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【步步高】(浙江专用)2017年高考数学 专题八 解析几何 第63练 直线与圆练习


【步步高】 (浙江专用)2017 年高考数学 专题八 解析几何 第 63 练 直线与圆练习
训练目标 训练题型 解题策略 (1)直线与圆的位置关系的判断与应用;(2)训练解题步骤的规范性. (1)求圆的方程;(2)切线问题、弦长问题;(3)直线与圆的位置关系的应用. 利用直线与圆的位置关系的几何意义、弦长公式及弦心距、半径、弦长的一半 之间的关系,列方程或不等式.

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1.(2015·河北藁城一中月考)已知圆 C 与直线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3,-2),且圆心 在直线 y=-4x 上,求圆 C 的方程.

2.(2015·甘肃天水一中第三次考试)已知圆 C:(x-3) +(y-4) =4. (1)若直线 l1 过定点 A(1,0),且与圆 C 相切,求直线 l1 的方程; (2)若圆 D 半径为 3,圆心在直线 l2:x+y-2=0 上,且与圆 C 外切,求圆 D 的方程.

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1

3.(2015·安徽六校一联)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4,设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上.若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的 方程.

4.(2015·雅安重点中学 1 月月考)已知圆 C:(x-a) +(y-a-1) =9,其中 a 为实常数. (1)若直线 l:x+y-3=0 被圆 C 截得的弦长为 2,求 a 的值; (2)设点 A(3,0),O 为坐标原点,若圆 C 上存在点 M,使|MA|=2|MO|,求 a 的取值范围.

2

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5.(2015·江西百校联考)已知点 G(5,4),圆 C1:(x-1) +(y-4) =25,过点 G 的动直线 l 与圆 C1 相交于 E,F 两点,线段 EF 的中点为 C. (1)求点 C 的轨迹 C2 的方程; (2)若过点 A(1,0)的直线 l1 与 C2 相交于 P,Q 两点,线段 PQ 的中点为 M;又 l1 与 l2:x+2y +2=0 的交点为 N,求证:|AM|·|AN|为定值.

2

2

2

3

答案解析 1.解 方法一 设圆的标准方程为(x-a) +(y-b) =r ,
2 2 2

b=-4a, ? ?(3-a) +(-2-b) =r , 则有? |a+b-1| ? ? 2 =r,
2 2 2

解得 a=1,b=-4,r=2 2, ∴圆的方程为(x-1) +(y+4) =8, 方法二 过切点 P(3,-2)且与直线 x+y-1=0 垂直的直线方程为 y+2=x-3, 与 y=-4x 联立可求得圆心坐标为(1,-4), ∴半径 r= (1-3) +(-4+2) =2 2, ∴所求圆的方程为(x-1) +(y+4) =8. 2.解 (1)当直线 l1 的斜率不存在时,直线 l1 的方程为 x=1; 当直线 l1 的斜率存在时,设直线 l1 的方程为 y=k(x-1), |2k-4| 由 d= =2, k2+1 3 得 k= ,直线 l1 的方程为 3x-4y-3=0. 4 故直线 l1 的方程为 x=1 或 3x-4y-3=0. (2)设圆 D 的圆心为 D(a,2-a), ∵圆 D 与圆 C 外切,∴|CD|=5, 即 (a-3) +(2-a-4) =25, 解得 a=3 或 a=-2. ∴圆 D 的方程为(x-3) +(y+1) =9 或(x+2) +(y-4) =9. 3.解 由?
?y=2x-4, ? ? ?y=x-1,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

得圆心 C 为(3,2),

∵圆 C 的半径为 1, ∴圆 C 的方程为(x-3) +(y-2) =1. 显然切线的斜率一定存在, 设所求圆 C 的切线方程为 y=kx+3, 即 kx-y+3=0.
2 2

4



|3k-2+3| =1, k2+1
2

∴|3k+1|= k +1, 3 ∴2k(4k+3)=0,∴k=0 或 k=- , 4 3 ∴所求圆 C 的切线方程为 y=3 或 y=- x+3. 4 即切线的方程为 y=3 或 3x+4y-12=0. 4.解 (1)由圆的方程知, 圆 C 的圆心坐标为 C(a,a+1),半径为 3. 设圆心 C 到直线 l 的距离为 d, 因为直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2, 所以 d +1=9,解得 d=2 2, |a+(a+1)-3| 所以 =2 2 , 2 即|a-1|=2,解得 a=-1 或 a=3. (2)设 M(x,y),由|MA|=2|MO|, 得 (x-3) +y =2 x +y , 即 x +y +2x-3=0, 所以点 M 在圆心为 D(-1,0),半径为 2 的圆上, 又因为点 M 在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点, 所以 1≤|CD|≤5,即 1≤ (a+1) +(a+1) ≤5, 1 ? ?(a+1) ≥2, 即? 25 ? ?(a+1) ≤ 2 ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 ? ?-1+ 2 ≤a或a≤-1- 2 , 解得? 5 2 5 2 ? ?-1- 2 ≤a≤-1+ 2 , 5 2 2 2 5 2 即-1- ≤a≤-1- 或-1+ ≤a≤-1+ . 2 2 2 2 故 a 的取值范围是 5 2 2 2 5 2 [-1- ,-1- ]∪[-1+ ,-1+ ]. 2 2 2 2

5

5.(1)解 圆 C1 的圆心为(1,4),半径为 5, → → 设 C(x,y),则C1C=(x-1,y-4),CG=(5-x,4-y), → → 由题设知C1C·CG=0, 所以(x-1)(5-x)+(y-4)(4-y)=0, 即(x-3) +(y-4) =4, 所以点 C 的轨迹 C2 的方程是(x-3) +(y-4) =4. (2)证明 直线与圆相交,斜率必定存在,且不为 0, 可设直线方程为 kx-y-k=0, 由?
? ?x+2y+2=0, ?kx-y-k=0, ?
2 2 2 2

2k-2 3k 得 N( ,- ), 2k+1 2k+1

又直线 C2M 与 l1 垂直,

y=kx-k, ? ? 由? 1 y-4=- (x-3), ? k ?
所以|AM|·|AN|= = (

k2+4k+3 4k2+2k 得 M( , 2 2 ), 1+k 1+ k
2k-2 -3k 2 2 -1) +( ) 2k+1 2k+1

2 k2+4k+3 4k +2k 2 2 -1) +( 2 2 ) · 1+k 1+k 2

(

2|2k+1| 3 1+k 2 · 1+k · 2 1+k |2k+1|

=6(定值).

6


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