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【优化方案】2012高中数学 第1章1.2.1平面的基本性质课件 苏教版必修2


1.2

点、线、面之间的位置关系 1.2.1 平面的基本性质

学习目标 1.知道平面是不加定义的概念,初步体会平 .知道平面是不加定义的概念, 面的基本属性,会用图形与字母表示平面; 面的基本属性,会用图形与字母表示平面; 2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之 .能用符号语言描述空间点、直线、 间的位置关系; 间的位置关系; 3.

能用图形、文字、符号三种语言描述三个 .能用图形、文字、 公理和三个推论, 公理和三个推论,理解三个公理和三个推论 的地位与作用. 的地位与作用.

1.2.1 平 面 的 基 本 性 质

课前自主学案

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 1.空间物体的三视图:_______、_______、 .空间物体的三视图: 正视图 、 左视图 、 俯视图 _______. _______. 2.斜二测画法: .斜二测画法: 45°或135°; ° ° (1)斜:∠x′O′y′= ____________; 斜 ′ ′ ′ (2)二测:横_____,纵_____. 二测: 不变 , 折半 . 二测

知新益能 1.平面的概念及相关知识 . (1)平面:几何里所说的“平面”是从生活中 平面:几何里所说的“平面” 平面 无限延展 的一些物体中抽象出来的, _________的 的一些物体中抽象出来的,是_________的. 思考感悟 1.一个平面把空间分成几部分?两个平面 .一个平面把空间分成几部分? 把空间分成几部分? 把空间分成几部分?

提示:一个平面把空间分成两部分; 提示:一个平面把空间分成两部分;两个平 面相交时,把空间分成四部分, 面相交时,把空间分成四部分,平行时把空 间分成三部分. 间分成三部分. (2)画法:通常把水平的平面画成一个_____ 画法:通常把水平的平面画成一个 平行 画法 四边形 ,并且其锐角画成 45° ° _______,并且其锐角画成____,且横边长 , 倍 等于邻边长的_____,为了增强立体感, 等于邻边长的 2倍 ,为了增强立体感,被 遮挡部分用_____画出来. 遮挡部分用 虚线 画出来. 画出来

(3)表示方法: 表示方法: 表示方法 ①一个希腊字母:如α、β、γ等; 一个希腊字母: 、 、 等 ②两个大写英文字母:表示平面的平行四边 两个大写英文字母: 形的相对的两个顶点; 形的相对的两个顶点; ③四个大写英文字母:表示平面的平行四边 四个大写英文字母: 形的四个顶点. 形的四个顶点.

2.点、线、面位置关系的表示 .
数学符号表示 A∈l ∈ _______ A?l ? _______ A∈α ∈ _______ 文字语言表达 在直线l上 点A在直线 上 在直线 点A在直线 外 在直线l外 在直线 在平面α内 点A在平面 内 在平面 图形语言表达

A?α ? _______

在平面α外 点A在平面 外 在平面

数学符号 表示 l?α ? _____

文字语言表达 直线l在平面 内 直线 在平面α内 在平面

图形语言表达

l?α ? _____

直线l在平面 外 直线 在平面α外 在平面

l∩m=A 直线l, 相交于点 ∩ = 相交于点A _________ 直线 ,m相交于点 α∩β=l 平面α、 相交于直线 ∩ = 相交于直线l ________ 平面 、β相交于直线

3.平面的基本性质 平面的基本性质 (1)公理 : 公理1: 公理 文字语言: ①文字语言:如果一条直线上的两点在一个 平面内,那么这条直线上_________都在这 平面内,那么这条直线上 所有的点 都在这 个平面内. 个平面内. ? 符号语言: ②符号语言:若A∈α,B∈α,则______. ∈ , ∈ , AB?α (2)公理 : 公理2: 公理 文字语言:如果两个平面有一个公共点, ①文字语言:如果两个平面有一个公共点, 那么它们还有其他公共点,这些公共点的集 那么它们还有其他公共点, 合是_________________________. 合是 经过这个公共点的一条直线 .

P∈α? ∈ α∩β=l,且P∈l ∩ =, ∈ ??_________________. 符号语言: ②符号语言 P∈β ? ∈
(3)公理 : 公理3: 公理 ①文字语言:经过不在同一条直线上的三点, 文字语言:经过不在同一条直线上的三点, 有且只有一个 平面. ____________平面 平面. 三点不共线, ②符号语言:若A、B、C三点不共线,则有 符号语言: 、 、 三点不共线 且只有一个平面α, 且只有一个平面 ,使A∈α,B∈α,C∈α. ∈ , ∈ , ∈

(4)推论 :经过一条直线和这条直线外的一 推论1: 推论 有且只有一个平面 . 点,_________________. 推论2:经过_____________, 推论 :经过 两条相交直线 ,有且只有一个 平面. 平面 推论3:经过两条平行直线, 推论 :经过两条平行直线,有且只有一个 平面. 平面

思考感悟 2.“线段AB在平面 内,直线 不全在平面 . 线段 在平面 在平面α内 直线AB不全在平面 α内”这一说法是否正确,为什么? 内 这一说法是否正确,为什么? 提示:不正确. 提示:不正确. 在平面α内 ∵线段AB在平面α内, 线段AB在平面 上的所有点都在平面α内 ∴线段AB上的所有点都在平面 内, 线段 上的所有点都在平面 上的A、 两点一定在平面 两点一定在平面α内 ∴线段AB上的 、B两点一定在平面 内, 线段 上的 在平面α内 公理 公理1) ∴直线AB在平面 内.(公理 直线 在平面

课堂互动讲练

考点突破 平面的概念的理解 深刻理解平面的性质及相关概念, 深刻理解平面的性质及相关概念,搞清平面 与平面图形的区别与联系是解决此类问题的 关键. 关键.

例1 下列对平面的描述语句: 下列对平面的描述语句:

①平静的太平洋面就是一个平面; 平静的太平洋面就是一个平面; 个平面重叠起来比6个平面重叠起来厚 ②8个平面重叠起来比 个平面重叠起来厚; 个平面重叠起来比 个平面重叠起来厚; ③四边形确定一个平面; 四边形确定一个平面; ④平面可以看作空间的点的集合,它是一个 平面可以看作空间的点的集合, 无限集. 无限集. 其中正确的是________(填序号 . 填序号). 其中正确的是 填序号 【思路点拨】 思路点拨】 解答本题结合平面的概念, 解答本题结合平面的概念, 对各说法逐一判断,最后再下结论. 对各说法逐一判断,最后再下结论.

【解析】 解析】 的;

①错误.太平洋面只是给我们以 错误.

平面的形象,而平面是抽象的, 平面的形象,而平面是抽象的,可无限延展 ②错误.平面是无大小,无厚薄之分的; 错误.平面是无大小,无厚薄之分的; ③错误.如三棱锥的四个顶点相连的四边形 错误. 不能确定一个平面; 不能确定一个平面; ④正确.平面是空间中点的集合,是无限集. 正确.平面是空间中点的集合,是无限集 【答案】 答案】 ④

【名师点评】 名师点评】

要注意平面的以下特点: 要注意平面的以下特点:

(1)平面是平的; 平面是平的; 平面是平的 (2)平面是没有厚度的; 平面是没有厚度的; 平面是没有厚度的 (3)平面是无限延展而没有边界的; 平面是无限延展而没有边界的; 平面是无限延展而没有边界的 (4)平面是由空间点、线组成的无限集合; 平面是由空间点、线组成的无限集合; 平面是由空间点 (5)平面图形是空间图形的重要组成部分. 平面图形是空间图形的重要组成部分. 平面图形是空间图形的重要组成部分

变式训练1 变式训练

用符号语言表示下列语句: 用符号语言表示下列语句:

(1)点B在平面 内,但在平面 外; 点 在平面 在平面β内 但在平面α外 (2)直线 经过平面 外一点 ; 直线l经过平面 外一点A; 直线 经过平面β外一点 (3)直线 既在平面 内,又在平面 内,即平 直线m既在平面 直线 既在平面α内 又在平面β内 α和β相交于直线 相交于直线m. 面α和β相交于直线m. 解:(1)B∈β,且B?α; ∈ , ? ; (2)A?β,且A∈l; ? , ∈; (3)m?α,m?β且α∩β=m. ? , ? 且 ∩ =

点、线共面问题 所谓点、 所谓点、线共面问题就是指证明一些点或直 线在同一个平面内的问题. 线在同一个平面内的问题.
例2

已知: ∥ ∥ , ∩ = , ∩ = , 已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,

l∩c=C. ∩ = 求证:直线 , , 和 共面 共面. 求证:直线a,b,c和l共面.

【 思 路 点 拨 】

a∥b,b∥c → ∥ , ∥

分别确定平面α, 分别确定平面 ,β → α与β重合 → 线共面 与 重合

【证明】 证明】 ∵a∥b, ∥ , 确定一个平面, ∴直线a与b确定一个平面,设为 , 直线 与 确定一个平面 设为α, ∵l∩a=A,l∩b=B, ∩ = ,∩ = , ∴A∈a,B∈b,则A∈α,B∈α. ∈ , ∈ , ∈ , ∈

可知: 而A∈l,B∈l,∴由公理 可知:l?α. ∈ , ∈ , 由公理1可知 ? 确定一个平面, ∵b∥c,∴直线 与c确定一个平面,设为 , ∥ , 直线b与 确定一个平面 设为β, 同理可知l? 同理可知 ?β. ∴平面α和平面 都包含直线 与l,且l∩b=B, 和平面β都包含直线 平面 和平面 都包含直线b与 , ∩ = 又∵经过两条相交直线,有且只有一个平面, 经过两条相交直线,有且只有一个平面 与平面β重合 ∴平面α与平面 重合, 平面 与平面 重合, 共面. ∴直线a,b,c和l共面. 直线 , , 和 共面

名师点评】 【名师点评】

在证明多线共面时, 在证明多线共面时,可用下

面的两种方法来证明: 面的两种方法来证明: (1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再 纳入法:先由部分直线确定一个平面, 纳入法 证明其他直线在这个平面内. 证明其他直线在这个平面内.确定一个平面 的方法有: 的方法有:①直线和直线外一点确定一个平 两条平行线确定一个平面, 面,②两条平行线确定一个平面,③两条相 交直线确定一个平面. 交直线确定一个平面. (2)重合法:先说明一些直线在一个平面内, 重合法:先说明一些直线在一个平面内, 重合法 另一些直线在另一个平面内, 另一些直线在另一个平面内,再证明这两个 平面重合(如本例 . 平面重合 如本例). 如本例

变式训练2 变式训练

已知五点A, , , , , 已知五点 ,B,C,D,E,

其中, , , , 共面 共面, , , , 共 其中,A,B,C,D共面,B,C,D,E共 五点一定共面吗? 面,则A,B,C,D,E五点一定共面吗? , , , , 五点一定共面吗 五点不一定共面. 解:A,B,C,D,E五点不一定共面.理 , , , , 五点不一定共面 由如下: 由如下: 三点不共线时, ①当B,C,D三点不共线时,由公理 可知 , , 三点不共线时 由公理3可知 B,C,D三点确定一个平面 ,由题设知 , , 三点确定一个平面 三点确定一个平面α, A∈α,E∈α,故A,B,C,D,E五点共面 ∈ , ∈ , , , , , 五点共面 于α.

三点共线时, ②当B,C,D三点共线时,设共线于 ,若 , , 三点共线时 设共线于l, A∈l,E∈l,则A,B,C,D,E五点共面; ∈, ∈, 五点共面; , , , , 五点共面 有且只有一点在l上 若A,E有且只有一点在 上,则A,B,C, , 有且只有一点在 , , , D,E五点共面;若A,E都不在 上,则A, , 五点共面 五点共面; 都不在l上 , 都不在 , B,C,D,E五点可能不共面. , , , 五点可能不共面 五点可能不共面. 综上所述,在题设条件下, , , , , 综上所述,在题设条件下,A,B,C,D, E五点不一定共面. 五点不一定共面. 五点不一定共面

点共线与线共点问题 证明三点共线, 证明三点共线,一般先证两点确定的直线是 某两个平面的交线, 某两个平面的交线,再证第三个点是两平面 的一个公共点.证明“点在直线”、“三点 的一个公共点.证明“点在直线” 共线” 共线”、“三线共点”的命题,通常用公理 三线共点”的命题, 2.

例3

(本题满分 分)如图,在 本题满分14分 如图 如图, 本题满分

正方体ABCD-A1B1C1D1中, - 正方体 分别是棱CD、 点M、N、E、F分别是棱 、 、 、 、 分别是棱 AB、DD1、AA1上的点,若MN 、 上的点, 与EF交于点 ,求证:D、A、Q三点共线 交于点Q,求证: 、 、 三点共线 三点共线. 交于点

【思路点拨】 找两个平面 → 找出交线AD → 思路点拨】 找出交线 证明Q在交线上 证明 在交线上

【规范解答】 规范解答】

∵MN∩EF=Q,∴Q∈直 ∩ = , ∈

线MN,Q∈直线 , ∈直线EF. 又∵M∈直线 ,N∈直线 , ∈直线CD, ∈直线AB, CD?平面ABCD,AB?平面 ?平面 , ?平面ABCD. ∴M、N∈平面 、 ∈平面ABCD, , ∴MN?平面 ?平面ABCD. ∴Q∈平面ABCD. ………………………4分 ∈平面 分 同理,可得 ?平面ADD1A1. 同理,可得EF?平面 分 ∴Q∈平面 ∈平面ADD1A1. ……………………8分

又∵平面ABCD∩平面 平面 ∩平面ADD1A1=AD, , ∴Q∈直线 , ∈直线AD, 三点共线. 即D、A、Q三点共线 …………………14分 、 、 三点共线 分 名师点评】 【名师点评】 证明多点共线通常利用公理 3, 即两相交平面交线的惟一性 , 通过证明 , 即两相交平面交线的惟一性, 点分别在两个平面内, 点分别在两个平面内,证明点在相交平面的 交线上,也可选择其中两点确定一条直线, 交线上,也可选择其中两点确定一条直线, 然后证明其他点也在其上. 然后证明其他点也在其上.

方法感悟 1.证明直线在平面内的方法是证明直线上有 证明直线在平面内的方法是证明直线上有 两点在平面内. 两点在平面内. 2.证明空间中若干个点和若干条直线都在同 证明空间中若干个点和若干条直线都在同 一平面内的问题称为共面问题. 一平面内的问题称为共面问题.共面问题的 证明,一般先确定平面, 证明,一般先确定平面,然后再证明元素在 这个确定的平面内. 这个确定的平面内.

3. 证明点在直线上的方法 : 首先确定这条 . 证明点在直线上的方法: 直线是哪两个平面的交线, 直线是哪两个平面的交线,然后证明这个点 是这两个平面的公共点. 是这两个平面的公共点. 4. 证明线共点的方法 : 先证某两条直线或 . 证明线共点的方法: 某几条直线共点, 某几条直线共点,然后再证余下的直线过此 点.


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