0<ax<1 在R上是减函数

复习引入
指数函数的图象和性质:

a>1
图 象
y y=ax (a>1) y=1 x

0<a<1
y=ax (0<a<1) y y=1 x

O

O

性 质

定义域 R;值域(0,+∞) 过点(0,1),即x=0时,y=1
在R上是增函数 x>0时,ax>1; x<0时,0<ax<1 在R上是减函数

复习引入
指数函数的图象和性质:

a>1
图 象
y (0,1) y=ax (a>1) y=1 x

0<a<1
y=ax (0<a<1) y (0,1) O y=1 x

O

性 质

定义域 R;值域(0,+∞) 过点(0,1),即x=0时,y=1
在R上是增函数 x>0时,ax>1; x<0时,0<ax<1 在R上是减函数

复习引入
指数函数的图象和性质:

a>1
图 象
y (0,1) y=ax (a>1) y=1 x

0<a<1
y=ax (0<a<1) y (0,1) O y=1 x

O

性 质

定义域 R;值域(0,+∞) 过点(0,1),即x=0时,y=1
在R上是增函数 x>0时,ax>1; x<0时,0<ax<1 在R上是减函数

复习引入
指数函数的图象和性质:

a>1
图 象
y (0,1) y=ax (a>1) y=1 x

0<a<1
y=ax (0<a<1) y (0,1) O y=1 x

O

性 质

定义域 R;值域(0,+∞) 过点(0,1),即x=0时,y=1
在R上是增函数 x>0时,ax>1; x<0时,0<ax<1 在R上是减函数 x>0时,0<ax<1; x<0时,ax>1

练习: 1. 用“>”或“<”填空:
? 1 ?5 ? ? ?4?
3

?1? < ?1? ? ? ? ? ?4? ?4?
5.06
7 ? 4

3 5

0

?4? ? ? ? 3?

5 6

? 4? > ? ? ? 3?

0

< 5.060

0.19

?

2 3

> 0.19 0

练习: 1. 比较下列各数的大小:

(1) 1 , 0.4
0

?2.5

,2

?0.2

, 2.5 .
1.6
?2.5

2

?0.2

? 1 ? 2.5 ? 0.4
0 1.6

?1? (2) 4 , 8 , ? ? ?2?
1.5 0.9

?2.5

4

1.5

?8

0.9

?1? ?? ? ?2?

?2.5

观察图象,思考:
6

g?x? = 3x f?x? = 2x h?x? = 1.6x

当a>1时,随着 a的增大,指数函数 y=ax图象如何变化?

5

4

3

2

1

-2

2

4

g?x? = 0.3x f?x? = 0.5x h ?x? = 0.6x

6

观察图象,思考:

5

4

3

当0<a<1时,随 着a的增大,指数函数 y=ax图象如何变化?

2

1

-4

-2

2

练习 如图为指数函数: (1) y ? a (2) y ? b (3) y ? c
x x

y

( 2)
(1)

( 3)
( 4)

x x

(4) y ? d 的图象,

比较 a, b, c, d 与1的大小关系. O

x

c ? d ?1? a ? b

利用图象,比较下列 各数的大小。

6

g?x? = 3x f?x? = 2x h?x? = 1.6x

5

2 , 3 , 1.6

1.7

1.7

1.7
4

3 ?2
1.7

1.7

? 1.6

3

1.7
2

1

-2

2

4

g?x? = 0.3x f?x? = 0.5x h ?x? = 0.6
x

6

利用图象,比较下列 各数的大小。

5

4

0.5

?1.7

, 0.3 , 0.6

-1.7

?1.7

3

2

0.3

-1.7

? 0.5

?1.7

? 0.6

?1.7

1

-4

-2

2

心得体会

一、运用指数函数单调性比较大小: 将下列各数值按从小到大的顺序排列

4 2 3 3 5 0 ( ) , 2 , (? ) , ( ) , ( ) . 3 3 4 6
2 3 3 5 0 4 (? ) ? ( ) ? ( ) ? ( ) ? 2 3 4 6 3
1 2 1 3 2 3

1 3

2 3

1 2

指数函数单调性的运用

?1? 1 解不等式 : ? ? 、 ? 3?

?3 x ? 4

?9

2、 求函数 y ? 2

?2 x ?1

? 8 的定义域.

二、求指数复合函数的定义域、值域:
例2 求下列函数的定义域、值域

(1) y ? 0.4

1 x ?1

(2) y ? 2 ? 1
x

定义域为?x ? R | x ? 0?

定义域为R
值域为 (1, ? ?)

值域为?y | y ? 0且y ? 1?

(3) y ? 3

5 x ?1

1 定义域为[ , ? ?) 5 值域为[1, ? ?)

( 4) y ? 3 ? 1
x

定义域为R
值域为[1, ? ?)

练习: 7.求下列函数的定义域、值域:

(1) y ? 3

1 2? x

1 ( 2) y ? ( ) 2
x

x ?1

1 x 2 ?4 x ( 3) y ? ( ) 4

(4) y ? 3 ? 1

课堂小结
1. 运用指数函数的单调性比较大小; 2. 求指数复合函数的定义域、值域.

课后作业
1.课本 P58 练习2

P59 A组 5
P44 A组 2,4,6,8,10 2. 报纸第4期第四版(并订正第3期) 3. 复习备考

例3 解不等式:

(1) 2 ? 4
x

x ?1
2 x ?4

( 2) a

3 x ?1

?a

(a ? 0, a ? 1)

例4 已知 y1 ? a

3 x ?1
2x



y2 ? a (a ? 0, a ? 1),

x为何值时, 1 ? y2 ? y

思 考
作出下列函数的图象 (1) y=2x+1 (2) y=2x+2


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