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三角函数图像及其性质


【本讲教育信息】 一.教学内容: 三角函数的图象与性质 二.教学目的: 了解三角函数的周期性,知道三角函数 y=Asin(ωx+φ) ,y=Acos(ωx+φ) 的周期为 。 能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象,并能根据图象理解正弦函数、 余弦函数在[0,2π],正切函数在(- , )上的性质(如单调性、最大值和 最小值、图象与 x 轴的交点等) 。

了解三角函数 y=Asin(ωx+φ)的实际意义及其参数 A,ω,φ 对函数图象 变化的影响;会画出 y=Asin(ωx+φ)的简图,能由正弦曲线 y=sinx 通过平移、 伸缩变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象。 会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象 的重要函数模型。 三.教学重点:三角函数的性质与运用 教学难点:三角函数的性质与运用。 四.知识归纳 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2.三角函数的单调区间: 的递增区间是 递减区间是 的递增区间是 , , ;

递减区间是 的递增区间是 3.函数 最大值是 ,最小值是 ,周期是

, ,

,频率是

,相位是 ,凡是该图象

,初相是 ;其图象的对称轴是直线

与直线 的交点都是该图象的对称中心。 4.由 y=sinx 的图象变换出 y=sin(ωx+ )的图象一般有两个途径, 只有区别开 这两个途径,才能灵活进行图象变换 利用图象的变换作图象时, 提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现. 无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母 x 而言,即图象变换要看“变量” 起多大变化,而不是“角变化”多少. 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 y=sinx 的图象向左( >0)或向右( <0=平移| |个单位,再将图 象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω>0),便得 y=sin(ωx+ )的图象。

途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 >0)或向右( <0=平移 倍(ω>0),再沿 x 轴向左(

个单位,便得 y=sin(ωx+ )的图象。

5.由 y=Asin(ωx+ )的图象求其函数式: 给出图象确定解析式 y=Asin(ω x+ )的题型,有时从寻找“五点”中的第 一零点(- ,0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置.

6.对称轴与对称中心: 的对称轴为 的对称轴为 ,对称中心为 ,对称中心为 ; ;

对于 和 来说,对称中心与零点相联系,对称 轴与最值点联系。 7.求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特 别注意 A、 的正负。 利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一 单调区间; 8.求三角函数周期的常用方法: 经过恒等变形化成“ 、 ”的形式,再利用周 期公式,另外还有图像法和定义法。 9.五点法作 y=Asin(ωx+ )的简图: 五点取法是设 x=ωx+ ,由 x 取0、 的 y 值,再描点作图。 、π、 、2π 来求相应的 x 值及对应

【典型例题】 例1.把函数 y=cos(x+ 则 的最小值是 A. B. C. D. )的图象向左平移 个单位,所得的函数为偶函数,

解:先写出向左平移4个单位后的解析式,再利用偶函数的性质求解. 向左平移 个单位后的解析式为 y=cos(x+ 则 cos(-x+ cosxcos( ∴sinxsin( ∴ + )=cos(x+ + ) , + )=cosxcos( + )-sinxsin( + ). + ) ,

+ )+sinxsin( + )=0,x∈R. >0. .

+ =kπ.∴ =kπ-

∴k> .∴k=2.∴ = 答案:B

例2.试述如何由 y= sin(2x+ )的图象得到 y=sinx 的图象. 解:y= sin(2x+ )

另法答案: (1)先将 y= sin(2x+ )的图象向右平移 个单位,得 y= sin2x 的图象;

(2) 再将 y= sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的2倍 (纵坐标不变) 得 y= , sinx 的图象; (3)再将 y= sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变) , 即可得到 y=sinx 的图象. 例3.求函数 y=sin4x+2 sinxcosx-cos4x 的最小正周期和最小值;并写出该函 数在[0,π]上的单调递增区间. 解:y=sin4x+2 sinxcosx-cos4x sin2x =(sin2x+cos2x) (sin2x-cos2x)+ = sin2x-cos2x

=2sin(2x- ). 故该函数的最小正周期是 π;最小值是-2;单调递增区间是[0, ][ , π]. 点评:把三角函数式化简为 y=Asin(ωx+ )+k(ω>0)是解决周期、最值、 单调区间问题的常用方法. 例4.已知电流 I 与时间 t 的关系式为 (1)下图是 图中数据求 (ω >0, 的解析式; 。 )在一个周期内的图象,根据 ,

(2)如果 t 在任意一段

秒的时间内,电流

都能取得最大

值和最小值,那么 ω 的最小正整数值是多少? 解:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识,考查运算能力和逻 辑推理能力. (1)由图可知 A=300. 设 t1=- ,t2= , + )= .

则周期 T=2(t2-t1)=2( ∴ω = 又当 t= 而 =150π .

时,I=0,即 sin(150π · , ∴ = . .

+ )=0,

故所求的解析式为

(2)依题意,周期 T≤ ,即 ≤ , (ω >0) * ∴ ω ≥300π >942,又 ω ∈N , 故最小正整数 ω =943. 点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言。其中,读图、识图、 用图是形数结合的有效途径。

例5.(1)y=cosx+cos(x+ (2)y=2sin(3x-

)的最大值是_______;

)的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______. sinx cosx- sinx)

解: (1)y=cosx+ cosx- = cosx- = sin( sinx= -x). . (

所以 ymax= (2)T= 答案:

,相邻对称轴间的距离为

.

例6.(1)已知 f(x)的定义域为[0,1] ,求 f(cosx)的定义域; (2)求函数 y=lgsin(cosx)的定义域. 分析:求函数的定义域: (1)要使0≤cosx≤1, (2)要使 sin(cosx)>0,这 里的 cosx 以它的值充当角. 解: (1)0≤cosx<1 2kπ- ≤x≤2kπ+ ,且 x≠2kπ(k∈Z).

∴所求函数的定义域为{x|x∈[2kπ- ,2kπ+ ]且 x≠2kπ,k∈Z}. (2)由 sin(cosx)>0 2kπ<cosx<2kπ+π(k∈Z). 又∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1. 故所求定义域为{x|x∈(2kπ- ,2kπ+ ) ,k∈Z}. 点评:求三角函数的定义域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是图象, 二是三角函数线. 例7.求函数 y=sin6x+cos6x 的最小正周期,并求 x 为何值时,y 有最大值. 分析:将原函数化成 y=Asin(ωx+ )+B 的形式,即可求解. 解:y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x) (sin4x-sin2xcos2x+cos4x) =1-3sin2xcos2x=1- sin22x= cos4x+ . ∴T= . 当 cos4x=1,即 x= (k∈Z)时,ymax=1.

例8.判断下面函数的奇偶性: f(x)=lg(sinx+ ).

分析:判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称,然后再看 f(x)与 f(- x)的关系. 解:定义域为 R,又 f(x)+f(-x)=lg1=0, 即 f(-x)=-f(x) ,∴f(x)为奇函数. 评述: 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要(但不充分)条件. 例9.求下列函数的单调区间: (1)y= sin( - )(2)y=-|sin(x+ ; )|.

分析: (1)要将原函数化为 y=- sin( x- )再求之. (2)可画出 y=-|sin(x+ )|的图象. 解: (1)y= sin( 故由2kπ- 3kπ- 由2kπ+ 3kπ+ ≤ ≤ - - )=- sin( - ).

≤2kπ+ (k∈Z) ,为单调减区间;

≤x≤3kπ+ -

≤2kπ+ (k∈Z) ,为单调增区间. ,3kπ+ ,3kπ+ ] , ] (k∈Z). ,kπ+ ] ,减区间为[kπ

≤x≤3kπ+

∴递减区间为[3kπ- 递增区间为[3kπ+ (2)y=-|sin(x+ - ,kπ+ ].

)|的图象的增区间为[kπ+

例10.已知函数 f(x)= ,求 f(x)的定义域,判断它的奇偶 性,并求其值域. 剖析:此题便于入手,求定义域、判断奇偶性靠定义便可解决,求值域要 对函数化简整理. 解:由 cos2x≠0得2x≠kπ+ ,解得 x≠ + (k∈Z).

所以 f(x)的定义域为{x|x∈R 且 x≠ + 因为 f(x)的定义域关于原点对称,且 f(-x)= = =f(x) , 所以 f(x)是偶函数. 又当 x≠ f(x)= + (k∈Z)时, =

,k∈Z}.

=3cos2x-1,

所以 f(x)的值域为{y|-1≤y< 或 <y≤2=.

例11.已知

为 , 且

的最小正周期, 。 求 。 的值。

解:因为 为 因 故 由于 ,所以 ,又 。

的最小正周期,故 。

1.数形结合是数学中重要的思想方法,在中学阶段,对各类函数的研究都离不 开图象,很多函数的性质都是通过观察图象而得到的. 2.作函数的图象时,首先要确定函数的定义域. 3.对于具有周期性的函数, 应先求出周期, 作图象时只要作出一个周期的图象, 就可根据周期性作出整个函数的图象. 4.求定义域时,若需先把式子化简,一定要注意变形时 x 的取值范围不能发生 变化. 5.求三角函数式的最小正周期时,要尽可能地化为只含一个三角函数,且三角

函数的次数为1的形式,否则很容易出现错误. 6.函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的,要比较两三角函 数值的大小一般先将它们化归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单调性 来比较大小. 7.判断 y=-Asin(ω x+ ) >0)的单调区间,只需求 y=Asin(ω x+ )的 (ω 相反区间即可,一般常用数形结合.而求 y=Asin(-ω x+ ) (-ω <0=的单调区 间时,则需要先将 x 的系数变为正的,再设法求之. 【模拟试题】 1.在(0,2π)内,使 sinx>cosx 成立的 x 的取值范围是 A.( C.( π)∪( , , , )∪(π, ) ) ,0) ,则 可以是 C.- ) B.( ,π) D.( ,

2.已知函数 y=tan(2x+ )的图象过点( A.- D. 3.函数 y=sin( A.2π B.

-2x)+sin2x 的最小正周期是 B.π

C. D.4π 4.若 f(x)=sinx 是周期为 π 的奇函数,则 f(x)可以是 A.sinx C.sin2x D.cos2x 5.函数 y=2sin( A.[0, D.[ ,π] ] -2x) (x∈[0,π] )为增函数的区间是 B.[ , ] C.[

B.cosx





6.把 y=sinx 的图象向左平移 个单位,得到函数__________的图象;再把所得 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍,而纵坐标保持不变,得到函数 __________的图象. 7.函数 y=lg(cosx-sinx)的定义域是_______. 8. f(x)=2cos2x+ 那么 a 的值等于 sin2x+a(a 为实常数)在区间[0, ]上的最小值为-4,

A. 4 -4 9.已知 x∈[ , D.-3

B.-6

C.

] ,函数 y=cos2x-sinx+b+1的最大值为 ,试求其最小值.

10.关于函数 f(x)=sin2x-( )|x|+ ,有下面四个结论,其中正确结论的个 数为①f(x)是奇函数 ②当 x>2003时,f(x)> 恒成立 ③f(x)的最大值是 ④f(x)的最小值是- A.1 B. 2 C. 3 D. 4 11.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数.若 f(x)的最小正周期 是 π,且当 x∈[0, A. - C.- D. 12.函数 y=sin4x+cos2x 的最小正周期为 A. C.π D.2π 13.函数 y=xsinx+cosx 在下面哪个区间内是增函数 A. ( , ) B. (π, 2π) C. ( , ) D. (2π,3π) 14.为了使 y=sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则 ω 的 最小值是 A. 98π C. D. 100π , ]. B. B. ]时,f(x)=sinx,则 f( )的值为 B.

15.已知 P(1,cosx) ,Q(cosx,1) ,x∈[- (1)求向量 和 (2)求 θ 的最值

的夹角 θ 的余弦用 x 表示的函数 f(x) ;


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