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福建省宁德市五校教学联合体2014-2015学年高一上学期期中考试数学 Word版含答案


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宁德市五校教学联合体 2014—2015 学年第一学期期中考试

高一数学试卷
(满分:150 分钟 时间 120 分)
命题人:叶惠金 范雪青 陈长邦 注意事项:1.答卷前,考生务必将班级、姓名、座号填写清楚。 2.每小题选出答案后,填入答案卷中。 3.考试结束,考生只将答案卷交回,试卷自己保留。

第Ⅰ卷

选择题(共 50 分)

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请把正确答案涂在答题卡的相应位置.)

? 0 , 1 ,2 ,3 ,4 ? 1 , 2 , 3 , B ? 2 , 4 1.已知全集 U ,集合 A ,则 (? ? ? ? ? ? ? U A)
A. ?1, 2, 4? B. ?2,3, 4?

B为
D.





,4 C. ?0,2,3 ?

?0,2,4?
( )

2. 已知集合 A 则下列关系中正确的是 ?x | 2 ? x ? 4, A. ? ? A B. ?? ? ? A C. ? ? A

?

?

D. ??? ? A ( )

3.下列函数中,与函数 f( 有相同定义域的是 x )? l n x A. y ?

1 x
2

B. f ( x ) ?

1 x

C. f ( x) ?

x

D. f (x ) ?e

x

4. 函数 y?x ? 2 x, x? [0 ,3 ]的值域是 A. [?1, 0] A. y ? x B. [?1,3] B. y ? ?x
3

( C. [0, 3] C. y ? D. [0, ??) ( D. y ? ( )



5.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是



1 x

1 2

x

6.三个数 a ? 0.62 , b ? log 2 0.6, c ? 20.6 之间的大小关系是





c? b A. a? .

b?c B. a?

a?c C. b?

c?a D. b?

7. 函数 f ( x) ? 3 ? x ? 2 的零点所在的区间是
x

( C. ?1, 2 ? D.

)

A. (0,

1 ) 2

B. ( , 1)

1 2

? 2, 3?

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8.函数 f ( x) ? ? x ? 2ax ? 5 在区间 (4,??) 上是减函数,则 a 的取值范围是 (
2



A. (??, 4] 9.函数 y ?

B. (??, 4)

C. [4, ??)

D. (4, ??)

1 ? x2 的图象是 x

(

)

A 10. 给出定义:若 x ?

B

C

D

1 1 (其中 m 为整数 ),则 m 叫做离实数 x 最近的整数, ?m? x? 2 2 记作 {x} ? m .例如 {0.1} ? 0,{0.5} ? 0,{0.6} ? 1 . 如果定义函数 f ( x) ? x ? {x} ,给出下列
命题: ① 函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,值域为 [ ?

② 函数 y ? f ( x) 在区间 [?2,2] 上有 5 个零点; ③ 函数 y ? f ( x) 是奇函数; ④ 函数 y ? f ( x) 在 (? 其中正确的是 A.①②

1 1 , ]; 2 2

1 1 , ) 上是增函数. 2 2
B.②④ C.②③ ( ) D.①④

第 II 卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分.请把答案填在答题纸的相应位置
11. 已知幂函数

f ( x) ? x ? 经过点 P(2, 2 ) ,则 ? ?

. .

12. 若函数

?1 ? x ( x ? 0) f ( x) ? ? x ,则 f [ f (3)] = ( x ? 0) ? 2

13. 函数 y ? a x ?1 ? 1 (a ? 0且a ? 1) 的图像恒过定点 P ,则 P 点的坐标是 ___

____.

14. 设 f ( x) 是偶函数,且在 (0,??) 上是减函数,又 f (?2) ? 0 ,则满足不等式 f ( x) ? 0 的

x 取值范围是

.

15. 给定集合 A ,若对于任意 a, b ? A ,有 a ? b ? A ,且 a ? b ? A ,则称集合 A 为闭集合, 给出如下四个结论:

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① 集合 A ? {0} 为闭集合; ③ 集合 A ? ?n ? n ? 3k , k ? Z ? 为闭集合; 集合. 其中所有正确 结论的序号 是 .. ..

②集合 A ? ??4, ?2, 0, 2, 4? 为闭集合 ④若集合 A1 、 A2 为闭集合,则 A1 .

A2 为闭

三. 解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16.(本小题满分 13 分) 计算下列各式的值: (Ⅰ) 27
? 2 3

? (?8.5) 0 ? (?3) 4 ;

4

(Ⅱ) 2 lg 5 ? lg 4 ? 4

log 4 3

.

17.(本小题满分 13 分)

? ? 已知集合 A ? ? x | 2 ? x ? 7? , B ? ?x | 2 ? x ? 10?, C . ? x | 5 ? a ? x ? a
??B (Ⅰ ) 求 A? B , ? ; C RA
(Ⅱ )若 C ? B ,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 13 分) 已知二次函数 f ( x) ? x ? bx ? c 有两个零点 0 和 3 . (Ⅰ )求 f ( x) 的解析式;
2

(Ⅱ )设 g ( x) ?

x ,试判断函数 g ( x) 在区间 (0,3) 上的单调性并用定义证明. f ( x)

19.(本小题满分 13 分) 闽东某电机厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产某型 号电机产品 x (百台) ,其总成本为 G ( x) (万元) ,其中固定成本为 2.8 万元,并且每生 产 1 百台的生产成本为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本) 。销售收入 R ( x) (万元)满足

?? 0.2 x 2 ? 5 x (0 ? x ? 12) R( x) ? ? ,假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉) , 28 ( x ? 12) ?
根据上述统计规律,请完成下列问题:

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(Ⅰ )求利润函数 y ? f ( x) 的解析式(利润=销售收入—总成本) ; (Ⅱ )工厂生产多少台产品时,可使利润最多?

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? log a (2 ? x) , g ( x) ? log a (2 ? x) ( a ? 0且a ? 1 且设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) . ) (Ⅰ )求函数 h( x) 的定义域; (Ⅱ )判断 h( x) 的奇偶性,并加以证明; (Ⅲ )当 f ( x) ? g ( x) 时,求 x 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? 1 ? (Ⅰ )求 a 的值; (Ⅱ )若函数 g ( x) ? (2 ? 1) ? f ( x) ? k 有零点,求实数 k 的取值范围;
x

4 且 f (0) ? 0 ( a ? 0 , a ? 1 ) 2 a? a
x

(Ⅲ )当 x? (0 , 1 )时, f ( x) ? m ? 2 ? 2 恒成立,求实数 m 的取值范围.
x

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高一数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题: 1.D 2. D 二、填空题: 11. 3. A 4. B 5.B 6.C 7.A 8.A 9. D 10. B

1 2

12.

1 4

13. (1, 2)

14. (??, ?2)

(2, ??)

15. ①③

三. 解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)原式= (3 )
3 ? 2 3

? 1? | ?3 |

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= 3 ?2 ? 1 ? 3 ………………………5 分

1 ?2 9 19 = ………………………7 分 9
= (Ⅱ)原式= 2 lg 5 ? 2 lg 2 ? 3 ………………………10 分 = 2 lg 10 ? 3 =2?3 =5 ………………………12 分 ………………………13 分

17.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) A ? B

? ?x | 2 ? x ? 10? ,………………………2 分

∵ CR A ? x | x ? 2或x ? 7 ………………………4 分

?

?

? ? CR A ?
(Ⅱ)∵ C ? B ,

B ? ? x | 7 ? x ? 10? ……………6 分
5 ;……………7 分 2

①当 C ? ? 时,满足 C ? B ,此时 5 ? a ? a ,得 a ?

?5 ? a ? a ? ②当 C ? ? 时,要 C ? B ,则 ?5 ? a ? 2 ,………………………10 分 ?a ? 10 ?

5 ………………………12 分 ? a ? 3; 2 由①②得, a ? 3 ∴ a 的取值范围是 (??,3] …………………13 分
解得 18.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)由题意得 0 和 3 是函数 x 2 ? bx ? c ? 0 的两根……………………1 分 所以 ?

?c ? 0 ?9 ? 3b ? c ? 0

……………………3 分

解得 b ? ?3, c ? 0 , 所以 f ( x) ? x ? 3 x
2

……………………5 分 ……………………6 分

(Ⅱ) 函数 g ( x) 在区间 (0,3) 上是递减函数,………………………7 分 证明如下: 设 0 ? x1 ? x2 ? 3 ,则

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ?

x1 x ………………………8 分 ? 2 2 x ? 3x1 x2 ? 3 x2
2 1

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?

1 1 ………………………9 分 ? x1 ? 3 x2 ? 3

? ?

( x2 ? 3) ? ( x1 ? 3) ………………………10 分 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) x2 ? x1 ………………………11 分 ( x1 ? 3)( x2 ? 3)

∵ 0 ? x1 ? x2 ? 3

? x2 ? x1 ? 0 , x1 ? 3 ? 0 , x2 ? 3 ? 0
? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,即 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 函数 g ( x) 在区间 (0,3) 上是递减函数 ………………………13 分
19.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意得 G ( x) ? 2.8 ? x ………………………2 分

?? 0.2 x 2 ? 4 x ? 2.8 (0 ? x ? 12) ? f ( x) ? R( x) ? G ( x) ? ? ………………………6 分 25.2 ? x ( x ? 12) ?
(Ⅱ)当 x ? 12 时, 函数 f ( x) 递减? f ( x) ? f (12) ? 13.2 万元………………………8 分
2 当 0 ? x ? 12 时,函数 f ( x) ? ?0.2( x ? 10) ? 17.2 ………………………………11 分

? 当 x ? 10 时, f ( x) 有最大值 17.2 万元………………………………12 分
所以当工厂生产 10 百台时,可使利润最大为 17.2 万元。………………………13 分 20.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)要使函数 h( x) 有意义,则 ?

?2 ? x ? 0 ,………………………2 分 2 ? x ? 0 ?

∴ ? 2 ? x ? 2 , ………………………3 分 故函数 h( x) 的定义域为 (?2,2) ………………………4 分 (Ⅱ)∵函数 h( x) 的定义域关于原点对称,………………………5 分 又 h(? x) ? log a (2 ? x) ? log a (2 ? x) ? ? h( x) ,………………………7 分 ∴ h( x) 为奇函数. …………………8 分 (Ⅲ)∵ f ( x) ? g ( x)

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∴ log a (2 ? x) ? log a (2 ? x) …………………9 分 ①当 a ? 1 时, 2 ? x ? 2 ? x ? x ? 0 ∵? 2 ? x ? 2 ∴ 0 ? x ? 2 …………………11 分 ②当 0 ? a ? 1 时, 2 ? x ? 2 ? x ? x ? 0 ∵? 2 ? x ? 2 ∴ ? 2 ? x ? 0 …………………13 分 综上得当 a ? 1 时, x 的取值范围为 (0,2) ;当 0 ? a ? 1 时, x 的取值范围为 (?2,0) .……14 分 21. (本小题满分 14 分) 解: (1)由 f (0) ? 0 得 1 ? 即a ?2 ? 4
x

4 ? 0 …………………1 分 2a ? a
0

解得 a ? 2 …………………3 分

(2)函数 g ( x) ? (2 ? 1) ? f ( x) ? k 有零点 ? 方程 2 x ? 1 ? k ? 0 有解 即 k ? 1 ? 2 x 有解 ∵ 1 ? 2 ? (??,1)
x

…………………5 分 …………………7 分

? k ? (??,1) …………………8 分
(3)由 f ( x) ? m 2 ? 2 得 m(2 ) ? ( m ? 3)2 ? 1 ? 0
x x 2 x

令 t ? 2 x ,? x ? (0,1)
x

? t ? (1,2)
2

即 f ( x) ? m 2 ? 2 ? mt ? (m ? 3)t ? 1 ? 0 对于 t ? (1,2) 恒成立……………10 分 设 g (t ) ? mt ? (m ? 3)t ? 1
2

①当 m ? 0 时, m ? 3 ? 0 ? g (t ) ? mt ? (m ? 3)t ? 1 ? 0 在 (1, 2) 上恒成立.
2

此时 m ? 0 符合题意…………………11 分 ②当 m ? 0 时, g (t ) ? ?3t ? 1 ? 0 在 (1, 2) 上恒成立, ? m ? 0 符合题意……………12 分 ③当 m ? 0 时,只需 ? 此时 0 ? m ?

? g (1) ? 0 ? m ? (m ? 3) ? 1 ? 0 7 ?? ?m? 6 ? g (2) ? 0 ?4m ? 2(m ? 3) ? 1 ? 0

7 …………………13 分 6

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综上: m 的取值范围是 (??, ] …………………14 分

7 6


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