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2013年全国高中数学联赛二试


2013 年全国高中数学联赛竞赛加试试题 一、 (本题满分 40 分)如图,A 是圆ω 的一条弦,P 为弧 AB 内一点,E、F 为线段 AB 上两 点,满足 AE=EF=FB.连接 PE、PF 并延长,与圆ω 分别相交于点 C、D.求证: EF·CD=AC?BD

二、 (本题满分 40 分)给定正整数 u,v.数列 ? an ? 定义如下: a1 ? u

? v ,对整数 m ? 1 ,

? a2 m ? am ? u ? ? a2 m ?1 ? am ? v
记 Sm ? a1 ? a2 ? ? ? am (m=1,2,…).证明:数列 ? S n ? 中有无穷多项是完全平方数. 三、 (本题满分 50 分)一次考试共有 m 道试题,n 个学生参加,其中 m,n≥2 为给定的整 数.每道题的得分规则是:若该题恰有 x 个学生没有答对,则每个答对该道题的学生得分, 未答对的学生得零分.每个学生的总分为其 m 道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列 为 p1 ? p2 ? ? ? pn ,求 p1 ? pn 的最大可能值. 四、 (本题满分 50 分)设 n,k 为大于 1 的整数, n ? 2 .证明:存在 2k 个不被 n 整除的整数,
k

若将他们任意分成两组,则总有一组有若干个数的和被 n 整除.


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