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椭圆(教案)


椭圆 1.椭圆的定义:平面内到两定点 F1、 F 2 的距离之 的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫椭圆的 圆的 焦距 。 注意:将常数记为 2 a ,则 (1)椭圆的定义用集合语言表示为 P (2) 2 a
? F1 F 2



等于常数(大于

F1 F 2



>焦点 ,两焦点间的距离叫做椭

? { M | MF 1 ? MF

2

? 2 a , 2 a ? F1 F 2 } 。

,轨迹为线段 F1 F 2 . 2 a

? F1 F 2

,则其轨迹不存在。

(3)椭圆定义是推导椭圆方程的依据。 2、椭圆的标准方程(中心在原点) 焦点在
F1 F 2 ? 2 c 。

x

轴:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

焦点坐标

F1 ( ? c , 0 ), F 2 ( c , 0 )

,焦距

顶点坐标 ( ? a , 0 ), ( a , 0 ), ( 0 , ? b ), ( 0 , b ) 。 焦点在 轴:
y a
2 2

y

?

x b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

焦点坐标

F1 ( 0 , ? c ), F 2 ( 0 , c )

,焦距

F1 F 2 ? 2 c 。

顶点坐标 ( 0 , ? a ), ( 0 , a ), ( ? b , 0 ), ( b , 0 ) 。 注意:①焦点在 x 轴上 ? 焦点在 y 轴上 ?
x
y
2

的分母较大 的分母较大

2

②求椭圆的标准方程。首先要确定焦点的位置,选择好标准方程的形式, 再根据条件求出 a 2 和 b 2 的值即可也就是先定“型” ,再定“量” 。 3、椭圆中的基本量:
a
b

: 2a

? PF 1 ? PF 2

半长轴

:半短轴 c :半焦距
a
2

a ? c

? b

2

?c

2

离心率: e

?

c a

,0 ? e ? 1

。e
a
2

?1

椭圆 ? 线 , e
? ? a
2

? 0

椭圆 ? 圆

准线:焦点在 x 轴 x

? ?

,焦点在 y 轴 y
1

c

c

4、椭圆方程的一般式(待定系数法求椭圆方程)
Ax
2

? By

2

? C ( A , B , C 同号,且

A ? B)

题型一 1.椭圆
x
2

椭圆的定义及标准方程 (0,-4) (0,4) 。

?

y

2

? 1 的焦点坐标为

9

25

2、椭圆 9x2+4y2=1 焦点坐标是 ( D ) (A)(?
5

,0)

(B)(0,?

5

)

(C)(?
3

5 6

,0)

(D)(0,? B
2

5 6

)

3.焦点在 y 轴上,且长半轴为 5,离心率为 的椭圆的标准方程为(
5


y
2

A

x

2

?

y

2

?1

B

x

2

?

y

2

?1

C

x

2

?

y

2

?1

D

x

?

?1

25

16

16

25

25
3 2

9

25

16

4.中心在原点,对称轴在坐标轴上,离心率为 程为( D A C 5、 方程
x
2

,且过点(2,0)的椭圆方


? y
2

?1

B D

x

2

? y

2

? 1或x

2

?

y

2

?1

4

4

4
2

x
x

2

? 4y

2

?1
y
2

x

? 4y

2

? 4 或4x

2

? y

2

? 16

2

?

25 - m

16 ? m

=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, m 的取值范围是 ( C 则 (B)-16<m<
9 2

)

(A)-16<m<25 (D)m>
9 2

(C)

9 2

<m<25

6、椭圆为 5 x 2 A 1

? ky

2

? 5 的一个焦点坐标为(0,2) ,那么

k 等于(

A
5



B -1

C

5

D -

7、方程 x2+k2y2=2 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是 ( D ) (A)(-1,0)∪(0,1) (B)(1,+∞) (C)(-∞,-1)∪[1,+∞] (D)(-∞,-1)∪(1,+∞) 2 2 8、椭圆 ax +by +ab=0(a<b<0)的焦点坐标为 ( C ) (A)(0,± (C)(0,±
a ?b b?a

) )
2

(B)(± (D)(±

a ?b b?a

,0) ,0)

9、椭圆 2x2=1-3y2 的顶点坐标为 (A)(?3,0),(0,?2) (C)(?
2 2

( C

) (B)(?2,0),(0,?3) (D) (?
1 2

,0),(0,?
2

3 3

)

,0),(0,? )
3

1

10、椭圆 9x2=1- (A) (C)
x x

y

的范围是 ? ?5
y
2

( A ) (B) (D)
x

5

?1/3, ?1/9,
x
2

y y

5

?3,
x

y

?
y

5

?9,

?5

11、若椭圆 (A) - (D)
5 4 5 4

k ?8

?

? 1 的离心率是

1 2

,则 k 的值等于

( C

) (C) -
5 4

9

(B)

5 4

或 4

或4

12、 设常数 m>0, 椭圆 x2+m2y2=m2 的长轴是短轴的两倍, m 的值是 ( A ) 则 (A)2 或 (D)
2
x
2

1 2

(B)2

(C)

1 2

13、已知椭圆

?

y a

2 2

=1 的焦距为 4,则这个椭圆的焦点在__y___轴上,坐标是

2a

_(0,-2)(0,2)____。 14、椭圆
x
2

?
2

y

2

? 1 的离心率为
2

1 2

,则 m=___

20 3

_或

15 4

_________。

m

5
x ? y

15、若椭圆 16、方程

a

2 ? a

? 1 的焦点在
2

x 轴上,则 a 的取值范围是_1<a<2__。

x

2

7? k



y

5? k

=1 表示长轴在 y 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是

__1<k<7______。 17、 对于椭圆 x2+ky2=2 (0<k<1), 越接近__1___, k 椭圆越扁, 越接近___0___, k 椭圆越接近的圆。 18、过椭圆焦点与长轴垂直的弦叫椭圆的通径,则椭圆
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的通

径长等于_

2b a

_。
3

19、 椭圆短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆长轴端点的 最短距离为
x
2

3
y
2

,求此椭圆的标准方程。
? x
2

?

y

2

? 1,

?1

12

9

12

9

20、 (浙江卷 12)已知 F1、 F 2 为椭圆 于 A、B 两点若
F 2 A ? F 2 B ? 12

x

2

?

y

2

25

9

? 1 的两个焦点,过 F 1 的直线交椭圆

,则

AB

=____8______。
5

21、与椭圆 9x2+4y2=36 有相同焦点,且短轴长为 4 (A)
x
2

的椭圆方程是
(D ) x
2

(
2

)

?

y

2

?1

(B)

x

2

?

y

2

?1

(C )

x

2

?
1

y

2

?1

?

y

?1

25

20

20

25

20
2

45

80

85

22、中心在原点,准线方程为 x=?4,离心率为 的椭圆方程是 (A) x2+
y
2

(

) (D)

x

2

?

y

2

4

3

=1

(B)

x

2

?

y

2

3

4

=1

(C)

x

2

4

+y2=1

4

=1
18 5 5

23、两准线间距离为 是 ( (A) )
x
2 2

,焦距为 2

5

,且长、短轴都在坐标轴上的椭圆方程

?

y

?1

(B)
2 2 2

x

2

?

y

2

?1

9 x
2

4 y
2

4 x y x y
2

9 x
2

(C)

?

? 1或

?

?1

(D)

?

? 1或

?

y

2

?1

9

4

4

9
? n ?0

3

2
2

2

3

24、 (2009 陕西卷文) m “ 椭圆”的( C ) (A)充分而不必要条件 (C)充要条件

”是“方程 m x 2

? n y ? 1 ”表示焦点在

y 轴上的

(B)必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

25.( 2009 广 东 卷 理 )巳知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率 为
2

3 2

,且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为
y
2

x

?

?1



36

9

【小结】求椭圆的标准方程,首先需要确定椭圆的类型,然后求椭圆的三个基本
4

量 a、b、c。 题型二 椭圆的焦点三角形 定义:连接椭圆两交点与椭圆上一点的三角形 性质:1、周长为定值 2a+2c 2、正弦定理、余弦定理 3、面积: b 2
tan

?
2

4、当顶点在椭圆短轴顶点是 ? 最大 5、通径
2b a
x
2 2

1、F1、F2 是椭圆 是( C ) (A)10 (D)不能确定



y

2

9

25

=1 的两个焦点,AB 是过点 F1 的弦,则?ABF2 的周长

(B)12
2 2

(C)20

2、设 F1、F2 是椭圆

x

?

y

? 1 的两个焦点,P

是椭圆上不与长轴两个端点重合 , 则

25

16

的 一 ( C ) (A)△PF1F2 的面积是定值 (C)△PF1F2 的周长是定值 长为定值 3、椭圆
x
2



(B)∠F1PF2 是定角 (D)△PF1F2 中边 F1F2 的中线



y

2

25

9

=1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2, 是 MF1 的中点,则?ON?(0 N ( C ) (B)2 (C)4

为坐标原点)为 (A) (D)8 4、椭圆
x
2

3 2

?

y

2

6

3

? 1 中,F1、F2 为左、右焦点,A

为短轴一端点,弦 AB 过左焦点 F1,

则 ? ABF2 的面积为 ( D (A) 3 4 5、点 P 是椭圆 面积是_____。
x
2

)
3 3 2

(B)

(C)4

3

(D)

?

y

2

25

9

=1 上一点,F1、F2 是焦点, ? F1PF2=600,则Δ PF1F2 的

5

6.(2009 北京文)椭圆 则 | P F2
|?

x

2

?

y

2

9

2

? 1 的焦点为 F1 , F 2

,点 P 在椭圆上,若 | P F1 |?
2, 120
?

4



; ? F1 P F 2 的大小为

.

题型三 椭圆的离心率 1、椭圆的两个焦点和短轴两个顶点,是一个含 60°角的菱形的四个顶点,则椭 圆 的 离 心 率 为 ( D ) (A)
1 2 1 2

(B)

3 2

(C)

3 3

(D)



3 2

2、从椭圆短轴的一个端点看两焦点的视角是 1200,则这个椭圆的离心率 e= ( A ) (A) (D)
1 3
3 2

(B)

1 2

(C)

3 3

3.[05 春季高考]椭圆

x

2

?

y

2

? 1 的离心率为

4 5

25

9

4.[07 全国]已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于( D A
1 3



B

3 3

C

1 2

D

3 2

5.在一椭圆中,以焦点 F1、 F 2 为直径两端点的圆恰好经过短轴的两顶点,则此 椭圆的离心率为( A
2 5
x a
2 2

C

) B
3 2

C

2 2

D

1 2

6.已知椭圆

?

y b

2 2

? 1? a ? b ? 0 ? 的两个焦点分别为 F1、 F 2

,过 F 1 且垂直于 x 轴

的直线交椭圆于 A、B 两点,若△ABF2 为正三角形,则该椭圆的离心率为 ( B ) A
1 3

B

3 3

C

2 2

D

1 2

6

7、已知 F1 、 F 2 是椭圆的两个焦点,满足 M F1 ? M F 2 椭圆离心率的取值范围是 A. (0 ,1) B. ( 0 ,
1 2

???? ????? ?

? 0

的点 M 总在椭圆内部,则


]

B


2 2 )

C. ( 0 ,
2 2 2 2

D. [

2 2

,1)

8、在平面直角坐标系中,椭圆
?a
2

x a

?

y b

?

1(

a ?b ?

0)的焦距为 2,以 O 为圆心,
2 2

a

为半径的圆,过点 ?
x a
2 2

? , 0 ? 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e ? c ?

=



9. 已知椭圆 且 BF
? x

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左焦点为 F

,右顶点为 A ,点 B 在椭圆上, , 则椭圆的离心率是 D ( )

轴, 直线 A B 交 y 轴于点 P . A 若 P

?? ?? ?P 2 B

21 世纪教育网 A.
3 2

B.
2 2 2 2

2 2

C.

1 3

D.

1 2

10.过椭圆

x a

?

y b

? 1(a ? b ? 0

)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F 2 为右

焦点,若 ? F1 P F 2 A.
2 2

? 60

?

,则椭圆的离心率为( B ) B.
3 3

C.

1 2

D.

1 3

21 世纪教育

7


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