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全国高中数学课堂竞赛活动教案


全国高中数学课堂竞赛活动教案
【课 【教 题】曲线和方程 材】人教版全日制普通高级中学教科书——数学第二册(上)

【授课教师】甘肃省民乐一中 马鑫 【教学目标】 ◆知识目标: 1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系; 2、初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念; 3、学会根据已有的情景资料找规律,进而分析、判断、归纳结论; 4、强化“

形”与“数”一致并相互转化的思想方法。 ◆能力目标: 1、通过直线方程的引入,加强学生对方程的解和曲线上的点的一一 对应关系的认识; 2、在形成曲线和方程的概念的教学中,学生经历观察、分析、讨论 等数学活动过程,探索出结论,并能有条理的阐述自己的观点; 3、能用所学知识理解新的概念,并能运用概念解决实际问题,从中 体会转化化归的思想方法,提高思维品质,发展应用意识; ◆情感目标: 1、通过概念的引入,让学生感受从特殊到一般的认知规律; 2、通过反例辨析和问题解决,培养合作交流、独立思考等良好的个 性品质,以及勇于批判、敢于创新的科学精神。 【教学重点】 “曲线的方程”与“方程的曲线”的概念
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【教学难点】怎样利用定义验证曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程 【教学方法】问题探索和启发引导式相结合 【教具准备】三角板、多媒体教学设备 【教学过程】 一、感性认识阶段——以旧带新,提出课题 感性认识阶段——以旧带新, ——以旧带新 师:在本节课之前,我们研究过直线的各种方程,建立了二元一次方程 与直线的对应关系:在平面直角坐标系中,任何一条直线都可以用一个二 元一次方程表示,同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线。下面看 一个具体的例子: (出示幻灯片 2)
幻灯片 2
画出方程 x ? y = 0 表示的直线

借助多媒体让学生直观上深刻体会如下结论: (出示幻灯片 3)
幻灯片 3
1、直线上的点的坐标都是方程的解; 2、以这个方程的解为坐标的点都在直线上。 即:直线上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系。 也即:

(出示幻灯片 4,引导学生类比、推广并思考相关问题)
2

幻灯片 4
类比:

推广:

即:任意的曲线和二元方程是否都能建立这种对应关系呢? 也即:方程 F ( x, y ) = 0 的解与曲线 C 上的点的坐标具备怎样的关系就能用方程

F ( x, y ) = 0 表示曲线 C,同时曲线 C 也表示着方程 F ( x, y ) = 0 ?为什么要具备这些条
件?

师:以上问题就是本节课的内容:曲线和方程(板书课题) 。 二、分化本质属性阶段——运用反例揭示内涵 分化本质属性阶段——运用反例揭 ——运用反例 师:刚才的讨论中,有的同学提到了应具备关系: “曲线上的点的坐标 都是方程的解” ;有的同学提到了应具备关系: “以这个方程的解为坐标的 点都是曲线上的点” 还有的同学虽用了不同的提法, ; 但意思不外乎这两个。 现在的问题是:上述的两种提法一样吗?它们反映的是不是同一事实?有 何区别?究竞用怎样的关系才能把幻灯片 4 中的曲线和方程的这种对应关 系完整的表达出来?为了弄清这些问题,我们来研究下列问题: (出示幻灯片 5,让学生回答问题,并加以纠正和总结)

3

幻灯片 5 用下列方程表示如图所示的曲线 C,对吗?为什么?

师:方程⑴、⑵、⑶都不是曲线 C 的方程。第⑴题中曲线 C 上的点不 全是方程 x ? y = 0 的解;例如点 A(-2,-2) 、B( ? 3 , ? 3 )等即不 符合“曲线上点的坐标都是方程的解”这一结论。第⑵题中,尽管“曲线 上点的坐标都是方程的解” 但是以方程 x 2 ? y 2 = 0 的解为坐标的点却不全在 , 曲线上;例如 D(2,-2) 、E( ? 3 , 3 )等不符合“以这个方程的解为 坐标的点都在曲线上”这一结论。第⑶题中既有以方程 x ? y = 0 的解为坐标 的点,如 G(-3,3) 、H( ? 2 , 2 )等都不在曲线上,又有曲线 C 上的 点,如 M(-3,-3) 、N(-1,-1)等的坐标不是方程 x ? y = 0 的解。 事实上,⑴、⑵、⑶中各方程所表示的曲线应该是如图所示的 3 种情况。 (出示幻灯片 6)
幻灯片 6

师:以上我们观察分析了幻灯片 3、5 中的问题,发现幻灯片 3 中的问
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题完整地用方程表示曲线,用曲线表示方程;而幻灯片 5 中的问题不能完 整地用方程表示曲线,用曲线表示方程。如果我们把完整地用方程表示曲 线和用曲线表示方程看成“曲线的方程”和“方程的曲线”的话,那么就 可以给“曲线的方程”和“方程的曲线”下定义了。 三、概括形成定义阶段——讨论归纳给出定义 概括形成定义阶段——讨论归纳给出定义 —— 师:在下定义时,针对幻灯片 5 中的第⑴个问题“曲线上混有其坐标不 是方程的解的点”应作何规定? 生: “曲线上的点的坐标都是这个方程的解” 。 师: 针对幻灯片 5 中的第⑵个问题 “以方程的解为坐标的点不在曲线上” 应作何规定? 生: “以方程的解为坐标的点都有是曲线上的点” 。 这样,我们可以对“曲线的方程”和“方程的曲线”下这样的定义: (出示幻灯片 7)
幻灯片 7 一般地, 在直角坐标系中, 如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f ( x, y ) = 0 的实数解建立了如下的关系: ⑴曲线上的点的坐标都是这个方程的解; ; ⑵以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点, 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形) 。

四、定义强化理解阶段——多种表征、深化内涵 定义强化理解阶段——多种表征、 ——多种表征 师:大家熟知,曲线可以看作是由点组成的集合,记作 C;一个二元方 程的解可以作为点的坐标, 因此二元方程的解集也描述了一个点集, 记作 F。 请大家思考:如何用集合 C 和 F 间的关系来表述“曲线的方程”和“方程 的曲线”定义中的两个关系,进而重新表述“曲线的方程”和“方程的曲
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线”的定义。 启发学生得出:关系⑴指点集 C 是点集 F 的子集;关系⑵指点集 F 是 点集 C 的子集。 (出示幻灯片 8)
幻灯片 8 这样用集合相等的概念定义“曲线的方程”与“方程的曲线”为: (1) C ? F ? ??C =F (2) F ? C ?

师:另外从充要条件的角度看,关系⑴或⑵仅是“曲线的方程”和“方 程的曲线”的必要条件,只有两者都满足了“曲线的方程”和“方程的曲 线”才具备充分性。 五、应用和强化阶段——主动参与、合作交流 应用和强化阶段——主动参与、 ——主动参与 1、初步应用、突出内涵 (出示幻灯片 9,让学生思考后回答下列问题)
幻灯片 9 下列各题中,图所示的的曲线 C 的方程为所列方程,对吗?如果不对,是 不符合关系⑴还是关系⑵?

学生回答:⑴错。不符合定义中的关系⑵,即 C ? F 但 F C。 ⑵错。不符合定义中的关系⑴,即 F ? C 但 C F。
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⑶错。不符合定义中的关系⑴和⑵,即 C F 且 F C。 2、变式应用,提升能力 (出示幻灯片 10,让学生在练习本上解答以下问题)
幻灯片 10 解答下列问题,且说出各依据了“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中 的哪一个关系? ⑴点 A(3,-4) 、B( ? 2 5 ,2)是否在方程 x 2 + y 2 = 25 的圆上? ⑵已知方程为 x 2 + y 2 = 25 的圆过点 C( 7 ,m) ,求 m 的值。

学生回答:⑴依据关系⑵点 A 在圆上,依据关系⑴点 B 不在圆上。 ⑵依据关系⑵求得 m= ± 3 2 。 (出示幻灯片 11,教师启发学生共同完成如下证明)
幻灯片 11 证明以坐标原点为圆心,半径等于 5 的圆的方程是 x 2 + y 2 = 25 。

师:请同学思考,证明应从何着手? 生:应从以下两方面: (1)圆上的点的坐标都满足方程: x 2 + y 2 = 25 ; (2)方程 x 2 + y 2 = 25 的解为坐标的点都在圆上。 师: (1)中的“点”和(2)中的“解”指的都是有关集合中的全体元 素,怎样解决全体问题? 师: (学生思考片刻后)用“任意一个”代表“全体”是数学证明中常 用的方法。 (请同学们完成证明过程,同桌间交流,参照课本证明纠正错误,完善 证题过程,加强证明题的严密性。 ) 六、小结: 小结:
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本节课我们通过实例的研究,掌握了“曲线的方程”和“方程的曲线” 的定义,在领会定义时,要牢记关系⑴、⑵两者缺一不可,它们都是“曲 线的方程”和“方程的曲线”的必要条件,两者都满足了“曲线的方程” 和“方程的曲线”才具备充分性。 曲线和方程之间一一对应的确立,进一步把“曲线”与“方程”统一了 起来,在此基础上,我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题。 七、作业: 作业: 1、教材 72 页,习题 1、2 题。 2、思考题:如果两条曲线的方程 F1 ( x, y ) = 0 和 F2 ( x, y ) = 0 的交点为 M ( x0 , y 0 ) ,求证:方程 F1 ( x, y ) + λF2 ( x, y ) = 0 表示的曲线也经过点 M。 (λ为任 意常数)

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