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【五佳教育】2014福建高职统考数学第一轮教材五.数列基础教师版


【五佳教育】2014 福建高职统考数学第一轮教材

数列基础知识
一、等差数列与等比数列
等差数列 文 字 定 义 符 号 定 义 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与 它的前一项的差是同一个常数,那么这个数列 就叫等差数列,这个常数叫等差数列的公差。 等比数列 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与 它的前一项的比是同一个常数, 那么这个数列 就叫等比数列,这个常数叫等比数列的公比。

an?1 ? an ? d

an ?

an ?1 ? an ?1 2

an ?1 ? q(q ? 0) an
an 2 ? an ?1 ? an ?1 (an ? 0)

0 递增数列: a1 ? 0,q ? 1或a1 ? 0,? q ? 1
分 类 递增数列: d ? 0 递减数列: d ? 0 常数数列: d ? 0

0 递减数列: a1 ? 0,q ? 1或a1 ? 0,? q ? 1
摆动数列: q ? 0 常数数列: q ? 1

通 项 前 n 项 和 中 项

an ? a1 ? (n ? 1)d ? pn ? q ? am ? (n ? m)d
其中 p ? d , q ? a1 ? d

an ? a1q n ?1 ? am q n ?m ( q ? 0 )

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1)d ? na1 ? ? pn2 ? qn 2 2 d d 其中 p ? , q ? a1 ? 2 2

? a1 (1 ? q n ) (q ? 1) ? Sn ? ? 1 ? q ? na (q ? 1) ? 1

a, b, c成等差的充要条件:2b ? a ? c
等和性:等差数列 ?an ? 若 m ? n ? p ? q 则 am ? an ? a p ? aq

a, b, c成等比的必要不充分条件:b2 ? ac
等积性:等比数列 ?an ? 若 m ? n ? p ? q 则 am ? an ? a p ? aq 推论:若 m ? n ? 2 p 则 am ? an ? ( a p )
2

主 要 性 质

推论:若 m ? n ? 2 p 则 am ? an ? 2a p

an? k ? an?k ? 2an a1 ? an ? a2 ? an ?1 ? a3 ? an ?2 ? ???
即:首尾颠倒相加,则和相等
第 1 页 共 5 页

an ? k ? an ?k ? (an ) 2

a1 ? an ? a2 ? an ?1 ? a3 ? an ?2 ? ???
即:首尾颠倒相乘,则积相等

1、等差数列中连续 m 项的和,组成的新数列 是等差数列。即:

sm , s2 m ? sm , s3m ? s2 m , ??? 等差,公差为 m 2 d 则
有 s3m ? 3( s2 m ? sm ) 2、 从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是 一个等差数列。 其 如: a1 , a4 , a7 , a10 , ??? (下标成等差数列) 3 、 ?an ? , ?bn ? 等 差 , 则 ?a2n ? , ?a2 n ?1? , 1、等比数列中连续项的和,组成的新数列是 等比数列。 即:sm , s2 m ? sm , s3m ? s2 m , ??? 等比, 公比为 q 。 2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列 是一个等比数列。 如: a1 , a4 , a7 , a10 , ??? (下标成等差数列) 3、 an ? , ?bn ? 等比, ?a2n ? , a2 n ?1? , kan ? 则 ? ? ? 也等比。其中 k ? 0 4、等比数列的通项公式类似于 n 的指数函数, 即: an ? cq ,其中 c ?
n

?kan ? b? , ? pan ? qbn ? 也等差。
4、等差数列 ?an ? 的通项公式是 n 的一次函数, 即: an ? dn ? c ( d ? 0 ) 它 等差数列 ?an ? 的前 n 项和公式是一个没有常 数项的 n 的二次函数, 即: Sn ? An ? Bn ( d ? 0 )
2

m

5、项数为奇数 2n ? 1的等差数列有:

s奇 s偶


?

n s ? s ? an ? a中 n ?1 奇 偶

a1 q

等比数列的前 n 项和公式是一个平移加振 幅的 n 的指数函数,即: sn ? cq ? c(q ? 1)
n

s2 n?1 ? (2n ? 1)an
项数为偶数 2n 的等差数列有:

s奇 s偶

?

an , s偶 ? s奇 ? nd an ?1

5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数 列是等比数列。

s2 n ? n(an ? an ?1 )
质 6、 an ? m, am ? n 则 am ? n ? 0

sn ? sm 则 sm? n ? 0(n ? m) sn ? m, sm ? n 则 sm? n ? ?(m ? n)
证 明 方 证明一个数列为等差数列的方法: 1、定义法: an ?1 ? an ? d (常数) 证明一个数列为等比数列的方法:

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2、中项法: an?1 ? an?1 ? 2an (n ? 2)

1、定义法:

an ?1 ? q(常数) an
2

( 2、中项法: an ?1 ? an ?1 ? an)(n ? 2, an ? 0)
设 元 技 巧 三数等差: a ? d , a, a ? d 四数等差: a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d 1、若数列 ?an ? 是等差数列,则数列 C 联 系 的公差。 2、若数列 ?an ? 是等比数列,且 an ? 0 ,则数列 ?log a an ? 是等差数列,公差为 log a q ,其中 a 是常数且 a ? 0, a ? 1 , q 是 ?an ? 的公比。 三数等比:

a , a, aq或a, aq, aq 2 q
2 3

四数等比: a, aq, aq , aq
an

? ? 是等比数列,公比为 C

d

,其中 C 是常数,d 是 ?an ?

( n ? 1) ? s1 二、数列的项 an 与前 n 项和 S n 的关系: an ? ? ? sn ? sn ?1 (n ? 2)
课本题 1.等差数列 ?a n ?前 n 项之和为 S n ,若 a17 ? 10 ? a 3 ,则 S 19 的值为 2.已知数列 ?an ? 中, a1 ? ?60, a n ?1 ? a n ? 3 ,那么 | a1 | ? | a 2 | ? ? ? | a30 | 的值为 3.等差数列 ?an ? 中, a1 ? 0 ,且 3a8 ? 5a13 ,则 {S n } 中最大项为 。20 项。12 20 。95 。765

4.已知一个等差数列前五项的和是 120,后五项的和是 180,又各项之和是 360,则此数列共有 5.设等比数列 ?a n ?中,每项均是正数,且 a5 a6 ? 81 ,则 log 3 a1 ? log 3 a2 ? ? ? log 3 a10 ? 6.设 f ( x) ?

1 ,利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法,可求得: 3 ? 3 13 f (?12) ? f (?11) ? f (?10) ? ? ? f (0) ? ? ? f (11) ? f (12) ? f (13) 的值为
x

n 7.已知数列 ?a n ?的通项 a n ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 ,前 n 项和为 S n ,则 S n = ( 2n-1)2 +13



8.数列 ?an ? 中, a1 ? 2, a2 ? 1,

2 1 1 ? ? (n ? 2) ,则其通项公式为 a n ? an an?1 an?1

2 n



P32 习题 5(2); P37 练习 5; P39 习题 7,12; P41 练习 4; P45 习题 2(1) ,7,12,13; P48 练习 2(2); P51 例 4,练习 2;P5 习题 10;P55 练习 4;P58 习题 4,6,7;P62 复习题 4,7,8 高考题

1.已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项的和 S10 ?
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95

2.已知数列 ?an ? 对任意的 p,q ? N* 满足 a p ? q ? a p ? aq ,且 a2 ? ?6 ,那么 a10 等于 3.已知等比数列 ? an ? 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S 3 的取值范围是 4.若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ?
1 5.在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? n

-30

? ??, ?1? ? ?3, ?? ?
13
2 ? ln n

6.已知 {an } 是等差数列, a1 ? a2 ? 4 , a7 ? a8 ? 28 ,则该数列前 10 项和 S10 等于 7.记等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 8.已知 ?a n ?是等比数列, a 2 ? 2,a5 ?
1 , S 4 ? 20 ,则 S 6 ? 2

100

48
32 (1 ? 4 ?n ) 3

1 ,则 a1a 2 ? a2 a3 ? ? ? a n a n?1 = 4
S4 ? a2

9.设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 S n ,则 10.将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . . . . .

15 2

按照以上排列的规律,第 n 行(n ≥3)从左向右的第 3 个数为

n2 ? n ? 6 . 2

11. 已 知 函 数 f ( x) ? 2 x , 等 差 数 列 {a x } 的 公 差 为 2 . 若 f (a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ) ? 4 , 则
log 2 [ f (a1 ) ? f (a2 ) f (a3 ) ??? f (a10 )] ?

. -6 .-72

12.设 Sn=是等差数列{an}的前 n 项和,a12=-8,S9=-9,则 S16=
* 13.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n .已知 a1 ? a , an ?1 ? Sn ? 3 , n ? N .
n

(Ⅰ)设 bn ? S n ? 3 ,求数列 ?bn ? 的通项公式;
n

(Ⅱ)若 an ?1 ≥ an , n ? N ,求 a 的取值范围.
*

(Ⅰ)依题意, Sn ?1 ? Sn ? an ?1 ? Sn ? 3 ,即 Sn ?1 ? 2 Sn ? 3 ,由此得 Sn ?1 ? 3
n n

n ?1

? 2( Sn ? 3n ) .
n ?1

因此,所求通项公式为 bn ? Sn ? 3 ? (a ? 3)2
n

n ?1

* , n?N . (Ⅱ)由①知 Sn ? 3 ? (a ? 3)2
n

, n?N ,
*

于是,当 n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 3 ? (a ? 3) ? 2
n

n ?1

? 3n?1 ? (a ? 3) ? 2n?2

第 4 页 共 5 页

? 2?3

n ?1

? (a ? 3)2

n?2

, an ?1 ? an ? 4 ? 3
n?2

n ?1

? (a ? 3)2

n?2

? ? 3 ?n ?2 ? ? 2n ? 2 ?12? ? ? a ? 3? , ? ? ?2? ? ? ?

?3? 当 n ≥ 2 时, an ?1 ≥ an ? 12? ? ? ?2?

? a ? 3 ≥ 0 ? a ≥ ?9 .

? 又 a2 ? a1 ? 3 ? a1 .综上,所求的 a 的取值范围是 ? ?9, ? ? .
文章来源:福州五佳教育网 www.wujiajiaoyu.com(中小学直线提分,就上福州五佳教育)

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