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3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式


新源二中数学导学案 必修 4

主备:石磊 二次备课

3.1.3

二倍角的正弦、余弦和正切公式

【学习目标】 1、知识与技能目标 以两角和正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切 公式 2、过程与方法目标 理解推导过程,掌握其应用. 3、情感态度与价值观目标: 引导学生领悟寻找数学

规律的方法,培养学生的创新意识 【学习重点】 以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和 正切公式; 【学习难点】 二倍角的理解及其灵活运用. 【学习过程】 一、复习引入 大首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式,

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? tan? ? tan ? tan? ? tan ? tan( ? ? ?) ? tan( ? ? ?) ? 1 ? tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ? sin A sin B ? cos A cos B 练习: (1)在△ABC 中, ,则△ABC 为( )
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 (2) D.等腰三角

3 cos

?
12

? sin

?
12

的值为 (
C. 2

) D. ?

A. 0 思考:已知

B.2

2

?
2

?? ?

3? 12 3 ,cos( ? ? ? ) ? ,sin(? ? ? ) ? ? ,求 sin 2? 4 13 5

我们由此能否得到 sin 2? ,cos 2? , tan 2? 的公式呢?(学生自己动手,把上 述公式中 ? 看成 ? 即可) , (二)公式推导:

sin 2? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos? ? cos? sin ? ? 2sin ? cos? ;

cos 2? ? cos ?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin? sin? ? cos2 ? ? sin 2 ? ;
思考:把上述关于 cos 2? 的式子能否变成只含有 sin ? 或 cos? 形式的式子 呢?

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? 2sin 2 ? ;

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? (1 ? cos2 ? ) ? 2cos2 ? ?1 .
1

新源二中数学导学案 必修 4

主备:石磊 二次备课

tan 2? ? tan ?? ? ? ? ?
注意: 2? ?

tan ? ? tan ? 2 tan ? ? . 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan 2 ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k?

?k ? z?

(三)例题讲解 例 1、已知 sin 2? ? 解:由

5 ? ? , ? ? ? , 求 sin 4? ,cos 4? , tan 4? 的值. 13 4 2

?
4

?? ?

?
2

,得

?
2

? 2? ? ? .
2

12 5 ?5? , cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? ? 1 ? ? ? ? ? . 又因为 sin 2? ? 13 13 ? 13 ?
于是 sin 4? ? 2sin 2? cos 2? ? 2 ?

5 ? 12 ? 120 ; ??? ? ? ? 13 ? 13 ? 169
2

? 5 ? 119 cos 4? ? 1 ? 2sin 2? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 13 ? 169 120 ? sin 4? 120 . tan 4? ? ? 169 ? ? 119 cos 4? 119 169
2



例 2.在△ABC 中, cos A ? 例 3.已知 tan 2? ? 解: tan 2? ?

4 , tan B ? 2, 求 tan( 2 A ? 2B)的值。 5

1 , 求 tan ? 的值. 3

2 tan ? 1 ? ,由此得 tan 2 ? ? 6 tan ? ? 1 ? 0 2 1 ? tan ? 3 1 1 , tan ? ? , 求 tan( ? ? 2? )的值 7 3

解得 tan ? ? ?2 ? 5 或 tan ? ? ?2 ? 5 . 例 4.已知 tan ? ?

(四)练习:教材 P135 面 1、2、3、4、5 题 (五)小结:本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式,我们要熟记 公式,在解题过程中要善于发现规律,学会灵活运用. (六)作业: P137 3.1A 11,14,15 (七)教学反思:

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