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湖北省2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题


湖北省武汉市部分重点中学2016-2017学年度下学期高二期末考试
数 学 试 卷(理科) 全卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共150分,考试时间120分钟。 第Ⅰ卷 1、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.复数 A. i
2 1? i 等于( ? 1? i i

>)
(第3题图)

B. 0

C.-i

D.1+i

2.设 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 4 ln x ,则函数 f ( x) 单调递增区间为 (A) (0,??) (B) (?1,0) 和 (2,??) (C) (2,??) (D) (?1,0) ) A. m

3.函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,若 B. 2m C. ? m

?

?

0

2? f ( x)dx ? m ,则 ? 0 f ( x)dx 等于(

D.0

4.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 2 ,一个焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点相 2 a b

同,则双曲线的渐近线方程为( A.

) C. y ? ?

y??

3 x 2
1 x

B.

y ? ? 3x

3 x 3

3 D. y ? ? x 2

5.曲线 y ? e 2 在点 (4, e 2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 (
9 D. e 2 2



A. e 2

B. 2e 2

C. 4e 2

1

6.下列命题错误的是 (



A、命题“若 m ? 0 ,则方程 x 2 ? x ? m ? 0 有实数根”的逆否命题为“若方程 x 2 ? x ? m ? 0 无实数根,则 m ? 0 ” B、“ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 C、对于命题 p : ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 D、若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题 7.棱长均为 3 三棱锥 S ? ABC ,若空间一点 P 满足 SP ? x SA ? y SB ? z SC ( x ? y ? z ? 1) 则 SP 的 最小值为( A、 6 ) B、
6 3

C、

3 6

D、 1

8.已知函数 y ? ( x ? 1) f ?( x) 的图象如图所示,其中 f ?( x) 为函数 f ( x) 的导函数,则 y ? f ( x) 的大致图象是(
y
- 1

)

O

1

x

9.如图,过双曲线上左支一点A作两条相互垂直的直线分别过两焦点,其中一条与双曲线 交于点B,若三角形ABF2是等腰直角三角形,则双曲线的离心率为 ( )

2

A. 5 ? 2 2 C. 4 ? 2 2

B. 5 ? 2 2 D. 4 ? 2 2

10.如图,在正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E,F 分别是 AB1

BC1 的中点,则以下结论中不成立的是(
A. EF 与 BB1 垂直 C. EF 与 CD 异面

D1 A1
E D





B1
F

C1

B. EF 与 BD 垂直 D. EF 与 A1C1 异面

C B

11.已知函数 y ? f ( x) 对任意的 x ? R 满足 (其中 f '( x) 是函数 f ( x) 的导函数),则下列不等式成立的是( A. 2 f (?2) ? f (?1) B. 2 f (1) ? f (2) C. 4 f (?2) ? f (0)

A )

2 x f '( x) ? 2 x f ( x)

D. 2 f (0) ? f (1)

x 12.定义方程 f ( x) ? f '( x) 的实数根 0 叫做函数 f ( x) 的“新驻

?1), 1),? ?((x x)) ? ?x x33 ? ?1 1的“新驻点” 点”,若函数 g ( x) ? x, h( x) ? ln( x ?
分别为 ? , ? , ? ,则 ? , ? , ? 的大小关系为( A. ? ? ? ? ? D. ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ? ) C. ? ? ? ? ?

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.复数
4 ? 3i 的虚部为 1 ? 2i

.

14.用数学归纳法证明某命题时,左式为 1 ?

1 1 1 1 1 ? ? ? .?? ? ? (n为正偶数),从 2 3 4 n ?1 n

“n=2k”到“n=2k+2”左边需增加的代数式为________.

3

15.设 F 1 , F2 为双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1 的左右焦点,点P在双曲线的左支上,且

| PF 2 |2 的最小值 | PF1 |

为 8a ,则双曲线的离心率的取值范围是 16.已知 x ? ?0, ?? ? ,不等式 x ? ,则 a 等于 .



1 4 27 a ? 2 , x ? 2 ? 3 , x ? 3 ? 4 ,…,可推广为 x ? n ? n ? 1 x x x x

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 已知命题 p : ?x ? ? 1,2? , x 2 ? a ? 0 ,命题 q : ?x0 ? R, x0 ? 2ax0 ? 2 ? a ? 0 ,若“ p 且 q ”为真
2

命题,求实数a的取值范围.

18.(本题满分12分)

已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x .

(1)当 a ? ?2e 时,求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ?
2 在[1,4]上是减函数,求实数 a 的取值范围. x

S
19.(本题满分12分) 在三棱锥 S ? ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边 , ?BAC ? 90° , O 为 BC 中点. (Ⅰ)证明: SO ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 A ? SC ? B 的余弦值.
B
O

如图, 三角形

C
A

20. (本小题满分12分)已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 3 ,离心率为 ,其右 2 a b 2

焦点为 F ,过点 B (0, b) 作直线交椭圆于另一点 A . ??? ? ??? ? (1)若 AB ? BF ? ?6 ,求 ?ABF 外接圆的方程;

4

(2)若过点 M (2, 0) 的直线与椭圆 N :

x2 y 2 1 ? ? 相交于两点 G 、 H ,设 P 为 N 上一点,且 a 2 b2 3

???? ???? ??? ? ??? ? ???? 2 5 时,求实数 t 的取值范围. 满足 OG ? OH ? tOP ( O 为坐标原点),当 PG ? PH ? 3
21.(本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ?
2 (a ? R) . x ?1

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在 x ? [1, ??) 最小值; (2)若 f ( x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围;
1 1 1 1 (3)求证: ln(n ? 1) ? ? ? ? ? ? ( n ? N* ). 3 5 7 2n ? 1

请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。 如果多做,则按所做的第一个题目计分,解答时请写清题号。 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A ,半径 OB ? OP , AB 交 PO 于 点 C , (Ⅰ)求证: PA ? PC ;(Ⅱ)若圆 O 的半径为3, OP ? 5 ,求 BC 的长度.

A
O


C

P

23.(本小题满分10分)选修4— 与参数方程

B

4:坐标系

5

? x ? 8cos t 已知曲线 C1 : ? ? y ? 3sin t
( t 为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方 程为 ? ?
7 . cos ? ? 2sin ?

(Ⅰ)将曲线 C1 的参数方程化为普通方程,将曲线 C 2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设 P 为曲线 C1 上的点,点 Q 的极坐标为 (4 2, 距离的最小值.
3? ) ,求 PQ 中点 M 到曲线 C2 上的点的 4

24. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知a+b=1,对 ?a ,b∈(0,+∞),
1 4 + 的最小值; a b 1 4 + ≥|2x-1|-|x+1|恒成立, a b

(Ⅰ)求

(Ⅱ)求x的取值范围。

6

湖北省武汉市部分重点中学2016-2017学年度下学期高 二期末考试 数 学 试 卷(理科) 一、选择题:BCDBA DABBD AC 二、填空题: 13.-1 14.
1 1 1 1 (写 也给分)15. (1, 3] ? n +1 n + 2 2k ? 1 2k ? 2

16. n n

三、解答题: 17.解析:由“ p 且 q ”为真命题,则 p , q 都是真命题.

1,2?上恒成立,只需 a ? x 2 p : x2 ? a 在 ?

? ?

min

? 1 ,所以命题 p : a ? 1 ;

q :设 f ?x ? ? x 2 ? 2ax ? 2 ? a ,存在 x0 ? R 使 f ?x0 ? ? 0 ,只需 ? ? 4a 2 ? 4?2 ? a ? ? 0 ,

7

即 a 2 ? a ? 2 ? 0 ? a ? 1或a ? ?2 ,所以命题 q : a ? 1或a ? ?2 .

?a ? 1 由? 得 a ? 1 或 a ? ?2 ?a ? 1或a ? ?2
故实数a的取值范围是 a ? 1 或 a ? ?2 18.【解析】(1) 定义域( 0, +?) , f ' ( x) ?
(0, e )减, + ( ) e增 , ?

2( x ? e )( x ? e ) , ………2分 x

………4分 ………6分

f极小 ( x) ? f ( e ) ? 0
' (2) g( x) ? 2 x ?

a 2 ? ………8分 x x2

2 ' g( x) ? 0在1, 上恒成立, a ? - 2 x 2 , ………10分 ? 4? x h( x) ? 2 63 - 2x 2在1, 为减函数, a ?h mi( h( 4 ) ? ? ………12分 ? 4? n x) ? x 2

AC SB SC ? SA ,连结 OA , △ ABC 为等腰直角三角形, 19.解:(Ⅰ)由题设 AB===
所以 OA ? OB ? OC ?
2 SA ,且 AO ? BC ,又 △SBC 为等腰三角形, 2

SO ? BC ,且 SO ?

2 SA ,从而 OA2 ? SO 2 ? SA2 . 2

所以 △SOA 为直角三角形, SO ? AO . 又 AO ? BO ? O . 所以 SO ? 平面 ABC .…………………6分

(Ⅱ)解法一:取 SC 中点 M ,连结 AM, OM ,由(Ⅰ)知 SO ? OC, SA ? AC , 得 OM ? SC, AM ? SC .∴ ?OMA 为二面角 A ? SC ? B 的平面角. 由 AO ? BC,, AO ? SO SO ? BC ? O 得 AO ? 平面 SBC . 所以 AO ? OM ,又 AM ?

AO 2 6 3 ? ? . SA ,故 sin ?AMO ? AM 3 2 3

8

所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为

3 ………………12分 3

解法二:以 O 为坐标原点,射线 OB, OA 分别为 x 轴、 y 轴的正半轴,建立如图的空间直角 坐标系 O ? xyz .

设 B (1 ,, 0 0) ,则 C (?1 ,,,,,,,, 0 0) A(0 1 0) S (0 0 1) .
? ?1 ? 1 ? ???? ? 1 1 ? ??? ? 1 1 ? ???? SC 的中点 M ? ? ,, 0 ? ? MA ? ? 1 ? ? SC ? (?1 0 ? 1) 0 ? , MO ? ? ,,,,,,,, 2? 2? ?2 ?2 ? 2 2?

???? ? ??? ? ???? ??? ? ∴, MO ? SC ? 0 MA ? SC ? 0 . ???? ? ???? 故 MO ? SC,,<MA ? SC MO, MA ? 等于二面角 A ? SC ? B 的平面角.……10分 ???? ? ???? ???? ? ???? MO ? MA 3 , cos ? MO, MA ?? ???? ? ???? ? 3 MO ? MA
所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为
3 .………12分 3



20.解:(1)由题意知: c ? 3 , e ?

c 2 ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 , ? a 2

??? ? ??? ? B (0, 3) F ( 3, 0) BF ? ( 3, ? 3) , 可得: , ,设 A( x0 , y0 ) ,则 AB ? (? x0 , 3 ? y0 ) , ??? ? ??? ? ? AB ? BF ? ?6 ,?? 3 x0 ? 3( 3 ? y0 ) ? ?6 ,即 y0 ? x0 ? 3

x2 y 2 解得: a ? 6, b ? 3 ? 椭圆 C 的方程为: ? ?1 6 3

2分

? 4 3 ? x0 2 y0 2 ? x0 ? x ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? 0 3 由? 6 ,或 ? ?? 3 ? ?y ? x ? 3 ? y0 ? ? 3 ?y ? 3 0 ? 0 0 ? 3 ?

9

4 3 3 即 A(0, ? 3) ,或 A( , ) 3 3

4分

①当 A 的坐标为 (0, ? 3) 时, OA ? OB ? OF ? 3 ,? ?ABF 外接圆是以 O 为圆心, 3 为
2 2 半径的圆,即 x ? y ? 3

5分

②当 A 的坐标为 (

4 3 3 , ) 时, k AF ? 1 , k BF ? ?1 ,所以 ?ABF 为直角三角形,其外接圆是 3 3

以线段 AB 为直径的圆,圆心坐标为 (

2 3 2 3 1 15 , , ) ,半径为 AB ? 3 3 2 3

??ABF 外接圆的方程为 ( x ?

2 3 2 2 3 2 5 ) ? (y ? ) ? 3 3 3

2 2 2 3 2 2 3 2 5 综上可知: ?ABF 外接圆方程是 x ? y ? 3 ,或 ( x ? ) ? (y ? ) ? 3 3 3

6分

(2)由题意可知直线 GH 的斜率存在. 设 GH : y ? k ( x ? 2) , G ( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) , P ( x, y )
? y ? k ( x ? 2) ? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 由 ? x2 得: 2 ? ? y ?1 ? 2
4 2 2 1 由 ? ? 64k ? 4(2k ? 1)(8k ? 2) ? 0 得: k 2 ? ( ? ) 2

8分

x1 ? x2 ?

8k 2 8k 2 ? 2 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

??? ? ???? 2 5 ???? 2 5 2 5 ,? HG ? 即 1 ? k 2 x1 ? x2 ? ? PG ? PH ? 3 3 3
?k2 ? 1 ,结合( ? )得: 4

10分

10

???? ???? ??? ? ? OG ? OH ? tOP ,? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y )
从而 x ?

x1 ? x2 8k 2 y ? y2 1 ?4k ? ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? ,y? 1 2 t t (1 ? 2k ) t t t (1 ? 2k 2 )

? 点 P 在椭圆上,?[

8k 2 ?4k 2 2 16k 2 ? t 2 (1 ? 2k 2 ) ] ? 2[ ] ? 2 ,整理得: t (1 ? 2k 2 ) t (1 ? 2k 2 )
12分

即 t2 ? 8 ?

2 6 2 6 8 ,??2 ? t ? ? ,或 ?t ?2 2 3 3 1 ? 2k
2 ,定义域为 (0, ??) . x ?1

21.解:(1) f ( x) ? ln x ?

? f '( x) ?

1 2 x2 ? 1 ? ? ?0 x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2

? f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数.

f ( x) min ? f (1) ? 1 .

(2)因为 f ' ( x) ?

a 2 ax 2 ? 2(a ? 1) x ? a ? ? x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2

因为若 f ( x) 存在单调递减区间,所以 h ' ( x) ? 0 有正数解. 即 ax 2 ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 有 x ? 0 的解 当 a ? 0 时,明显成立 . ②当 a ? 0 时, y ? ax 2 ? 2(a ? 1) x ? a 开口向下的抛物线, ax 2 ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 总有 x ? 0 的解 ; ③当 a ? 0 时, y ? ax 2 ? 2(a ? 1) x ? a 开口向上的抛物线, 即方程 ax 2 ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 有正根. 因为 x1 x2 ? 1 ? 0 , 所以方程 ax 2 ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 有两正根. 当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 1 ;

11

?? ? 0 1 ,解得 0 ? a ? . ? 2 ? x1 ? x2 ? 0
综合①②③知: a ? 或:
ax 2 ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 有 x ? 0 的解
1 . 2

即 即

a ( x 2 ? 2 x ? 1) ? x有的解 x?0
a? x 有的解 x?0 ( x ? 2 x ? 1)
2

a?

x 1 的最大值( x ? 0) ,? a ? ( x ? 2 x ? 1) 2
2

(3)(法一)根据(Ⅰ)的结论,当 x ? 1 时, ln x ?
k ?1 k ?1 1 ,则有 ln , ? k k 2k ? 1
n

2 x ?1 . ? 1 ,即 ln x ? x ?1 x ?1

令x?

? ? ln
k ?1

n

k ?1 n 1 . ?? k k ?1 2k ? 1

? ln(n ? 1) ? ? ln
k ?1

k ?1 , k

1 1 1 . ? ln(n ? 1) ? ? ? ? ? 3 5 2n ? 1

(法二)当 n ? 1 时, ln(n ? 1) ? ln 2 .
1 ? 3ln 2 ? ln 8 ? 1 ,? ln 2 ? ,即 n ? 1 时命题成立. 3
1 1 1 设当 n ? k 时,命题成立,即 ln(k ? 1) ? ? ? ? ? . 3 5 2k ? 1

? n ? k ? 1 时, ln(n ? 1) ? ln(k ? 2) ? ln(k ? 1) ? ln

k ?2 1 1 1 k ?2 . ? ? ?? ? ? ln k ?1 3 5 2k ? 1 k ?1

12

根据(Ⅰ)的结论,当 x ? 1 时, ln x ?
k ?2 k ?2 1 ,则有 ln , ? k ?1 k ? 1 2k ? 3

2 x ?1 . ? 1 ,即 ln x ? x ?1 x ?1

令x?

1 1 1 1 则有 ln(k ? 2) ? ? ? ? ? ,即 n ? k ? 1 时命题也成立. ? 3 5 2k ? 1 2k ? 3

因此,由数学归纳法可知不等式成立. 22.选修4—1:几何证明选讲 (Ⅰ)证明:连接 OA , ∵ OA ? OB , ∴ ?OAB ? ?OBA .…………………………1分 ∵ PA 与圆 O 相切于点 A , ∴ ?OAP ? 90? . ∴ ?PAC ? 90? ? ?OAB .……………………2分 ∵ OB ? OP , ∴ ?BCO ? 90? ? ?OBA .……………………3分 ∴ ?BCO ? ?PAC . 又∵ ?BCO ? ?PCA , ∴ ?PCA ? ?PAC . ∴ PA ? PC . ………………………………5分 ……………………4分

(Ⅱ)解:假设 PO 与圆 O 相交于点 M ,延长 PO 交圆 O 于点 N . ∵ PA 与圆 O 相切于点 A , PMN 是圆 O 割线,
2 ∴ PA ? PM ? PN ? ( PO ? OM )?( PO ? ON ) .……………6分

∵ OP ? 5 , OM ? ON ? 3 ,
2 ∴ PA ? (5 ? 3)?(5 ? 3) ? 16 .

∴ PA ? 4 .………………………………8分

13

∴由(Ⅰ)知 PC ? PA ? 4 . ∴ OC ? 5 ? 4 ? 1 .
2 2 2 在 Rt ?OBC 中, BC ? OB ? OC ? 9 ? 1 ? 10

∴ BC ? 10 .…………………………10分

? x ? 8cos t x2 y 2 23.【解析】(Ⅰ)由 ? ,消去参数得曲线 C1 普通方程为 ? ? 1 ;由 64 9 ? y ? 3sin t

??
5分

7 ,得 ? cos ? ? 2 ? sin ? ? 7 ,故曲线 C 2 的直角坐标方程为 x ? 2 y ? 7 ? 0 . cos ? ? 2sin ?

3 (Ⅱ)点 Q 的直角坐标为 (?4, 4) ,设 P (8cos t ,3sin t ) ,故 M (?2 ? 4 cos t , 2 ? sin t ) , 2

C2 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0 , M 到 C2 的距离 d ?
8 5 4 3 . cos t ? ,sin t ? ? 时, d 取得最小值 5 5 5

5 | 4 cos t ? 3sin t ? 13 | ,从而当 5

10分

24. 解析:(Ⅰ)∵ a ? 0, b ? 0 且 a ? b ? 1 , ∴
1 4 1 4 b 4a ? ? ( ? )(a ? b) ? 5 ? ? ?9, a b a b a b

3分

当且仅当

b 4a 1 2 ,即 a ? , b ? 时, ? a b 3 3

1 4 ? 取最小值9. a b

5分

1 4 (Ⅱ)因为对 a, b ? (0, ??) ,使 ? ? 2 x ? 1 ? x ? 1 恒成立, a b

所以 2 x ? 1 ? x ? 1 ? 9 ,

7分

14

当 x ? ?1 时,不等式化为 2 ? x ? 9 , 当 ?1 ? x ?

解得 ?7 ? x ? ?1 ;

1 1 时,不等式化为 ?3 x ? 9 ,解得 ?1 ? x ? ; 2 2

当x?

1 时,不等式化为 x ? 2 ? 9 , 2

解得

1 ? x ? 11 ; 2

∴ x 的取值范围为 ?7 ? x ? 11 .

10分

湖北省武汉市部分重点中学2016-2017学年度下学期高 二期末考试 数 学 试 卷(理科) 一、选择题:BCDBA DABBD AC 二、填空题: 13.-1 14.
1 1 1 1 (写 也给分)15. (1, 3] ? n +1 n + 2 2k ? 1 2k ? 2

16. n n

三、解答题: 17.解析:由“ p 且 q ”为真命题,则 p , q 都是真命题.

1,2?上恒成立,只 需 a ? x 2 p : x2 ? a 在 ?

? ?

min

? 1 ,所以命题 p : a ? 1 ;

q :设 f ?x ? ? x 2 ? 2ax ? 2 ? a ,存 在 x0 ? R 使 f ?x0 ? ? 0 ,只需 ? ? 4a 2 ? 4?2 ? a ? ? 0 ,

即 a 2 ? a ? 2 ? 0 ? a ? 1或a ? ?2 ,所以命题 q : a ? 1或a ? ?2 .

?a ? 1 由? 得 a ? 1 或 a ? ?2 ?a ? 1或a ? ?2
故实数a的取值范围是 a ? 1 或 a ? ?2 18.【解析】(1) 定义域( 0, +?) , f ' ( x) ?
(0, e )减, + ( ) e增 , ?

2( x ? e )( x ? e ) , ………2分 x

………4分 ………6分

f极小 ( x) ? f ( e ) ? 0

15

' (2) g( x) ? 2 x ?

a 2 ? ………8分 x x2

2 ' g( x) ? 0在1, 上恒成立, a ? - 2 x 2 , ……… 10分 ? 4? x h( x) ? 2 63 - 2x 2在1, 为减函数, a ?h mi( h( 4 ) ? ? ………12分 ? 4? n x) ? x 2

AC SB SC ? SA ,连结 OA , △ ABC 为等腰直 19.解:(Ⅰ)由题设 AB===
角三角形, 所以 OA ? OB ? OC ?
2 SA ,且 AO ? BC ,又 △SBC 为等腰三角形, 2

SO ? BC ,且 SO ?

2 SA ,从而 OA2 ? SO 2 ? SA2 . 2

所以 △SOA 为直角三 角形, SO ? AO . 又 AO ? BO ? O . 所以 SO ? 平面 ABC .…………………6分

(Ⅱ)解法一:取 SC 中点 M ,连结 AM, OM ,由(Ⅰ)知 SO ? OC, SA ? AC , 得 OM ? SC, AM ? SC .∴ ?OMA 为二面角 A ? SC ? B 的平面角. 由 AO ? BC,, AO ? SO SO ? BC ? O 得 AO ? 平面 SBC . 所以 AO ? OM ,又 AM ?

AO 2 6 3 ? ? . SA ,故 sin ?AMO ? AM 3 2 3
3 ………………12分 3

所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为

解法二:以 O 为坐标原点,射线 OB, OA 分别为 x 轴、 y 轴的正半轴,建立如图的空间直角 坐标系 O ? xyz .

设 B (1 ,, 0 0) ,则 C (?1 ,,,,,,,, 0 0) A(0 1 0) S (0 0 1) .

16

? ?1 ? 1 ? ???? ? 1 1 ? ??? ? 1 1 ? ???? SC 的中点 M ? ? ,, 0 ? ? MA ? ? 1 ? ? SC ? (?1 0 ? 1) . 0 ? , MO ? ? ,,,,,,,, 2? 2? ?2 ?2 ? 2 2?

???? ? ??? ? ???? ??? ? ∴, MO ? SC ? 0 MA ? SC ? 0 . ???? ? ???? 故 MO ? SC,,<MA ? SC MO, MA ? 等于二面角 A ? SC ? B 的平面角.……10分 ???? ? ???? ???? ? ???? MO ? MA 3 , cos ? MO, MA ?? ???? ? ???? ? 3 MO ? MA
所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为
3 .………12分 3

20.解:(1)由题意知: c ? 3 , e ?

c 2 ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 , ? a 2

??? ? ??? ? B (0, 3) F ( 3, 0) BF ? ( 3, ? 3) , 可得: , ,设 A( x0 , y0 ) ,则 AB ? (? x0 , 3 ? y0 ) , ??? ? ??? ? ? AB ? BF ? ?6 ,?? 3 x0 ? 3( 3 ? y0 ) ? ?6 ,即 y0 ? x0 ? 3

x2 y 2 解得: a ? 6, b ? 3 ? 椭圆 C 的方程为: ? ?1 6 3

2分

? 4 3 ? x0 2 y0 2 ? x0 ? x ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? 0 3 由? 6 ,或 ? ?? 3 ? ?y ? x ? 3 ? y0 ? ? 3 ?y ? 3 0 ? 0 0 ? 3 ?
4 3 3 即 A(0, ? 3) ,或 A( , ) 3 3

4分

①当 A 的坐标为 (0, ? 3) 时, OA ? OB ? OF ? 3 ,? ?ABF 外接圆是以 O 为圆心, 3 为
2 2 半径的圆,即 x ? y ? 3

5分

17

②当 A 的坐标为 (

4 3 3 , ) 时, k AF ? 1 , k BF ? ?1 ,所以 ?ABF 为直角三角形,其外接圆是 3 3

以线段 AB 为直径的圆,圆心坐标为 (

2 3 2 3 1 15 , , ) ,半径为 AB ? 3 3 2 3

??ABF 外接圆的方程为 ( x ?

2 3 2 2 3 2 5 ) ? (y ? ) ? 3 3 3

2 2 2 3 2 2 3 2 5 综上可知: ?ABF 外接圆方程是 x ? y ? 3 ,或 ( x ? ) ? (y ? ) ? 3 3 3

6分

(2)由题意可知直线 GH 的斜率存在. 设 GH : y ? k ( x ? 2) , G ( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) , P ( x, y )
? y ? k ( x ? 2) ? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 由 ? x2 得: 2 ? ? y ?1 ? 2
4 2 2 1 由 ? ? 64k ? 4(2k ? 1)(8k ? 2) ? 0 得: k 2 ? ( ? ) 2

8分

x1 ? x2 ?

8k 2 8k 2 ? 2 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

??? ? ???? 2 5 ???? 2 5 2 5 ,? HG ? 即 1 ? k 2 x1 ? x2 ? ? PG ? PH ? 3 3 3
?k2 ? 1 ,结合( ? )得: 4

10分

???? ???? ??? ? ? OG ? OH ? tOP ,? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y )
从而 x ?

x1 ? x2 8k 2 y ? y2 1 ?4k ? ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? ,y? 1 2 t t (1 ? 2k ) t t t (1 ? 2k 2 )

? 点 P 在椭圆上,?[

8k 2 ?4k 2 2 16k 2 ? t 2 (1 ? 2k 2 ) ] ? 2[ ] ? 2 ,整理得: t (1 ? 2k 2 ) t (1 ? 2k 2 )

18

即 t2 ? 8 ?

2 6 2 6 8 ,??2 ? t ? ? ,或 ?t ?2 2 3 3 1 ? 2k
2 ,定义域为 (0, ??) . x ?1

12分

21.解:(1) f ( x) ? ln x ?

? f '( x) ?

1 2 x2 ? 1 ? ? ?0 x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2

? f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数.

f ( x) min ? f (1) ? 1 .

(2)因为 f ' ( x) ?

a 2 ax 2 ? 2(a ? 1) x ? a ? ? x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2

因为若 f ( x) 存在单调递减区间,所以 h ' ( x) ? 0 有正数解. 即 ax 2 ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 有 x ? 0 的解 当 a ? 0 时,明显成立 . ②当 a ? 0 时, y ? ax 2 ? 2(a ? 1) x ? a 开口向下的抛物线, ax 2 ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 总有 x ? 0 的解 ; ③当 a ? 0 时, y ? ax 2 ? 2(a ? 1) x ? a 开口向上的抛物线, 即方程 ax 2 ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 有正根. 因为 x1 x2 ? 1 ? 0 , 所以方程 ax 2 ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 有 两正根. 当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 1 ;

?? ? 0 1 ,解得 0 ? a ? . ? 2 ? x1 ? x2 ? 0
综合①②③知: a ? 或:
ax 2 ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 有 x ? 0 的解
1 . 2

19

即 即

a ( x 2 ? 2 x ? 1) ? x有的解 x?0
a? x 有的解 x?0 ( x ? 2 x ? 1)
2

a?

x 1 的最大值( x ? 0) ,? a ? ( x ? 2 x ? 1) 2
2

(3)(法一)根据(Ⅰ)的结论,当 x ? 1 时, ln x ?
k ?1 k ?1 1 ,则有 ln , ? k k 2k ? 1
n

2 x ?1 . ? 1 ,即 ln x ? x ?1 x ?1

令x?

? ? ln
k ?1

n

k ?1 n 1 . ?? k k ?1 2k ? 1

? ln(n ? 1) ? ? ln
k ?1

k ?1 , k

1 1 1 . ? ln(n ? 1) ? ? ? ? ? 3 5 2n ? 1

(法二)当 n ? 1 时, ln(n ? 1) ? ln 2 .
1 ? 3ln 2 ? ln 8 ? 1 ,? ln 2 ? ,即 n ? 1 时命题成立. 3
1 1 1 设当 n ? k 时,命题成立,即 ln(k ? 1) ? ? ? ? ? . 3 5 2k ? 1

? n ? k ? 1 时, ln(n ? 1) ? ln(k ? 2) ? ln(k ? 1) ? ln

k ?2 1 1 1 k ?2 . ? ? ?? ? ? ln k ?1 3 5 2k ? 1 k ?1

根据(Ⅰ)的结论,当 x ? 1 时, ln x ?
k ?2 k ?2 1 ,则有 ln , ? k ?1 k ? 1 2k ? 3

2 x ?1 . ? 1 ,即 ln x ? x ?1 x ?1

令x?

1 1 1 1 则有 ln(k ? 2) ? ? ? ? ? ,即 n ? k ? 1 时命题也成立. ? 3 5 2k ? 1 2k ? 3

20

因此,由数学归纳法可知不等式成立. 22.选修4—1:几何证明选讲 (Ⅰ)证明:连接 OA , ∵ OA ? OB , ∴ ?OAB ? ?OBA .…………………………1分 ∵ PA 与圆 O 相切于点 A , ∴ ?OAP ? 90? . ∴ ?PAC ? 90? ? ?OAB .……………………2分 ∵ OB ? OP , ∴ ?BCO ? 90? ? ?OBA .……………………3分 ∴ ?BCO ? ?PAC . 又∵ ?BCO ? ?PCA , ∴ ?PCA ? ?PAC . ∴ PA ? PC . ………………………………5分 ……………………4分

(Ⅱ)解:假设 PO 与圆 O 相交于点 M ,延长 PO 交圆 O 于点 N . ∵ PA 与圆 O 相切于点 A , PMN 是圆 O 割线,
2 ∴ PA ? PM ? PN ? ( PO ? OM )?( PO ? ON ) .……………6分

∵ OP ? 5 , OM ? ON ? 3 ,
2 ∴ PA ? (5 ? 3)?(5 ? 3) ? 16 .

∴ PA ? 4 .………………………………8分 ∴由(Ⅰ )知 PC ? PA ? 4 . ∴ OC ? 5 ? 4 ? 1 .
2 2 2 在 Rt ?OBC 中, BC ? OB ? OC ? 9 ? 1 ? 10

∴ BC ? 10 .…………………………10分

21

? x ? 8cos t x2 y 2 23.【解析】(Ⅰ)由 ? ,消去参数得曲线 C1 普通方程为 ? ? 1 ;由 64 9 ? y ? 3sin t

??
5分

7 ,得 ? cos ? ? 2 ? sin ? ? 7 ,故曲线 C 2 的直角坐标方程为 x ? 2 y ? 7 ? 0 . cos ? ? 2sin ?

3 (Ⅱ)点 Q 的直角坐标为 (?4, 4) ,设 P (8cos t ,3sin t ) ,故 M (?2 ? 4 cos t , 2 ? sin t ) , 2

C2 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0 , M 到 C2 的距离 d ?
8 5 4 3 . cos t ? ,sin t ? ? 时, d 取得最小值 5 5 5

5 | 4 cos t ? 3sin t ? 13 | ,从而当 5

10分

24. 解析:(Ⅰ)∵ a ? 0, b ? 0 且 a ? b ? 1 , ∴
1 4 1 4 b 4a ? ? ( ? )(a ? b) ? 5 ? ? ?9, a b a b a b

3分

当且仅当

b 4a 1 2 ,即 a ? , b ? 时, ? a b 3 3

1 4 ? 取最小值9. a b

5分

1 4 (Ⅱ)因为对 a, b ? (0, ??) ,使 ? ? 2 x ? 1 ? x ? 1 恒成立, a b

所以 2 x ? 1 ? x ? 1 ? 9 ,

7分 解得 ?7 ? x ? ?1 ;

当 x ? ?1 时,不等式化为 2 ? x ? 9 , 当 ?1 ? x ?

1 1 时,不等式化为 ?3 x ? 9 ,解得 ?1 ? x ? ; 2 2

当x?

1 时,不等式化为 x ? 2 ? 9 , 2

解得

1 ? x ? 11 ; 2

22

∴ x 的取值范围为 ?7 ? x ? 11 .

10分

23


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