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河北省正定中学2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题


高二第二学期期末考试
数学试题 说明: 1.考试时间120分钟,满分150分。2.将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用 蓝黑钢笔或签字笔答在答题纸上。 试卷Ⅰ(共 60 分) 一、选择题(本题共12个小题,每题只有一个正确答案 ,每题5分,共60分。请把答案涂在答题卡上) 1.设集合 M ? {x || x |? 3} , N ?

?x | y

? log 2 (? x 2 ? 3x ? 2)?,则 M ? N =

A. ?x |1 ? x ? 3?        B. ?x |1 ? x ? 2?                     C.

?x | ?3 ? x ? 2?

     D. ?x | ?3 ? x ? 3?

2.已知命题 p : ?x ? R, x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R, x 2 ? 0 ,则 A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? ??q ? 是真命题
2 3. 设复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则 ? z 2 = z

B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? ??q ? 是假命题

A. 1 ? i

B. 1 ? i

C. ?1 ? i

D. ?1 ? i

4.参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受 到不同程度的破坏,可见部分信息如下,据此计算得到:参加数学抽测的人数 n 、分数在 ?90,100?内的人数分别为

A. 25 , 2

  B. 25 , 4   C. 24 , 2

 D. 24 , 4

-1-

5.某程序框图如右图所示,该程序运行后输出的 S 为 A. ?
1 2

   B. ?3

   C.

1 3

    D. 2

6.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的 x 的值是

A.2

B.

9 2

C.

3 2

D.3

7.四位外宾参观某场馆需配备两名安保人员.六人依次进入校门,为安全起见, 首尾一定是两名安保人员,外宾甲乙要排在一起,则六人的入门顺序的总数是 A. 12 B. 24
n

   C. 36

   D.

48

2? ? 8.若 ? x ? 2 ? 展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是 x ? ?
A.180 D.45 9. B.120 C.90

? 3? ? 1 ? 设数集 M ? ? x m ? x ? m ? ? , N ? ? x n ? ? x ? n ? ,且 M , N 都是集合 4? 3 ? ? ?

?x 0 ? x ? 1?的子集,如果把 b ? a 叫做集合 ?x a ? x ? b?的“长度”,那么集合
M ? N 的“长度”的最小值是

A. 10.

1 3

B.

2 3

C.

1 12

D.

5 12

在 ?ABC 中,三个内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ,若 S ?ABC ? 2 3, a ? b ? 6, ) -2-

a cos B ? b cos A ? 2 cos C ,则 c ? ( c

A. 2 7

B. 2 3

C.4

D. 3 3

11.设 F1 , F2 分别为双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0 ? 的左,右焦点, A 为双曲线 a 2 b2

的左顶点,以 F1 F2 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 M , N 两点,且满足

?MAN ? 120? ,则该双曲线的离心率为(
A.

) C.

21 3

B.

19 3

2 3

D.

7 3 3

1 1 m?n f ( x) ? x 3 ? mx 2 ? x x ,x 3 2 2 12.已知函数 的两个极值点分别为 1 2 ,且

0 ? x 1? 1 ? x 2 ,点 P (m, n) 表示的平面区域内存在点 ( x0 , y0 ) 满足 y0 ? log a ( x0 ? 4) ,
则实数 a 的取值范围是(
1 (0, ) ? (1,3) 2 A.

)
1 ( ,1) ? (1,3? C. 2

  B. (0,1) ? (1,3)

  D.

(0,1) ? ?3, ??)
试卷Ⅱ(共 90 分) 二、填空题(本题共4个小题,每题5分,共计20分.请把答案写在答题纸上) 13.甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分,当他们被问到谁考了满分时, 甲说:丙没有考满分; 乙说:是我考的; 丙说:甲说真话. 事实证明:在这三名同学中,只有一人说的是假话,那么得满分的同学是 . 14.已知菱形 ABCD 的边长4, ?ABC ? 150? ,若在菱形内任取一点,则该点到菱 形的四个顶点的距离均大于1的概率为 .

x2 y2 15.已知点 P 在渐近线方程为 4 x ? 3 y ? 0 的双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上,其中 a b

F1 , F2 分别为其左、右焦点.若 ?PF1 F2 的面积为16且 PF1 ? PF2 ? 0 ,则 a ? b 的值
为 . -3-

???? ???? ?

16.若 a ? 1 ,函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 2a 与 g ( x) ? x ? 1 ? x ? a 有相同的最小值,则

?

a

1

f ( x)dx ?



三、解答题(本题共6个小题 共计70分。请把解答过程写在答题纸上) 17、(本小题满分10分)

已知数列 ?an ?与 ?bn ?,若 a1 ? 2 且对任意正整数n满足 an ?1 ? an ? 2 ,数列 ?bn ?的前 n项和 S n ? n 2 ? an (1)求数列 ?an ?与 ?bn ?的通项公式; (2)求数列 {

1 } 的前n项和 Tn bnbn ?1

18、(本小题满分12分)

某学校为了解该校高三年级学生在市一练考试的数学成绩情况,随机从该校高三 文科与理科各抽取50名学生的数学成绩,作出频率分布直方图如下,规定考试成 绩 ?120,150?内为优秀。

(1)由以上频率分布直方图填写下列 2 ? 2 列联表,若按是否优秀来判断,是否 有99%的把握认为该校的文理科数学成绩有差异。

-4-

(2)某高校派出2名教授对该校随机抽取的学生中一练数学成绩在140分以上的 学生进行自主招生面试,每位教授至少面试一人,每位学生只能被一位教授面试 ,若甲教授面试的学生人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望。

19. (本小题满分12分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面ABCD ,
BC ? CD ? 2,, AC AC ?B= 4 ? AC D = ?

?
3

. F 为 PC 的中点,

AF ? PB .
(Ⅰ)求 PA 的长 ; (Ⅱ)求二面角 B ? AF ? D 的正弦值.

20.(本小题满分12分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C :
6 x2 y 2 ,且过点 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 3 a b

?3, ?1? .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若动点 P 在直线 l : x ? ?2 2 上,过 P 作直线交椭圆 C 于 M , N 两点,使得
PM ? PN ,再过 P 作直线 l ' ? MN ,证明:直线 l ' 恒过定点,并求出该定点的坐标

. 21、(本小题满分12分) 已知 f ?x ? ? x 2 ? ax, g ( x) ? ln x, h( x) ? f ?x ? ? g ?x ? 。 (1)当 a ? 3 时,求 h( x) 的单调区间;

-5-

1 (2)设 h ?x ? 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? (0, ) ,若 h( x1 ) ? h( x2 ) ? m 恒成立,求 2

m 的最大值。

请考生在22,23,24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分. 做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

22.(本小题满分10分) 选修4-1:几何证明选讲 如图所示, AB 为圆 O 的直径, CB , CD 为圆 O 的切线,
B , D 为切点.

⑴ 求证: AD // OC ; ⑵ 若圆 O 的半径为 2 ,求 AD ? OC 的值.

23.(本小题满分10分) 选修4-4:坐标系与参数方程

? x ? 3 ? 2 cos ? 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数). ? y ? ?4 ? 2 sin ?
⑴ 以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; ⑵ 已知 A(?2, 0), B (0, 2) ,圆 C 上任意一点 M ( x, y ) ,求 ?ABM 面积的最大值. 24、(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲 已知 a, b ? R ? , f ?x ? ? x ? a ? 2 x ? (1)求 f ?x ? 的最大值;
1 (2)若 f ?x ? 的最大值为5,求 ? b 的最小值。 a

2 b

-6-

20.(本小题满分12分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C :
6 x2 y 2 ,且过点 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 3 a b

?3, ?1? .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若动点 P 在直线 l : x ? ?2 2 上,过 P 作直线交椭圆 C 于 M , N 两点,使得
PM ? PN ,再过 P 作直线 l ' ? MN ,证明:直线 l ' 恒过定点,并求出该定点的坐标

. 21、(本小题满分12分) 已知 f ?x ? ? x 2 ? ax, g ( x) ? ln x, h( x) ? f ?x ? ? g ?x ? 。 (1)当 a ? 3 时,求 h( x) 的单调区间;
1 (2)设 h ?x ? 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? (0, ) ,若 h( x1 ) ? h( x2 ) ? m 恒成立,求 2

m 的最大值。

请考生在22,23,24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分. 做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

22.(本小题满分10分) 选修4-1:几何证明选讲 如图所示, AB 为圆 O 的直径, CB , CD 为圆 O 的切线,
B , D 为切点.

⑴ 求证: AD // OC ; ⑵ 若圆 O 的半径为 2 ,求 AD ? OC 的值.

23.(本小题满分10分) 选修4-4:坐标系与参数方程

? x ? 3 ? 2 cos ? 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数). ? y ? ?4 ? 2 sin ?
⑴ 以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; -7-

⑵ 已知 A(?2, 0), B (0, 2) ,圆 C 上任意一点 M ( x, y ) ,求 ?ABM 面积的最大值. 24、(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲 已知 a, b ? R ? , f ?x ? ? x ? a ? 2 x ? (1)求 f ?x ? 的最大值;
1 (2)若 f ?x ? 的最大值为5,求 ? b 的最小值。 a

2 b

高二期末考试数学答案
选择:BCAAADBACBAB ? 28 填空:甲,1- , 7, 8 3

17.
(1)an ? 2n, bn ? 2n ? 1 (2)Tn ? n 3(2n ? 3)

18题

-8-

19.解:(Ⅰ)如图,连接 BD 交 AC 于 O ,因为
BC ? CD ,即 ? BCD 为等腰三角形,又 AC 平分 ?BCD ,故 AC ? BD .以 O 为坐标原点, uu u r uuu r uu u r OB, OC , AP 的方向分别为 x 轴, y 轴, z 轴的正方

向,建立空间直角坐标系 Oxyx .则
OC ? CD cos

?
3

? 1 ,而 AC =4 ,得

AO ? AC ? OC ? 3 ,又 OD ? CD sin

?
3

? 3 ,故

(,, 0 ? 3 z) , A(0,,,,,,, ? 3 0), B ( 3 0 0), C (0 1 0), D(? 30 0). 因为 PA ? 底面ABCD ,可设 P
r z uuu z uur ? 1 ) AF ? (0 2 ), PB ? ( 3,3, ? z ) . 由 F 为 PC 边的中点,得 F (0,,,,, 2 2

uuu r uur z2 -2 3 AF ? PB, AF ? PB ? 0, 6 ? ? 0 z ? 2 3(舍去), 2
-9-

? PA ? 2 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 u r uuu r uu u r uuu r AD ? (? 3,3,,, 0), AB ? ( 3,3, 0) AF ? (0 2 3) .设平面 FAD 的法向量为 n1 ( x1 , y1 , z1 ) u u r , FAB 的法向量为 n2 ( x2 , y2 , z2 ) , u r uuu r u r uuu r 由 n1 gAD ? 0, n1 gAF ? 0 ,

?? ? ?- 3 x1 ? 3 y1 ? 0 得? 由此可取 n1 ? (3, 3, ?2) ? ? 2 y1 ? 3 z1 ? 0 u u r uu u r u u r uuu r 由 n2 gAB ? 0, n2 gAF ? 0 ,
u u r ? 3 x2 ? 3 y2 ? 0 ? 得? 由此可取 n2 ? (3, - 3, 2) ? ? 2 y2 ? 3 z 2 ? 0 u r u u r 从而法向量 n1 , n2 的夹角的余弦值为 u r u u r u r u u r n1 gn2 1 cos? n1 , n2 ? ? u r u u r ? , n1 ? n2 8

故二面角 B ? AF ? D 的正弦值为

3 7 . 8

9 1 a2 b2 20.解:(1)由题意知点(3,-1)在椭圆C上,即 + =1, ① 6 6 c2 a2-b2 2 3 3 a2 a2 又椭圆的离心率为 ,所以 = =( )2=3,② x2 y2 联立①②可解得a2=12,b2=4,所以椭圆C的方程为12+ 4 =1.(5分) 2 3 2 3 (2)因为直线l的方程为x=-2 2,设P(-2 2,y0),y0∈(- 3 , 3 ),

当y0≠0时,设M(x1,y1),N(x2,y2),显然x1≠x2, 联立 则 +
y1-y2 1 x1+x2 x1 x2 - =0,即 =-3·y1+y2,

又PM=PN,即P为线段MN的中点,
1 -2 2 2 2

故直线MN的斜率为-3· y0 =3y0,
3y0 2 又l′⊥MN,所以直线l′的方程为y-y0=- 2(x+2 2), 3y0 4 2 2 2 即y=- (x+ 3 ), 4 2 显然l′恒过定点(- 3 ,0); 4 2 当y0=0时,直线MN即x=-2 2,此时l′为x轴亦过点(- 3 ,0). 4 2 综上所述,l′恒过定点(- 3 ,0).(12分)

- 10 -

(0, ), (1, ??), ( , 1) 21.(1) h( x)的单调增区间为单调减区间为

1 2

1 2

22.解: (1) 连接 BD, OD,? CB, CD 是圆 O 的两条切线,? BD ? OC , 又 AB 为直径,? AD ? DB , AD // OC . 5分 (2)由 AD // OC ,??DAB ? ?COB ,? Rt?BAD ∽ Rt ?COB ,
AD AB ? OB OC , AD ? OC ? AB ? OB ? 8 .

10分

? x ? 3 ? 2 cos ? 23.解:(1)圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ? y ? ?4 ? 2 sin ?
所以普通方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 . 2分
? 圆 C 的极坐标方程: ? 2 ? 6 ? cos ? ? 8 ? sin ? ? 21 ? 0 .

5分 (2)点 M ( x, y ) 到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?
| 2 cos ? ? 2 sin ? ? 9 | 2

7分

- 11 -

?ABM 的面积 S ?

1 ? ? | AB | ?d ?| 2 cos ? ? 2 sin ? ? 9 |?| 2 2 sin( ? ? ) ? 9 | 2 4

所以 ?ABM 面积的最大值为 9 ? 2 2 10分

- 12 -


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