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模拟卷高考数学选择题怎么选


Using the research method of literature, means of observation, behavioral approach, conceptual analysis and the pattern of information-seeking of local and overseas were analyzed and compared, Basic pattern strategies of technology information-seeking

高考数学选择题怎么选 高考数学选择题怎么选
解答高考数学选择题既要求准确破解,又要快速选择,正如《考试说明》中明确指出的,应“多一点想的,少一 点算的”,该算不算,巧判关. 因而,在解答时应该突出一个"选"字,尽量减少书写解题过程,在对照选支的同时, 多方考虑间接解法,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择巧法,以便快速智取. 下面按知识版块加以例说. 1. 函数与不等式

例1

? x 2 (x > 0), ? ? 已知 f ( x ) = ? π (x = 0), f { f [ f (? 3)]} 的值等于( ). 则 ? ? 0 (x < 0), ?
B.

A. 0 讲解 例2

π

C.

π2

D.

9

2 π 由 f { f [ f (? 3)]} = f { f (0 )} = f { } = π ,可知选 C.

函数 f ( x ) = x 2 + bx + c( x ≥ 0 ) 是单调函数的充要条件是( B. b ≤ 0 C. b > 0

). D.

A. b ≥ 0

b<0

2 讲解 抛物线 f ( x ) = x + bx + c 的开口向上,其对称轴为 x = ?

b ? b ? ,于是有 [0,+∞ ) ? ? ? , ∞ ? 是递增区间,从 + 2 ? 2 ?

而?

b ≤ 0, b ≥ 0, 应选 A. 即 2

例 3 不等式 x + log 2 x < x + log 2 x 的解集是( ). A. (0,1) 讲解 B. (1,+∞ ) C. (0,+∞ ) D.

(? ∞, ∞ ) +

当 x 与 log 2 x 异号时,有 x + log 2 x < x + log 2 x , 则必有 x > 0 ,从而 log 2 x < 0 ,解出 0 < x < 1 ,

故应选 A. 例4

?2? 关于函数 f (x ) = sin x ? ? ? ?3?
2

x

+

1 ,有下面四个结论: 2

(1) f ( x ) 是奇函数; (2)当 x > 2003 时, f ( x )〉 恒成立;

1 2

(3) f ( x ) 的最大值是

3 ; 2 1 (4) f ( x ) 的最小值是 ? . 2
1

其中正确结论的个数是( ). A. 1 个 B. 2 个 讲解 由 f ( x ) 是偶函数,可知(1)错;

C. 3 个

D. 4 个

1 ?2? 又当 x = 1000π 时, f ( x ) = ? ? ? 2 ?3?

1000 ρ

<

1 ,所以错(2); 2

3 ?3?2 3 当 x = ,f ( x ) = ? ? ? < ,故(3)错; 2 2 ?2? 2
2. 从而对照选支应选 A. 三角与复数 例5 A. 2 如果函数 y = sin2x + a cos2x 的图象关于x= ? B.- 2 C. 1

π

π

π
8

对称,则a=( ).

D. -1

讲解 因为点(0,0)与点( ?

π
4

,0)关于直线x= ?

π
8

对称,所以a必满足:

sin0 + a cos0=sin( ?

π
2

)+ a cos( ?

π
2

) ,

解出a=-1,从而可以排除 A, B, C.,故应选 D. 例 6 在 (0,2π ) 内,使 cos x < sin x 成立的 x 的取值范围是( ) .

A.

?π ? ? ,π ? ?4 ? ? π 5π ? ? , ? ?4 4 ?
将原不等式转化为 2 sin ? x ?

B.

? π π ? ? 5π ? ? , ? U ? π, ? ?4 2? ? 4 ? ?π ? ? 5π 3π ? ? ,π ? U ? , ? ?4 ? ? 4 2 ?

C.

D.

讲解

? ?

π?

π π 7π π ,从而 0 < x ? < π ,故 ? > 0. 由 0 < x < 2π ,知 ? < x ? < 4 4 4 4 4?

应选 C. 事实上,由 x = π 显然满足 cos x < sin x ,从而否定 A, B, D, 故应选 C. 亦可在同一坐标系中,作出函数 y = sin x 和 y = cos x 在 (0, ) 上的图象,进行直观求解. 2π 例 7 复数 z = A. 第一象限 C. 第三象限 讲解

m ? 2i (m ∈ R, i为虚数单位) 在复平面上对应的点不可能位于( ) . 1 + 2i
B. 第二象限 D. 第四象限

z=

1 (m ? 2i )(1 ? 2i ) = 1 [(m ? 4 ) ? 2(1 + m )i ]. 5 5

由?

?m ? 4 > 0, 无解,可知应选 A. ?? 2(1 + m )

亦可取特值进行排除.事实上 记复数 z 对应的点为 P.若取 m = ?2 ,点 P 在第二象限;若取 m = 0 ,则点 P 在第三象限; 若取 m = 5 ,则点 P 在第四象限,故应选 A.
2

例 8 把曲线 y cos x + 2 y ? 1 = 0 先沿 x 轴向右平移 ( ) . A. (1 ? y )sin x + 2 y ? 3 = 0 C. B. D.

π
2

个单位,再沿 y 轴向下平移 1 个单位,得到的曲线方程是

( y ? 1)sin x + 2 y ? 3 = 0
? ( y + 1)sin x + 2 y + 1 = 0

( y + 1)sin x + 2 y + 1 = 0

讲解 对 y cos x + 2 y ? 1 = 0 作变换

(x, y ) → ? x ? π ,y + 1?, ? ?
? 2 ?


( y + 1) cos? x ? π ? + 2( y + 1) ? 1 = 0, ? ?
? 2?

即 故应选 C.

( y + 1)sin x + 2 y + 1 = 0 .
记住一些运动变换的小结论是有效的.本题是函数 y =

1 向方程式的变式,较为新颖. 2 + cos x

3. 数列与排列组合 例9 由 a1 = 1,a n +1 =

an 给出的数列 {a n } 的第 34 项是( ). 3a n + 1
C.

A.

34 103

B.

100

1 104

D.

1 4

讲解 对已知递推式两边取倒数, 得

1 a n +1


=

3a n + 1 , an

1

a n +1

?

1 = 3. an

这说明数列 ?

?1? 1 ? 是以 = 1 为首项, 3 为公差的等差数列, 从而有 a1 ? an ?
1 1 = + 33d = 100, a 34 a1



a 34 =

1 ,故应选 B. 100

构造等差数列、等比数列是解决数列考题的常用方法, 值得我们重视. ,把一个这种细胞放入一个容器内,恰好一小时充满;如 例 10 一种细胞,每三分钟分裂一次(一个分裂为两个) 果开始时把两个这种细胞放入该容器内,那么细胞充满容器的时间为( ). A. 57 分钟 B. 30 分钟 C. 27 分钟 D.45 分钟 从而共花去时间为 19 × 3 = 57 分钟,故应选 A. 讲解 设容器内细胞共分裂 n 次,则 1 ? 20 = 2 ? 20 ,即 n = 19,
n

例 11 从正方形的 6 个面中选取 3 个面,其中有 2 个面不相邻的选法共有(

).
3

A. 8 种

B. 12 种

C. 16 种

D.

20 种
1

讲解 采用补集思想求解. 从 6 个面中任取 3 个面的取法共有 C 3 种方法,其中三个面交于一点共有 8 种可能,从 而满足题意的取法共有 C 3 ? 8 = 12 种,故应选 B.
1

请读者思考:关系式: C 4 ? C 3 = 12 的含义是什么?
1 1

4. 立体几何 如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的 例 12 正方形,EF∥AB,EF 与面 AC 的距离为 2,则该多面体的体积为( )

E

F

A.

9 2

B.5

C.6

D.

15 2

D A B

C

讲解 本题的图形是非常规的多面体,需要对其进行必要的分割. 连 EB 、 EC , 得 四 棱 锥 E ― ABCD 和 三 棱 锥 E ― BCF , 这 当 中 , 四 棱 锥 E ― ABCD 的 体 积 易 求 得

1 V E ? ABCD = × 3 × 3 × 2 = 6 , 又因为一个几何体的体积应大于它的部分体积, 所以不必计算三棱锥 E―BCF 的体积, 就 3
可排除 A, B.,C.,故应选 D. “体积变换”是解答立体几何题的常用方法,请予以关注. 例 13 关于直线 a, b, l 以及平面 M , N ,下面命题中正确的是( A. 若 a // M , b // M , 则 a // b; B. 若 a // M , b ⊥ a, 则 b ⊥ M ; C. 若 a ? M , b ? M , 且 l ⊥ a, l ⊥ b, 则 l ⊥ M ; D. 若 a ⊥ M , a // N , 则 M ⊥ N .
, 讲解 对于选支 D, 过 a 作平面 P 交平面 N 于直线 a ,则 a // a ,而 a ⊥ M , 从而 a ⊥ M ,
, ,

).

又 a , ? N , 故 M ⊥ N , 应选 D. 请读者举反例说明命题 A, B, C, 均为假命题. 5. 解析几何 例 14 则 过抛物线y= a x (a> 0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 FP 与 FQ 的长分别是p、q, ).
2

1 1 + =( p q
A. 2a

B.

1 2a

C.

4a

D.

4 a

讲解 由题意知,对任意的过抛物线焦点 F 的直线,

1 1 + 的值都是 a 的表示式,因而取抛物线的通径进行求解, p q
4

则p=q=

1 1 1 4 ,所以 + = ,故应选 D. 2a p q a

例 15 点 P (0,1) 到曲线 ?

? x = t 2, ? y = 2t

(其中参数 t ∈ R )上的点的最短距离是(

).

A. 0

B. 1

C.

2

D.

2

2 讲解 由两点间的距离公式,得点 P (0,1) 到曲线上的点 Q t ,t 的距离为
2

(

)

PQ =

(t

2

? 1 + (2t ) =
2 2

)

(t

2

+1

)

2

= t 2 + 1 ≥ 1.

当 t = 0 时, PQ min = 1,故应选 B. 将曲线方程转化为 y 2 = 4 x ,显然点 P (0,1) 是抛物线的焦点,由定义可知:抛物线上距离焦点最近的点为抛物线 的顶点,故应选 B.
2 2 2 2 2 例 16 已知椭圆 x 2 + y 2 =1(a>b>0),双曲线 x ? y =1 和抛物线 y =2px(p>0 )的离心率分别为 e1、e2、e3,则 2 2 a b a b ). A.e1e2>e3 B.e1e2=e3 D.e1e2≥e3 C.e1e2<e3

(

讲解 Q e1 =

a 2 ? b2 ?b? = 1? ? ? , a ?a?
2

e2 =

a2 + b2 ?b? = 1+ ? ? , a ?a?
2 2

e3 = 1,

?b? ∴ e1e2 = 1 ? ? ? < 1 = e1 . ?a?
故应选 C.

1 1 ( ,0) y 2 = ?3x ,使其顶点的横坐标非负,并使其顶点到点 4 的距离比到 y 轴的距离多 4 , 例 17 平行移动抛物线 这样得到的所有抛物线所经过的区域是
A. C. xOy 平面 B. D.

y 2 ≥ ?2 x y 2 ≥ 2x

y 2 ≤ ?2 x

讲解 我们先求出到点 ? ,? 的距离比到 y 轴的距离多 0
2

?1 ?4

? ?

1 的点的轨迹. 4

1? 1 ? 2 设 P(x,y)是合条件的点,则 ? x ? ? + y = x + , 4? 4 ?
两边平方并整理得 y =
2 2 1 ( x + x ), Q x ≥ 0,∴ y = x. 2

2 再设平移后抛物线的顶点为 (a , a ) ,于是平移后抛物线的方程为

( y ? a ) 2 = ?3( x ? a 2 ),
5

按 a 整理得

2a 2 + 2 ya ? 3x ? y 2 = 0 .

Q a ∈ R ,∴ ? = (2 y) 2 ? 8(?3x ? y 2 ) ≥ 0 ,化简得 y 2 ≥ ?2 x .故应选 B.
6. 综合性性问题 例 18 某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装磁盘,根据需要, 软件至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒,则不同的选购方式共有( ) A.5 种 B.6 种 C.7 种 D.8 种 讲解 设购买单片软件 x 片, 磁盘 y 盒, 由题意得

x ≥ 3, ? ? y ≥ 2, ? ?60 x + 70 y ≤ 500, ?
经检验可知,该不等式组的正整数解为: 当 x = 3 时, y = 2,3,4; 当 x = 4 时, y = 2,3,; 当 x = 5 时, y = 2. 总共有 7 组, 故应选 C. 例 19 银行计划将某资金给项目 M 和 N 投资一年,其中 40%的资金给项目 M,60%的资金给项目 N,项目 M 能 获得 10%的年利润,项目 N 能获得 35%的年利润,年终银行必须回笼资金,同时按一定的回扣率支付给储户. 为了使 银行年利润不小于给 M、N 总投资的 10%而不大于总投资的 15%,则给储户回扣率最小值为( ) A.5% B.10% C.15% D.20% 讲解 设共有资金为 a , 储户回扣率 x , 由题意得解出

0.1a ≤ 0.1 ? 0.4a + 0.35 ? 0.6a ? xa ≤ 0.15a,
解出

0.1 ≤ x ≤ 0.15 ,故应选 B.

例 20 某电视台的颁奖礼盒用如下方法做成:先将一个奖品放入一个正方体内,再将正方体放在一个球内,使正方 体内接于球;然后再将该球放入一个正方体内,球内切于该正方体,再将正方体放入一个球内,正方体内接于球,…… 如此下去,正方体与球交替出现. 如果正方体与球共有 13 个,最大正方体的棱长为 162cm. 奖品为羽毛球拍、蓝球、乒 乓球拍、手表、项链之一,则奖品只能是(构成礼品盒材料的厚度忽略不计)( ). A . 项链 C. 项链或手表,或乒乓球拍 B. 项链或手表 D. 项链或手表,或乒乓球拍,或蓝球

讲解 因正方体的中心与外接球的中心相同,设正方体的棱长为 a,外接球的半径为 R,则有

4 R 2 = 3a 2, a = 即

2 3

R.

Q 半径为 R 的球的外切正方体的棱长 b = 2R , ∴ 相邻两个正方体的棱长之比为

b 2R = = 3. 2 a R 3

因为有 7 个正方体,设最小正方体的棱长为 t,则

162 = t ( 3 ) 6 = 27 t , 得 t = 6(cm) .
故礼品为手表或项链. 故应选 B.
6

高考中的数学选择题一般是容易题或中档题,个别题属于较难题,当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选 择. 例如:估值选择法、特值检验法、顺推破解法、数形结合法、特征分析法、逆推验证法、提炼公式法等都是常用 . 的解法. 解题时还应特别注意:数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的,因而在求解时对照选支就显得非 常重要,它是快速选择、正确作答的基本前提.

7


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