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指数函数第二课时教案


2.1.2 指数函数及其性质(第二课时)
一、 教学目标: 1.知识与技能 (1) 进一步熟练掌握指数函数概念、图象、性质; (2) 会求指数形式的函数的定义域、值域、最值; 2.情感、态度、价值观 (1)培养学生数学应用意识。 (2)培养学生观察问题,分析问题的能力. 3.过程与方法 渗透了数形结合的思想,让学生通过观察,进而研究指数形式的函数的性质. 二、重、难点

重点:指数函数的概念和性质及其应用. 难点:指数函数性质的应用. 三、学法与教具: ①学法:观察法、讲授法及讨论法. ②教具:多媒体. 四、 教学过程: (一)复习指数函数的图象和性质 指数函数 y=a (a>0 且 a≠1)的性质列表如下: x y=a a>1
x

0<a<1

图象

定义域 值域 性 质 定点 单调性 奇偶性 函数值 分布 当 x>0 时, 当 x<0 时, 当 x>0 时, 当 x<0 时,

(二)例题讲解 题型一:指数型函数的定义域 例1.求下列函数的定义域。

5 x ?1 ? 1 ? x ?1 (1) y ? 3 (2) y ? ? ? (3) y ? x 3 ?9 ?2? 解:(1)要使函数有意义,必须 x ? 4 ? 0 ,即 x ? 4 ,
x ?4

1

所以函数的定义域是 [4, ??) . (2)要使函数有意义,必须 x ? 1 ? 0 ,即 x ? 1 所以函数的定义域是 (??,1) ? (1, ??) .

(3)要使函数有意义,必须 ?

?x ?1 ? 0
x ?3 ? 9 ? 0

,即 x ? 1 ,且 x ? 2

所以函数的定义域是 [1, 2) ? (2, ??) . 题型二:求值域 例 2.求下列函数的值域 (1) y ? 3 (4) y ? 2x
x ?4

? 1 ? x ?1 (2) y ? ? ? ?2?

1

(3) y ? 1 ? 2x (5) y ? 4x ? 2x?1 ? 3

2

?4 x?1

(0 ? x ? 3)

解:(1) 要使函数有意义,必须 x ? 4 ? 0 ,即 x ? 4 , 所以函数的定义域是 [4, ??) . 设 x ? 4 ? t ,则 t ? 0 .

? y ? 3t
由 y ? 3 在R上是增函数,得
t

3t ? 30 ? 1 ? y ? 1 ,即值域为 [1, ??) . (2) 要使函数有意义,必须 x ? 1 ? 0 ,即 x ? 1
所以函数的定义域是 (??,1) ? (1, ??) . 设

1 ? t ,则 t ? 0 . x ?1
t

?1? ?y ?? ? ?2?

?1? ?1? ? y ? ? ? ? ? ? ? 1 .又因为 y>0,所以值域为(0,1)∪(1,+∞). ? 2? ? 2?
x (3) 要使函数有意义,必须 1 ? 2 ? 0 ,即 2 ? 1 ? 2 ,所以 x ? 0 , 所以函数的定义域是 (??, 0] .

t

0

x

0

因为 2 x ? 0 ,所以 1 ? 2 ? 1 .又因为 y ? 0 ,所以值域为 [0,1)
x

(4)设 t ? x ? 4 x ? 1 ,则 t ? ( x ? 2)2 ? 3
2

?0 ? x ? 3

,??3 ? t ? 1

由 y ? 2t 在R上是增函数,得

2?3 ? 2t ? 21 1 所以值域为 [ , 2] 8
(5) y ? 4 ? 2
x x ?1

? 3 ? ? 2x ? ? 2 ? 2x ? 3
2
2

设 t ? 2 ,则 t ? 0
x

? y ? t 2 ? 2t ? 3 ? ? t ? 1? ? 2

?t ? 0

,? y ? 3 所以值域为 (3, ??) 【拓展延伸】

?1? ?1? 已知 0 ? x ? 2 ,求函数 y ? ? ? ? ? ? ? 1的最大值和最小值。 ? 4? ? 2?
x x ? ? 1 ?x ? ? 1 ?x ?1? ?1? 解: y ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ?? 2 ? ? ? 2 ? ?4? ?2? ? ? 2

x

x

1 ?1? ? ? t ?1 设 t ? ? ? ,? 0 ? x ? 2 4 ?2? 2 ? 1? 3 ? y ? t 2 ? t ?1 ? ? t ? ? ? ? 2? 4 ? 当 t ? 1 时, ymax ? 1 1 3 当t ? 时, ymin ? 2 4
(三)归纳小结: 1.由于指数函数 y ? a (a>0 且 a≠1)的定义域为 R, 即 x∈R, 所以函数 y ? a
x f ( x)

x

(a>0 且 a≠1)

与函数 f(x)的定义域相同. 2.求函数 y ? a
f ( x)

(a>0 且 a≠1)的值域的方法如下:

(1)换元,令 t=f(x),并求出函数 t=f(x)的定义域;

(2)求 t=f(x)的值域 t∈M; (3)利用 y ? at 的单调性求 y ? at 在 t∈M 上的值域. (四)作业布置 教材第 59 页 A 组 第5题


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