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福建省漳州一中2013届高三5月月考数学理试题


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2013 年漳州一中高三 5 月月考数理测试
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷内 填写学校、班级、准考证号、姓名; 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 参考公式: 样

本数据 x1 , x2 , ?, xn 的标准差
1? 2 2 2 s? x ? x ? ? ? x2 ? x ? ? ? ? ? xn ? x ? ? ?? 1 ? n

锥体体积公式
1 V ? Sh 3 其中 S 为底面面积, h 为高

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

球的表面积、体积公式
S ? 4?R2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 S 为底面面积, h 为高

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题所给的四个答案中 有且只有一个答案是正确的,把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1.在复平面内,复数 A、第一象限

3-i 对应的点在( (i为复数单位) 2?i
B、第二象限
2

) D、第四象限

C、第三象限

2. 命题 p : ?x ? R, x ? 0 ” ( “ ,则 A. p 是假命题 ; ?p : ?x ? R, x ? 0
2


B. p 是假命题; ?p : ?x ? R, x ? 0
2

C. p 是真命题; ?p : ?x ? R, x ? 0
2

D. p 是真命题; ?p : ?x ? R, x ? 0
2

3.设随机变量 ? 服从正态分布 N (1, ? ) .若 P(? ? 2) ? 0.8 ,则 P(0 ? ? ? 1) 的值为(
2



A. 0.2

B. 0.3

C. 0.4

D. 0.6

?x ? 2 ? 0 ? 4. 已知点 P ? x, y ? 在不等式组 ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域上运动,则 z ? x ? y ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
的取值范围是 ( A. ) B.

1 ? ?2 ,? ?

1 ? ?2 , ?

C.

? ?1 , 2 ?

D.

?1 , 2 ?
开始 n=5,k=0 http://zy.zgxzw.com n 为偶数

5. 若程序框图如右图所示,则该程序运行后
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n

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输出 k 的值是( A. 5 B. 6

) C. 7 D. 8

6.设 a 、 b 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面, 是下列命题中正确的是( A.若 a // b , a // ? ,则 b // ? B.若 ? ? ? , a // ? ,则 a ? ? C.若 ? ? ? , a ? ? ,则 a // ? D.若 a ? b , a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ? 7.已知三个数 2,m, 8 构成一个等比数列,则圆锥曲线 )

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为( m 2
A. 2
2

) C. 2 或 3 2 D. 2 或 6 2 2 )

B. 3

8. 为了得到函数 y ? sin(2 x ?

?
6

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象(
B. 向右平移

? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6
A.向右平移 9.已知函数

f ( x) ? ln x,

? 个单位长度 3 ? D. 向左平移 个单位长度 3 1 2 7 g ( x) ? x ? mx ? (m ? 0) , 直线与函数 f ( x) 、 2 2
( )

g ( x) 的图象都相切,且与 f ( x) 图象的切点为(1,f(x),则 )
A. B. C. D.

10.已知 x ? R, 符号 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,若函数 f ? x ? ? 则 a 的取值范围是( A. ? , ? ? ? , ? ? 4 5? ?3 2 ? C. ? , ? ? ? , ? ? 2 3? ?4 2 ?
? 1 2? ?5 3 ? ? 3 4? ?4 3 ?

? x? ? a
x

? x ? 0 ? 有且仅有 3 个零点,

) B. ? , ? ? ? , ? ?4 5? ?3 2? D. ? , ? ? ? , ? ?2 3? ?4 2?
?1 2? ?5 3?
?3 4? ?4 3?

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置上. )

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1 5 .(用数字作答) ) 的常数项为 x2 ?log 2 x, x ? 0, 1 12.已知函数 f ( x) ? ? x 若 f (a) ? ,则 a 等于 . 2 x ? 0, ?2 ,
11. 二项式 ( x 3 ? 13.若直线(m–1)x+3y+m=0 与直线 x+(m+1)y+2=0 平行,则实数 m=________. 14.某铁路货运站对 6 列货运列车进行编组调度,决定将这 6 列列车编成两组,每组 3 列,且甲 与乙两列列车不在同一小组,如果甲所在小组 3 列列车先开出,那么这 6 列列车先后不同的发车 顺序共有 . 15.已知平面区域 Ω= ?( x, y ) ?

? ? ? ?

? ?y ? 0

? ? 2 ? ,直线 l : y ? mx ? 2m 和曲线 C : y ? 4 ? x 有两 2 ?y ? 4? x ? ? ?

个不同的交点,直线 l 与曲线 C 围成的平面区域为 M ,向区域 Ω 内随机投一点 A,点 A 落在区域

M 内的概率为 P ( M ) ,若 P ( M ) ? [

? ?2 ,1] ,则实数 m 的取值范围是_________。 2?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

1 3 f ( x) ? sin x ? cos x, x ? R. 2 2 16.已知函数

(I)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域;

(II)记 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a,b,c,若

f ( A) ?

3 3 , 且a ? b, 2 2 求角 C 的值。

17.“肇实,正名芡实,因肇庆所产之芡实颗粒大、药力强,故名。 ”某科研所为进一步改良肇实, 为此对肇实的两个品种(分别称为品种 A 和品种 B)进行试验.选取两大片水塘,每大片水塘分 成 n 小片水塘,在总共 2n 小片水塘中,随机选 n 小片水塘种植品种 A,另外 n 小片水塘种植 B. (1)假设 n=4,在第一大片水塘中,种植品种 A 的小片水塘的数目记为 ? ,求 ? 的分布列和数 学期望; (2)试验时每大片水塘分成 8 小片,即 n=8,试验结束后得到品种 A 和品种 B 在每个小片水塘 上的每亩产量(单位:kg/亩)如下表: 1 2 3 4 5 6 7 8 号码 品种 A 品种 B 101 115 97 107 92 112 103 108 91 111 100 120 110 110 106 113

分别求品种 A 和品种 B 的每亩产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植 哪一品种? 18.已知四棱锥 P-ABCD 的三视图如下图所示,E 是侧棱 PC 上的动点. (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)是否不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE?证明你的结论; (3)若点 E 为 PC 的中点,求二面角 D-AE-B 的大小.

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19 . 已 知 椭 圆 的 一 个 顶 点 为 A ? 0, ?1? , 焦 点 在 x 轴 上 , 中 心 在 原 点 . 若 右 焦 点 到 直 线

x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)设直线 y ? kx ? m (k ? 0) 与椭圆相交于不同的两点 M , N .当 AM ? AN 时,求 m 的取值范围. 20.已知函数 f ( x) ? e
kx

? 2 x ( k 为非零常数).

(I)当 k ? 1 时,求函数 f (x) 的最小值; (II)若 f (x) ? 1 恒成立,求 k 的值; (III)对于 f (x) 增区间内的三个实数 x1 , x 2 , x3 (其中 x1 ? x 2 ? x3 ), 证明:

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) f ( x3 ) ? f ( x 2 ) ? . x 2 ? x1 x3 ? x 2

21.本题有(1).(2).(3)三个选做题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做,则 按所做的前两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题 号填入括号中. (1)(本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换选做题

a 已知矩阵 A= ? ?1 ? (Ⅰ) 求矩阵 A; 1 (Ⅱ) 矩阵 B= ? ?0 ?

?2? 2 ? 有一个属于特征值 1 的特征向量 ? ?? ?. ? ? ? 1? b? ? ?
? 1? ,点 O(0,0),M(2,-1),N(0,2),求 ?OMN 在矩阵 AB 的对应变换作 1? ?

用 下所得到的 ?O?M ? N ? 的面积. (2)(本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选做题 在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 C

(? 为参数) , 曲 线 D 的 极 坐 标 方 程 为 2 2 ? y ? 2 c o?s? ? 3 2 . ? sin(? ? ) ? ? 4 2 (Ⅰ)将曲线 C 的参数方程化为普通方程; (Ⅱ)判断曲线 C 与曲线 D 的交点个数,并说明理由.
的 参 数 方 程 为 ? (3)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲选做题

n ?x ? s i ?

,

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已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ,不等式 t ? f ( x) 在 R 上恒成立. (Ⅰ)求 t 的取值范围; (Ⅱ)记 t 的最大值为 T ,若正实数 a, b, c 满足 a2 ? b2 ? c2 ? T ,求 a ? 2b ? c 的最大值.

数理答案
一、 选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) DBBCA DCBDA 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. –10 12. a ? ?1 13. –2 14. 216 15. [0,1] 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. 【解】 (I)? f ( x) ?

1 3 ? sin x ? cos x ? sin(x ? ) , 2 2 3

? f (x) 的最小正周期为 2? .
因为 x ? R ,所以 x ?

?
3

? R ,所以 f (x) 值域为 [?1,1] . …………6 分

(II) (1) 由 可知, f ( A) ? sin( A ?

?
3

) , ? sin(A ?
得A?

?
3

)?

3 , 2

?0 ? A ? ? ,

?

?
3

? A?

?
3

?

4? 3

, ?A?

?
3

?

2? , 3

?
3

. …………9 分

3 b 3 b a b ?a ? b, 且 , ? 2 , ? sin B ? 1, ? ? 2 sin A sin B sin B 3 2

?0 ? B ? ? , ? B ?

?
2

?C ? ? ? A ? B ?
1 4 3 4

?
6

. …………13 分 (1 分)
2 4 2 4

17.解: (1) ? 可能的取值为 0,1,2,3,4.
P(? ? 0) ?

CC C C 1 1 16 36 , P(? ? 1) ? 4 ? , P(? ? 2) ? , ? ? 70 70 C84 70 C8 C84

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P(? ? 3) ?

CC 1 1 16 , P(? ? 4) ? 4 ? ? 70 C8 70 C84
2 3 4

3 4

1 4

即 ? 的分布列为 ? 0 1
P

1 70

16 70

36 70

16 70

1 70

(6 分)

? 的数学期望为 E (? ) ? 0 ?

1 16 36 16 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ?2 70 70 70 70 70

(7 分)

(2)品种 A 的每亩产量的样本平均数和样本方差分别为:
1 xA ? (101 ? 97 ? 92 ? 103 ? 91 ? 100 ? 110 ? 106) ? 100 8
sA2 ? 1 ?1 ? 32 ? 82 ? 32 ? 92 ? 0 ? 102 ? 62 ? ? 37.4 n

(8 分) (9 分)

品种 B 的每亩产量的样本平均数和样本方差分别为:
1 xB ? (115 ? 107 ? 112 ? 108 ? 111 ? 120 ? 110 ? 113) ? 112 8
sB 2 ? 1 2 2 ?3 ? 5 ? 0 ? 42 ? 1 ? 82 ? 22 ? 1? ? 14.7 n

(10 分) (11 分)

由以上结果可以看出,品种 B 的样本平均数大于品种 A 的样本平均数,且品种 B 的样本方差小于 品种 A,故应该选择种植品种 B. (13 分) 18.解:(1)由三视图可知,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, 侧棱 PC⊥底面 ABCD,且 PC=2. ………………………………………………1 分 ∴ VP ? ABCD ? 2 1 1 2 S ABCD ?PC ? ?1? 2 ? ,即四棱锥 P-ABCD 的体积为3.………3 分 3 3 3

(2)不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE. ………………………………………………4 分 证明如下:连结 AC,∵ABCD 是正方形,∴BD⊥AC. ………………………5 分 ∵PC⊥底面 ABCD,且 BD?平面 ABCD,∴BD⊥PC. ………………………6 分 又∵AC∩PC=C,∴BD⊥平面 PAC. ………………………7 分 ∵不论点 E 在何位置,都有 AE?平面 PAC. ∴不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE. ………………………8 分 (3)解法 1:在平面 DAE 内过点 D 作 DF⊥AE 于 F,连结 BF. ∵AD=AB=1,DE=BE= 12+12= 2,AE=AE= 3, ∴Rt△ADE≌Rt△ABE, 从而△ADF≌△ABF,∴BF⊥AE. ∴∠DFB 为二面角 D-AE-B 的平面角.……………………………………………10 分 AD· DE 1× 2 6 6 在 Rt△ADE 中,DF= AE = = 3 , ∴BF= 3 .…………………………11 分 3
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又 BD= 2,在△DFB 中,由余弦定理得

DF 2 ? BF 2 ? BD 2 1 cos∠DFB= ? ? ,…………………………………………12 分 2 DF ? BF 2
2π ∴∠DFB= 3 , 即二面角 D-AE-B 的大小为

2π 3 .………………………………………………………13 分

解法 2:如图,以点 C 为原点,CD,CB,CP 所在的直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.则 D(1,0,0),A(1,1,0),B(0,1,0),E(0,0,1),………………………………………9 分 从而=(0,1,0),=(-1,0,1),=(1,0,0),=(0,-1,1). 设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为

?? ?? ? n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? , n2 ? ? x2 , y2 , z2 ?

?? ??? ? ?? ? n1 ? DA ? 0 ? y1 ? 0 ? ?? 由 ? ?? ???? ,取 n1 ? ?1, 0,1? ?n1 ? DE ? 0 ?? x1 ? z1 ? 0 ? ?? ??? ? ? ?? ? ? n2 ? BA ? 0 ? x2 ? 0 ? ?? 由 ? ?? ??? ,取 n2 ? ? 0, ?1, ?1? …11 分 ? ? ?y ? z ? 0 ? ?n2 ? BE ? 0 ? 2 2
设二面角 D-AE-B 的平面角为 θ,

?? ?? ? n1 ? n2 ?1 1 则 cos ? ? ?? ?? ? ? ? ,…………12 分 ? 2 2? 2 n1 ? n2
2π 2π ,即二面角 D-AE-B 的大小为 .…………13 分 3 3 ?? ? ? 注:若取 n2 ? ? 0,1,1? 算出 ? ? 可酌情给分。 3
∴θ= 19.解: (1)依题意可设椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,则右焦点 F 2 a

?

a 2 ? 1, 0

?,

a2 ?1 ? 2 2
由题设

2
故所求椭圆的方程为

? 3 ,解得 a 2 ? 3 ,…4 分

x2 ? y 2 ? 1 。……………5 分 3

y y y (2)设 P ? xP , P ?、M ? xM , M ?、N ? xN , N ? ,P 为弦 MN 的中点,

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?y ? kx? m ? 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?3

得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 6mkx ? 3(m 2 ? 1) ? 0 ,

?直线与椭圆相交,
?? ? ? 6mk ? ? 4 ? 3k 2 ? 1? ? 3 ? m 2 ? 1? ? 0 ? m 2 ? 3k 2 ? 1 ,① ………8 分
2

? xP ?

xM ? xN 3mk m ,从而 yP ? kxP ? m ? 2 ?? 2 2 3k ? 1 3k ? 1 ,

? k AP ?

yP ? 1 m ? 3k 2 ? 1 ?? ,又 AM ? AN ,? AP ? MN ,则: xP 3mk
②………………………10 分

?

m ? 3k 2 ? 1 1 ? ? ,即 2m ? 3k 2 ? 1 , 3mk k

把②代入①得 m2 ? 2m ,解得 0 ? m ? 2 , …………………………11 分

2m ? 1 1 ? 0 ,解得 m ? .…… ……………………………12 分 2 3 1 综上求得 m 的取值范围是 ? m ? 2 . ………………………………13 分 2
由②得 k 2 ? (20) (本小题满分 14 分)

? 解: (I)由 f ( x) ? e ? 2 x ,得 f ( x) ? e ? 2 ,
x x

…………………………………1 分

? ? 令 f ( x) ? 0 ,得 x ? ln 2 . 当 x ? ln 2 , f ( x) ? 0 知 f (x) 在 (??, ln 2) 单调递减; ? 当 x ? ln 2 , f ( x) ? 0 知 f (x) 在 (ln 2,??) 单调递增;
故 f (x) 的最小值为 f (ln 2) ? 2 ? 2 ln 2 .
kx

…………………………………………4 分

? ? (II) f ( x) ? ke ? 2 ,当 k ? 0 时, f (x) 恒小于零, f (x) 单调递减.
当 x ? 0 时, f ( x) ? f (0) ? 1 ,不符合题意. ……………………………………5 分

? 对于 k ? 0 ,由 f ( x) ? 0 得

x?

1 2 ln k k

x?


1 2 1 2 ln (??, ln ) k k 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f (x) 在 k k 单调递减; 1 2 1 2 ln ( ln ,??) k k 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f (x) 在 k k 单调递增;
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x?


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1 2 2 2 2 f ( ln ) ? ? ln k k k. 于是 f (x) 的最小值为 k k

………………………………7 分

2 2 2 ? ln ? 1 只需 k k k 成立即可,构造函数 g ( x) ? x ? x ln x( x ? 0) .
? ∵ g ( x) ? 1 ? ln x ? 1 ? ? ln x ,∴ g (x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1,??) 上单调递减,

2 ?1 g ( x) ? g (1) ? 1 ,仅当 x ? 1时取得最大值,故 k 则 ,即 k ? 2 .
(III)解法 1:

…………9 分

? 由已知得: f ( x2 ) ? ke

kx 2

? 2 ? 0 ,∴ k ? 0 ,

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ? ? x2 ? ? x2 ? x1 ? 0 x2 ? x1 先证 , ,

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ? ? x2 ? ? f ? x 2 ? ? f ? x1 ? ? ? x2 ? x1 ? (ke kx2 ? 2) ? ekx 2 ? ekx1 ? k ? x2 ? x1 ? ekx2 x2 ? x1
? 1? e ?e

k ? x1 ? x 2 ?

? k ? x2 ? x1 ?
. ………………………………11 分

k ? x1 ? x2 ?

? k ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 0

h ? x ? ? e x ? x ? 1, x ? k ? x1 ? x2 ? ? 0
,∴ h(x ) 在

h? ? x ? ? e x ? 1 ? 0(e x ? 1)

? ??,0 ? 内是减函数,
…………………………………12 分

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ? ? x2 ? x2 ? x1 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 ∴ .

f ?( x 2 ) ?
同理可证 (III)解法 2:

f ( x3 ) ? f ( x 2 ) f ( x 2 ) ? f ( x1 ) f ( x3 ) ? f ( x 2 ) ? x3 ? x 2 x 2 ? x1 x3 ? x 2 ,∴ . f ( x 2 ) ? f ( x1 ) 1 2 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x0 ? ln( ? ) x 2 ? x1 k k k ( x 2 ? x1 ) . 得

……14 分

f ?( x0 ) ? kekx0 ? 2 ?
令 下面证明

x1 ? x0 ? x2

.

2 kx ? ? ? 令 g (x) ? f ( x) ? ke ? 2 ,则 g (x) ? k e ? 0 恒成立,即 f (x) 为增函数. ……10 分
kx

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f ?( x 2 ) ?

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) 1 ? [( x 2 ? x1 ) f ?( x 2 ) ? ( f ( x 2 ) ? f ( x1 ))] x 2 ? x1 x 2 ? x1 ,

? 构造函数 k ( x) ? ( x2 ? x) f ( x2 ) ? ( f ( x2 ) ? f ( x)) ( x ? x2 ) , k ?( x) ? f ?( x) ? f ?( x2 ) ? 0 , k ( x2 ) ? 0 ,故 x ? x2 时, k ( x) ? 0 ,即得
f ?( x1 ) ?
同理可证 即

f ?( x 2 ) ?

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ?0 x 2 ? x1 ,

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ?0 x 2 ? x1 .

……………………………………12 分

f ?( x1 ) ? f ?( x0 ) ? f ?( x2 )

? ,因 f (x) 为增函数,
f ?( x0 ) ?
使



x1 ? x0 ? x2

,即在区间 ( x1 , x 2 ) 上存在

x0

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1 ;

同理,在区间

( x 2 , x3 )

上存在 x ? 使

f ?( x ?) ?

f ( x3 ) ? f ( x 2 ) x3 ? x 2 ,

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) f ( x3 ) ? f ( x 2 ) ? x 2 ? x1 x3 ? x 2 f ?(x) 为增函数得 由 . ……………………………14 分
21. (本小题满分 14 分) (1) 【解析】(Ⅰ)由已知得 ? ?

?2 a ? 2 ? 2 , ? a 2? ? 2 ? ?2? ????2 分 ? ? ? ? 1 ? ? ? ,所以 ? ? ? ? 1? ? ? 1? ?2 ? b ? ?1, ?1 b?? ? ? ? ?a ? 2 , 2 2? 解得 ? 故 A= ? ? 1 3 ? . ????????????????????3 分 ? ? ?b ? 3, 2 2 ? ? 1 ? 1? ? 2 0 ? ? 0 ? ? 2 0 ?? 0 ? ? 0 ? (Ⅱ) AB= ? ? 1 3 ? ? 0 1 ? = ? 1 2 ? ,所以 ( AB)? 0 ? ? ? 1 2 ?? 0 ? ? ? 0 ? , ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 ? ? 2 0 ?? 2 ? ? 4 ? , (AB)? 0 ? ? ? 2 0 ?? 0 ? ? ? 0 ? ,?????5 分 ( AB)? ? ? ? ? 2 ? ? 1 2 ?? 2 ? ? 4 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? - 1? ? 1 2 ?? ? 1? ? 0 ?
即点 O,M,N 变成点 O′(0,0),M ′(4,0),N ′(0,4),

1 ?O?M ? N ? 的面积为 ? 4 ? 4 ? 8 .???????????????????7 分 2 ? x ? sin ? , (2) 【解析】 (Ⅰ)由已知得 ? ??????????????1 分 2 ? y ? ?2sin ? , y 消去参数 ? ,得 x 2 ? ? , x ? [?1,1] . ?????????3 分 2 ? 3 2 (Ⅱ)由 ? sin(? ? ) ? ? 得曲线 D 的直角坐标方程为 x ? y ? 3 ? 0 , ???4 分 4 2

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? x ? y ? 2 ? 0, ? 由 ? 2 消去 y ,得 2 x 2 ? x ? 3 ? 0 , ????????5 分 y x ?? , ? ? 2 3 解得 x ? ? (舍去)或x ? 1. ????????6 分 2 故曲线 C 与曲线 D 只有一个交点. ????????7 分
(3) 【解析】 (Ⅰ)因为 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3 , 所以 f ( x)min ? 3 . …………………2 分 因为不等式 t ? f ( x) 在R上恒成立, 所以 t ? f ( x)min ? 3 , t 的取值范围为 (??,3] . …………………3 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 T ? tmax ? 3 , 由柯西不等式得: (a ? 2b ? c)2 ? (12 ? 22 ? 12 )(a2 ? b2 ? c2 ) ? 18 , 所以 a ? 2b ? c ? 3 2 .
2 2 a b c 当且仅当 ? ? 即 a ? 时, , b ? 2, c ? 2 2 1 2 1 ……………7分 a ? 2b ? c 的最大值为 3 2 .

……………5 分

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