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高中数学 2.2.1 对数与对数运算导学案(2) 新人教A版必修1


§§2.2.1

对数与对数运算(2)

学习目标 1. 掌握对数的运算性质,并能理解推导这些法则的依据和过程; 2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题.. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P64~ P66,找出疑惑之处) 复习 1: (1) 对数定义: 如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) , 那么数 x 叫做 (2)

指数式与对数式的互化: . ax ? N ? 复习 2:幂的运算性质. (1) am ? n ? a (3) (ab) ?
n

, 记作

.

; (2) (a m )n ? .



复习 3:根据对数的定义及对数与指 数的关系解答: (1)设 log a 2 ? m , log a 3 ? n ,求 am? n ; (2)设 loga M ? m , log a N ? n ,试利用 m 、 n 表示 loga (M · N ) .

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:对数运算性质及推导 问题:由 a p a q ? a p ? q ,如何探讨 log a MN 和 log a M 、 log a N 之间的关系?

问题:设 loga M ? p , log a N ? q , 由对数的定义可得:M= a p ,N= a q ∴MN= a p a q = a p ? q , ∴ loga MN=p+q ,即得 loga MN= loga M + loga N 根据上面的证明,能否得出以下式子? 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 ,则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; M (2) log a ? log a M ? log a N ; N (3) log a M n ? n loga M (n ? R) .

反思: 自然语言如何叙述三条性质? 性质的证明思路?(运用转化思想,先通过假设 ,将对数式化
-1-

成指数式,并利用幂运算性质进行恒等变形;然后再根据对数定义将指数式化成对数式) ※ 典型例题 例 1 用 log a x , log a y , log a z 表示下列各式: (1) loga
xy ; z2

(2) log a

x3 y
5

.

z

例 2 计算: (1) log5 25 ;
8 5

(2) log0.4 1 ;

(3) log 2 (4 ? 2 ) ; (4)lg 9 100 .

探究:根据对数的定义推导换底公式 log a b ? . b?0)

log c b ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; logc a

-2-

试试:2000 年人口数 13 亿,年平均增长率 1℅,多少年后可以达到 18 亿? ※ 动手试试 练 1. 设 lg 2 ? a , lg3 ? b ,试用 a 、 b 表示 log5 12 .

变式:已知 lg2=0.3010,lg3=0.4771,求 lg6、lg12. lg 3 的值.

练 2. 运用换底公式推导下列结论. 1 n (1) log am bn ? log a b ; (2) log a b ? . logb a m

lg 243 7 练 3. 计算: (1) lg14 ? 2lg ? lg 7 ? lg18 ; (2) . lg 9 3

三、总结提升 ※ 学习小结 ①对数运算性质及推导;②运用对数运算性质;③换底公式. ※ 知识拓展 ① 对数的换底公式 log a N ?
logb N ; logb a

-3-

② 对数的倒数公式 log a b ?

1 . logb a

③ 对数恒等式: log an N n ? log a N ,
log am N n ? n log log log a N , loga b? b c? c a ? 1 . m

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列等式成立的是( ) A. log 2 (3 ? 5) ? log 2 3 ? log 2 5 B. log2 (?10)2 ? 2log 2 (?10) C. log2 (3 ? 5) ? log2 3? 2 5 log D. log 2 (?5)3 ? ? log 2 53 2. 如果 lgx=lga+3lgb-5lgc,那么( 3ab A.x=a+3b-c B. x ? 5c 3 ab 3 3 C. x ? 5 D.x=a+b -c c 3. 若 2lg ? y ? 2 x ? ? lg x ? lg y ,那么( A. y ? x C. y ? 3x B. y ? 2 x D. y ? 4 x ; . . ).

).

4. 计算: (1) log9 3 ? log9 27 ? 1 (2) log 2 ? log 1 2 ? 2 2 5. 计算: lg
3 1 5 ? lg ? 5 2 3

课后作业 1. 计 算: lg 27 ? lg8 ? 3lg 10 (1) ; lg1.2 (2) lg 2 2 ? lg 2 ? lg5 ? lg5 .

2. 设 a 、 b 、 c 为正数,且 3a ? 4b ? 6c ,求证:

-4-

1 1 1 . ? ? c a 2b

-5-


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